高中数学单元测试——第一章集合与常用逻辑用语（较易版02）

**基本信息** 高中数学集合与常用逻辑用语单元复习卷（较易版02），通过基础巩固与能力梯度设计，适配单元复习，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合符号、集合运算、命题否定|基础题巩固概念，如集合符号运用| |多选题|3/18|描述法表示、充要条件关系|多选项辨析逻辑关系，如充要条件传递| |填空题|3/15|集合关系、韦恩图、命题真假|结合图形直观，如韦恩图元素个数| |解答题|5/77|集合元素个数、参数范围、性质P证明|分层考查综合应用，如性质P证明培养探究意识|

高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（本题5分）方程的所有解组成的集合为（   ） A．0 B． C． D． 3．（本题5分）命题：，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）集合的真子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 6．（本题5分）已知集合或，则（   ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知命题；命题，则以下为真命题的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．（本题5分）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 11．（本题6分）已知非空的集合的关系如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知，若，则________ 13．（本题5分）已知全集为实数集，集合，的关系的韦恩图如下图所示，则阴影部分表示的集合的元素个数为______． 14．（本题5分）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_____________ 四、解答题 15．（本题13分）已知全集，. (1)若中有个元素，求实数的值； (2)若中有四个元素，求实数的值. 16．（本题15分）已知命题：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. (1)求集合A； (2)设集合，且，求实数m的取值范围. 17．（本题15分）已知全集，集合. (1)求； (2)若非空集合，且，求实数的取值范围. 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 19．（本题17分）对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”． (1)判断集合是否具有“性质”，并说明理由； (2)证明：五元正整数集合不具有“性质”； (3)证明：若集合具有“性质”，则为奇数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 集合与常用逻辑用语（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列集合符号运用不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系，结合各数集的定义来判断各选项中集合符号的运用是否正确. 【详解】A选项，集合中的元素和都是自然数，所以集合是自然数集的子集，即，A选项集合符号运用正确； B选项，对于方程，在实数范围内，，则，方程无解，所以集合是空集，空集是集合的子集， B选项集合符号运用正确； ​C选项， 是一个无限不循环小数，是无理数，不是整数，所以不属于整数集，即，C选项集合符号运用不正确； ​D选项，分数属于有理数，所以属于有理数集，即，D选项集合符号运用正确. 故选：C. 2．（本题5分）方程的所有解组成的集合为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的概念得解. 【详解】原方程化简得，显然无解，故原方程的所有解组成的集合为空集. 故选：C. 3．（本题5分）命题：，的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解即可. 【详解】命题：，的否定是，. 故选：C. 4．（本题5分）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用并集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，所以. 故选：C. 5．（本题5分）集合的真子集个数为（    ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】按照真子集的个数公式求解即可. 【详解】集合有个元素，故集合的真子集个数为个， 故选：C 6．（本题5分）已知集合或，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用集合的交补运算求集合即可. 【详解】由题设，则． 故选：A. 7．（本题5分）已知命题；命题，则以下为真命题的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据不等式的解法，可判定命题为假命题，再由方程的解，可判定命题为真命题，结合选项，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，解得或， 所以命题为假命题，则为真命题， 又由，解得或或，所以命题为真命题，则为假命题， 故选：B. 8．（本题5分）已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为根据集合的包含关系求参数的取值范围问题求解. 【详解】设集合，，由题意可知， ∴，∴. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）集合用描述法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据集合的表示逐项分析即得. 【详解】是无限集，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D正确. 故选：BCD. 10．（本题6分）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 【答案】AB 【分析】结合已知根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为是的充分不必要条件，是的充分条件，所以，，． 因为是的充要条件，所以．因为是的必要条件，所以． 综上可得，，，但， 即是的充要条件，是的充分不必要条件． 故选：AB 11．（本题6分）已知非空的集合的关系如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用集合的文氏图表示意义即可得到判断. 【详解】    由图可得：，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 12．（本题5分）已知，若，则________ 【答案】 【分析】对进行分类讨论，注意需要满足集合元素的互异性. 【详解】由题意可知或 当，不满足集合元素的互异性，所以不符合题意； 当时，解得或(舍去)，当时，集合为，符合题意. 综上所述，. 故答案为： 13．（本题5分）已知全集为实数集，集合，的关系的韦恩图如下图所示，则阴影部分表示的集合的元素个数为______． 【答案】 【分析】求出韦恩图阴影部分的集合表示，再利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】韦恩图中阴影部分表示的集合为， ∵，， ∴，所以阴影部分表示的集合的元数个数为. 故答案为：. 14．（本题5分）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是_____________ 【答案】或 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和命题的否定的真假关系即可求解. 【详解】由已知命题“存在，使得等式成立”是假命题， 等价于“任意，使得等式成立”是真命题， 又因为，所以，要使，则需或. 所以实数的取值范围为或. 故答案为：或 四、解答题 15．（本题13分）已知全集，. (1)若中有个元素，求实数的值； (2)若中有四个元素，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据中的元素个数可得集合中有两个元素，即二次方程有两个不等的实根，利用根与系数关系可得； （2）根据中的元素个数，可得集合中只有一个元素，即二次方程只有一个解，可得. 【详解】（1）由中有个元素，集合中有两个元素， 即方程有两个不等的实根，， 则，且，， 则，； （2）由中有四个元素，则集合中有且只有一个元素， 则方程有且只有一个实数根， 则，且， 则，. 16．（本题15分）已知命题：，，命题p为真命题时实数a的取值集合为A. (1)求集合A； (2)设集合，且，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解可得结果； （2）根据子集关系列式，解不等式组可得结果. 【详解】（1）命题p为真命题时，则，得， ∴. （2）由（1）知，， ∵，∴，解得. 17．（本题15分）已知全集，集合. (1)求； (2)若非空集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或. (2) 【分析】（1）利用集合的交并补定义，即可得出答案； （2）等价于，再由集合的包含关系与集合非空，即可列出不等式组，解出答案. 【详解】（1）； ， 或. （2）已知集合非空，且， 所以满足， . 18．（本题17分）在和中． (1)设，设，判断是的什么条件： (2)你能再写出一些的必要不充分条件吗？（最少写三个） (3)在中，设，证明是等边三角形的充要条件是：． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用充分条件、必要条件的定义判断即得. （2）写出符合题意的必要不充分条件. （3）利用充要条件的定义推理得证. 【详解】（1）由，得，即， 由两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等，知不能推出， 所以是的必要非充分条件. （2）的必要不充分条件有： ①， 显然两个三角形全等，其对应角相等，而有两组对应角相等的两个三角形相似，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ②， 显然两个三角形全等，其面积相等，而面积相等的两个三角形图形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件； ③， 显然两个三角形全等，其对应边相等，对应角相等，而一组对应边及据对角相等的两个三角形不确定，不一定全等， 因此是的必要不充分条件. （3）必要性：若为等边三角形，即， 显然，因此； 充分性：若， 则， 于是，即，因此是等边三角形， 所以“是等边三角形”的充要条件是“”. 19．（本题17分）对于由个正整数构成的集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”． (1)判断集合是否具有“性质”，并说明理由； (2)证明：五元正整数集合不具有“性质”； (3)证明：若集合具有“性质”，则为奇数． 【答案】(1)不具备“性质”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）若去掉一个数时，可得集合，得到剩余所有元素之和为，不能分成相等的两个数，所以不具备“性质” （2）若去掉元素，得到或，若去掉元素，得到或，分别联立方程组，推出矛盾，即可得证； （3）设集合中所有元素之和为，得到为偶数，且的奇偶性必相同，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，结合题设中“性质”定义，进行推理，即可求解. 【详解】（1）集合， 若去掉任意一个元素后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合， 且这两个集合的所有元素之和相等，那么称集合具有“性质”， 对于集合， 若去掉一个数时，可得集合， 可得，其中为奇数，不能分成相等的两个数， 所以不具备“性质” （2）证明：由五元正整数集合， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有或， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有或， 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 由，可得，矛盾（舍去）； 所以当时，集合一定不具备“性质” （3）证明：由集合， 设集合中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 所以的奇偶性必相同， ①若为奇数，则为奇数，所以必为奇数； ②若为偶数，此时取，可得仍满足题设中的条件，集合也具备“性质”， 若仍为奇数，由①知，集合具备“性质”，此时为奇数； 若仍为偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数，且具备“性质”的集合， 综上可得，集合中的元素个数为奇数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $