2.4 相似三角形与实际问题（第2课时 测量两地距离）（教学课件）数学新教材青岛版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形在测量两地距离中的应用，通过复习上节课测量物体高度的方法及相似三角形解题步骤，类比引出新问题，搭建“测量高度-测量距离”的知识支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合河流距离、村庄距离等实际问题及《九章算术》《海岛算经》等数学文化案例，通过“实际问题-建模-相似判定-求解”过程培养几何直观、推理能力与应用意识。课堂小结归纳测量模型和步骤，学生能掌握解题方法，教师可提升教学效率。

【新教材】青岛版·九年级上册 第2章 图形的相似 2.4相似三角形与实际问题 第2课时 测量两地距离 学 习 目 标 1 2 3 了解测量两地距离的实际问题，能转化为常见的相似三角形几何模型，掌握解决相似三角形实际问题的基本解题思路。(几何直观、应用意识) 经历“实际问题-抽象几何图形-建立相似三角形模型-求解验证”的完整过程，体会数学建模、数形结合思想。(几何直观、推理能力) 感受相似三角形在生活、生产、测量中的广泛应用，体会数学与现实生活的紧密联系，激发数学应用意识与学习兴趣。(应用意识) 1.上节课我们利用相似三角形的知识,能解决什么样的实际问题呢？ 测量物体的高度 利用阳光 利用标杆 利用镜子 相似三角形的性质： 对应边成比例式 知识回顾 2.利用相似三角形解决实际问题的步骤: (1)审题: 梳理实际问题中的已知条件，明确所求未知量(高度、距离、宽度等)。 (2)建模: 根据实际场景，画出对应的几何图形，找出其中的相似三角形 (3)判定: 利用相似三角形的判定定理证明两个三角形相似。 (4)列式: 根据相似三角形对应边成比例，列出正确的比例关系式。 （5)求解: 代入已知数值，计算未知量，检验结果是否符合实际意义。 (6)作答: 规范书写解题过程，清晰写出最终答案。 知识回顾 今天我们类比测量物体高度的思路，继续借助相似三角形模型，解决不易测量的两地之间的距离等各类实际应用题。 新知导入 例1、如图,为了测量河流两岸A,B 两点间的距离,小亮先从B处出发,沿与AB成90°角的方向向前走50m到C处,然后继续按这个方向朝前走10m到D处,再向右转90°,沿DE方向到达E处,使A,C,E 三点 在同一条直线上。测量得DE 的 长为17m,求A,B 两点间的距离。 典例讲解 解析：解决这个问题，我们可以通过证明三角形相似，利用相似三角形的性质来求解AB的长度。 分析角度关系，构成 “X 型”，可证明三角形相似；利用相似三角形的性质列比例式可解。 典例讲解 解：根据题意: ∠ABC=90°(从B出发的方向与AB成90°角)， ∠EDC=90°(在D处转90°沿DE方向走)， ∵∠ACB=∠DCE。 ∴△ABC∽△EDC. ∴ ∴∠ABC=∠EDC。 典例讲解 ∵BC=50,CD=10,DE=17， ∴ ∴AB=85 ∴A,B 两点间的距离是85m。 典例讲解 1.如图所示，河的两岸分别有一根电线杆A,B，要测得A,B间的距离,这样操作:在岸边找到一个点C，在AC的延长线上确定一点A'，在BC的延长线上确定一点B'，使A'B'//AB,量得A'C=1m, AC=5m,A'B'=2m,则A,B间的距离是多少? 解:∵AB//A'B'，∴=，∵A'C=1m,AC=5m,A'B'=2m, ∴ = ，∴AB=10m。 ∴A,B间的距离是10m。 跟踪练习 例2、(山东菏泽中考·6分)如图所示(示意图)，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为了计算工程量,必须计算M,N两点之间的直线距离，选择测量点A,B,C,点B,C分别在AM，AN上，现测得AM=1km， AN=1.8 km,AB=54m,BC= 45 m, AC=30m，求M,N两点之间的直线距离。 解析：挖掘出“公共角”，利用两边成比例夹角相等，证得相似三角形，并利用相似三角形的性质列出比例式是解决本题的关键。解答时，注意单位要统一。 典例讲解 A B C N M ∠A=∠A， 计算= △ABC∽△ANM. = 解析： 典例讲解 解:∵AM=1km=1000m,AN=1.8km=1800m, AB=54m,AC=30m,BC=45m。 ∴==, = = , ∴ = 又∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ANM. ∴ = ∴ = ∴MN=1500(m)=1.5(km) 答:M,N两点之间的直线距离为1.5km。 典例讲解 A B C N M 2.如图,某校宣传栏BC 后面种有一排与宣传栏平行的若干棵树,即BC∥DE,且 相邻两棵树的间隔为3m,一人站在宣传栏前面的A 处正好看到D,E 处的两棵 树,DE 之间的树均被宣传栏挡住。 已知A到BC的距离为3m,BC与DE 的距离为4.5m,BC 为10.8m。 那么站在A处看时,该宣传栏 挡住了多少棵树? 跟踪练习 解析：要解决这个问题，先证△ABC∽△ADE.我们可以利用相似三角形的性质来求出树所在的直线ED的长度，再结合树的间隔计算树的数量。 跟踪练习 解:如图所示，过点A作AG⊥DE于点G，交BC于点F, ∵BC//ED,AG⊥DE, ∴△ABC∽△ADE.,AF⊥BC, ∴ = 又∵BC=10.8m,AF=3m,FG=4.5m, ∴AG=AF+FG=7.5(m),∴ = ∴DE=27(m), ∵27÷3=9，∴9+1-2=8(棵)， ∴该宣传栏挡住了8棵树。 G F 跟踪练习 例3、《九章算术》中记载了这样一个问题:今有邑方二百步,各中开门。出东门一十五步有木。问出南门几何步而见木。可以转化为这样一个问题:如图,DEFG 是一座边长为200步的正方形小城,东门H 位于GD 的中点,南门K位于ED的中点, 出东门15步的A处有一树木,出南门到C 处恰好看到位于A处的树木 (即点C 在直线AD 上)。求KC 的长。 15步 100步 200步 典例讲解 15步 100步 100步 A K C D H KD//AH ∠A=∠CDK， ∠AHD=∠KDC=90°， △CDK∽△DAH. 有哪些相似三角形？ 选择哪对相似三角形更简单？ = 典例讲解 A K C D H 解：由题意可知，DH=100,DK=100,AH=15, ∠AHD=∠KDC=90°，KD//AH, ∴∠A=∠CDK， ∴△CDK∽△DAH. ∴ = ∴ = ∴CK= 答:KC的长为步. 典例讲解 例4.章引言中《海岛算经》是我国魏晋时期数学家刘徽编撰的数学著作，书中记载了古代测量的实例和计算方法。下面是书中的一个测量问题： 今有望海岛，立两表，齐高三丈， 前后相去千步，令后表与前表参相直。 从前表却行一百二十三步，人目著地， 取望岛峰，与表末参合。从后表却行 一百二十七步，人目著地，取望岛峰， 亦与表末参合。问岛高及去表各几何。 拓展延申 大意是： 现在要测量一座海岛山峰，竖立两根标杆（表），高度都是3丈； 两根标杆前后相距1000步，让后标杆、前标杆、海岛峰顶在同一条直线上。 从前标杆向后退123步，眼睛贴地面望向岛峰，视线刚好经过前标杆顶端； 从后标杆向后退127步，眼睛贴地面望向岛峰，视线也刚好经过后标杆顶端。 求：海岛山峰总高度、海岛到前标杆的距离分别是多少？ 拓展延申 A B C D O H 解析：“两表”两根标杆高度都是3丈,AB=3丈=5步,CD=3丈=5步; 从前标杆向后退123步， 即BE=123步， 从后标杆向后退127步， 即DF=127步。 求岛峰山峰总高度、海岛到前标杆的距离分别是多少？即OH,OB的长。 E F 两根标杆前后相距1000步，BD的长为1000步； “岛峰”山峰总高度 HO 均与OF垂直,O,B,D,F共线。 5步 123步 5步 127步 1000步 拓展延申 A B C D O H E F 解:设OB=x,则OE=x+123, OF=x+123+1000+127=x+1250 ∵OH⊥OF,AB⊥OF,CD⊥OF， ∴∠O=∠ABE=∠CDF=90°. ∵∠HEO=∠AEB,∠F=∠F， ∴△ABE∽△HOE, △HOF∽△CDF. ∴, 拓展延申 A B C D O H E F ∵AB=CD=3丈=5步, BE=123步,DF=127步， ∴, . ∴x=30750,OH=1255. ∴岛峰山峰总高度、海岛到前标杆的 距离分别是1255步，30750步。 拓展延申 1.数学文化《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB,从木杆的顶端B观察井水水岸D。视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB=2m,AC=3.2m,AE=0.8m,那么CD为（ ） A.3m B. 4m C.5m D.6m D 解析:由题意，得AB//CD， ∴△ABE∽△CDE, ∴，∴ 解得CD=6， 经检验，CD=6是原方程的解。 当堂检测 2.某零件的示意图如图所示。现用一个交叉卡钳测量该零件的内孔直径AB,其中, 两条交叉卡钳AC 与BD 的长度相等,OC=OD,且OC∶OA=1∶2。测得CD 的长为10cm。求零件的厚度x的大小。 解:∵AC=BD,OC=OD, ∴AC-OC=BD-OD, 即OA=OB,∴=。 ∵∠AOB=∠COD， ∴△ABE∽△HOE， ∴ = ,即AB=2, ∴AB=20(cm), ∴x=25-20=2.5(2 即零件的厚度x的大小为2.5cm。 当堂检测 测量原理 构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解 构造相似 三角形模型 测量数据 比例式 求BC的长，可测量 AD,DB,DE的长 求AB的长，可测量 BE,CD和BC的长 求AB的长，可测量 BC,CD,DE的长 1.测量不易直接到达的两地距离 课堂小结 2.测量不易直接测量的物体高度，不易到达的两地距离的思路： 根据实景图 和已知条件 简化的几何图形 A B C E D A 型 X 型 证明三角形相似 写出合适的 比例式求解 【新教材】青岛版·九年级上册 感谢聆听! $