29.3 弧长和扇形面积 第1课时-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(人教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦“弧长和扇形面积”核心知识点，以制造弯形管道展直长度的实际问题导入，通过类比圆周长与面积，引导学生从360°圆心角出发推导n°圆心角对应的弧长和扇形面积公式，梳理知识脉络。 此资料亮点在于情境导入激发探究兴趣，类比推导过程培养推理意识，实际例题如弯形管道、排水管道问题强化应用意识，结合圆形纸片等教具发展几何直观，助力学生用数学思维思考、用数学语言表达，提升教师教学效率与学生知识应用能力。

24.4 弧长和扇形面积 第1课时 弧长和扇形面积 课题 弧长和扇形面积 课型 新授课 教学内容 教材第111-113页的内容（弧长和扇形面积） 教学目标 1．掌握弧长和扇形面积公式的推导过程，初步运用扇形面积公式进行一些有关计算． 2．通过弧长和扇形面积公式的推导过程，发展学生分析问题、解决问题的能力． 教学重难点 教学重点：弧长,扇形面积公式的导出及应用。 教学难点：对图形的分析和对公式的运用。 教具学具 多媒体课件、圆形纸片、直尺、圆规、量角器 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，复习引入 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”（图中虚线的长度），再下料，这就涉及到计算弧长的问题． 教师提出问题后，学生认真思考，说明解题的关键是求中心线“展直长度”，但如何求呢？从而引出今天的课题：弧长和扇形面积． 2.探究互动，获得新知 【思考1】我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分.想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角呢？ 设：圆的半径为，求的圆心角所对的弧长. 教师引导学生由圆周长入手，推导弧长公式． 教师提出问题后，学生认真思考，由中等学生回答：圆周长为，可看作是360°的圆心角所对的弧长；1°的圆心角所对的弧长为；圆心角为n°的弧长是圆心角为1°的弧长的n倍；∴的圆心角所对的弧长为. ∴弧长公式为： 注：不写度，和180表示的是倍、分关系. 教师关注学生对公式的理解程度. 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形，可以发现，扇形的面积除了与圆 的半径有关，还与组成扇形的圆心角的大小有关，在同圆或等圆中，圆心角越大，扇形面积也就越大. 【思考2】由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分，想一想，如何计 算圆的面积？圆面积可以看作多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？的圆心角呢？ 设：已知⊙O半径为，求的圆心角所对的扇形面积. 教师引导学生类比弧长公式的推导过程，推导出扇形面积公式： （1）圆面积S=πR2，可以看作是360°的圆心角所对的扇形面积；（2）圆心角为1°的扇形的面积=． （3）圆心角为n°的扇形的面积是圆心角为1°的扇形的面积n倍； ∴扇形面积公式为. 【师】比较扇形面积公式和弧长公式，看看它们之间有什么关系？经过观察，学生能够看出： ，其中，是扇形的弧长，为半径． 3. 学以致用，应用新知 【例1】制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”（图中虚线的长度），再下料，试计算图所示的管道的展直长度L.(结果取整数) 解：由弧长公式，得的长： . 因此所要求的展直长度 2×700+1 570=2 970（mm）. ∴所要求的展直长度约为2 970mm. 【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位） 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D， 交于点C，连接AC. ∵OD=OC-DC，OC=0.6,DC=0.3,∴OD=0.3. ∴OD=DC. 又AD⊥OC, ∴AD是线段OC的垂直平分线. ∴AC=AO=OC. 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°. 则有水部分的面积S=S扇形OAB-S△OAB= 4.随堂训练，巩固新知 （1）在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm. 答案：π （2）如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，则劣弧的长为________cm. 答案：2π （3）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________．(结果保留π) （4）如图，半径为1cm、圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为(　　) A．πcm2 B.πcm2 C.cm2 D.cm2 答案：C （5）如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等于2，则圆中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为 （结果保留π）. 答案：2π 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）弧长和扇形面积公式是什么？你是如何得到这两个公式的？如何运用？ （3）弧长与圆周长，扇形面积与圆面积之间有什么联系？ 6.布置作业 教材P136练习第1-3题. 由实际问题引出课题，可激发学生的学习兴趣. 教师根据学生已有的知识结构，强调弧、扇形的有关概念。 在教师的引导下，推出弧长公式，使学生明确公式的推导过程，知道公式的来龙去脉，更要学会学习新知识的方法。 类比的推出扇形面积公式，并由学生比较两个公式的联系，使学生在学习知识时，明确知识之间的联系，在解题时，根据题目条件，选择适当的公式。 数学知识来源于生活实际，又用来解决实际中的问题，强化数学的应用意识。 教师出示例题后，引导学生分析已知条件，教师要关注学生对题目中的有关概念是否清楚，如水面高指的是什么？ 教师关注学生对题目的理解，师生共同分析题目条件后，由学生独立写出解题过程，用实物投影展示学生的解题过程，再由学生对解题过程给予评价． 学生在学习新知识的同时要想到学过的知识，在这里就运用了垂径定理． 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝，要求出弧长关键弄清公式中各项字母的含义。 公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S＝lr，其中l是弧长，r是半径． 求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 弧长和扇形面积 提纲挈领，重点突出 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $