29.2.1 垂直于弦的直径-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(人教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦“垂直于弦的直径”核心内容，围绕垂径定理及推论展开。通过回顾轴对称图形或创设赵州桥情境导入，引导学生折叠圆形纸片探究圆的轴对称性，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料亮点在于采用“实验—观察—猜想—验证—归纳”探究模式，结合几何画板动态演示，培养学生几何直观与推理意识，如折叠验证圆的对称轴、证明垂径定理。赵州桥问题应用发展模型意识，提升学生探究能力，助力教师高效教学，落实核心素养。

24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径 课题 垂直于弦的直径 课型 新授课 教学内容 教材第123-125页的内容 教学目标 1.充分认识圆的轴对称性.利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理，并能运用进行简单的证明、计算和作图. 2.让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力.让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力. 教学重难点 教学重点：垂直于弦的直径的性质及其应用. 教学难点：（1）垂径定理的证明； （2）垂径定理的题设与结论的区分. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【回顾】 什么是轴对称图形？ 预设答案：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形. 【师生活动】教师提出问题，引导学生回顾轴对称图形的概念，然后教师可让学生举例说明，我们学过哪些轴对称图形呢？比如：线段、角、等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形……都是轴对称图形.此时，教师可追问：圆是轴对称图形吗？ 2.类比探究，学习新知 【合作探究】 问题1：在纸上任意画一个⊙O，以⊙O的一条直径为折痕，把⊙O折叠，你发现了什么？ 预设答案：①圆是轴对称图形，②任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 【师生活动】教师提出提问，并让学生拿出事先准备好的圆形纸片，动手操作，观察，学生充分交流后，教师汇总补充，最后PPT动态展示. 【追问】你能证明上面的结论吗？ 【师生活动】教师引导学生发现，要证明圆是轴对称图形，只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上即可.然后让学生先独立思考证明思路，再小组内交流探讨，形成统一的证明过程，教师选代表回答，并补充完善. 如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上. 证明：如图，过点A作AA'CD，交⊙O于点A'，垂足为M，连接OA，OA'. 在△OAA'中，∵OAOA'， ∴△OAA'是等腰三角形. 又∵AA'CD， ∴AM=MA'，即CD是AA'的垂直平分线. 教师可在圆上任取若干个点进行说明，进一步验证前面得到的结论. 【归纳】圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 【探究】 问题2：如图，在折叠⊙O后，用针在半圆上刺一个小孔，得两个重合的点A，B，把折叠的圆摊平，那么折痕CD是直径，点A，B是关于直线CD的一对对应点，连接AB，得弦AB，这时直径CD与弦AB有怎样的位置关系？ 猜想：CDAB. 【师生活动】教师引导学生提出猜想，然后让学生仿照前面证明的思路尝试去验证自己的猜想.事实上，只要连接OA，OB.容易得出△AOB是等腰三角形 ，再结合AEEB，由等腰三角形三线合一即可得到： CDAB. 问题3：直径CD把劣弧分成与两部分，把优弧分成与两部分，这时与、与各有怎样的关系？ 预设答案：；. 【师生活动】再次动态展示折纸的过程，让学生观察，并在此基础上得出结论.然后总结问题2、3的发现，让学生用语言描述所得到的结论，小组内交流，教师汇总并补充完善. 【归纳】垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 【师生活动】教师带领学生分析垂径定理的题设，结论.并试着结合图形把文字语言转化为数学语言. 【想一想】 下列图形是否具备垂径定理的条件？ 预设答案：（1）（3）满足；（2）（4）不满足. 【师生活动】教师提出问题，学生抢答.对于不具备垂径定理条件的图形，引导学生说出原因，并引导学生总结：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.其中，直径并不是必要条件，只要满足过圆心即可.并追问：怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？ 预设答案： 【探究】 问题4：当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时，能否得出CDAB? 【师生活动】教师提出问题，引导学生仿照前面的证明方法证明.并用文字语言描述所得结论，得出垂径定理的推论： 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【追问】为什么强调“不是直径”呢？ 预设答案：圆的任意两条直径都互相平分，但它们不一定互相垂直. 【想一想】 判断下列说法是否正确： 1.垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.平分弦的直径垂直于弦. 3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径. 预设答案：1.；2. ；3. . 教师提出问题，随机选人回答. 【延伸】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【师生活动】教师带领学生归纳出垂径定理及推论中，蕴含的五个条件：①过圆心，②垂直于弦，③平分弦, ④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧.并引导学生发现，垂径定理是①②→③④⑤；垂径定理的推论是①③→②④⑤.并追问：还有别的结论吗？ 预设答案： 3.学以致用，应用新知 【例1】如图，⊙O的半径为5 cm，弦AB为6 cm，求圆心O到弦AB的距离. 解：如图，连接OA，过圆心O做OEAB，垂足为E. AEEBAB63 (cm). 又OA5 cm，∴在Rt△OEA中，有 OE4 (cm). ∴圆心O到弦AB的距离是4 cm. 【例2】赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1 400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交弧AB于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23. 由垂径定理，得 AD =AB = 18.5 ， 设⊙O 的半径为 R m. 在 Rt△AOD 中，AO = R， OD = R - 7.23，AD = 18.5. 由勾股定理，得AO2=OD2+AD2 即 R2 = (R - 7.23)2 + 18.52， 解得 R ≈27.3，因此，赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m. 4.随堂训练，巩固新知 （1）在⊙O中，若CDAB于点M，AB为直径，则下列结论不正确的是( ) A. B. C. AMOM D. CMDM 答案：C （2）在半径为4 cm的⊙O中，有长为4 cm的弦AB.计算： ①点O与AB的距离； ②AOB的度数. 解：①如图，过点O作AB的垂线，垂足为C，连接OA. 由垂径定理，得在Rt△AOC中，AO4. 由勾股定理，得AO2OC2AC2， ∴42OC222， 解得OC. ②如图，连接OB，OAOBAB4 cm. 易得△AOB是等边三角形. ∴AOB60°. （3）已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点. 求证：ACBD. 证明：如图，过O作OEAB，垂足为E， 则AEBE，CEDE. AECEBEDE. ∴ACBD. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）垂径定理的推论是什么？推论和定理的区别在哪里？ （3）结合图形说一说，什么是弦、直径、弧、弦心距？ 6.布置作业 教材P125练习第1-3题. 回顾轴对称图形，并提出新问题，为本节课的学习作铺垫. 让学生通过动手实践来感受圆的轴对称性.通过回忆轴对称图形的性质，引导学生来证明圆是轴对称图. 通过证明引导学生思考，使学生充分经历操作、观察、猜想、验证等合情推理的过程，初步培养学生分析问题、解决问题的能力. 再次观察折叠圆的过程，让学生在理解圆的对称性的基础上进一步发现相等的线段、弧，尝试总结出垂径定理. 巩固垂径定理的内容，并锻炼学生把文字语言转化为数学语言的能力. 进一步加深对垂径定理的理解，巩固所学知识，并提升对知识的运用. 引导学生思考、证明和总结，得出垂径定理的推论.培养学生的逻辑思维能力及运用所学知识解决问题的能力. 巩固所学知识，加深对知识的理解. 在已有知识的基础上适当延伸拓展，使学生能够理解这5个条件可以知二推三，锻炼学生的思维能力及灵活运用所学知识的能力. 通过例题讲解，巩固本节课所学知识. 培养学生解决问题的能力，发展应用意识，锻炼实践能力. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 进一步巩固本节课的内容. 了解学习效果，让学生经历运用知识解决问题的过程，给学生获得成功体验的空间. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 垂直于弦的直径 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引出课题 【情景引入】教师多媒体展示赵州桥 情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 把一些实际问题转化为数学问题。 思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点？ 【复习回顾】 我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题 （1）什么是轴对称图形？ （2）我们学习过的轴对称图形有哪些？ （电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画） 2.引入新课，探索新知 问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？ （2）如果是，它的对称轴是什么？ 拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？： （1）圆是轴对称图形。 （2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线） （3）圆的对称轴有无穷多条。 3.呈现问题，积极探索 【揭示课题】 电脑上用几何画板上作图： （1）做一圆； （2） 在圆上任意作一条弦 AB； （3） 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。 　　 （板书课题：垂直于弦的直径） 【师生互动】 运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论 （1）图中圆可能会有哪些等量关系？ （2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？ 【拓展提升】 如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？ （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论 进一步，还可以得到推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 4.学以致用，应用新知 考点1 垂径定理的理解 【例1】如图所示，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是(　　) A．2cm B．3cm C．4cm 　 D．4cm 解析：∵直径AB⊥DC，CD＝6，∴DP＝3.连接OD，∵P是OB的中点，设OP为x，则OD为2x，在Rt△DOP中，根据勾股定理列方程32＋x2＝(2x)2，解得x＝.∴OD＝2，∴AB＝4. 答案：D 考点2 垂径定理的实际应用 【例2】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB＝300m，CD＝50m，则这段弯路的半径是________m. 解析：本题考查垂径定理，∵OC⊥AB，AB＝300m，∴AD＝150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2＝(R－50)2＋1502，解得R＝250.故答案为250. 答案：250 考点3 垂径定理的推论 【例3】如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长． 分析：运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题． 解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，∴EF＝AB＝×10＝5cm. 4.随堂训练，巩固新知 1．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不成立是（　　） A.弧AC＝弧AD B．弧BC＝弧BD C．OE＝BE D．CE＝DE 2.点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为 （ ） A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 3.如图，⊙O的半径为5，弦AB长为8，P为弦AB上动点，则线段OP长的取值范围是（　　） A．3＜OP＜5 B．3≤OP≤5 C．4＜OP＜5 D．4≤OP≤5 4.已知半径为10的⊙O中，AB，CD是⊙O的两条平行线．若AB＝8，CD＝10，则AB，CD之间的距离为 　 　． 答案： 1.C 2.B 3.B 4.．2+5或2﹣5 5.课堂小结，自我完善 这节课主要学习了两个问题： 一是圆的轴对称性（学生回答），它是理解和证明定理的关键；二是垂径定理（学生回答），它是这节课的重点要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，还推知它的逆定理。 6.布置作业 课本P83练习第1-2题，P89-90习题24.1第8-12题。 本节结合研究圆的轴对称性，得到垂径定理及有关结论。 从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。 通过复习，强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。 培养学生的动手能力，观察能力，通过比较，运用旧知识探索新问题。 在圆形纸片上作一条弦AB，过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。 引导学生通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质。 通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标。 我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题。 将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答． 垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手． 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 垂直于弦的直径 结合圆的轴对称性得到垂径定理及推论，利用这些结论解决一些有关证明、计算和作图的问题。 教后反思 教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用垂径定理的探索和证明是选学内容，但垂径定理的应用是重点也是难点。 学科网（北京）股份有限公司 $