专题2.2 平方根与立方根（高效培优讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦初中数学“平方根与立方根”核心知识点，以算术平方根定义及双重非负性为基础，逐步延伸至平方根的符号区分、数字规律，再到立方根的特征及运算，构建从概念辨析到逆运算应用的递进式学习支架。 资料通过“即学即练+变式训练”强化运算能力，设置规律探索题型培养推理意识，针对易混淆点（如算术平方根符号）设计对比辨析。课中助力教师突破重难点，课后学生可通过分层练习查漏补缺，提升数学思维的严谨性。

专题2.2 平方根与立方根 教学目标 1.熟记算术平方根、平方根、立方根的教材定义，分清三者书写符号与读法要求。 2.掌握算术平方根双重非负性，能判断根式有无意义，求解字母取值范围。 3.区分平方根与立方根的个数、符号规律，熟练完成开平方、开立方基础计算。 4.辨析三类根式易混淆概念，规避符号、取值、化简类错题，规范答题步骤。 教学重难点 重点： 算术平方根定义与双重非负性，会书写根号符号，正确判断被开方数取值范围。 平方根、立方根定义与符号写法，掌握正数、0、负数对应的根的数量与符号。 分清平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，能简单估算根式数值大小。 难点： 混淆含义，常误将算术平方根结果带上正负两种数值。 区分平方根与立方根取值规则，易错认为负数不存在立方根、正数只有一个平方根。 运用双重非负性解题，多个非负根式相加为 0 时，不会列式求解字母参数。 知识点01算术平方根 1.定义 如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根；规定0的算术平方根是0。的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数。 2.双重非负性 当有意义时，被开方数，算术平方根结果，两个条件必须同时成立。 3.与的区别与联系 （1）区别： ①取值范围：中可取全体实数；要求； ②被开方数：的被开方数是；的被开方数是； ③运算顺序：为先平方、再开算术平方根；为先开算术平方根、再平方。 （2）联系： ①两种式子的计算结果都为非负数；②当时，。 【即学即练】 1．25的算术平方根是__________． 【答案】5 【详解】解：的算术平方根是. 2．若，则________． 【答案】 【详解】解：∵，，且 ∴， ∴，， 解得，， ∴． 知识点02平方根 1.定义 如果，那么叫做的平方根。求一个数的平方根的运算叫作开平方，平方与开平方互为逆运算。 2.符号区分 非负数的平方根写作，其中仅代表的算术平方根，是平方根中正的那一个。 3.平方根数字规律 正数有两个互为相反数的平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根。 【即学即练】 3．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 4．已知的平方根是，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， 移项得， 解得． 5．64的平方根的立方根（     ） A．2 B． C． D．都不对 【答案】C 【详解】解：∵， ∴64的平方根为， ∵，， ∴的立方根为． 知识点03立方根 1.定义 如果一个数的立方等于，这个数叫作的立方根（三次方根）；若，则是的立方根。求立方根的运算叫开立方，立方与开立方互为逆运算。 2.表示形式 立方根记作，为被开方数，数字3是根指数，根指数不能省略。 3.立方根特征 正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根是0。任意实数都有唯一立方根，立方根符号与原数符号一致；互为相反数的两数，立方根也互为相反数。 【即学即练】 6．若的立方根是，则的平方根是________． 【答案】 【详解】解：∵的立方根是， ∴， 解得：， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 题型01 求一个数的算术平方根 【例1】的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的算术平方根为． 【例2】的平方根是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的平方根是． 【变式1-1】_________． 【答案】2 【详解】解：． 【变式1-2】已知是无理数，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．当时，无意义，故本选项不符合题意． B．当时，，是有理数，故本选项不符合题意． C．当时，，是有理数，故本选项不符合题意， D．当时，是无限不循环小数，属于无理数，故本选项符合题意． 【变式1-3】有一个数值转换器，原理如图，当输入的时，输出的y等于________． 【答案】 【详解】解：当时，则，16是有理数， 当时，则，4是有理数， 当时，则，2是有理数， 当时，得，是无理数，输出， 即． （1）求整数算术平方根，先思考哪一个正数的平方等于这个数，这个正数就是它的算术平方根，结果只写正数，不能带正负号。 （2）求分数的算术平方根，分子分母分别求算术平方根再相除，保证分子分母均为非负数，化简至最简分数形式。 （3）求带小数的算术平方根，先把小数转化为分数，再分开计算分子分母算术平方根；完全平方小数可直接口算得出结果。 题型02 求一个数的平方根 【例3】的算术平方根是______，的平方根是______． 【答案】 【详解】解：∵ ，算术平方根为非负数， ∴ 的算术平方根是； ∵， 的平方根是， 即的平方根是． 【例4】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 【变式2-1】如果，是2026的两个平方根，那么__________． 【答案】 【详解】解：，是的两个平方根， ，， ． 【变式2-2】已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 【变式2-3】已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 【答案】 【分析】 【详解】解：正实数x 的平方根分别是n和． ， 若 则， 解得， ， ， 则的平方根为． 故答案为：． 正数的平方根有两个，二者互为相反数，书写结果要写成的完整形式，不可只写正数。 0的平方根只有0这一个结果；负数不存在平方根，遇到负数求平方根直接判定式子无意义。 题型03 已知一个数的平方根求这个数 【例5】已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 【例6】如果和是一个正数的平方根，则这个正数是________． 【答案】或 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：两个平方根互为相反数， ∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴，整理得， 解得，将代入得， ∴这个正数为； 情况2：两个平方根相等，若两个平方根是同一个，则，整理得， 解得，将代入得， ∴这个正数为， 综上，这个正数是或． 【变式3-1】已知的平方根是，则的值为______． 【答案】16 【详解】解：的平方根是 根据平方根的定义可得 ∴． 【变式3-2】在数轴上，点和点表示的数是一个正数的两个平方根，已知表示，表示，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：正数的两个平方根分别对应数轴上点和点表示的数和， ， 解得：． 【变式3-3】有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵较小的自然数的平方根是， ∴较小的自然数为， ∵两个数是连续的自然数， ∴较大的自然数为， ∴较大的自然数的算术平方根是． 题型04 利用平方根解方程 【例7】实数满足，则的值为_____． 【答案】 或 【详解】解：， 移项得 对等式两边同时开平方，得 即或． 【例8】求满足条件的x的值： 【答案】或 【详解】解： 或 解得或． 【变式4-1】已知，则x的值为______________． 【答案】 【详解】解： 解得． 【变式4-2】已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a和正数m的值； (2)求关于x的方程的解． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ； （2）解：当时，， ， ， ∴或． 【变式4-3】已知，则的值为（     ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【详解】解：设， ，， 代入原方程得：， 展开得：， 合并同类项得：， 整理得 ， 开平方得 ， 即． 题型05 利用算术平方根的非负性解题 【例9】已知，则________． 【答案】 【详解】解：， ， ． 【例10】关于代数式的说法正确的是（     ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值3 D．有最小值3 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 当时，代数式取得最小值3． 【变式5-1】如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（     ） A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个 【答案】A 【详解】解：要使为实数，需， ∴ ∵， ∴， 解得， 即满足条件的x只有1个． 【变式5-2】代数式的最大值为 __． 【答案】2 【详解】解：， 当时，代数式有最大值，最大值为2． 【变式5-3】已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】解：由题意得，， 解得， 则原式可化为， 整理得＝0， 则， 解得， ． 算术平方根具备双重非负性，被开方数，根式运算结果，两个条件同时成立。 若多个算术平方根相加等于0，每一个根号内的代数式都等于0，联立方程组求解字母。 题型06 与算术平方根有关的规律探索题 【例11】按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， ……， ∴以此类推，第个代数式是． 【例12】根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 【答案】D 【详解】解：∵，，∴，A错误； ∵，∴，B错误； ∵，，∴满足的正整数为共4个，C错误； 观察表格中数据，，，， 可知每增加，的增量依次增加， ∵， ∴，D正确． 【变式6-1】若，，，则______（用、、来表示）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【变式6-2】观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 【变式6-3】如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 【答案】 【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根， 且第1行的第1个数是1的算术平方根，而， 第2行的第1个数是3的算术平方根，而， 第3行的第1个数是7的算术平方根，而， 第4行的第1个数是13的算术平方根，而， …… 第8行的第1个数是的算术平方根，即， 第6个数是的算术平方根，即． 观察给出的一组等式，对比被开方数、算术平方根的数字变化，分别梳理整数、小数变化规律。 用含的代数式总结通用规律，代入前几组式子验证规律是否成立，再套用规律计算。 逆向题型给出根式结果，借助平方与开平方互逆关系，反向推导对应的被开方数。 题型07 求一个数的立方根 【例13】的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴的立方根是． 【例14】小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 【答案】 【详解】解：输入， 则， 然后， 4的倒数为， 然后得到， ∴输出的数为． 【变式7-1】的立方根是（     ） A． B．4 C． D．16 【答案】B 【详解】∵， 又， 的立方根是， 即的立方根是． 【变式7-2】已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 【答案】 1 【详解】解：，且，， ，， 解得，， ，，， ， 的整数部分， 将，，代入得：， 的立方根是． 【变式7-3】已知一个正数m的两个不同的平方根分别为和，求的立方根． 【答案】 【详解】解：正数m的两个不同的平方根分别为和， ， 解得， ， ， ． 故的立方根是． 题型08 已知一个数的立方根求这个数 【例15】已知的算术平方根是，的立方根是，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的算术平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：， ， 的平方根是． 【例16】已知正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为．分别求出，，的值． 【答案】，， 【详解】解：正数的两个不相等的平方根分别是和， ， 解得， ， ． 的立方根为， ， 解得． 故，，． 【变式8-1】已知正数有一个平方根是，的立方根是，求的值． 【答案】 【详解】解：∵正数有一个平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴． 【变式8-2】已知3既是的算术平方根，又是的立方根，求的算术平方根． 【答案】 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， 解得， ∵是的立方根， ∴， 把代入得， 解得， ∴， ∴的算术平方根为． 【变式8-3】求下列等式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵ ∴ 解得，； （2）解：∵， ∴， 解得． 题型09 与立方根有关的规律探索 【例17】若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， 又∵ ，， ∴ ． 【例18】已知，则的值为________． 【答案】34.56 【详解】解：， ． 【变式9-1】若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【详解】， ， 又 ， ． 【变式9-2】已知，，则____________． 【答案】 【详解】． 【变式9-3】著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 【答案】(1)两 (2) (3)；； 【详解】（1）解：判断的位数：因为，，且，所以是两位数； （2）解：确定的个位数字：因为的个位数字是，且只有的个位数字为，所以的个位数字是； （3）解：确定的十位数字：划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去的后三位，得到， 因为，，且， 所以的十位数字是， 故； 求： 因为，，且 ， 所以是两位数； 因为 的个位数字是，且只有的个位数字为， 所以的个位数字是； 划去 的后三位，得到， 因为，，且 ， 所以的十位数字是，故 ． 对比多组立方根算式，观察被开方数扩大或缩小倍数与立方根变化倍数的对应关系。 总结规律：被开方数小数点每移动三位，立方根小数点同向移动一位，可快速口算。 用字母写出通用规律表达式，代入多组已知数字验证，再运用规律直接写出未知结果。 题型10 算术平方根和立方根的综合应用 【例19】按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 【例20】已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】 【详解】（1）解：一个非负数的平方根是与， ， 解得， 非负数的一个平方根是， ， 的算术平方根是，， ， 解得； （2）解：，，， ， 的立方根为． 【变式10-1】已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【答案】(1)，或；； (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴． ∵的平方根是，的立方根是， ∴当取时，；当取时，． ∴或． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∵， ∴； 综上，； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 故只有一个值为． 【变式10-2】已知是的立方根，是的算术平方根，求的值． 【答案】 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴，， ∴． 【变式10-3】实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 【答案】 【详解】解：由数轴可知：，且， ，， ． 一、单选题 1．的平方根是（     ） A． B． C． D．不存在 【答案】D 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数， ∴不存在平方后等于的实数，即没有平方根． 2．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：，，，故A，B，C选项中的两数均相等，不是相反数； D选项中，，两数互为相反数. 3．关于的叙述，错误的是（     ） A．是有理数 B．面积为12的正方形边长是 C．是12的算术平方根 D．在数轴上可以找到表示的点 【答案】A 【详解】解：， ∵是无理数， ∴是无理数，即是无理数，不是有理数，故A选项叙述错误． 4．估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【答案】D 【详解】解：∵，，， ∴． 5．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：根据题意：有理数不输出，有理数不输出，为无理数，输出， 所以输出的是． 6．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， ． 二、填空题 7．若，则的值为________． 【答案】0 【详解】解：∵，且，， ∴，， 解得，， 故． 8．4的平方根是________，的立方根是________，的算术平方根是________； 【答案】 【详解】解：∵ ， ∴ 4的平方根是； ∵ ， ∴ 的立方根是； ∵ ，且，算术平方根为非负的平方根， ∴ 的算术平方根是． 9．已知，，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 三、解答题 10．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)12 (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 11．求的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【详解】（1）解：， 整理得， 解得或； （2）解：， 整理得， 解得； （3）解：， 整理得， 开方得， ∴或， 解得或． 12．已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：由题意得， ， 的立方根是2， ， ； （2）解：当，时， ∴， 的平方根是． 1．如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． 2．根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（     ） ① ②的算术平方根比大 ③只有个正整数满足 ④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是 A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：， ，即，故①错误； ，， ，故②错误； ， ，即， 正整数有，，，，共个，故③正确； 由表格得，故边长为的正方形面积是，④正确； 3．将图1中的5个边长为1的小正方形剪拼成图2中的大正方形，将正方形的顶点与数轴的原点重合，以为圆心，和的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：大正方形是由个边长为的小正方形剪拼而成， 大正方形的面积为， 大正方形的边长， 由图可知，为小正方形的边长， ， 以为圆心，和的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点，，， ． 4．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则 （1）________， （2）与表示的两个数的积是________． 【答案】 【分析】 【详解】解：（1）由题意得，第n排有n个数，且按照1、、的顺序，每3个数为一个循环排列， ， ， ∴； （2）， ， ， ∴，， ∴与表示的两个数的积是． 5．若，且是两个连续的整数，则的值为______________． 【答案】7 【详解】解：，，且， ，即， 又，且，是两个连续的整数， ，， ． 6．阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2)取无理数（答案不唯一），理由如下： ，，， ， ，的小数部分为， 的整数部分为，的小数部分为， 二者小数部分相等，符合要求． (3) 【分析】 【详解】（1）解：，，， ， ， 的整数部分为， 的小数部分为； （2）略 （3）解：， ，， 的整数部分为，的整数部分为， ，， ， 的平方根为． 7．探索题 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写的结果为_________； (2)利用上面所提供的解法，请化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：； （2）解： ． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 平方根与立方根 教学目标 1.熟记算术平方根、平方根、立方根的教材定义，分清三者书写符号与读法要求。 2.掌握算术平方根双重非负性，能判断根式有无意义，求解字母取值范围。 3.区分平方根与立方根的个数、符号规律，熟练完成开平方、开立方基础计算。 4.辨析三类根式易混淆概念，规避符号、取值、化简类错题，规范答题步骤。 教学重难点 重点： 算术平方根定义与双重非负性，会书写根号符号，正确判断被开方数取值范围。 平方根、立方根定义与符号写法，掌握正数、0、负数对应的根的数量与符号。 分清平方与开平方、立方与开立方互为逆运算，能简单估算根式数值大小。 难点： 混淆含义，常误将算术平方根结果带上正负两种数值。 区分平方根与立方根取值规则，易错认为负数不存在立方根、正数只有一个平方根。 运用双重非负性解题，多个非负根式相加为 0 时，不会列式求解字母参数。 知识点01算术平方根 1.定义 如果一个的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根；规定0的算术平方根是。的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数。 2.双重非负性 当有意义时，被开方数，算术平方根结果，两个条件必须同时成立。 3.与的区别与联系 （1）区别： ①取值范围：中可取；要求； ②被开方数：的被开方数是；的被开方数是； ③运算顺序：为先、再；为先、再。 （2）联系： ①两种式子的计算结果都为；②当时，。 【即学即练】 1．25的算术平方根是__________． 2．若，则________． 知识点02平方根 1.定义 如果，那么叫做的平方根。求一个数的平方根的运算叫作开平方，平方与开平方互为逆运算。 2.符号区分 的平方根写作，其中仅代表的算术平方根，是平方根中正的那一个。 3.平方根数字规律 正数有互为的平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数平方根。 【即学即练】 3．的平方根是（     ） A． B． C． D． 4．已知的平方根是，则的值为_____． 5．64的平方根的立方根（     ） A．2 B． C． D．都不对 知识点03立方根 1.定义 如果一个数的等于，这个数叫作的立方根（三次方根）；若，则是的立方根。求立方根的运算叫开立方，立方与开立方互为逆运算。 2.表示形式 立方根记作，为被开方数，数字3是根指数，根指数不能省略。 3.立方根特征 正数的立方根为，负数的立方根为，0的立方根是。任意实数都有立方根，立方根符号与原数符号；互为相反数的两数，立方根也互为。 【即学即练】 6．若的立方根是，则的平方根是________． 题型01 求一个数的算术平方根 【例1】的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 【例2】的平方根是（     ） A．3 B． C． D． 【变式1-1】_________． 【变式1-2】已知是无理数，则的值可能是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】有一个数值转换器，原理如图，当输入的时，输出的y等于________． （1）求整数算术平方根，先思考哪一个正数的平方等于这个数，这个正数就是它的算术平方根，结果只写正数，不能带正负号。 （2）求分数的算术平方根，分子分母分别求算术平方根再相除，保证分子分母均为非负数，化简至最简分数形式。 （3）求带小数的算术平方根，先把小数转化为分数，再分开计算分子分母算术平方根；完全平方小数可直接口算得出结果。 题型02 求一个数的平方根 【例3】的算术平方根是______，的平方根是______． 【例4】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如果，是2026的两个平方根，那么__________． 【变式2-2】已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【变式2-3】已知正实数x 的平方根分别是n和．若 则的平方根为__________． 正数的平方根有两个，二者互为相反数，书写结果要写成的完整形式，不可只写正数。 0的平方根只有0这一个结果；负数不存在平方根，遇到负数求平方根直接判定式子无意义。 题型03 已知一个数的平方根求这个数 【例5】已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【例6】如果和是一个正数的平方根，则这个正数是________． 【变式3-1】已知的平方根是，则的值为______． 【变式3-2】在数轴上，点和点表示的数是一个正数的两个平方根，已知表示，表示，则的值为_________． 【变式3-3】有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 题型04 利用平方根解方程 【例7】实数满足，则的值为_____． 【例8】求满足条件的x的值： 【变式4-1】已知，则x的值为______________． 【变式4-2】已知一个正数m的两个不相等的平方根是与． (1)求a和正数m的值； (2)求关于x的方程的解． 【变式4-3】已知，则的值为（     ） A．6 B． C．7 D． 题型05 利用算术平方根的非负性解题 【例9】已知，则________． 【例10】关于代数式的说法正确的是（     ） A．有最大值2 B．有最小值2 C．有最大值3 D．有最小值3 【变式5-1】如果x是一个实数，那么能使也是一个实数的x（     ） A．只有1个 B．只有2个 C．不存在 D．有无数个 【变式5-2】代数式的最大值为 __． 【变式5-3】已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 算术平方根具备双重非负性，被开方数，根式运算结果，两个条件同时成立。 若多个算术平方根相加等于0，每一个根号内的代数式都等于0，联立方程组求解字母。 题型06 与算术平方根有关的规律探索题 【例11】按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（     ） A． B． C． D． 【例12】根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 【变式6-1】若，，，则______（用、、来表示）． 【变式6-2】观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【变式6-3】如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵的规律，第8行第6个数是_________． 观察给出的一组等式，对比被开方数、算术平方根的数字变化，分别梳理整数、小数变化规律。 用含的代数式总结通用规律，代入前几组式子验证规律是否成立，再套用规律计算。 逆向题型给出根式结果，借助平方与开平方互逆关系，反向推导对应的被开方数。 题型07 求一个数的立方根 【例13】的立方根是（     ） A． B． C． D． 【例14】小明编写了一个程序，如图．若输入，则输出的数为___________． 【变式7-1】的立方根是（     ） A． B．4 C． D．16 【变式7-2】已知实数，满足，是的整数部分．则的值是___________，的立方根是___________． 【变式7-3】已知一个正数m的两个不同的平方根分别为和，求的立方根． 题型08 已知一个数的立方根求这个数 【例15】已知的算术平方根是，的立方根是，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 【例16】已知正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为．分别求出，，的值． 【变式8-1】已知正数有一个平方根是，的立方根是，求的值． 【变式8-2】已知3既是的算术平方根，又是的立方根，求的算术平方根． 【变式8-3】求下列等式中的值： (1)； (2)． 题型09 与立方根有关的规律探索 【例17】若，，则（     ） A．13.33 B．28.72 C．133.3 D．287.2 【例18】已知，则的值为________． 【变式9-1】若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【变式9-2】已知，，则____________． 【变式9-3】著名数学家华罗庚一次在飞机上看到其助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？按照下面的方法试一试： (1)由，，请问是几位数？答：_______位数； (2)由59319的个位上的数是9，即的个位上的数是_______； (3)如果划去59319后面的三位319得到数59，而，，那的十位上的数是_______．已知5832，421875都是整数的立方，按照上述方法，_______；_______． 对比多组立方根算式，观察被开方数扩大或缩小倍数与立方根变化倍数的对应关系。 总结规律：被开方数小数点每移动三位，立方根小数点同向移动一位，可快速口算。 用字母写出通用规律表达式，代入多组已知数字验证，再运用规律直接写出未知结果。 题型10 算术平方根和立方根的综合应用 【例19】按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【例20】已知一个非负数的平方根是与，的算术平方根是． (1)求，，的值； (2)求：的立方根． 【变式10-1】已知是的立方根，是的平方根与的立方根的和，是的平方． (1)直接写出，的值，并比较，，的大小． (2)求的所有可能值． 【变式10-2】已知是的立方根，是的算术平方根，求的值． 【变式10-3】实数在数轴上对应的点的位置如图所示．化简 一、单选题 1．的平方根是（     ） A． B． C． D．不存在 2．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．2与 B．与 C．与 D．与 3．关于的叙述，错误的是（     ） A．是有理数 B．面积为12的正方形边长是 C．是12的算术平方根 D．在数轴上可以找到表示的点 4．估计的值在（     ） A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 5．文文设置了一个数值转换器，原理如图当输入为时，输出的是（     ） A． B． C．3 D． 6．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．若，则的值为________． 8．4的平方根是________，的立方根是________，的算术平方根是________； 9．已知，，则_________． 三、解答题 10．化简： (1)； (2)； (3)． 11．求的值： (1)； (2)； (3)． 12．已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求的值； (2)求的平方根． 1．如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 2．根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（     ） ① ②的算术平方根比大 ③只有个正整数满足 ④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是 A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 3．将图1中的5个边长为1的小正方形剪拼成图2中的大正方形，将正方形的顶点与数轴的原点重合，以为圆心，和的长为半径画弧分别与数轴的正半轴交于点，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，将1、、三个数按图中方式排列，若规定表示第排第列的数，则 （1）________， （2）与表示的两个数的积是________． 5．若，且是两个连续的整数，则的值为______________． 6．阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 7．探索题 阅读下列解题过程： 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写的结果为_________； (2)利用上面所提供的解法，请化简：． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $