4.2 圆心角与圆周角（第2课时圆周角定理）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦圆周角概念、定理及应用，通过回顾圆的对称性、旋转不变性和圆心角知识，类比引出圆周角，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以观察发现、分类归纳为核心，通过测量操作、分类证明圆周角定理（圆心在角的一边、内部、外部三种情况），发展学生推理能力和几何直观。典例与跟踪练习结合，强化应用意识，小结清晰梳理知识，助力学生理解，方便教师教学。

【新教材】青岛版·九年级上册 第4章 圆的再认识 4.2 圆心角与圆周角 第2课时 圆周角定理 学 习 目 标 1 2 3 理解圆周角的概念。 探索圆周角与其所对弧上的圆心角的关系，经历由特殊到一般的认识过程，体化、分类、归纳的数学思想。 了解并证明圆周角定理。能运用它们进行推理和计算。 1.你知道圆的哪些性质？ 思考 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴. 垂径定理： （1）圆的轴对称性： 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 ●O C D A B E ∵AB是直径，AB⊥CD， ∴CE=DE, AC=AD, BC=BD。 ( ( ( ( 圆还有其他性质吗？ 知识回顾 （2）圆的中心对称性： 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 圆的旋转不变性 把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形重合 圆心角、弧、弦的关系定理： 在同圆或等圆中, 如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 知识回顾 2. 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.它的特征是什么？ 顶点在圆心的角叫圆心角, 图中∠BOC 是圆心角. 它的特征是:顶点在圆心，两边是半径。 圆心角是圆中重要的角。 知识回顾 顶点在圆心的角是圆心角, 那么顶点在圆上的角呢? 今天我们类比圆心角来认识圆中另一种重要的角 ----圆周角以及它的相关性质。 导入新知 （1）如图,点A,B,C是☉O任意三点，连接一个点与另两个点， 分别得到∠BAC,∠ABC,∠ACB三个角，仔细观察它们有什么共同的特征？ ①角的顶点在圆上，②角的两边在圆内的部分都是圆的弦。 ●O • A • B • C ●O • A • B • C ●O • A • B • C 你能仿照圆心角的定义，给这样的角下个定义吗? 注意 : 两个条件必须同时具备，缺一不可. 顶点在圆上,并且它的两边在圆内的部分是圆的两条弦,这样的角叫作圆周角。 圆周角的定义： ①角的顶点在圆上，②角的两边在圆内的部分都是圆的弦。 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 例1、下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） 边AC不是弦 （4） 顶点不在圆上 顶点不在圆上 典例讲解 1.判断下列图形中∠BAC 是不是圆周角,请说明理由。 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AB不是弦 跟踪练习 (2)圆心与圆周角的位置关系有几种情况? ①圆心在 ∠BAC的一边上； ②圆心在 ∠BAC的内部； ③圆心在 ∠BAC的外部. ●O A B C ●O A B C ●O A B C 还有其他情况吗？ ①圆心在 ∠BAC的一边上； ②圆心在 ∠BAC的内部； ③圆心在 ∠BAC的外部. ●O A B C ●O A B C ●O A B C (3)你能在下图中,分别标出 BC 所对的圆心角吗?? ( ∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角。 B C O A B C O A B C O A 同弧所对的圆心角和圆周角的大小关系是怎样的? 操作 : 1.分别测量图中BC所对的圆周角∠BAC和圆心角 ∠BOC的度数，它们之间有什么关系? ︵ ∠BAC=∠BOC B C O A B C O A B C O A 同弧所对的圆心角和圆周角的大小关系是怎样的? 成立。∠BAC=∠BOC 2.改变BC，测量∠BAC、∠BOC的大小，上述关系 是否仍然成立? ︵ B C O A B C O A B C O A 同弧所对的圆心角和圆周角的大小关系是怎样的? 3.由此你发现了什么结论? 一条弧所对圆周角的度数等于 这条弧所对圆心角的度数的一半. 你能证明这个结论吗？ 已知:如图,A,B,C是☉O上任意三点。求证:∠BAC=∠BOC。 B C O A ① B C O A ② B C O A ③ 因为圆心与圆周角的位置关系有3种情况， 所以证明也要分三种情况分别证明。 证明：①当圆心在∠BAC的一边上时： B C O A ① ∵OA=OB, ∴∠BAC=∠OBA。 ∴∠BOC=∠BAC+∠OBA=2∠BAC。 ∴∠BAC=∠BOC。 当圆周角的一边是直径时，证明过程中利用了等腰三角形的性质与外角定理。 ●O A B C 能借助第一种情况的结论吗？ ②当圆心在∠BAC的内部： D 作直径AD, 由图①的结论,得 ∠BAD=∠BOD, ∠DAC=∠DOC, ∴∠BAD+∠DAC=(∠BOD+∠DOC ) ∴∠BAC=∠BOC。 证明的关键是通过作直径把圆周角分成两个一边是直径的圆周角。 ●O A B C ③当圆心在∠BAC的外部时： D 还能借助第一种情况的结论吗？ 作直径AD, 由图①的结论,得 ∠CAD=∠COD, ∠DAB=∠DOB, ∴∠CAD-∠DAB=(∠COD-∠DOB) ∴∠BAC=∠BOC。 B C O A ① B C O A ② B C O A ③ 圆周角定理： 圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半。 ∠BAC=∠BOC。 例2.（1）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC =70°， 则∠AOC的度数等于（ ） A.140° B.130° C.120° D.110° A O C B A （2）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝50°， 则∠A等于（ ） A.40° B.50° C.60° D.70° A 典例讲解 2.（1）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点 P是优弧AMB上一点，则∠APB的度数为（ ） A.45° B.30° C.75° D.60° （2）如图，在⊙O中,OA⊥BC,∠AOB=70°, 则∠ADC的度数是（ ） A.35° B.30° C.45° D.70° ( D A 跟踪练习 D 例3、如图,点A,B,C 在☉O 上,AC∥OB,∠OBA=25°。 (1)求∠BOC 的度数; (2)求∠ABC 的度数。 解:(1)∵AC∥OB, ∠OBA=25°， ∴∠BAC=∠OBA=25°。 ∴∠BOC=2∠BAC=50° 圆心角等于所对弧上圆周角的2倍 典例讲解 (2)∵OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB。 ∵∠BOC=50°, ∴∠OBC=65°。 ∴∠ABC =∠OBC-∠OBA=40°。 典例讲解 3.如图,已知点O是△ABC的外心,连接OB。若∠OBC=25°, 求∠A 的度数。 解:如图，连接OC。 ∵点O是△ABC的外心， ∴OB=OC。 ∵∠OBC =∠OCB = 25°. ∴∠BOC=180°-25°-25°=130°, ∴∠A=∠BOC=×130°=65°。 跟踪练习 例4、如图,A,B,C是半径为1的☉O上的3个点. AB=, ∠CAB=30°,则∠ABC的度数为( ). A.95° B.100° C.105° D.110° 解析：作辅助线OB,OC， 则∠ABC=∠ABO+∠OBC， 由∠CAB=30°,得∠BOC=60°. 由OB=OC,得△BOC是等边三角形， 所以∠OBC=60°。半径为1，AB=可 证得△AOB是等腰直角三角形，得∠ABO=45°. C 拓展延申 4.如图，在☉O中. (1)若AB=AC,∠ACB=80°,求∠BOC的度数; (2)若☉O的半径为13,且BC=10,求点O到BC的距离. ( ( ( ( ∵AB=AC， ( ( 解：（1） ∴AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=80° ∴∠A=20° ∴∠BOC=40° 跟踪练习 (2)过点O作OD⊥BC于点D, D ∴BD=DC=BC=×10=5。 在Rt△OBD 中,OD2=OB2-BD2 ∴OD2=132-52。=144 ∴OD=12 ∴点O到BC的距离是12. 跟踪练习 1.如图，AB是☉O的直径，若∠AOC=130°， 则∠D的度数是( ) A.20° B.25° C.40° D.50° B 当堂检测 2.(山东聊城期中)如图，☉O是△ABC的外接圆，连接 OA, OB,∠OBA=50°,则∠C的度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.80° B 当堂检测 3.(2025·四川广元中考)如图，CD是☉O的弦，过圆心O作OALCD于点H,交OO于点A， OH:HA=3:2，点M是CBD上异于C,D的一点，连接CM,DM，则sinCMD的值是( ) A. B. C. D. A 当堂检测 圆周角定理 及其推论 圆周角定义 圆周角定理 顶点在圆上，两边都与圆相交的角（二者必须同时具备） 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 作 用 圆心角的度数 圆周角的度数。 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $