2.5 图形的位似（第2课时 平面直角坐标系中的位似）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦直角坐标系中以原点为位似中心的位似图形，通过复习位似定义、性质及平移等变换的坐标规律作为支架，以问题“位似能否用坐标关系表示”导入，衔接前后知识。 亮点在于通过观察△AOB坐标变化抽象出（kx,ky）或（-kx,-ky）规律，培养数学眼光中的抽象能力与几何直观，结合典例与跟踪练习发展推理意识，用坐标语言精准表达变换，帮助学生理解数形联系，为教师提供清晰教学流程与实例。

【新教材】青岛版·九年级上册 第2章 图形的相似 2.5图形的位似 第2课时 直角坐标系中的位似图形 学 习 目 标 1 2 3 掌握在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的坐标变化规律，学会用坐标变化表示图形的位似变换 能在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，根据已知的相似比，画出图形的位似图形. 会用图形的坐标的变化表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律。(重点、难点) 回顾：位似图形的定义，性质，画法。 思考 对应边互相平行(或共线)且每对对应点所在的 直线都经过同一点的两个相似多边形叫作位似图形。 1.位似图形的定义： 知识回顾 2.位似图形的性质： (1)位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质； (2)位似图形的对应点所在的直线必经过位似中心； (3)位似图形的对应边互相平行(或共线)； (4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 知识回顾 3.位似图形画法步骤 （1）确定位似中心。 (2)分别作过位似中心和原图形所有的关键点的一些射线。 (3)根据相似比，在相应射线上找出所作的原图形关键点的对应点。 (4)顺次连接各对应点，得到放大或缩小后的位似图形。 知识回顾 我们知道，在直角坐标系中，两个多边形平移、轴对称和旋转(中心对称)对应顶点的坐标变化规律如下： 变换 规律 轴对称 平移 中心旋转 关于x轴对称:横坐标不变，纵坐标互为相反数。 关于y轴对称:纵坐标不变，横坐标互为相反数。 点的平移规律:左减右加纵不变，上加下减横不变。 关于原点对称的点的坐标特征:横、纵坐标都互为相反数. 知识回顾 在平面直角坐标系中,图形的平移、轴对称和中心对称可以用对应点的坐标之间的规律。图形的位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系有什么规律呢? 这节课我们一起研究位似图形在直角坐标系中的变化。 新知导入 如图,△AOB 的三个顶点坐标分别为O(0,0), A(3,2),B(5,0), 以点O 为位似中心,将△AOB 放大到原来的2倍,画出△A'OB'和△A″OB″。 • A • B • A' • B' • A″ • B″ 如图,观察△A'OB'和△A″OB″,分别写出A',B',A″,B″的坐标. • A • B • A' • B' • A″ • B″ A'（6，4）, B'（10，0）, A″（-6，-4）, B″（-10，0）。 对比△AOB的顶点O(0,0),A(3,2),B(5,0), • A • B • A' • B' • A″ • B″ 与△A'OB'和△A″OB″ 各顶点坐标 A'（6，4）,B'（10，0）, A″（-6，-4）,B″（-10，0）你有什么发现？ • A • B • A' • B' • A″ • B″ 这里乘的为什么是2或-2？ • A • B • A' • B' • A″ • B″ 如图：在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形，可以作出几个？ 两个。分别在位似中心 的同侧或异侧 • A • B • A' • B' • A″ • B″ 如果所作位似图形与原图形在原点的同侧，那么对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？如果所作位似图形与原图形在原点的异侧呢？ 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比等于相似比k； 位似中的相似比，一般指新图形与原图形的比。 当位似图形在原点异侧时，其对应顶点的坐标的比等于相似比的相反数-k； 位似图形在直角坐标系中的规律总结 1位似图形的个数： 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个 图形的位似图形可以作出两个. 2坐标变化规律： 以原点为位似中心，画出与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 ( x，y ) 对应的位似图形上的点的坐标为( kx，ky )或 ( -kx，-ky ). 归一归 3.图形的放缩: 当 k > 1 时，图形扩大为原来的 k 倍； 当 0 < k < 1时，图形缩小为原来的k 倍． 一般地，在平面直角坐标系中，当两个图形以原点为位似中心， 它与原图形的相似比为k时，那么与原图形上的点 ( x，y ) 对应 的位似图形上的点的坐标为( kx，ky )或 ( -kx，-ky ). 反过来，在平面直角坐标系中，如果一个图形上点的坐标 ( x，y )， 另一个图形上点的坐标的( kx，ky )或 ( -kx，-ky ). 那么这两个图形关于原点位似吗？ 如图,在平面直角坐标系中,△AOB 的三个顶点坐标分别为O(0,0),A(-1,2), B(-3,0)。 • A • B (1)将点O,A,B 的横坐标、纵坐标都乘 3,得到三个点O',A',B'，其中O'与O 重合。 O'(0,0),A'(-3,6), B'(-9,0) • A • B 画出△A'OB'。 • A' • B' △A'OB'与△AOB 位似吗? 如果位似,指出位似中心和相似比。 • A • B (2)将点O,A,B 的横坐标、纵坐标都乘 -3,得到三个点O″,A″, B″，其中O″与O 重合。△A″OB″与△AOB 位似吗? 如果位似,指出位似中心和相似比. O″(0,0),A″(3,-6), B″(9,0) • A″ • B″ △A″OB″与△AOB 位似, 位似中心是原点，相似比是3. (3)将点O,A,B 的横坐标、纵坐标都乘的横坐标、纵坐标都 乘同一个不为0的数k，得到的三角形与△AOB 位似吗? 如果位似,指出位似中心和相似比. 得到的三角形与△AOB 位似, 位似中心是原点，相似比是k. 在平面直角坐标系中,将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的,位似中心是原点。 以原点为位似中心,画多边形的位似图形(相似比为k)时,关键是将每个 顶点的横坐标、纵坐标分别乘k(或分别乘-k)。 平面直角坐标系中的位似： 例1、如图,四边形OABC 的顶点坐标分别为O(0,0),A(6,0),B(4,4), C(-2,2)。以原点为位似中心,画出四边形 OABC 的位似图形,使它的面积等于四边形OABC 面积的倍,并写出点A,B,C 的对应点的坐标。 解:∵画出的图形与四边形OABC位似,面积等于四边形OABC 面积的倍, 典例讲解 ∴画出的四边形与四边形OABC 的 相似比为。 如图,四边形ODEF与四边形OGHI都是四边形OABC 的位似图形。 ∵位似中心是原点,相似比为， 点A(6,0),B(4,4), C(-2,2)， 典例讲解 ∴对应点的坐标分别为 D(9,0), E(6,6),F(-3,3)或 G(-9,0),H(-6,-6),I(3,-3)。 1.如图,在平面直角坐标系中,点E与点F的坐标分别为E(4,2),F(1,-1)。以点O为位似中心,把△EFO 缩小到原来的。求点E,F的对应点E',F'的坐标. 解：E'（2，1）,F'（，-） 或E'（-2，-1）,F'（-，）。 跟踪练习 例2、已知:如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，△ABC三个顶点分别为A(-1,2),B(2,1),C(4,5). (1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1; (2)以原点O为位似中心,在x轴的上 方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与 △ABC位似，且相似比为2， 并求出△A2B2C2的面积. 典例讲解 解:(1)如图，△A1B1C1就是所求三角形. (2)如图，△A2B2C2就是所求三角形. ∵△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2 ∴A2（-2,4）,B2(4,2),C2(8,10). ∴S△A2B2C2=28. 典例讲解 2.如图,△ABC为正三角形,点A与点B的坐标分别为A(-2,0), B(2,0)。以点O为位似中心,画出一个与△ABC位似的图形,使它与△ABC的相似比为3∶2,并写出它的顶点坐标。 解:∵△ABC为正三角形，A(-2,0),B(2,0)， ∴AB=4，CO==2 ∴ C( 0, 2) 跟踪练习 如图所示，A'B'C'与A'B'C"为所求的三角形。 ∵它与△ABC的相似比为3∶2 ∴ 对应点的坐标（3，0），(-3, 0)，（0，3） 或（3，0），（-3，0），（0，-3）。 跟踪练习 1.(2025·山东潍坊二模)如图所示，每个小正方形的边长为1,△OAB的顶点在格点上。以点O为位似中心，画△OA1B1，使△OA1B1与△OAB位似，A,B的对应点分别为A1,B1，且 △OA1B1,与△OAB的相似比为3:1，则下列说法正确的是( ) A.点A1的坐标是(1,3) B.△OA1B1与△OAB的周长之比为:1 C.A1B1 =3 D.△OA1B1一定在第一象限内 C 当堂检测 2.如图所示，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1。 (1)在图中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心M点的位置， 并写出M点的坐标; (2)若以点O为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且△A1B1C1 与△A2B2C2的相似比为2:1(只画一种类型)。 当堂检测 解:(1)如图所示，点M即所求。点M的坐标为(0,2)。 (2)如图,△A2B2C2即所求。(△A3B3C3也符合). 当堂检测 平面直角坐标系 中的位似 坐标变化规律 平面直角坐标系中的 位似图形的画法 ( x，y ) ( kx，ky )或 ( -kx，-ky ). 课堂小结 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $