第1章 集合与逻辑（单元分层自测·能力提升卷）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 高一数学集合与逻辑单元能力提升卷，覆盖集合运算、逻辑命题、充分必要条件等核心知识，结合奥运项目统计等实际情境与“完美集”等创新定义，注重数学思维与应用能力，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|集合交并补（1,2）、命题否定（3）、充分条件（5）、实际应用（10奥运喜好统计）|基础巩固与能力梯度结合，如“完美集”定义辨析（12）体现抽象能力| |选择题|4题/18分|集合关系（13）、充要条件判断（14）、创新运算（16）|聚焦概念辨析，如16题新定义运算考查数学语言表达| |解答题|5题/78分|集合综合运算（17）、逻辑证明（20）、性质探究（21）|分层设计，如21题性质证明考查推理能力与创新意识，贴合核心素养要求|

2026-2027学年高一数学单元自测 第1章 集合与逻辑·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、 2、2 3、 4、80 5、 6、丙 7、 8、 9、 10、8 11、 12、②③ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 B C C B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）当时，， 所以， 2分 又， 4分 所以. 6分 （2）因为，所以， 8分 当时，，解得； 10分 当时，则，解得， 13分 综上，实数a的取值范围. 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）当时，， 2分 ， 4分 ， 6分 （2）由题意，是的充分条件，则，， 7分 当时，此时，解得：，符合题意； 9分 当时，则或或， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 11分 若，则有，无解. 13分 综上所述，实数的取值范围为． 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）若命题为真命题，即，不等式恒成立 2分 则，可得，解得， 5分 因此，若为真命题，则的取值范围是. 6分 （2）若命题为真命题，即，使得成立，则， 8分 真假时，；假真时，； 10分 ，都真时，； 12分 因为和至少有一个为真，则， 因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是. 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】（1），，故，， 假设，，则，且， 2分 由，得或，显然均无整数解， ∴， 综上，，，； 4分 （2）证明：集合，则恒有， 6分 ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有； 8分 又，而，即，推不出， ∴“”的充分不必要条件是“”； 10分 （3）证明：集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数； 13分 ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 16分 综上，所有满足集合A的偶数为， ． 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 2分 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. 4分 （2）因为集合 具有性质， 所以，且， 6分 所以 ，所以 或， 所以 . 8分 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ， 且都满足： . 10分 （3）证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 13分 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为， 16分 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合. 18分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第1章 集合与逻辑·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．集合，，则________． 【答案】 【详解】由，， 则. 2．已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 【答案】2 【详解】依题意，，而，故，即有2个元素. 3．已知命题，则为_________________ 【答案】 【详解】根据全称量词命题的否定， 由命题， 则为. 4．已知集合，集合，则集合的元素之和等于__________. 【答案】80 【详解】因为集合， 集合， 可得，所以集合的元素之和为. 故答案为：80. 5．已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【详解】设集合，集合， 由题意可知集合是集合的真子集， 所以，解得，得， 当时，，不满足题意，故， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 6．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是______. 【答案】丙 【详解】如果是甲当选了，则乙是对的，其余三人是错的，故甲不能当选； 如果是乙当选了，则甲乙丁是对的，丙是错的，故乙不能当选； 如果是并当选了，则甲丙是对的，乙丁是错的，故丙能当选； 如果是丁当选了，则乙是对的，其余三人是错的，故丁不能当选. 故答案为：丙 【点睛】本题考查了反证法，考查了逻辑推理能力，属于一般题目. 7．设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【详解】若，则满足该不等式，代入得， 则，则， 故答案为：. 8．已知集合，，若，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以，且， 当时，，此时满足，故符合条件； 当时，，则，因为， 所以或，所以或； 综上所述，的取值为， 故答案为：. 9．已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由已知得，. 设,， 若是的充分不必要条件，则，， 所以集合是集合的真子集. 所以． 故答案为：. 10．已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 【答案】8 【详解】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人， 则由图可得，解得， 故该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人. 故答案为：. 11．已知集合，求实数的取值范围__________． 【答案】 【详解】因为集合，， 若，则， 对于方程，则， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则中有两个元素， 可知，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 12．设是非空数集，若对任意，都有，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题： ①若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”； ②若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”； ③若是“完美集”，则可以是有限集； ④若、都是“完美集”，则也是“完美集”． 其中说法正确的序号是___________． 【答案】②③ 【详解】对于①，若是“完美集”，且， 假设也是“完美集”，设，在中任取一个， 此时可证得，否则若，由于也是“完美集”， 则，与矛盾，故， 由于是“完美集”， 也是“完美集”，所以， 而，这与矛盾， 故当且是“完美集”时，则不是“完美集”， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故①错误； 对于②，取，则， 又是“完美集”，， ， 所以是“完美集”，故②正确； 对于③，当集合时，显然它是“完美集”，即可以是有限集，故③正确； 对于④，取“完美集”， 则，但，即此时不是“完美集，故④错误． 故答案为：②③． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B 14．已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为由，得，即. 而要使有意义，则且，所以，得. 所以成立必有成立，而成立不一定有成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 15．已知命题，命题：“”.若两个命题中一真一假，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】若命题为真命题时，则， 若命题为真命题时，则，得或， 由两个命题中为一真一假，得真假或假真， 则，或， 得或， 故选：C 16．对于集合，，定义且，则对于集合，，且，以下说法正确的是（   ） A．若在横线上填入“”，则C的真子集有个． B．若在横线上填入“”，则C中元素个数大于450． C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有个． D．若在横线上填入“”，则中元素个数为13． 【答案】B 【详解】因为， 因此可知集合，没有公共元素， 对于A，由分析知为空集，没有真子集，即A错误； 对于B，由可得，由可得， 因此若且，可知中元素个数为个，即B正确； 对于C，若在横线上填入“\”,则中有166个元素，则的非空真子集有个，即C错误； 对于D，由且可知且为有限集， 所以， 而，结合已有分析可知中元素个数为331个，即D错误. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【详解】（1）当时，， 所以， 2分 又， 4分 所以. 6分 （2）因为，所以， 8分 当时，，解得； 10分 当时，则，解得， 13分 综上，实数a的取值范围. 14分 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 若集合 (1)若，求； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 2分 ， 4分 ， 6分 （2）由题意，是的充分条件，则，， 7分 当时，此时，解得：，符合题意； 9分 当时，则或或， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 11分 若，则有，无解. 13分 综上所述，实数的取值范围为． 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 【详解】（1）若命题为真命题，即，不等式恒成立 2分 则，可得，解得， 5分 因此，若为真命题，则的取值范围是. 6分 （2）若命题为真命题，即，使得成立，则， 8分 真假时，；假真时，； 10分 ，都真时，； 12分 因为和至少有一个为真，则， 因此，若和至少有一个为真，实数的取值范围是. 14分 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 【详解】（1），，故，， 假设，，则，且， 2分 由，得或，显然均无整数解， ∴， 综上，，，； 4分 （2）证明：集合，则恒有， 6分 ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有； 8分 又，而，即，推不出， ∴“”的充分不必要条件是“”； 10分 （3）证明：集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数； 13分 ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 16分 综上，所有满足集合A的偶数为， ． 18分 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 【详解】（1）集合具有性质，不具有性质. 对 ，仅存在正整数和为，此时对应，满足，故具有； 2分 对 ，当正整数和为时仅对应，满足，故 不具有性质. 4分 （2）因为集合 具有性质， 所以，且， 6分 所以 ，所以 或， 所以 . 8分 当时，满足以上条件的正整数只有：或 ， 且都满足： . 10分 （3）证明：假设存在具有性质集合.                            因为集合，所以设集合中最小的元素为， 若，则由于 ，且， 由可知 ，但是中最小的元素且，而， 所以集合不具有性质 ，矛盾. 所以 . 13分 设集合中除以外的最小元素为，则 . 因为 ，且， ，且， 集合中比小的元素只有， 所以，解得， 即集合中除以外的最小元素为， 16分 因为，集合具有性质， 所以， 这与集合中除以外的最小元素为相矛盾， 综上，不存在具有性质集合. 18分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一数学单元自测 第1章 集合与逻辑·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．集合，，则________． 2．已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 3．已知命题，则为_________________ 4．已知集合，集合，则集合的元素之和等于__________. 5．已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______． 6．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是______. 7．设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 8．已知集合，，若，则__________. 9．已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是___________． 10．已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 11．已知集合，求实数的取值范围__________． 12．设是非空数集，若对任意，都有，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题： ①若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”； ②若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”； ③若是“完美集”，则可以是有限集； ④若、都是“完美集”，则也是“完美集”． 其中说法正确的序号是___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 14．已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知命题，命题：“”.若两个命题中一真一假，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 16．对于集合，，定义且，则对于集合，，且，以下说法正确的是（   ） A．若在横线上填入“”，则C的真子集有个． B．若在横线上填入“”，则C中元素个数大于450． C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有个． D．若在横线上填入“”，则中元素个数为13． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）若集合 (1)若，求； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学单元自测 第1章 集合与逻辑·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．集合，，则________． 2．已知全集，若集合，，则的元素个数为________. 3．已知命题，则为_________________ 4．已知集合，集合，则集合的元素之和等于__________. 5．已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______． 6．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是______. 7．设关于x的不等式的解集为A，若，则实数m的取值范围是_________． 8．已知集合，，若，则__________. 9．已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是___________． 10．已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 11．已知集合，求实数的取值范围__________． 12．设是非空数集，若对任意，都有，则称集合为一个“完美集”，给出以下命题： ①若是一个“完美集”，且，则也为“完美集”； ②若、都是“完美集”，且，则也是“完美集”； ③若是“完美集”，则可以是有限集； ④若、都是“完美集”，则也是“完美集”． 其中说法正确的序号是___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 14．已知，，则“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 15．已知命题，命题：“”.若两个命题中一真一假，则实数的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 16．对于集合，，定义且，则对于集合，，且，以下说法正确的是（   ） A．若在横线上填入“”，则C的真子集有个． B．若在横线上填入“”，则C中元素个数大于450． C．若在横线上填入“\”，则C的非空真子集有个． D．若在横线上填入“”，则中元素个数为13． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 设集合，集合． (1)若，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）若集合 (1)若，求； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知，命题，不等式恒成立；命题，使得成立． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若和至少有一个为真，求实数的取值范围． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分不必要条件是“”； (3)若集合A中所有的偶数构成的集合为P，集合，求证：． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 已知集合中至少有个元素，且，若存在整数，使得，当时，恒成立，则称集合具有性质. (1)判断集合是否具有性质，是否具有性质；（结论不要求证明） (2)若集合具有性质，求的值； (3)求证：不存在具有性质集合. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $