29.1.1 圆的有关概念-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(人教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦“圆的有关概念”核心知识，涵盖圆的动态与集合定义、点与圆位置关系及弦、弧等概念。课堂导入结合生活中圆的实物与毕达哥拉斯名言，衔接小学圆的知识，通过动手画圆搭建概念形成的学习支架。 特色在于融合动手操作与探究活动，如画不同半径的圆引导归纳圆的定义，通过矩形顶点共圆证明培养推理意识。渗透数学文化与应用意识，帮助学生发展几何直观，为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率。

第二十九章 圆 单 元 备 课 第二十九章 本章所需课时数 10课时 课标要求 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念;探索并掌握点与圆的位置关系。 2.探索并证明垂径定理，垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径;圆内接四边形的对角互补。 4.了解三角形的外心。 6.能用尺规作图:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆;作圆的内接正方形和内接正六边形。 7.会计算圆的弧长、扇形的面积. 教材分析 本章在学习了直线图形有关性质的基础上，研究一种特殊的曲线图形——圆的有关性质。圆是平面几何中基本的图形之一，在几何中有重要地位，而且是进一步学习数学以及其他科学重要的基础。 本章是小学学过圆的基础上，系统研究圆的概念和性质，圆中有关的角，点与圆的位置关系。 主要内容 本章的主要内容是圆的概念和性质。主要包括三节：第29.1节“圆的有关性质”主要内容是圆的概念和有关性质，第29.2节“圆的有关性质”学习垂径定理、圆周角、圆心角等概念及相关计算，第29.3节“弧长和扇形面积”学习弧长公式和扇形面积公式。 教学目标 1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念;探索并掌握点与圆的位置关系。 2.探索并证明垂径定理，垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等。了解并证明圆周角定理及其推论:圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径;圆内接四边形的对角互补。 4.了解三角形的外心，会利用基本作图作三角形的外接圆。 5.会计算圆的弧长、扇形的面积。 6.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展推理能力；进一步综合运用所学知识，分析问题、解决问题的能力。 课时分配 29.1 圆的有关概念 2课时 29.2 圆的有关性质 4课时 29.3 弧长和扇形面积 2课时 教学活动 1课时 小结 1课时 教与学建议 1.进一步培养推理论证能力. 2.加强研究方法的引导，通过类比学习相关内容. 3.注意把握好知识内容和演绎论证的要求. 4.关于反证法，要把握好对反证法的要求，不要求学生做过多过难的关于反证法的习题. 5.重视信息技术的应用，在动态变化中发现图形的性质. 29.1 圆的有关性质 29.1.1 圆的有关概念 课题 圆的有关概念 课型 新授课 教学内容 教材第79-81页的内容 教学目标 1.经历圆的概念的形成过程和发现有关结论的过程，发展学生数学思考的能力. 2.理解圆、弧、弦等与圆有关的概念以及等圆等弧等概念. 3.掌握点与圆的三种位置关系，使学生会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系. 4.通过证明矩形和直角三角形的顶点共圆，获得用圆的定义证明共圆的基本方法. 5.利用圆的概念解决简单问题，形成几何直观，增强应用意识.体会圆在生产生活中的广泛应用，感受数学的价值，体会图形的匀称美，培养审美意识.通过数学文化，培养学生的历史感.渗透类比学习的数学思想. 教学重难点 教学重点：经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念；掌握点与圆的三种位置关系；能用定义证明几点共圆. 教学难点：理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义。用集合的观点定义圆，学生不容易理解为什么必须满足两个条件. 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引出课题 教师多媒体展示我们生活中常见的具有圆形象的物体. 1.古希腊数学家毕达哥拉斯曾说过：“一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆.” 2.感知圆的世界：圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象。 2.动手操作，形成概念 画圆：（1）画一个半径为2cm的圆． （2）在操场上画一个半径为3m的圆,你有什么办法? 【师生活动】学生思考回答.教师总结并播放视频。 · O P 观察归纳圆的形成过程，得出圆的动态旋转定义： 在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆． 固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 【师生活动】学生观察归纳回答圆的形成过程，教师给出圆的定义并板书。 【师生活动】从画圆的过程中，你能说出圆上点有什么特性吗？ 教师引导学生回答（1）圆上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长(半径r). （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. O r 【师生活动】教师归纳给出第二个定义，稍作对比总结，学生理解即可。 归纳出圆的另一定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合． 对比圆的两种定义：1、动态：旋转；2、静态：集合. 【探究】观察画圆的过程，还可以发现平面被圆分成三部分，相应地，平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内（如图）. 类似于用点到圆心的距离刻画点在圆上，可以用点到圆心的距离刻画点在圆外、点在圆内，设O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP=d，则有 【师生活动】教师提出问题，并展示相关图片，引导学生思考.并适时提出问题追问. 【追问1】圆中还有哪些元素呢？ 连接 圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径，直径长是半径长的2倍.如图，AB，AC是弦，AB是直径. 【教师活动】教师适当引导学生思考直径与弦的关系，让学生理解，①直径一定是弦，但是弦不一定是直径，②直径是最长的弦. 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧．以 A，B 为端点的弧记作AB，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆． 【追问2】下面两段弧都是以A、B为端点，如何区分呢？ 大于半圆的弧（用三个点表示，如图中的弧ABC）叫作优弧.小于半圆的弧（如图中的 弧AC ）叫作劣弧． 【教师活动】教师适当提醒，引导学生思考，师生共同得出结论：每一个弧都对应唯一的弦，在同圆中每一条弦都对应两个弧.然后教师可让学生观看“弓”的实物图片，由此引出弓形的概念，由前面得出的结论“在同圆中每一条弦都对应两个弧”可得，同一个圆中弦AB与其所对的弧组成的弓形有两个，如下图. 由弦及其所对的弧组成的图形叫作弓形. 【追问3】下列每组中的两个圆能重合吗？ 预设答案：（1）不重合；（2）重合. 能够重合的两个圆叫作等圆. 容易看出：等圆是两个半径相等的圆. 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧. 3.学以致用，应用新知 【例】矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一圆上. 证明：∵四边形ABCD 是矩形，对角线AC，BD相交于点O ， ∴OA=OC= AC，OB=OD = BD,AC=BD. ∴OA =OC =OB =OD. ∴A，B，C，D 四个点在以点O为圆心、OA为半径的圆上. 4.随堂训练，巩固新知 （1）有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误的说法个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C （2）如图所示，OA、OB是⊙O的半径，点C、D分别为OA、OB的中点，求证：AD＝BC. 证明：∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∵点C、D分别为OA、OB的中点，∴OC＝OA，OD＝OB，∴OC＝OD.又∵∠O＝∠O，∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴BC＝AD. （3）如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=90°，∠D=90°，点O是AB的中点. 求证：A，B，C，D四点在同一圆上. 证明：如图，连接OC，OD. ∵在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C=90°，∠D=90°，O是AB的中点，∴OC=AB， OD=AB ∵O是AB中点，∴OA=OB=AB，∴ OA=OB=OC=OD， ∴A，B，C，D四点在同一圆上. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答以下问题： 1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.圆的定义是什么？ 3.你知道了哪些与圆相关的概念？ 6.布置作业 教材P116练习第1-4题. 用生活中的物体展示圆，激发学生兴趣，让学生直观感受生活中物体的美，体会数学源于生活。 激发学生探究欲望，调节课堂积极向上的氛围。 培养学生观察、归纳总结的能力。 使学生能够尽量轻松地理解圆的集合定义。渗透类比学习的数学思想。 让学生通过观察图形或量一量的方式得到线段之间的数量关系，培养学生的观察能力. 引导学生总结归纳出“点和圆的位置关系”以及“点到圆心的距离的数量关系”互相呼应，培养学生归纳总结问题的能力. 对称轴是直线，不能说成每条直径就是圆的对称轴；注意圆的对称轴有无数条． “同圆的半径相等”、“公共角”、“直径是半径的2倍”等都是圆中隐含的条件．在解决问题时，要充分利用图形的直观性挖掘出这些隐含的条件，从而使问题迎刃而解。 让学生讲解展示解题过程，教师辅助解释，其他同学倾听，学习。 通过追问，考查学生对知识的掌握情况，培养学生用所学知识解决问题的能力. 通过问题串的形式引发学生思考，利用多媒体课件演示相关图形及概念，直观形象，便于学生理解. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果. 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用. 板书设计 圆的有关概念 提纲挈领，重点突出. 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $