26.4.2 二次函数中的动点问题 课后巩固 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数动点问题，通过“夯实基础”“提优特训”分层设计，构建从单一几何动点到函数综合应用的巩固路径，培养几何直观与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |夯实基础|单一几何图形动点面积、函数图象识别、简单最值计算|以等腰直角三角形、矩形等基本图形为载体，如第4题直角三角形动点面积最值，强化函数建模基础| |提优特训|抛物线与几何综合、动态路径最短、图形变换与函数结合|结合正方形外角平分线、抛物线平移等复杂情境，如第7题矩形与抛物线结合求周长最值，提升推理能力与创新意识|

26.4.2二次函数中的动点问题 课后巩固 【夯实基础】 1、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4，D为AB上的动点，DP⊥AB交折线A－C－B于点P.设AD＝x，△ADP的面积为y，则y与x的函数图象正确的是( ) 2、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4 cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1 cm/s的速度沿BA－AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y(cm2)，运动时间为x(s)，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是( ) 3、如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，连接OB，OC，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F.已知△ABC的周长为8，BC＝x，△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是( ) 4、如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,点P从点A开始沿AB向B点以2 cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC向C点以1 cm/s的速度移动,如果P,Q分别从A,B同时出发,当△PBQ的面积为最大时,运动时间t为 s. 5、如图,正方形ABCD的边长为4 cm,动点P,Q同时从点A出发,以1 cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动,设运动时间为x s,四边形PBDQ的面积为y cm2,求y关于x(0≤x≤8)的函数解析式. 6、如图所示,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动,如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,回答下列问题: (1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8 cm2. (2)设运动开始后第t秒时,五边形PQCDA的面积为S cm2,写出S与t的函数解析式,并指出自变量t的取值范围. (3)t为何值时S最小?求出S的最小值. 7、如图，抛物线y＝ax2＋3ax＋c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB. (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值； 【提优特训】 1、如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一动点（与B，C不重合）连接AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E，设BP=x，△PCE的面积为y，则y与x的函数关系式是（ ） A．y=﹣x2+4x B． C． D．y=x2﹣4x 2、抛物线y=x2﹣2x﹣15，y=4x﹣23，交于A、B点（A在B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（ ） A．10 B．7 C．5 D．8 3、点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB为平行四边形时，．其中正确的是（ ） A．②④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 4、在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示．下列结论：①甲车出发2 h时，两车相遇；②乙车出发1.5 h时，两车相距170 km；③乙车出发2 h时，两车相遇；④甲车到达C地时，两车相距40 km.其中正确的是________________．(填序号) 5、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q两点分别从点A，B同时出发，那么经过________秒，四边形APQC的面积最小． 6、如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0). (1)求a,b的值; (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值. 7、如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4． （1）求抛物线的函数表达式． （2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ （3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【参考答案】 【夯实基础答案】 1.B 2.D 3.B 4. 2 5.解:由题意可知当0≤x≤4时,AP=AQ=x cm, y=×4×4-x2, 即y=8-x2; 当4<x≤8时,CQ=CP=(8-x)cm,y=×4×4-(8-x)2=-x2+8x-24. 故y=8-x2 （0≤x≤4） 或y=-x2+8x-24（4<x≤8） 7.解：(1)∵OC＝3OB，B(1,0)，∴C(0，－3)． 把点B，C的坐标代入y＝ax2＋3ax＋c，得 解得 ∴y＝x2＋x－3. (2)如图.过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M，N. S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD ＝＋×DM×(AN＋ON) ＝＋2DM， ∵A(－4,0)，C(0，－3)， 设直线AC的解析式为y＝kx＋b， 代入，求得y＝－x－3. 令D，M， DM＝－x－3－ ＝－(x＋2)2＋3， 当x＝－2时，DM有最大值3. 此时四边形ABCD面积有最大值为. 【真题训练答案】 1.C 2. A3. A 4.②③④ 5. 3 6.解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,得 解得a=-1 b=8 (2)过A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,CB,过C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为点E,F,S△OAD=OD·AD=×2×4=4;S△ACD=AD·CE=×4×(x-2)=2x-4;S△BCD=BD·CF=×4×=-x2+6x,则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x,∴S关于x的函数解析式为S=-x2+8x(2<x<6). ∵S=-x2+8x=-(x-4)2+16, ∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16 7．解：（1）设抛物线解析式为y=ax（x﹣10）， ∵当t=2时，AD=4， ∴点D的坐标为（2，4）， ∴将点D坐标代入解析式得﹣16a=4， 解得：a=﹣， 抛物线的函数表达式为y=﹣x2+x； （2）由抛物线的对称性得BE=OA=t， ∴AB=10﹣2t， 当x=t时，AD=﹣t2+t， ∴矩形ABCD的周长=2（AB+AD） =2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）] =﹣t2+t+20 =﹣（t﹣1）2+， ∵﹣＜0， ∴当t=1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为； （3）如图， 当t=2时，点A、B、C、D的坐标分别为 （2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4）， ∴矩形ABCD对角线的交点P的坐标为（5，2）， 当平移后的抛物线过点A时，点H的坐标为（4，4），此时GH不能将矩形面积平分； 当平移后的抛物线过点C时，点G的坐标为（6，0），此时GH也不能将矩形面积平分； ∴当G、H中有一点落在线段AD或BC上时，直线GH不可能将矩形的面积平分， 当点G、H分别落在线段AB、DC上时，直线GH过点P，必平分矩形ABCD的面积， ∵AB∥CD， ∴线段OD平移后得到的线段GH， ∴线段OD的中点Q平移后的对应点是P， 在△OBD中，PQ是中位线， ∴PQ=OB=4， 所以抛物线向右平移的距离是4个单位． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $