专题05 菱形、矩形、正方形中最值问题的三类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦菱形、矩形、正方形中最值问题，构建“通法引领-题型突破-压轴提升”三阶训练体系，以对称性、几何模型及函数思想为核心，培养几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|3类核心解法|对称转化折线段、垂线段最短、二次函数求最值|从特殊平行四边形性质出发，提炼共性解法，强调动点范围等易错点| |题型归纳|3题型（各1典例+3变式）|菱形：对称性+二次函数/垂线段；矩形：对称性+将军饮马；正方形：将军饮马+二次函数|按图形特性分层设计，典例覆盖期末/模考高频考法，变式强化方法迁移| |压轴挑战|10道综合题|综合应用几何模型与代数推理|整合跨知识点综合题，提升复杂情境下问题解决能力，发展推理能力与创新意识|

专题05 菱形、矩形、正方形中最值问题的三类综合题型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、菱形中的最值问题 题型二、矩形中的最值问题 题型三、正方形中的最值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：在特殊平行四边形中求线段、周长或面积的最值，常结合动点、对称变换或几何模型（如将军饮马）。 - 解题方法：利用对称性将折线段转化为直线段；依据“垂线段最短”求点到线最值；设参建立二次函数，用顶点公式求最值。 - 易错提醒：忽略动点运动范围与边界限制；将军饮马中对称点选错导致路径转化错误；利用函数求最值时未验证自变量取值是否在可行域内。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、菱形中的最值问题 典例1 （25-26八年级下·江苏宿迁·期末）如图，菱形的边长为，，、分别是、上的两个动点，则的最小值为__________ 【答案】 【分析】连接、、，作于点，由菱形的性质容易证明，则，因此．由线段公理可得，当、、三点共线，且（即点与点重合）时，取得最小值．容易证明是等边三角形，则，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，连接、、，作于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴当、、三点共线，且（即点与点重合）时，取得最小值， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． 题型模版 1.特征：在菱形中求线段、面积或周长的最大值或最小值，常涉及点到直线的距离。 2.方法：利用菱形的对称性，将最值转化为二次函数或垂线段最短，结合勾股定理或三角函数求解。 变式1-1（2026·广东珠海·一模）如图，在菱形中，，，，则周长的最小值为_____． 【答案】 【分析】作点F关于的对称点，在中，过点F作，求得，当E，G，三点共线时，最小，此时，据此求解即可． 【详解】解：如图，作点F关于的对称点， ∴，且，为定点， 在菱形中，，， ∵， ∴， ∴在中，过点F作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵周长为， 且， 当E，G，三点共线时，最小，此时， ∵，且菱形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴周长的最小值为． 变式1-2（25-26八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在菱形中，，，若P是边上的动点，__________；的最小值为__________． 【答案】 【分析】过点作交于点，连接，，根据菱形的性质，可求，垂直平分，再根据垂直平分线的性质和“所对的直角边是斜边的一半”，可得，，从而可得，即的最小值是的长，最后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，连接，， 在菱形中，， ，垂直平分， ， ，， ， ， 当、、三点共线时，即，取得最小值，为的长， 菱形，，， 是等边三角形，， ， 是的中点，即， 在中，， ， 的最小值为． 变式1-3（24-25八年级下·广东广州·期中）已知在菱形中，． (1)如图1．过点作点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度； (2)如图2，连接．若，点是对角线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性质求出，从而得到，利用勾股定理求出，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案； （2）过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，连接，则，，当点与重合时，的值最小，当点与重合时，．再根据菱形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）解：，， 则，， ，， 在菱形中， ， 在中，， 点是线段的中点， ； （2）如图，过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点， 连接，则， 由菱形的性质可知，、关于直线对称， ， ， 当点与重合时，的值最小， 当点与重合时，． 当点与不重合时，． 四边形是菱形，， ， 又， ， ， ∴，则， ∵， ， 即的最小值是． 的最小值是． 类型二、矩形中的最值问题 典例2 （25-26八年级下·广东梅州·期末）如图，在长方形中，，，E、F分别是边、上的动点，且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】延长到点，使得，连接，可证明，得到，则当D、F、H三点共线时，有最小值，最小值为的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到点，使得，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当D、F、H三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴由勾股定理得， ∴的最小值为． 题型模版 1.特征：在矩形中求线段、面积或距离的最值，常涉及动点或折叠，转化为几何模型。 2.方法：利用矩形的对称性，将最值转化为二次函数顶点或几何关系（如将军饮马、垂线段最短）求解。 变式2-1（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，在矩形中，，，为的中点，若、为边上的两个动点，且，当线段取得最小值时，的长为________． 【答案】2 【分析】在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接，，，证明四边形是平行四边形，得到，推出，得到，当点G，Q，E三点共线时，取得最小值，过点G作的平行线交的延长线于H点，连接交于点M，然后结合轴对称的性质求解即可． 【详解】解：如图，在上截取线段，作F点关于的对称点G，连接，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由对称得，， ∴， ∴， ∴当点G，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度，过点G作的平行线交的延长线于H点，连接交于点M，如图， ∵在矩形中，，E为边的中点， ∴，，， 点F与点G关于对称， 垂直平分，即，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 垂直平分， ， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式2-2（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】作点的对称点，作点关于的对称点，连接，，，过点作的垂线，交的延长线于点，推得当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长，根据矩形的性质可得，求得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长． 在矩形中，， 过点作的垂线，交的延长线于点， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∴． ∴的最小值是． 变式2-3（25-26八年级下·河南开封·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，． (1)求证四边形是矩形； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴，， ∴四边形是矩形． (2) 【分析】（1）由菱形的性质得出，再结合已知条件得出，，即可证明四边形是矩形． （2）连接，由矩形的性质可得，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法求高即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， 在中，， 如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 此时， ∴， ∴的最小值为． 题型三、正方形中的最值问题 典例3 （25-26八年级下·河南驻马店·期末）如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于点F，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】如图，过点P作于点M，证明四边形是矩形，，得到，证明，得到，求出，将正方形沿翻折得到正方形，连接，过点Q作交于点N，连接，证明，得到，然后由得到当点N，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点P作于点M， ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵E是的中点 ∴ 将正方形沿翻折得到正方形，连接，过点Q作交于点N，连接 ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴当点N，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度 ∴ ∵， ∴ ∴的最小值为． 题型模版 1.特征：在正方形中求线段、面积或距离的最值，常结合动点与对称性，需转化几何模型。 2.方法：利用对称性将军饮马或垂线段最短，转化为二次函数求顶点，结合勾股定理或三角函数求解。 变式3-1（25-26八年级下·江苏泰州·期末）在正方形中，点、分别在边、上，，，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设，建立平面直角坐标系表示出各点坐标，将转化为x轴上动点到两个定点的距离和，利用将军饮马模型，结合勾股定理求解最小值. 【详解】解：以点A为原点，以所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系如下： 则，，，， ∵点在上，点在上，设，则，， ∴， ， ∴， ∴， 该式表示x轴上动点到定点和定点的距离和，作关于x轴的对称点，则，由两点之间线段最短得， 根据勾股定理，得 ， 故的最小值为； 变式3-2（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，正方形的边长为，是边上的动点，以为边向左作正方形，连接． （1）若点为中点，则__________． （2）的最小值为__________． 【答案】 【分析】（1）根据正方形的性质及勾股定理即可求出； （2）延长到，使，连接，，根据垂直平分线的性质得出，根据正方形的性质可得，，，利用证明，得出，可得当、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，利用勾股定理求出的长即可得出答案． 【详解】解：（1）∵点为中点，正方形的边长为， ∴，， ∴； （2）如图，延长到，使，连接，， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形、都是正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴当、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 变式3-3（25-26八年级下·吉林长春·期末）【问题背景】 小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，，点、分别为边、的中点，以为边向下作正方形．点、分别在边、上运动，且，连结、．求的最小值． 【问题探究】 小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段与成功“接轨”，再依据“两点之间，线段最短”解决问题．具体做法如下： 证明：如图②，取边的中点，连结． 证明过程缺失 ． ． (1)请你帮助小明补全上述证明过程． 【问题解决】 (2)的最小值为________． 【拓展提升】 (3)如图③，在正方形中，，点、分别在边、上运动，且，点在边上，连结、．若，则的最小值为________． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 （1）问题探究：利用正方形的性质和中点性质得，，再由，得，即可由得出，从而由全等三角形的性质得出结论； （2）问题解决：连接，根据两点之间，线段最短得，当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于，延长、相交于，利用正方形的性质和勾股定理求得，即可求解； （3）拓展提升：在正方形下方作正方形，在边上取点，使，在边上取点，使，连接，则，，根据两点之间，线段最短得，，所以当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于，利用正方形的性质和勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，取边的中点，连结． 在正方形中， ，． 点、分别为边、的中点， ，， ． ，， ， ． 在与中，，， ． （2）问题解决：如图②，连接， ， 当M、Q、F三点共线时，值最小，最小值等于， 延长、相交于点， 正方形，正方形，为边的中点，， 四边形为正方形， ，， ， 由勾股定理，得， 的最小值为． （3）解：在正方形下方作正方形，在边上取点，使，在边上取点，使，连接，如图③， 由问题探究可知：，， ， 当M、Q、N三点共线时，最小，最小值等于， 在正方形和正方形中，，， ，，， ． 由勾股定理得：， 的最小值为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在一个边长为2的正方形中，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则最小值的是（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】连接，利用正方形的性质可知，当点C、P、E三点共线时，最小为，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴所在直线是正方形的对称轴， ∴， ∴， ∴当点C、P、E三点共线时，最小为， ∵E为的中点， ∴ 在中，由勾股定理得， 故选：D． 2．（25-26八年级下·广东汕尾·期末）如图，在矩形内有一点，若，，，则的最小值是（     ） A． B． C．7 D．8 【答案】A 【分析】过作于，过作于，延长线交于，根据矩形的性质和等面积法可算得，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立坐标系， 作点关于直线的对称点，可得，最小值为的长度，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于，延长线交于， ∵四边形为矩形，，， ∴矩形面积， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴点的轨迹是平行于、且到距离为2的定直线， 以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立坐标系， ∴，，点所在直线为， 作点关于直线的对称点， ∴，最小值为的长度， 由勾股定理： ， ∴的最小值为． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期末）如图，点M，N是菱形的对角线上的两点，若，，，连接，，则的最小值为（     ） A． B．10 C． D．12 【答案】A 【分析】连接交于点，作，作，与交于点，连接，则四边形是平行四边形，进而可得当点，，共线时，有最小值，最小值为的长，根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点，作，作，与交于点，连接，则四边形是平行四边形， ∴，． ∵四边形是菱形，与交于点，，， ∴，，． ∵， ∴． ∴． 当点，，共线时，有最小值，最小值为的长， 即最小值为． 的最小值为，故选A． 二、填空题 4．（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，在菱形中，，，E、F分别是上的动点，且满足．则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，过点作且，连接，证明，将转化为，利用两点之间线段最短可知当三点共线时最小，在中利用勾股定理求解即可； 【详解】解：连接，过点作，且，连接，，如图所示： 四边形是菱形，，， ，， ∴，， 是等边三角形， ，， 是菱形的对角线， ，即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，最小，即最小，最小值为线段的长， 在中，，， 由勾股定理得：， 的最小值为． 5．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，在矩形中，，，点E、F分别为边、上的动点，且，则最小值为________． 【答案】 【分析】连接，由题意易得，则有四边形是平行四边形，然后可得，作点B关于的对称点H，连接，要使的值为最小，则需满足的值为最小，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点A、F、H三点共线时，的值为最小，最小值为线段的长，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 作点B关于的对称点H，连接，如图， 要使的值为最小，则需满足的值为最小，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知：当点A、F、H三点共线时，的值为最小，最小值为线段的长， ∴在中，，由勾股定理可得：， ∴的最小值为． 6．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在正方形中，，点是边的中点，点是对角线上的动点（点在点的上方），且，连接．则的最小值为_____． 【答案】 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，则是的中位线，有，，进一步求得和，即可判定四边形是平行四边形，则，连接，交于点，则当点位于点处时，的值最小，即的值最小，此时的点记为点，结合正方形的性质求得，，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，取的中点，连接，取的中点，连接，连接，交于点， 点是边的中点， 是的中位线， ，， 在正方形中，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当点位于点处时，的值最小，即的值最小，将此时的点记为点， 由正方形的对称性可知， ，， 又∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ． 三、解答题 7．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）【问题探究】 (1)如图1，在菱形中，，点为的中点，点为的中点，连接，点为线段上的一点，连接、．为探究的最小值，我们可以作点关于的对称点，由菱形的对称性可知，点是的中点．请你求出的最小值； 【问题解决】 (2)如图2，有一座菱形公园，，，点、为公园的两个出入口，为连通出入口的道路，现要在边、上分别开设两个新的出入口、，使，并在上取一点，连接、，沿、铺设新的道路，为节约成本，要使最小，则当最小时，的长为多少？（出入口的大小与道路的宽度均忽略不计） 【答案】(1) (2)当最小时，的长为 【分析】（1）由轴对称的性质可知，作点关于的对称点，当，，三点共线时，最小，最小值为，可证得四边形是平行四边形，即可得到的长； （2）由轴对称的性质可知，作点关于的对称点，，利用在两条平行线之间的所有线段中，垂直于这两条线的垂线段长度最短，可证得当时，取得最小值，利用勾股定理和矩形的性质即可求解此时的长． 【详解】（1）解：∵在菱形中，点为的中点，点关于的对称点为，连接， ∴ 被垂直平分，，， ∴，当，，三点共线时，最小，最小值为， 在菱形中，，点为的中点，点为的中点， ∴，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：作点关于的对称点，则有，连接， ∵，，， ∴， ∴， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是平行四边形，，交于点， ∵在菱形中，，， ∴，是等边三角形， ， 根据轴对称的性质，， 当时，取得最小值，此时等于等边三角形中边上的高， 过点作， ∴，，，， ∴在中，， ∵，，， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即是的中点， ∴， ∴， 当最小时，的长为． 8．（2025·陕西西安·模拟预测）问题提出： （1）如图①，为矩形的对角线，点为的中点，连接．若，．则______． 问题探究： （2）如图②，为菱形的对角线，，，为上任意一点，为上任意一点，求的最小值． 综合应用 （3）如图③，是李叔叔家的农场平面示意图．李叔叔欲将农场扩建．扩建部分为平行四边形．其中点在的延长线上．、分别为边、的中点．在四边形内养家禽，为一道栅栏，经测量，，，米，，、为两个饲料储存点，其中为的中点，点在上，现要沿、修建两条运输管道，问运输管道的总长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）米． 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定、矩形的性质与判定、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线并灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先根据矩形的性质以勾股定理求得，再根据直角三角形的性质即可解答； （2）如图：连接，过A作于E，由菱形的性质可得垂直平分，则，所以，根据三角形的三边关系可得，当点N和点E重合时，的最小值为，然后证明是等边三角形可得，再根据直角三角形的性质以及勾股定理求得的长即可； （3）证明四边形是矩形，得到．再证明四边形是菱形；连接，交于点，则、互相垂直平分，则当三点共线时，的值最小，即为的长．证明为等边三角形，而米，则米．米，则（米）．的最小值为米． 【详解】解：（1）∵矩形， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴． （2）如图：连接，过A作于E， ∵菱形， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴点N和点E重合时，的最小值为， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． （3）存在， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ， ∴四边形是矩形， ． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵、分别为边、的中点， ， ∴四边形是平行四边形． ，F为边的中点， ， ∴四边形是菱形； 如图：连接，交于点，则、互相垂直平分， ， ∴当三点共线时，的值最小，即为的长， ∵， ， 为等边三角形，而米， ∴米， ∵为的中点， 米， ∴（米）． ∴的最小值为米． 9．（2025·陕西·模拟预测）【问题背景】 （1）如图1，在四边形中，，点是对角线上的动点，连接，则的最小值为___________； 【问题探究】 （2）如图2，在边长为2的等边中，点是上一点，、分别是、边上的动点，且，连接，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，正方形是某植物园规划的一个花圃，对角线、是其中的两条观赏小路，在的交点处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在和上分别设立一个游客服务中心，且，再沿和铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值．（即的最小值）    【答案】（1）13；（2）的最小值为2；（3）两条石子小路长度之和的最小值为． 【分析】（1）如图，连接，先求解，结合当三点共线时，最短，从而可得答案； （2）过点B作，且截取，连接，，交于点G．证明，可得当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，，从而可得答案； （3）过点A作，且截取，连接，，交于点H．证明，可得，当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，，过点G作交的延长线于点M．再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，连接，    ∵，，， ∴， ∵点O是对角线上的动点， ∴当三点共线时，最短， ∴最小值为13． （2）过点B作，且截取，连接，，交于点G．    ∴四边形是平行四边形，则．     ∵是等边三角形，， ∴．     在和中，，，， ∴， ∴，     ∴， ∴当O、D、F三点共线时，最小，此时点D与点G重合，， ∴的最小值为2．     （3）过点A作，且截取，连接，，交于点H． ∵四边形是正方形，， ∴．     在和中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴当点G、E、D三点共线时，最小，此时点E与点H重合，．     过点G作交的延长线于点M．    ∵四边形是正方形，， ∴，，，．     ∴，而， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴，     在中，， ∴的最小值为，即两条石子小路长度之和的最小值为． 10．（25-26八年级下·广东惠州·期末）模型与探究 (1)【基础探究·矩形模型初探】如图，在矩形中，点、、分别在、、边上，，连接，过点作，交的延长线于点，若，求的长； (2)【进阶拓展·菱形中点最值】如图，在菱形中，连接，点、分别是、边上的动点，连接，点、分别是、的中点，若，，求的最小值； (3)【综合应用·正方形动态优化】如图，叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，、分别为、的中点，点、分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，他计划在三角形区域内种植茄子，在三角形区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）根据矩形的性质得出，根据平行线的性质得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出答案； （2）连接，交于，连接，根据中位线的性质得出，根据垂线段最短得出时，取最小值，此时，取最小值，根据菱形的性质得出，，，利用勾股定理求出，利用菱形面积公式求出的值即可得出答案； （3）连接，作点关于的对称点，连接，，根据正方形的性质得出米，米，进而得出四边形是矩形，，根据全等三角形的性质可得，根据轴对称的性质得出，得出当点、、在同一条直线上时取最小值，最小值为，利用勾股定理求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，连接，交于，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴， ∴时，取最小值，此时，取最小值， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值为． （3）解：如图，连接，作点关于的对称点，连接，， ∵四边形是正方形，米， ∴米，，， ∵、分别为、的中点， ∴米，米， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，米， 在和中，， ∴， ∴， ∵点关于的对称点为， ∴，米， ∴， ∴， ∴当点、、在同一条直线上时取最小值，最小值为， ∵米， ∴米， ∴灌溉水渠总长度的最小值为米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5菱形、矩形、正方形中最值问题的三类综合题型 目 录 解题通法一明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、 菱形中的最值问题 题型二、矩形中的最值问题 题型三、正方形中的最值问题 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 ◆◆ 夙解题通法 明晰核心解法，助力能力迁移 题型特征：在特殊平行四边形中求线段、周长或面积的最值，常结合动点、对称变换或几何模型（如将 军饮马)。 -解题方法：利用对称性将折线段转化为直线段；依据“垂线段最短”求点到线最值：设参建立二次函数， 用顶点公式求最值。 -易错提醒：忽略动点运动范围与边界限制；将军饮马中对称点选错导致路径转化错误，利用函数求最值 时未验证自变量取值是否在可行域内。 夙题型归纳精讲典型题法，奔失解题根墨 题型一、菱形中的最值问题 典例1(25-26八年级下江苏宿迁·期末)如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，M、N分别是 AD、AC上的两个动点，则DN+MN的最小值为 1/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型模版 1特征：在菱形中求线段、面积或周长的最大值或最小值，常涉及点到直线的距离。 2方法：利用菱形的对称性，将最值转化为二次函数或垂线段最短，结合勾股定理或三角函数求解。 变式1-1(2026广东珠海一模)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6,BE=FC=2,则△EFG周 长的最小值为 D 变式1-2(25-26八年级下·湖北咸宁期末)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=4,若P是AC边 上的动点，∠DAC= 2BP+AP的最小值为. D O A B 变式1-3(24-25八年级下·广东广州期中)己知在菱形ABCD中，∠DAB=30° A ED D B B 图1 图2 ①咖如图1.过点B作BE1D点E,连按CE,点F是线段C的中点，连接F,若伍=5 求线段 BF的长度： 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图2，连按1C.若B=26,点P是对角线4C上的一个动点，求B+0C+D 的最小值. 类型二、矩形中的最值问题 典例2(25-26八年级下广东梅州期末)如图，在长方形ABCD中，AB=2,AD=4,E、F分别是边 AD、BC上的动点，且DE=BF,则CE+DF的最小值为 E D 题型模版 1特征：在矩形中求线段、面积或距离的最值，常涉及动点或折叠，转化为几何模型。 2方法：利用矩形的对称性，将最值转化为二次函数顶点或几何关系（如将军饮马、垂线段最短）求解。 变式21(25-26八年级下河南洛阳期末)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD的中点， 若P、为BC边上的两个动点，且P吧=2，当线段AP+QE取得最小值时，C2的长为 D E 变式2-2(25-26八年级下陕西榆林·期末)如图，在矩形ABCD中，AB=10,AD=8,E,F分别是AB 和DC上的两个动点，M为BC的中点，连接DE,EF,FM,则DE+EF+FM的最小值是 A E B M 变式2-3(25-26八年级下·河南开封期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O,点P为AB 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 边上一动点（不与点A,B重合），PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F,若AC=8,BD=6 (1)求证四边形PEOF是矩形： (2)求EF的最小值. 题型三、正方形仲的最值问题 典例3 (25-26八年级下·河南驻马店期末)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是CD的中点，P、Q 分别是边AD、BC上的动点，且PO⊥BE交BE于点F,则BP+E的最小值为 D E 题型模版 1特征：在正方形中求线段、面积或距离的最值，常结合动点与对称性，需转化几何模型。 2方法：利用对称性将军饮马或垂线段最短，转化为二次函数求顶点，结合勾股定理或三角函数求解。 变式3-1(25-26八年级下江苏泰州期末)在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，AE=CF AB=4连接DF、EF,则DF+2EF的最小值为 变式3-2(25-26八年级下·安徽合肥期末)如图，正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，以AE 为边向左作正方形AEFG,连接BG. 4/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 分 (I)若点E为BC中点，则AE= (2)AE+BG的最小值为 变式3-3(25-26八年级下·吉林长春·期末)【问题背景】 H G 图① 小明遇到了这样一个问题：如图①，在正方形ABCD中，AB=6,点G、H分别为边AB、CD的中点， 以AG为边向下作正方形AEFG.点P、Q分别在边AD、AB上运动，且AP=Ag,连结HP、FO.求 HP+FO 的最小值。 【问题探究】 H D B 图② 小明发现，可以利用正方形的轴对称性质将“分离”的线段HP与Q成功“接轨”，再依据“两点之间， 线段最短”解决问题.具体做法如下： 证明：如图②，取边BC的中点M,连结M 5/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明过程缺失 ∴.△DHP≌△BMg .:.HP=MO (1)请你帮助小明补全上述证明过程. 【问题解决】 HP+FO (2) 的最小值为 【拓展提升】 E P 4 图③ (3)如图③，在正方形ABCD中，AB=6,点P、卫分别在边AD、AB上运动，且AP=Ag,点E在边 CD上，连结EP、EO.若DB= ,则EP+EQ的最小值为 ◆ 同 压轴挑战一攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1.(25-26八年级上·湖北省直辖县级单位期中)如图，在一个边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中 点，P为对角线BD上的一个动点，则AP+EP最小值的是() 6/11 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.10 C.3 D V5 2.(25-26八年级下广东汕尾期末)如图，在矩形ABCD内有一点P,若AB=6,AD=8, ⑧aSm,则PB+PC的最小值是() D D 4v5 B.4V3 C.7 D.8 3.(25-26八年级下安徽合肥期末)如图，点M,N是菱形ABCD的对角线AC上的两点，若MN=2, AB=13,AC=24,连接DM,BN,则DM+BN的最小值为() D B A.2v26 B.10 C.4v6 D.12 二、填空题 4.(25-26八年级下四川宜宾期末)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=120°，E、F分别是 BCAC上的动点，且满足BE=CF.则DE+DF的最小值为一 7/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 5.(25-26八年级下江苏南京阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点E、F分别为边 AB、CD上的动点，且AE=CF,则BF+CE最小值为 A C 6.(25-26八年级下~陕西西安期末)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E是边CD的中点，点P,Q 是对角线D上的动点（点9在点P的上方），且P0=5,连接4,5.则4P+OE 的最小值为一 D E B 三、解答题 7.(25-26八年级下陕西渭南期末)【问题探究】 D P 图1 图2 (1)如图1，在菱形ABCD中，AB=4,点P为AD的中点，点Q为CD的中点，连接AC,点R为线段AC 上的一点，连接PR、QR.为探究PR+QR的最小值，我们可以作点P关于AC的对称点P',由菱形的对 称性可知，点P'是AB的中点，请你求出PR+R的最小值： 8/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题解决】 (2)如图2，有一座菱形公园ABCD,AB=400m,∠ABC=60°，点A、C为公园的两个出入口，AC为连 通出入口的道路，现要在边AD、CD上分别开设两个新的出入口P、Q,使AP+D0=400m,并在AC 上取一点R,连接PR、R,沿PR、QR铺设新的道路，为节约成本，要使PR+OR最小，则当PR+OR 最小时，AP的长为多少？（出入口的大小与道路的宽度均忽略不计） 8.(2025陕西西安·模拟预测)问题提出： (1)如图①，BD为矩形ABCD的对角线，点E为BD的中点，连接AE.若BC=I0,CD=6.则AE= 问题探究： (2)如图②，BD为菱形ABCD的对角线，∠ABC=60°，BC=6,M为BD上任意一点，N为BC上任 意一点，求CM+MN的最小值. 综合应用 (3)如图③，△BCG是李叔叔家的农场平面示意图.李叔叔欲将农场扩建.扩建部分为平行四边形 ABCD.其中点D在GC的延长线上.E、F分别为边AD、BC的中点.在四边形AECF内养家禽，AC 为一道栅栏，经测量，AC∥BG,BG⊥DG,CE=120米，∠AFC=120°，P、H为两个饲料储存点， 其中H为CE的中点，点P在AC上，现要沿PE、PH修建两条运输管道，问运输管道的总长度 (PE+PH) 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由。 D B M E 图① 图② 图③ 9.(2025·陕西模拟预测)【问题背景】 (1)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=90,AB=5,BC=12,点O是对角线BD上的动点，连接 OA、OC,则OA+OC的最小值为 【问题探究】 9/11 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，在边长为2的等边△ABC中，点O是AC上一点，D、E分别是AB、BC边上的动点，且 BD=CE,连接ODOE,求OD+OE的最小值： 【问题解决】 (3)如图3，正方形ABCD是某植物园规划的一个花圃，对角线AC、BD是其中的两条观赏小路，在 ACBD的交点O处有一个凉亭（大小忽略不计），现要在AB和BC上分别设立一个游客服务中心E、F, 且AE=CF,再沿OF和DE铺设两条石子小路，为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小，已知 AB=60m,请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值.（即OF+DE的最小值） D B B E 图1 图2 图3 10.(25-26八年级下·广东惠州期末)模型与探究 (I)【基础探究·矩形模型初探】如图1，在矩形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD边上， 阳=CC,连接旷，过点作G川E,交C的延长我于长”，若EF=6, GH ，求的长 G B F CH 图1 (②)【进阶拓展菱形中点最值】如图2，在菱形ABCD中，连接AC,点P、分别是BC、AB边上的动 点，连接P吧，点M、N分别是P№、CP的中点，若AB=5,AC=6,求MN的最小值： 10/11 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 0 图2 (3)【综合应用·正方形动态优化】如图3，叔叔家有一个正方形菜地ABCD,他计划对其进行改造，P、E 分别为AB、CD的中点，点F、G分别为AD、BC边上的动点，在改造的过程中始终要满足CG=DF, 他计划在三角形GBP区域内种植茄子，在三角形DEF区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿 EF、GP修建灌溉水渠，经测量，AB=400米，为了控制成本，要求灌溉水渠 EF+GP) 的总长度尽可能 (EF+GP) 的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠 总长度的最小值。 D E 5 G 图3 11/11