考点01 特殊平行四边形的性质与判定（题型专练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 以菱形、矩形、正方形为核心，构建"定义-性质-判定-应用"完整体系，通过题型分类提炼解题通法，强化知识逻辑与素养落地。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|----|----|----| |菱形|含性质求值、判定等6题型|对角线构造直角三角形、判定三定理应用|从平行四边形出发，通过边/角/对角线特殊化生成菱形| |矩形|含性质计算、折叠等5题型|等积转化、折叠全等与勾股方程|以直角为核心，关联对角线相等与矩形判定| |正方形|含性质计算、证明等5题型|旋转全等、三垂直模型|菱形与矩形性质交集，体现特殊四边形递进关系|

考点01 特殊平行四边形的性质与判定 考点一：菱形 定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 性质 符号语言 图示 边 菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD是菱形∴AB=CD=AD=BC 对 角 线 菱形的对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角 ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积 ①菱形的面积=底×高，即. ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 判定方法 定理 符号语言 图示 边 四条边相等的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AB=BC，∴▱ABCD是菱形 对角线 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形 考点二：矩形 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 性质 符号语言 图示 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 对角线 两条对角线互相平分且相等 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AO=CO=BO=DO 判定定理 符号语言 图示 角 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 在四边形ABCD中，∵∠B=∠A=∠D=90°， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 对角线相等的平行四边形是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形 考点三：正方形 正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 性质 符号语言 图示 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC=90° 边 四条边都相等， 对边平行. ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=AD=BC ，AB∥CD、AD∥BC， 对角线 两条对角线互相垂直、平分且相等 ∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD、AC=BD、AO=BO=CO=DO， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 判定方法 定义法 有一组邻边相等 且有一个角是直角的平行四边形是正方形 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 判定 定理 已知是矩形时 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+一组邻边相等 对角线互相垂直的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 已知是菱形时 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+一个角是直角 对角线相等的菱形是正方形 菱形+对角线相等 考点三：特殊平行四边形与平行四边形之间的关系 四边形 边 角 对角线 矩形 ①平行四边形+一直角 ②四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 ①平行四边形+一组邻边相等 ②四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 题型一：运用菱形的性质求值 ①菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决； ②菱形的四条边相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合. 具体步骤：连接对角线。菱形对角线垂直平分且平分每一组对角，构造出4个全等的直角三角形，利用勾股定理或三角函数求边长/角。 误以为对角线相等（实际只有垂直）；求角度时忽略“对角相等，邻角互补”。 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：∵四边形是菱形 ∴，故B正确； ∵菱形的边长与对角线长度无必然相等关系 ∴不一定等于，故A错误； ∵四边形是菱形 ∴ ∴，而不一定等于，故C错误； ∵菱形的对角线不一定相等（仅正方形时相等） ∴不一定等于，故D错误 ． 2．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在边长为1的菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折得，与边交于点F，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在边长为1的菱形中，，为边上的高， ∴根据折叠易得为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·四川成都·二模）图，在菱形中，已知，交于点E，且，则线段的长为___________． 【答案】1 【详解】解：在菱形中，， ， 由，， ， ． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，若，，则边上的高为______． 【答案】 【详解】解：设边上的高为， 四边形是菱形，， ，， 在中， 菱形的面积 ． 5．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．若，则的长是_________． 【答案】5 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴． 6．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在菱形中，垂足为E，交于F，E为中点，若则_______ 【答案】2 【详解】解：四边形是菱形， ， ，为中点， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形， 平分， ， 在中，，， ， 则， 在中，，， 设，则， 则，即， 则有，解得（负值舍掉）， ， ． 7．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵是菱形的对角线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·重庆合川·期中）如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 9．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）如图，把菱形沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：∵菱形沿直线折叠，点B落在边上的点E处， ∴，． ∴， ∵点E在边上， ∴在中，， ∴ ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二：菱形的判定（选填） 把“对角线互相垂直”直接当菱形（筝形也垂直，但不是平行四边形，必须强调是平行四边形）。 判定定理+排除法：选填题优先看“邻边相等”条件。 ①平行四边形+邻边相等；②平行四边形+对角线垂直；③四边都相等。 1．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意； B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意； C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意； D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意． 2．（22-23八年级下·福建宁德·期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B．C． D． 【答案】C 【详解】解：A、由图可知，对角线与两邻边的夹角均为，即邻边相等，则根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定选项A一定是菱形； B、由三角形内角和定理可知对角线夹角为，即对角线垂直，则根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定选项B一定是菱形； C、根据图中数据，只能说明同旁内角互补，不能说明一定是菱形； D、由图可知对角线平分内角，即所分成的两个角均为，由平行线性质可推出三角形为等边三角形，故邻边相等，则选项D一定是菱形； 则只有选项C不一定是菱形． 3．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，利用几个全等的直角三角尺（含角）拼摆成如下的四边形，其中不是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得， 故四边形是平行四边形； 故A符合要求； 根据题意，得， 故四边形是菱形； 故B不符合要求； 根据题意，得，且， 故， 故， 故， 故四边形是菱形； 故C不符合要求； 根据题意，得， 故四边形是菱形； 故D不符合要求； 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）已知四边形中，，点E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH的形状一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【详解】解：如图，连接，过作交于，则， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵，，， ∴， ∴， 点分别为各边的中点， ∴由三角形中位线的性质可得， ， 四边形为菱形． 故选：C． 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【详解】解：A、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形，，不能证明平行四边形是菱形，故选项C符合题意； D、四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 6．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的形状为______． 【答案】菱形 【详解】解：如图，设与的交点为O， 根据作图可得，且平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形． 7．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形应满足的条件是______． 【答案】 【详解】解：连接，，如图所示， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形 ∵，分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ 当时 ∴ ∴平行四边形是菱形． ∴当时,四边形是菱形． 题型三：求菱形的面积 ①用对角线求面积时：忘乘 1/2； ②两种公式混淆：求面积时用边长乘对角线。必须对角线和对角线相乘，边长与对应的高相乘。 根据已知条件，对两种公式进行灵活运用： ①S = 底×高 或 S = 对角线乘积的一半。（*若给边长和一个角，可用锐角三角函数求高） 1．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图是一款利用菱形四连杆伸缩结构实现折叠收纳的壁挂式挂架，也常被称为伸缩衣帽架或魔术挂架．这个挂架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为________． 【答案】48 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为． 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点、分别是，的中点， ∴，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴与菱形的面积之比是． 3．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，，与交于点．若四边形是菱形，且，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】解：四边形是矩形，四边形是菱形， ，，，，，， ． ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ，， ， 菱形的面积为． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，两条宽为的长方形纸条叠放得到四边形，若，则这个四边形的面积为__________． 【答案】/平方厘米 【详解】解：由题意可知，两条长方形纸条的对边分别平行 ， 四边形是平行四边形，过点作于点，作于点 由题意得，纸条宽度相等，即 平行四边形是菱形 在中，，， 四边形的面积为 ． 题型四：菱形的证明 1.只用“对角线垂直”就下结论，缺“平行四边形”前提； 2.循环论证（用结论证结论） 1.证平行四边形为菱形：证明邻边相等或对角线互相垂直 2.证四边形为菱形：①优先证明四边形是平行四边形（如一组对边平行且相等），再叠加“邻边相等”或“对角线垂直”；②证明四条边相等；③证明对角线互相平分且垂直。 3.若图形复杂，从要证明的菱形切入倒推法分析条件更高效。 1．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【详解】证明：， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 2．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在平行四边形中，点，分别在，上，与相交于点，，，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：平行四边形中，，， 即， 又， ， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形是菱形． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 【答案】见详解 【详解】解：∵，， ∴平分， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 则， ∴， ∴平行四边形是菱形． 4．如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，说明四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：由（1）得：四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形． 5．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点交于点，连接平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， 则， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． （2）解：由（1）知，四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴三角形是等边三角形，， 又∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴． 6．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 (3) 【详解】（1）解：证明：，，，分别是，，，的中点， ，且，，且， ，且， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ，，，分别是，，，的中点， ，， 当时，， 由（1）得，四边形是平行四边形， 四边形是菱形； （3）解：作交于点，如图所示， ， 又， ． 又， ． 在中，， 四边形是菱形， ， ． 题型五：运用菱形的性质进行证明和计算 1. 性质运用混乱，推理逻辑断层 2. 作辅助线后，误把任意中点当成对角线交点（菱形对角线交点才具有垂直平分特性） 1. 充分利用“垂直平分线”性质，结合中位线或全等三角形转化线段； 2. 菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合； 3. 通过“找等边”、“找等角”，完成线段、角度等量关系的证明。 1．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，菱形中，，E、F分别是边和的两点且，连接，，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，连接 ∵菱形中， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴是等边三角形； （2）解：如图，过点D作于点G ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 由（2）得，是等边三角形， ∴ ∴的周长． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.42 【分析】（1）过点作交的延长线于H，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：过点作交的延长线于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． ∵菱形，， ，， ，， ． ∴， . （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M． 由（2）得：， ∴， ∵菱形，，点E为边的中点， ∴，， ∴，， 同理：， ，， ∴，， ，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ， ∴ ， ∴. 3．（25-26八年级下·北京·期中）已知如图，四边形是菱形，，点E、F分别是边上的动点，且．连接，取中点G，连接． (1)判断与的位置关系，用等式写出它们的数量关系，并证明； (2)连接交于点O，点E、F在运动过程中，四边形是否可以是平行四边形？若可以，请求出此时的长；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)四边形可以是平行四边形，此时的长为4 【难度】0.52 【分析】（1）延长交于点H，连接，证明，可得，，从而得到，再证明为等边三角形，可得，，证明，可得，，进而证明为等边三角形，，，即可解答； （2）证明为的中位线，可得，即可解答． 【详解】（1）解：，，证明如下： 如图，延长交于点H，连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴为等边三角形，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：四边形可以是平行四边形， 如图， 若四边形是平行四边形， 则， ∵四边形为菱形， ∴点O为的中点， ∵点G为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：． 题型六：坐标与菱形 顶点顺序未按逆时针/顺时针排列时，邻边会对应错，导致多解或漏解。 1.利用中点坐标公式（对角线互相平分）和两点间距离公式（邻边相等）。 2.设未知点坐标，列方程组求解； 3.构造全等三角形、借助勾股定理表示距离。 1．（2026年宁夏回族自治区吴忠区初中学业水平调研九年级数学试卷）如图，菱形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】解： 四边形是菱形，且对角线交点在原点， 点与点关于原点对称 点的坐标为，且关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数， 点的坐标为． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点处，顶点在轴上，已知点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【详解】解：延长交轴于点， 菱形中，轴， 又轴轴， 轴， 点的坐标为， ，， 在中，， 菱形中，， ， 即． 3．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，以菱形的顶点为原点，对角线所在直线为轴建立平面直角坐标系，若，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接，交于点． 四边形是菱形 ， 在 中， 点的坐标为． 4．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵菱形，， ∴，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图1，四边形为菱形，，，，，且． (1)求的长； (2)点在上运动，为等边三角形． ①如图2，求证：，并直接写出的最小值； ②如图3，当点在的上方时，求点的横坐标． 【答案】(1) (2)①证明见解析，的最小值为2；②点的横坐标为2 【难度】0.51 【分析】（1）由平方和算术平方根的非负性可得出，，从而可求出．再利用菱形的性质结合，可求出，结合含的直角三角形即可求解； （2）①连接，交于，根据菱形的性质及等边三角形的性质可证，得，由点到直线垂线段最短，可知，，再结合菱形的性质及含的直角三角形的性质即可求得，进而即可求解； ②连接，根据等边三角形的性质证，得，，则，可知点的运动轨迹为过点且垂直于轴的直线，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，，则，即： ∵四边形为菱形，， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴； （2）①证明：连接，交于， ∵四边形为菱形，， ∴，，则是等边三角形， ∴，，则， ∵是等边三角形， ∴，， 则， ∴， ∴， ∴， 由点到直线垂线段最短，可知，， ∵四边形为菱形， ∴， 则， 即的最小值为2； ②连接， 由①可知，是等边三角形，是等边三角形， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即点的运动轨迹为过点且垂直于轴的直线， ∵ ∴点的横坐标为． 题型七：菱形、矩形、正方形有关的作图 1.尺规作图中：痕迹保留不全； 2.检查：作图后不验证是否满足“邻边相等”或“直角”条件而出错。 1.菱形作垂直平分线、矩形作垂线、正方形结合两者。 2.明确是利用对角线性质还是边性质作图。 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）图1、图2分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长都是1，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足下列要求： (1)在图1中画出一个周长为18的平行四边形（非矩形），所画的平行四边形的各顶点必须在小正方形的顶点上； (2)在图2中画出一个面积为24的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求； ∵， ∴四边形是平行四边形，且周长为； （2）解：如图所示，四边形即为所求． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）求证：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图所示，点即为所求： 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知四边形是矩形．求作菱形，使得点、分别在、边上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【难度】0.4 【分析】作线段的垂直平分线分别交于点E，于点F，则四边形即为所作菱形． 【详解】解：作图方法：作对角线的垂直平分线，分别交于点Ｅ、交于点Ｆ，连接、，四边形即为所求作的菱形． 理由如下， 设交于点O，如图所示， 由作图知垂直平分， ， ∵矩形中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，已知A、E、F、G为平面上四个点．求作：菱形，使得E、F、G分别在，，上．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】见详解 【难度】0.15 【分析】作直线、，再作的角平分线，再过F点作的平行线，交于点D，交于点C，再在上取一点B，使得，连接，问题得解． 【详解】解：作图如下： 菱形即为所作． 作图方法：作直线、，以点A为圆心，以一定的长度为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，以点A为圆心，以的长度为半径画弧，交于点H，再分别以F、H为圆心，以的长度为半径画弧，两弧交于点T，作直线，分别交、于点D、C，再在上取一点B，使得，连接，作出菱形． 证明：如图，连接， 根据作图可知：平分，四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，已知．请用尺规作图法，求作正方形，使得点D是边的中点，在边上，且点G在的内部．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解：如图，正方形即为所求． 理由：由作图得：，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（25-26八年级下·北京昌平·期中）已知：在矩形中，是对角线． 求作：菱形，使点，分别在边，上． 作法：如图， ①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在线段两侧分别交于点，； ②作直线交于点，与，分别交于点，； ③连接，． 所以四边形就是所求的菱形． 根据上面设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，；，． ，， 是的垂直平分线， ． ∵四边形是矩形， ， ① ． 又， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形② （填推理的依据） 又， 四边形是菱形③ （填推理的依据） 【答案】(1)见解析 (2)；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【难度】0.41 【分析】（1）根据作法画图即可； （2）根据证明过程补全缺失部分即可． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求： （2）解：证明：连接，；，． ，， 是的垂直平分线， ． ∵四边形是矩形， ， ①． 又， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形(②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形） 又， 四边形是菱形(③对角线互相垂直的平行四边形是菱形） 题型八：根据矩形的性质进行计算 1. 认为对角线平分角（矩形对角线和边不夹45°，只有正方形才分角） 2. 图形拆分不当，找不到基础边角关系 1.和边有关的数量关系： ①矩形对角线相等且互相平分；②斜边上的中线=斜边一半（如直角三角形斜边被对角线交点平分）。 2.已知对角线长用勾股定理求长宽。 1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在矩形中，，,， 由勾股定理得：， ∴， ∵点、分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 2．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，两条对角线交于点，，，则长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图，在矩形中，对角线与交于点O，的平分线交边于点E，F是的中点，若，，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：过E作交于G， ∵矩形中， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵，F是的中点， ∴． 6．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，已知四边形是菱形，四边形为矩形，E为矩形对角线的交点．若平分，，矩形的面积为（  ） A．18 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 题型九：与矩形有关的结论判定 ①选“对角线互相垂直”的矩形（错，那是正方形）； ②把“平行四边形+对角线相等”与“对角线垂直”搞混。 核心性质是对角线相等和四个直角。判定图形时，找一个直角或对角线相等即可。 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【难度】0.85 【详解】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等． 2．（25-26八年级下·四川广安·期中）下列说法错误的是（    ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．四个角都相等的四边形是正方形 【答案】D 【详解】解：∵矩形的对角线相等是矩形的基本性质，∴A说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直是菱形的基本性质，∴B说法正确，不符合题意； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形的判定定理，∴C说法正确，不符合题意； ∵四个角都相等的四边形，内角和为，可得每个内角为，该四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形，但不一定是正方形，则该命题错误，故D符合题意. 3．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）下列命题中，是假命题的是（   ） A．矩形的对角线互相平分且相等； B．菱形的对角线互相垂直； C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． 【答案】D 【详解】解：A．矩形的性质是对角线互相平分且相等，该命题是真命题，不符合题意． B．菱形的性质是对角线互相垂直平分，该命题是真命题，不符合题意． C．平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该命题是真命题，不符合题意． D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，因此该命题是假命题，符合题意． 4．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵矩形的对角线，相交于点O ∴，，，故A，B，D正确； 根据题意无法证明，故C错误． 题型十：等积转化与利用等面积法转化线段 选错对应的高（如用矩形一边长去算对角线上某点的高，应找准直角三角形面积） ①矩形中对角线将矩形面积分为4个相等小三角形； ②已知面积求高：找准三角形的底和高，利用（S=底×高）求点到对角线的距离。 1．（25-26九年级下·甘肃陇南·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】9 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，矩形中，对角线相交于点O，已知，，的面积为20，则的长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 故选：D． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）在矩形中，，，对角线与交于点O，E为边上的一个动点，，，垂足分别为F、G，则（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【详解】解：在矩形中，，， 对角线， ， 矩形总面积为，对角线分成的四个三角形面积相等， 的面积为矩形面积的，即， 连接，将拆分为和两个小三角形，则两个小三角形的面积和等于的面积， ， ， ． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，已知矩形，、交于点O．小淇，小尧两位同学利用所学数学知识，做出了菱形并给出了证明的思路． 小淇：如图①，分别过点A、C作，，过点B、D作，． …… ∴四边形是菱形． 小尧：如图②，分别过点A、C作，，过点B、D作，． …… ∴四边形是菱形． (1)请选择一位同学的方法，完成证明． (2)设四边形，四边形的面积分别为a，b．若，则______________． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.45 【分析】（1）小淇：根据平行四边形的性质得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，再由菱形的判定得出四边形是菱形，同理：四边形、均为菱形，结合菱形的性质和判定即可证明； 小尧：根据题意得出四边形是平行四边形，再由等面积法得出，即可证明； （2）根据题意得出，连接分别交于点S、O，设，则，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，，计算得出菱形的面积为：，矩形的面积为：，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：小淇：分别过点A、C作，，过点B、D作，． ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∴四边形是菱形， 同理：四边形均为菱形， ∴， ∴即， ∴四边形是菱形． 小尧：如图②，分别过点A、C作，，过点B、D作，． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵矩形， ∴， ∵四边形的面积， ∴， ∴四边形是菱形． （2）由（1）得四边形、均为菱形， ∴四边形的面积矩形的面积，即； 连接分别交于点S、O，如图所示： ∵， ∴为等边三角形，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：， 矩形的面积为：， ∴， ∴． 题型十一：矩形的证明 只证“对角线相等”而四边形是等腰梯形的反例；忽略“内角互补”推直角。 1.已知平行四边形：再加一个直角或对角线相等； 2.已知四边形：①先证平行四边形；②证三个角是直角或证对角线相等且互相平分。 1．（25-26九年级下·山东聊城·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，，． 命题1：若四边形是菱形，则四边形是矩形； 命题2：若四边形是矩形，则四边形是菱形．任选一个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】见解析 【详解】解：命题1：真命题，证明如下： 证明：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∴四边形是矩形； 命题2：真命题，证明如下： 证明：∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 2．（25-26八年级下·广东汕尾·期中）如图，O是菱形对角线与的交点；过点C作，过点B作，与相交于点E．求证：四边形为矩形； 【答案】证明见解析 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 即， 四边形是矩形． 3．（24-25八年级下·云南文山·期中）已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【详解】证明：， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形，对角线与相交于点E， ， 四边形为菱形． 4．（25-26九年级上·福建三明·期中）点O是菱形的对角线的交点，，，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形． ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即 ∴平行四边形是矩形． 题型十二：坐标与矩形 已知三点求第四点时，混淆哪两条是对边，未分情况讨论。 1. 利用对边平行且相等（平移坐标）或对角线相等且互相平分（中点公式），画草图辅助； 2. 结合矩形原有性质梳理等量关系和“一线三直角”的全等三角形模型转化边长求坐标； 3. 设未知线段，借助勾股定理和方程求解长度、角度。 1．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【详解】解：连接，过作轴于， 点的坐标是， ，，由勾股定理得：， 四边形是矩形， ， ． 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形的顶点的坐标是，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，， ∴在矩形中，． 3．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形的四条边上分别取，，，四点，顺次连接所得四边形为四边形的内接四边形． (1)如图，矩形，，点在线段上且，四边形是矩形的内接平行四边形，求的长度； (2)如图，平行四边形中，点在线段上，请你在图中画出平行四边形的内接菱形，点在边上；（尺规作图，保留痕迹） 【答案】(1)6 (2)见解析 【难度】0.55 【分析】（1）连接，证明得出，根据，即可求解． （2）由（1）知：，则，作，连接，再作的垂直平分线，交于，得四边形即为所求作的内接菱形； 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，菱形即为所求 题型十三：运用矩形的性质进行计算或证明 忽略矩形中隐含的平行线带来的等角。 1.和运用菱形进行计算相似，常结合全等（如AAS证全等）或勾股方程。 2.遇中点连接对角线交点。 3.运用矩形的性质可以证明线段相等或倍分关系，以及直线的位置关系、角的等量关系. 运用时应注意： ①矩形的性质是证明线段相等、角相等、线段平行或垂直的常用依据和手段； ②矩形的四个角都是直角，据此，常把矩形的有关问题放到直角三角形中解决； ③矩形的两条对角线相等且互相平分，并将矩形分割成四个等腰三角形，因而矩形的有关问题也常放在等腰三角形中解决. 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，．则的长为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，矩形的对角线相交于点，，，求的长度． 【答案】8 【详解】解：四边形是矩形， ， 是等边三角形， ， ． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为．已知，求的度数． 【答案】的度数为 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，将矩形的对角线向两端延伸，使，连接，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：在矩形中， ∴， ∴， 又， ∴． ∴． 5．如图，为矩形的边上的点，连接，，过点作垂足为点．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 6．如图，矩形中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∴， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接交于点O， 在矩形中，， ， ， ， 在中，， ． 7．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在中，，是的中点，过点作EC的平行线，过点C作AB的平行线，两线相交于点D．连接DE，交AC于点O．过点E作于点． (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，则线段的长为_______． 【答案】(1)四边形是菱形，证明见解析 (2) 【难度】0.52 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）先由勾股定理计算的长度，再根据菱形对角线互相平分的性质和证明是的中位线可得，然后由菱形的面积的两种表示方法求出即可解决问题． 【详解】（1）解：四边形AECD是菱形． 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，点是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：在中，，， ∴， ∵四边形是菱形，对角线与互相平分， ∴，，且， 又∵是的中点，则是的中位线， ∴， ∴， ， 又， ， ∴， ∴. 8．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形（点、、的对应点分别是点、、），使得点落在边上，的延长线与交于点，连接． (1)求证：平分； (2)试判断与的长度是否相等，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是，理由见解析 【详解】（1）证明：根据旋转得， ∴. ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：将矩形旋转得到矩形， ∴， ∴， ∴， ∴. 9．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，是上一点，且，连接，、分别为，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.52 【分析】（1）由中位线的性质可得，，结合可得，因此四边形是平行四边形； （2）设，则，由平行四边形的性质可得，结合可得，由直角三角形的性质可得，在中，利用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】（1）证明：∵、分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：设，则， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵，且点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 10．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ． ， ， ∴四边形是矩形． ， ， ； （2）解：连接， ∵矩形， ∴， ∵点F是的中点， ， 是等边三角形，点E是的中点， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ． 题型十四：矩形的折叠问题 1. 忽略折叠全等，不会利用等量关系列等式 2 .找错对应边导致方程列错；忘了折痕垂直于对称点连线（若过对称点连线中点）。 1. 折叠前后图形全等，对应边、角保持相等：设未知数 x，在直角三角形中利用勾股定理列方程（核心是找含x的Rt△）。折痕是对应点连线的垂直平分线。 2. 结合矩形原有性质，梳理等量关系； 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，把一张矩形纸片沿（点E、F分别在、上）所在直线折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则的度数为____________． 【答案】80 【详解】解：∵四边形是长方形，， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________． 【答案】 【详解】解：由折叠的性质可知：，， ∴． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 【答案】(1)6，4 (2) 【详解】（1）解：∵四边形是长方形，，，是 折叠得到， ∴．， ∴在中，， ∴． （2）解：设， ∴，． 在中，， ∴， 解得：， ∴． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：连接，如图： ∵对折矩形纸片，为折痕， ，， 垂直平分 沿折叠，使点D落在矩形内部点M处， 为等边三角形 ． 5．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴； （2）解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）图形折叠求解： (1)如图1，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求的长和四边形的周长． (2)如图2，将沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 【答案】(1)的长为，四边形的周长为 (2) 【难度】0.5 【分析】（1）利用折叠的性质得到，在中利用勾股定理建立方程求出的长；进而证明四边形为菱形，利用菱形面积公式求出的长，最后计算四边形的周长； （2）通过作辅助线构造直角三角形，利用平行四边形性质和折叠性质求出的长，证明四边形为菱形，利用勾股定理求出对角线的长，最后利用面积法求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴， ∵将矩形沿翻折，点C的对称点与点A重合， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 解得：， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为，四边形的周长为． （2）解：如图，连接，过点A作，交的延长线于点H， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴，， ∵将沿翻折，使点C的对称点与点A重合， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 设， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·山东泰安·期中）【问题情境】数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为 【特例探究】 (1)如图1，连接，与交于点，当点、、三点共线时，与相等的角为________（写出一个即可）． (2)如图2，为的中点，点恰好落在边上． ①判断四边形的形状并给出证明； ②求证： ③延长交于点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)或（任选一个） (2)①四边形的形状为菱形；②见解析；③，理由见解析 【难度】0.42 【分析】（1）根据折叠的性质和余角性质解答即可求解； （2）①由折叠的性质和等腰三角形的判定可得，即得四边形是菱形； ②根据为的中点可得，即得，即可得； ③连接，证明即可求解； 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， 由折叠可得，， ∵点、、三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ∴与相等的角为或， （2）①解：四边形的形状为菱形， 证明：理由如下： ∵四边形是矩形， ， ∵将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． ②证明：为的中点， ， ∵四边形是菱形， ， ， ， ， ． ③解：；理由如下： 如图2，连接， 由折叠可得，， ， ∵点为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现：将平行四边形纸片按图1所示折叠成完美矩形（折痕分别为），若平行四边形的面积为30，，则______，______； (2)类比探究：将纸片按图2所示折叠成完美矩形（折痕分别为），若，，，求的面积； (3)拓展延伸：将平行四边形纸片按图3所示折叠成完美矩形（折痕分别为），若，，求完美矩形的面积． 【答案】(1)3，5 (2)40 (3) 【难度】0.48 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，，根据平行四边形的性质，求出的长即可； （2）根据折叠的性质，以及三角形的中线平分面积进行求解即可； （3）连接，易得四边形是平行四边形，得到，设，，勾股定理求出，再根据矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵矩形， ∴， ∵平行四边形的面积为30，， ∴， ∴； （2）解：∵折叠， ∴， 设，则， ∵矩形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴； （3）解：连接， 由折叠可知：为的中点，为的中点， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴四边形的面积为． 题型十五：菱形、矩形、正方形之间的关系 1.认为“正方形是特殊的菱形但不是矩形”（错，正方形是两者交集）； 2.混淆“对角线相等”和“对角线垂直”的归属。 维恩图：矩形+邻边相等=正方形；菱形+一个直角=正方形；对角线相等且垂直的平行四边形=正方形。 1．（24-25八年级下·江西南昌·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【详解】解：A、当时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、当时，不可以证明矩形是正方形，故此选项符合题意； C、当时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、当时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形是正方形，故此选项不符合题意； 2．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形 【答案】C 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 选项A：当时，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故A正确，该选项不符合题意； 选项B：当时，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故B正确，该选项不符合题意； 选项C：当时，由“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得出它是正方形，故C错误，该选项符合题意； 选项D：当时，由“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故D正确，该选项不符合题意． 3．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 【答案】C 【详解】解：平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等. 故只有选项C正确. 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）下列说法中不正确的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．有三个直角的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D 【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，正确； B、有三个直角的四边形是矩形，正确； C、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确； D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意. 5．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在矩形中， 当时不能判定四边形是正方形，故A不符合题意； 当时，四边形是正方形，故B符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故C不符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故D不符合题意． 6．（25-26八年级下·吉林松原·期中）【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)平行四边形，菱形，矩形 (3)中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的 (4)四边形是同形中点四边形．见解析 【详解】（1）证明：连接． 、分别是、的中点， 是的中位线． ，． 同理得 ，． ，． 四边形是平行四边形． （2）解：当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是平行四边形； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是菱形； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是矩形； （3）解：中点四边形的形状是由原四边形的对角线的大小关系和位置关系决定的． （4）解：四边形是同形中点四边形． 理由如下：连接，． 点、、、分别为正方形的四边中点， ， ， ，，，， 四边形 是正方形， ，， ， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是正方形． 题型十六：根据正方形的性质进行计算 混淆边长与对角线（如已知对角线求面积，忘了除以2） ①对角线 = 边长×；②面积 = 边长2 = ；③出现45°角必用等腰直角。 1．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【详解】解：设正方形边长为， ，即， 解得（负值已舍去）， 故正方形的周长为． 2．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵ ∴． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，是一个正方形花园，是一条小路，现准备继续修建两条观光小路和，若小路长为15米，则小路长为_______米． 【答案】15 【详解】解：连接， 四边形为正方形， ∴垂直平分， ∴， ∵米， ∴米． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______． 【答案】/75度 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 5．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在正方形中，点是上一点，连接，，点、分别在、上，连接，若，则的度数为______． 【答案】53 【详解】∵在正方形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在一个边长是8的正方形中，点E，F分别是边，的中点，连接和，点G，H分别是，的中点，连接，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边上，，过点E作，分别交于点G、F，点H、M、N、P分别是的中点，则的长是________． 【答案】 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ． 又， ， ， ∴四边形和都是矩形， ． ． ， 是等腰直角三角形． ∵M是的中点， ， ． ∵四边形是矩形， ． 又∵N是的中点， ∴N是的中点， ． 8．（25-26八年级下·陕西延安·期中）如图，四边形，分别是菱形与正方形，连接，若，求的度数． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形，分别是菱形与正方形，且为对角线， ∴， ， ， ∵四边形是菱形， ， ． 题型十七：运用正方形的性质进行证明或证明正方形 证明正方形时，只证到菱形或矩形就停步，必须验证两条性质同时满足。 1.正方形的判定：在判定一个四边形是正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”。 ①判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等； ②先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 2.常用旋转全等（手拉手模型）证边角。 1．（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， 即 ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴． 2．（25-26九年级上·四川广安·月考）已知：如图，点E是正方形的边上一点，，，逆时针旋转后能够与重合． (1)旋转中心是______，旋转角为______度； (2)请你判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)点， (2)等腰直角三角形，理由见解析 【详解】（1）从图形和已知可知：旋转中心是点，旋转角的度数等于的度数，即， 故答案为：点，． （2）为等腰直角三角形，理由如下： 四边形为正方形， ， 逆时针旋转后能够与重合， ， ，， ， 是等腰直角三角形． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，菱形的三个顶点E，F，G分别在矩形的边上，且，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【详解】证明∶∵四边形是矩形，四边形是菱形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【详解】解：∵菱形的对角线和交于点O， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 4．（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究之间的数量关系，直接作答无需证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.55 【分析】（1）过点E作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，然后证明四边形是矩形，得到，从而得到，然后证明得到，即可证明矩形是正方形； （2）证明得，进而推出，由此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点E作于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ， ∵，， ． ∵， ∴四边形是矩形． ． ∵ ． ． ． ． ∴矩形是正方形； （2）解：． 证明：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，． ． ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，将正方形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：连接，交于点， 四边形是正方形， ，，， ， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是正方形， ，， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得，（舍）， ， ，， 由（1）知四边形是菱形， ． 6．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，已知：等腰梯形中，，，、、、分别是、、、的中点． (1)求证：； (2)四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． (3)连接，当四边形是正方形时，线段与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)四边形是菱形，证明见解析 (3)，且，理由见解析 【详解】（1）证明：由题意可得是等腰梯形， ， 在和中，，， ， ． （2）四边形是菱形． 证明：、是的中位线，且由（1）得， ，，， 四边形是菱形． （3），且 ． 证明：连接， 是正方形， ，即是等腰直角三角形， ， 且 7．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在正方形中，M为的中点，， (1)求证：平分； (2)连接，若，求的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：取的中点F，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点F是的中点，点M是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴平分． （2）解：如图， ∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 题型十八：坐标与正方形 顺时针与逆时针旋转导致坐标符号相反，漏掉多解情况。 1.利用三垂直全等模型（K型）求顶点坐标； 2.绕点旋转90°时，用坐标差构造全等。 1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 【答案】 【详解】解：如图，过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为， ∴，则四边形是矩形 ∵四边形是正方形，对角线，交于点． ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴四边形是正方形 ∴ 设 ∴， 解得： ∴ ∴ 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 【答案】20 【详解】解：过点D作y轴的垂线，垂足为点E；从点D坐标，可知E点坐标，； 四边形是正方形， ， 与互余， ， 与互余， ， ， ，， ， ． 1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 如图，连接， 由勾股定理可得：， 由旋转的性质可得：， ∵将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式， ∴相当于将线段绕点O逆时针旋转，依次得到， ∴，，，，，，，，…， 由此可得，8次一循环， ∵， ∴点的坐标为． 题型十九：正方形的折叠 1.未识别出折叠产生的45°角，用复杂三角函数徒增计算； 2.折痕垂直平分特性未用。 1. 结合正方形原有性质，梳理等量关系； 2. 设未知线段，借助勾股定理和方程求解长度、角度。（注：折叠后产生等腰直角三角形，可简化边长计算） 1．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图所示，小华首先将一张正方形的纸片按（1）、（2）、（3）的顺序三次折叠，然后沿第三次折痕剪开，将剪下的这部分展开，平铺在桌面上，这时得到的一定是（    ） A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【详解】解：由图形可得出：剪下的这部分是由4个直角三角形组成的， 故将剪下的这部分展开得到的一定是菱形． 2．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ）；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 所以，正确； 根据折叠的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴，正确； 设，则， ∵， ∴， 在中，利用勾股定理可得， 即， 解得，即，正确， 综上可得：正确，共个． 3．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，正方形的边长为4，点E，F 分别在边，上，将、分别沿、折叠，使B，D恰好都落在M处，已知，则的长为____________ ． 【答案】3.4 【详解】解：由图形折叠可得，， ∵正方形的边长为4， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3.4． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【答案】B 【难度】0.56 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据勾股定理可知；通过等腰三角形中角度关系可知，即可证明；通过等高的三角形底边之比即可计算面积求解． 【详解】解：根据折叠可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴，， 设， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，且，，和等高， ∴， ∴， ∴④错误， ∴①②③正确． 题型二十：正方形中的面积转化问题 1.重叠面积计算时重复加减； 2.割补后图形边界没算清。 1.常用割补法和等积变换。 2.连接对角线，将不规则面积转化成小等腰直角三角形面积之和。 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 2．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，正方形的面积为，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______． 【答案】 【详解】解：正方形的面积为4， ，， 点，，，分别为边，，，的中点， ， ， 同理可得， 四边形的面积为． 3．（21-22八年级下·山东泰安·期中）如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 4．（25-26八年级上·四川巴中·期中）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则正方形的周长为______． 【答案】 【详解】解：四边形、、均为正方形， ，，， ， ， ， 在中，， ， （负值已舍去）， 正方形的周长为， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，为边长为1的正方形内的一点，为等边三角形，则___________． 【答案】/0.5 【详解】解：过点P作于点E，如图， ∵为边长为1的正方形内的一点，为等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.5 【分析】连接、，由正方形的性质可得，，则，，结合等量代换可得． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在矩形中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径作弧交于点P，作射线，过点D作的垂线交的延长线于点Q，则的长为（     ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：如图，令与的交点为， 在矩形中，，， ，， ， ， ， 由作法可知，平分， ， 又， ， ， ， 在中，． 2．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，的四个角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形是矩形．下列是排乱的证明过程，证明步骤正确的顺序是（   ） ①∵分别平分与， ∴，； ②∵四边形是平行四边形，∴； ③∴； ④∴； ⑤∴； ⑥同理，∴； ⑦∴四边形是矩形． A．②③①⑤④⑥⑦ B．②①③⑥④⑤⑦ C．⑦⑤⑥③②④① D．①②④③⑥⑤⑦ 【答案】A 【详解】解：证明步骤正确的顺序是： ∵四边形是平行四边形，∴； ∴； ∵分别平分与， ∴，； ∴； ∴； 同理，∴； ∴四边形是矩形． 即为②③①⑤④⑥⑦． 3．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，， 如图所示，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小，如图， ∴， ∴， ∴的最小值为． 4．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点，点E是上一点，且，连接，下列结论：；；；，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：平行四边形的对角线交于点 ， 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 故， 故正确； ； 故错误； ， 故正确； ， ， 故正确； 5．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，、是菱形的顶点，点从点出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点从点是出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，若点的速度是点的速度的2倍，则点和点第2026次相遇时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的周长， 已知点从点出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点从点是出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，点的速度是点的速度的2倍， ∴设点的速度为，则点的速度为，设时间为， 第一次相遇时，两点路程和为， ∴，则， ∴，此时点M在点D处，坐标为； 第二次相遇，两点路程和为，则，此时点M在线段的处，即点的位置，如图所示， 第三次相遇，两点路程和为，则，即，即从运动到的处，如图所示的点处， 第四次相遇，两点路程和为，则，此时点M在点D处，此时坐标为； ， ∴点的坐标每3次相遇循环一次， ∵， ∴第2026次相遇时点的坐标与第1次相同，为． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， 在与中， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， 如图，延长交的延长线于， ， ， 点是的中点， ， ，，， ， ， ， 是斜边的中线， ， ， ，， ．故③正确； ∵ ∴， 若成立， ， ， ，， ， ， 在中，有， ， ， 显然， 假设不成立， ，故④错误， 故正确的有①②③． 6．（25-26八年级下·四川南充·期中）正方形中，F正方形边上一个动点，连接交对角线于点E，过点E作，，垂足分别为M，N，连接，过E作交于H，下列说法：①四边形的周长是一个固定值；②；③存在某个F点，使得四边形是菱形；④；⑤当F运动到的中点时，；正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【详解】解：①∵四边形是正方形 ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴四边形的周长，是定值，故①正确； ②如图，连接， ∵四边形是正方形 ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴，故②正确； ③∵四边形是矩形 ∴ ∴在中， ∴四边形不可能是菱形，故③错误； ④如图，延长交于点G ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴，即 ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴，故④正确； ⑤当F运动到的中点时， 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②④⑤． 7．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，与相交于点O，若平分，，，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 8．（25-26八年级下·陕西延安·期中）如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 【答案】 / 【难度】0.51 【详解】解：如图，取中点为，连接、， 设， ，，四边形是正方形， ，， ， ， 、分别是、的中点， 且， ， 又、分别是、的中点， 且， ∵在正方形中，， ， ， 过点作交延长线于点， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在中，， ． 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④，⑤若点P在上，连接，则的最小值为，其中正确的结论有________．（填写序号） 【答案】①②⑤ 【难度】0.55 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，故②正确； 在中，，，在中，，对应边不相等，故和不全等，③错误； ∵， ∴， ∴，故④错误； 如图：由垂线段最短可得，当时，最小， ∵， ∴， ∴，即的最小值为，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②⑤． 10．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有___． 【答案】①②③④ 【难度】0.65 【详解】解：①∵正方形的边长为1，是对角线上一动点， ∴，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故①正确； ②如下图，四边形是矩形，连接，， 在与中， , ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，故③正确； ④∵， ∴最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，， ∵， ∴， ∴，故④正确． 11．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在菱形中，，． （1）菱形的面积为______． （2）线段（点在点的左侧）在直线上移动，且，当时，的长为______． 【答案】 【难度】0.49 【详解】（1）解：如图，连接，与交于点， ∵是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形，， ∵菱形的对角线相互垂直平分， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，与交于点， 由（1）可知，， ∵，， ∴是直角三角形， 设， 当点在点的左侧，点在点的右侧，则， ∵是直角三角形， ∴， 即， ， 解得， ∴， 当点、点同在点的左侧，则， 可得方程 解得（舍去）， ∴， 当点、点同在点的右侧，则， 可得方程 解得， （舍去）． 综上所述，． 12．如图，在小正方形组成的网格中，四边形的顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，作矩形，使得点E，F分别在上． (2)在图2中，作矩形，使得点G，H分别在上． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【难度】0.85 【详解】（1）解：矩形如图所示： （2）解：矩形如图所示： 13．如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.85 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 14．（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，D是边上一点，且，平分交边于点E，平分交边于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【详解】（1）证明：平分，平分， ，，       ， 即，       ，平分， ，       又， 四边形是矩形． （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， ，， ，，E是的中点．       ， ， ，       ，即D是的中点． 是的中位线． ，       15．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，连接，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.56 【详解】（1）证明：∵，， 四边形是平行四边形， 在菱形中，， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， 四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ∴， ∵， ，， ，， 四边形的面积． 16．（25-26八年级下·山东泰安·期中）【教材呈现】教材中有一个例题：如图1，在中，，垂足是，是的外角的平分线，，垂足是，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形．请给出其证明． 【问题探究】数学兴趣小组在原题上进一步探究： (2)如图2，当时，四边形是什么特殊的四边形？请帮助小组的同学猜想出结果并给出证明． 【答案】(1)见解析 (2)当是等腰直角三角形时，四边形为正方形，理由见解析 【难度】0.62 【详解】（1）证明：如图， ，， 平分， ， 是的外角平分线， ， ， ， 即， 又， ， 又， ， 四边形是矩形． （2）解：当是等腰直角三角形时，四边形为正方形，证明如下： 在中，平分， ， ∵， ∴， ， 又四边形是矩形， 矩形为正方形． 17．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，已知：在中，、分别是边、上的中线，并交于点G，连接，点M是的中点，分别连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【难度】0.5 【详解】（1）证明：∵点是线段的中点，即，， ∴， 同理，可得， ∴四边形是一个平行四边形． （2）证明：∵、分别是边、上的中线，并交于点G， ∴点G是的重心． ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是一个平行四边形， ∴四边形是一个菱形， ∵，， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是一个矩形， ∴四边形是一个正方形． 18．（25-26八年级下·山西大同·期中）阅读与思考： 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．     我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．有以下结论： （1）当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． （2）瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． （3）瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半． 我们小组同学对四边形进行探究：如图2，在四边形中，点分别是边的中点，当对角线相等时，四边形是① ． 证明：分别为的中点， ，．（② ） 同理…… 任务： (1)填空：材料中①代表的内容______；材料中②代表的内容______； (2)补全材料中的证明过程； (3)在下图中作四边形使它的瓦里尼翁平行四边形为正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)菱形；三角形中位线定理 (2)见解析 (3)见解析 【难度】0.55 【详解】（1）解：菱形；三角形中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半）． （2）解：，，， ， 四边形为平行四边形， 又， ， 四边形为菱形． （3）解：由（1）（2）可知，当时，四边形为菱形， 若， 由三角形中位线定理，得，， ， ， 四边形为正方形， 作且即可． 19．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接、、，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，若点是边上的动点（不与、重合），连接，过点作于点．令的面积为，的面积为，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【难度】0.45 【详解】（1）证明：∵是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， 又 ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵，且与等高， ∴，即， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 在中，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得（负值已舍去）， 答：的长为． 20．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，，点E是上一点（点E与A、D不重合），点F是边上的点，满足． (1)连接、、，证明； (2)若，试探究线段、、的数量关系，并写出证明过程； (3)连接分别交、于点M和N，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【难度】0.3 【详解】（1）证明：连接， ∵菱形中，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴是等边三角形 ∴； （2）解：，理由如下： 过点作交的延长线于点，设，， ∴， ∵， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ； （3）解：设，则， ∵菱形中，， ∴， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即． 21．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）根据题目条件，回答下列各题 (1)[问题呈现] 在数学活动课上，王老师为每个学生提供了几张矩形纸片．王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于E、F，求证四边形是菱形．请你补全证明过程； (2)[类比应用] 如图2，直线EF分别交矩形的边、于点E、F，将矩形沿翻折，使点C与点A重合，点D的对应点为，若，，求四边形的周长； (3)[拓展延伸] 如图3，矩形中，，，点E在射线上运动，将沿着折叠，当点A恰好落在的中垂线上时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【难度】0.42 【详解】（1）证明：设与交于点， 四边形是矩形， ， ， 垂直平分， 、， 在和中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接、， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， 由翻折的性质得到：垂直平分， 同（1）证得：四边形是菱形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 、， ， ， 解得：， 四边形的周长为：； （3）解：四边形是矩形， 、、， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 、， 四边形是矩形， 、， 分两种情况： 如图，当点在矩形的内部时： 由折叠的性质得：、， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即的长为； ②如图，当点在矩形的外部时， 由折叠的性质得：、， 同①得：， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即的长为10； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为 或． 22．（25-26八年级下·湖北十堰·期中）某数学兴趣小组在课外活动中，对正方形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，易得．请证明； (2)如图2，在正方形中，点，，分别在边，，上，且．试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将边长为6的正方形沿折叠，使得点落在的中点处，点落在点处，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，． 【难度】0.52 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即 在和中， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点G作于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴同理可得：， 在和中， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点作交于， 四边形是正方形， ，，， ， 将边长为的正方形沿折叠，使得点落在的中点处， ，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ； 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 特殊平行四边形的性质与判定 考点一：菱形 定义 的叫做菱形 性质 符号语言 图示 边 菱形的 ∵四边形ABCD是菱形，∴ 对 角 线 菱形的，且 ∵四边形ABCD是菱形，∴ ， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 菱形的面积 ①菱形的面积=底×高，即. ②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半，即. 判定方法 定理 符号语言 图示 边 的四边形是菱形. 在四边形ABCD中， ∵ ，∴四边形ABCD是菱形 的是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵ ，∴▱ABCD是菱形 对角线 的是菱形. 在平行四边形ABCD中， ∵ ，∴▱ABCD是菱形 考点二：矩形 矩形的定义 有的叫做矩形. 性质 符号语言 图示 角 四个角都是 ∵四边形ABCD是矩形 ∴ 对角线 两条对角线 ∵四边形ABCD是矩形 ∴ 判定定理 符号语言 图示 角 的是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵ ，∴平行四边形ABCD是矩形 的四边形是矩形 在四边形ABCD中，∵ ， ∴四边形ABCD是矩形 对角线 的是矩形 在平行四边形ABCD中， ∵ ，∴平行四边形ABCD是矩形 考点三：正方形 正方形的定义 且是正方形. 性质 符号语言 图示 角 四个角都是 ∵四边形ABCD是正方形 ∴ 边 四条边都相等， 对边平行. ∵四边形ABCD是菱形，∴ ， ， 对角线 两条对角线 ∵四边形ABCD是正方形,∴ 、 、 ， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD， AC平分∠BAD，AC平分∠BAD 判定方法 定义法 有一组邻边相等 且有一个角是直角的平行四边形是正方形 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 判定 定理 已知是矩形时 有一组邻边相等的矩形是正方形 矩形+一组邻边相等 对角线互相垂直的矩形是正方形 矩形+对角线互相垂直 已知是菱形时 有一个角是直角的菱形是正方形 菱形+一个角是直角 对角线相等的菱形是正方形 菱形+对角线相等 考点三：特殊平行四边形与平行四边形之间的关系 四边形 边 角 对角线 矩形 ①平行四边形+一直角 ②四边形+三直角 平行四边形+两条对角线相等 菱形 ①平行四边形+一组邻边相等 ②四边形+四条边都相等 平行四边形+两条对角线互相垂直 正方形 矩形+一组邻边相等 菱形+一直角 矩形+对角线互相垂直 菱形+对角线相等 平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角 题型一：运用菱形的性质求值 ①菱形的对角线互相垂直平分，因此涉及菱形的问题常会在直角三角形中解决； ②菱形的四条边相等，因此菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合. 具体步骤：连接对角线。菱形对角线垂直平分且平分每一组对角，构造出4个全等的直角三角形，利用勾股定理或三角函数求边长/角。 误以为对角线相等（实际只有垂直）；求角度时忽略“对角相等，邻角互补”。 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在边长为1的菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折得，与边交于点F，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 3．（2026·四川成都·二模）图，在菱形中，已知，交于点E，且，则线段的长为___________． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，若，，则边上的高为______． 5．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．若，则的长是_________． 6．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在菱形中，垂足为E，交于F，E为中点，若则_______ 7．（25-26八年级下·河北雄安·期中）如图，在菱形中，过点作垂直于，交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·重庆合川·期中）如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）如图，把菱形沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接．若，则的度数为________． 题型二：菱形的判定（选填） 把“对角线互相垂直”直接当菱形（筝形也垂直，但不是平行四边形，必须强调是平行四边形）。 判定定理+排除法：选填题优先看“邻边相等”条件。 ①平行四边形+邻边相等；②平行四边形+对角线垂直；③四边都相等。 1．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·福建宁德·期末）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A． B．C． D． 3．（25-26八年级下·广东潮州·期中）如图，利用几个全等的直角三角尺（含角）拼摆成如下的四边形，其中不是菱形的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）已知四边形中，，点E，F，G，H分别为各边的中点，则四边形EFGH的形状一定是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 6．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与交于点E，与交于点F，连接，，则四边形的形状为______． 7．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形中，分别是，，，的中点，要使四边形是菱形，四边形应满足的条件是______． 题型三：求菱形的面积 ①用对角线求面积时：忘乘 1/2； ②两种公式混淆：求面积时用边长乘对角线。必须对角线和对角线相乘，边长与对应的高相乘。 根据已知条件，对两种公式进行灵活运用： ①S = 底×高 或 S = 对角线乘积的一半。（*若给边长和一个角，可用锐角三角函数求高） 1．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图是一款利用菱形四连杆伸缩结构实现折叠收纳的壁挂式挂架，也常被称为伸缩衣帽架或魔术挂架．这个挂架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为________． 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，菱形中，点、分别是，的中点，连接、、，则与菱形的面积之比是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南新乡·期中）如图，在矩形中，边的长为，点，分别在，上，连接，，，，与交于点．若四边形是菱形，且，则菱形的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，两条宽为的长方形纸条叠放得到四边形，若，则这个四边形的面积为__________． 题型四：菱形的证明 1.只用“对角线垂直”就下结论，缺“平行四边形”前提； 2.循环论证（用结论证结论） 1.证平行四边形为菱形：证明邻边相等或对角线互相垂直 2.证四边形为菱形：①优先证明四边形是平行四边形（如一组对边平行且相等），再叠加“邻边相等”或“对角线垂直”；②证明四条边相等；③证明对角线互相平分且垂直。 3.若图形复杂，从要证明的菱形切入倒推法分析条件更高效。 1．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，．求证：四边形是菱形． 2．（25-26九年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，在平行四边形中，点，分别在，上，与相交于点，，，连接．求证：四边形是菱形． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在平行四边形中，点是对角线上的一点：，垂足分别为、，且，求证：平行四边形是菱形． 4．如图，在平行四边形中，点E、F在对角线上，且． (1)求证：； (2)若，说明四边形为菱形． 5．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点交于点，连接平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 6．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 题型五：运用菱形的性质进行证明和计算 1. 性质运用混乱，推理逻辑断层 2. 作辅助线后，误把任意中点当成对角线交点（菱形对角线交点才具有垂直平分特性） 1. 充分利用“垂直平分线”性质，结合中位线或全等三角形转化线段； 2. 菱形与等腰三角形、等边三角形的综合应用较多，利用菱形的性质求线段、角时，注意菱形与其他几何知识的结合； 3. 通过“找等边”、“找等角”，完成线段、角度等量关系的证明。 1．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，菱形中，，E、F分别是边和的两点且，连接，，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的周长． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 3．（25-26八年级下·北京·期中）已知如图，四边形是菱形，，点E、F分别是边上的动点，且．连接，取中点G，连接． (1)判断与的位置关系，用等式写出它们的数量关系，并证明； (2)连接交于点O，点E、F在运动过程中，四边形是否可以是平行四边形？若可以，请求出此时的长；若不可以，请说明理由． 题型六：坐标与菱形 顶点顺序未按逆时针/顺时针排列时，邻边会对应错，导致多解或漏解。 1.利用中点坐标公式（对角线互相平分）和两点间距离公式（邻边相等）。 2.设未知点坐标，列方程组求解； 3.构造全等三角形、借助勾股定理表示距离。 1．（2026年宁夏回族自治区吴忠区初中学业水平调研九年级数学试卷）如图，菱形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是________． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在原点处，顶点在轴上，已知点的坐标为，则点的坐标为______． 3．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，以菱形的顶点为原点，对角线所在直线为轴建立平面直角坐标系，若，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图1，四边形为菱形，，，，，且． (1)求的长； (2)点在上运动，为等边三角形． ①如图2，求证：，并直接写出的最小值； ②如图3，当点在的上方时，求点的横坐标． 题型七：菱形、矩形、正方形有关的作图 1.尺规作图中：痕迹保留不全； 2.检查：作图后不验证是否满足“邻边相等”或“直角”条件而出错。 1.菱形作垂直平分线、矩形作垂线、正方形结合两者。 2.明确是利用对角线性质还是边性质作图。 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）图1、图2分别是的正方形网格，网格中每个小正方形的边长都是1，请在图1、图2中各画一个图形，分别满足下列要求： (1)在图1中画出一个周长为18的平行四边形（非矩形），所画的平行四边形的各顶点必须在小正方形的顶点上； (2)在图2中画出一个面积为24的菱形，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图1，在菱形中，，，点E是边上一动点，F是边上一动点，且，连接、． (1)求证：； (2)如图2，试仅用一把无刻度的直尺，在边上作点G，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 3．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知四边形是矩形．求作菱形，使得点、分别在、边上（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，已知A、E、F、G为平面上四个点．求作：菱形，使得E、F、G分别在，，上．要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 5．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，已知．请用尺规作图法，求作正方形，使得点D是边的中点，在边上，且点G在的内部．（保留作图痕迹，不写作法） 6．（25-26八年级下·北京昌平·期中）已知：在矩形中，是对角线． 求作：菱形，使点，分别在边，上． 作法：如图， ①分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在线段两侧分别交于点，； ②作直线交于点，与，分别交于点，； ③连接，． 所以四边形就是所求的菱形． 根据上面设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：连接，；，． ，， 是的垂直平分线， ． ∵四边形是矩形， ， ① ． 又， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形② （填推理的依据） 又， 四边形是菱形③ （填推理的依据） 题型八：根据矩形的性质进行计算 1. 认为对角线平分角（矩形对角线和边不夹45°，只有正方形才分角） 2. 图形拆分不当，找不到基础边角关系 1.和边有关的数量关系： ①矩形对角线相等且互相平分；②斜边上的中线=斜边一半（如直角三角形斜边被对角线交点平分）。 2.已知对角线长用勾股定理求长宽。 1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则的长是(   ) A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，过矩形对角线的交点，且分别交，于、，若，，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在矩形中，两条对角线交于点，，，则长为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图，在矩形中，对角线与交于点O，的平分线交边于点E，F是的中点，若，，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 6．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，已知四边形是菱形，四边形为矩形，E为矩形对角线的交点．若平分，，矩形的面积为（  ） A．18 B． C． D． 题型九：与矩形有关的结论判定 ①选“对角线互相垂直”的矩形（错，那是正方形）； ②把“平行四边形+对角线相等”与“对角线垂直”搞混。 核心性质是对角线相等和四个直角。判定图形时，找一个直角或对角线相等即可。 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 2．（25-26八年级下·四川广安·期中）下列说法错误的是（    ） A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．四个角都相等的四边形是正方形 3．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）下列命题中，是假命题的是（   ） A．矩形的对角线互相平分且相等； B．菱形的对角线互相垂直； C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． 4．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）如图，矩形的对角线，相交于点O．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 题型十：等积转化与利用等面积法转化线段 选错对应的高（如用矩形一边长去算对角线上某点的高，应找准直角三角形面积） ①矩形中对角线将矩形面积分为4个相等小三角形； ②已知面积求高：找准三角形的底和高，利用（S=底×高）求点到对角线的距离。 1．（25-26九年级下·甘肃陇南·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，过点的直线分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为__________． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，矩形中，对角线相交于点O，已知，，的面积为20，则的长为（    ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）在矩形中，，，对角线与交于点O，E为边上的一个动点，，，垂足分别为F、G，则（   ） A． B． C．5 D． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，已知矩形，、交于点O．小淇，小尧两位同学利用所学数学知识，做出了菱形并给出了证明的思路． 小淇：如图①，分别过点A、C作，，过点B、D作，． …… ∴四边形是菱形． 小尧：如图②，分别过点A、C作，，过点B、D作，． …… ∴四边形是菱形． (1)请选择一位同学的方法，完成证明． (2)设四边形，四边形的面积分别为a，b．若，则______________． 题型十一：矩形的证明 只证“对角线相等”而四边形是等腰梯形的反例；忽略“内角互补”推直角。 1.已知平行四边形：再加一个直角或对角线相等； 2.已知四边形：①先证平行四边形；②证三个角是直角或证对角线相等且互相平分。 1．（25-26九年级下·山东聊城·期中）如图，在四边形中，对角线，相交于点O，，． 命题1：若四边形是菱形，则四边形是矩形； 命题2：若四边形是矩形，则四边形是菱形．任选一个命题，先判断真假，再证明或举反例． 2．（25-26八年级下·广东汕尾·期中）如图，O是菱形对角线与的交点；过点C作，过点B作，与相交于点E．求证：四边形为矩形； 3．（24-25八年级下·云南文山·期中）已知：如图，矩形中，对角线与相交于点E，作，与相交于点F．求证：四边形为菱形． 4．（25-26九年级上·福建三明·期中）点O是菱形的对角线的交点，，，连接．求证：四边形是矩形． 题型十二：坐标与矩形 已知三点求第四点时，混淆哪两条是对边，未分情况讨论。 1. 利用对边平行且相等（平移坐标）或对角线相等且互相平分（中点公式），画草图辅助； 2. 结合矩形原有性质梳理等量关系和“一线三直角”的全等三角形模型转化边长求坐标； 3. 设未知线段，借助勾股定理和方程求解长度、角度。 1．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在矩形中，点的坐标是，则的长是（    ） A．3 B． C． D．4 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形的顶点的坐标是，则的长度是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在四边形的四条边上分别取，，，四点，顺次连接所得四边形为四边形的内接四边形． (1)如图，矩形，，点在线段上且，四边形是矩形的内接平行四边形，求的长度； (2)如图，平行四边形中，点在线段上，请你在图中画出平行四边形的内接菱形，点在边上；（尺规作图，保留痕迹） 题型十三：运用矩形的性质进行计算或证明 忽略矩形中隐含的平行线带来的等角。 1.和运用菱形进行计算相似，常结合全等（如AAS证全等）或勾股方程。 2.遇中点连接对角线交点。 3.运用矩形的性质可以证明线段相等或倍分关系，以及直线的位置关系、角的等量关系. 运用时应注意： ①矩形的性质是证明线段相等、角相等、线段平行或垂直的常用依据和手段； ②矩形的四个角都是直角，据此，常把矩形的有关问题放到直角三角形中解决； ③矩形的两条对角线相等且互相平分，并将矩形分割成四个等腰三角形，因而矩形的有关问题也常放在等腰三角形中解决. 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，．则的长为______． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，矩形的对角线相交于点，，，求的长度． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为．已知，求的度数． 4．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，将矩形的对角线向两端延伸，使，连接，．求证：． 5．如图，为矩形的边上的点，连接，，过点作垂足为点．求证：． 6．如图，矩形中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的面积． 7．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，在中，，是的中点，过点作EC的平行线，过点C作AB的平行线，两线相交于点D．连接DE，交AC于点O．过点E作于点． (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，则线段的长为_______． 8．（25-26九年级上·陕西延安·期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形（点、、的对应点分别是点、、），使得点落在边上，的延长线与交于点，连接． (1)求证：平分； (2)试判断与的长度是否相等，并说明理由． 9．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，是上一点，且，连接，、分别为，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 10．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，的对角线相交于是等边三角形，且． (1)求的面积． (2)若点、分别是的中点，连接，求的长． 题型十四：矩形的折叠问题 1. 忽略折叠全等，不会利用等量关系列等式 2 .找错对应边导致方程列错；忘了折痕垂直于对称点连线（若过对称点连线中点）。 1. 折叠前后图形全等，对应边、角保持相等：设未知数 x，在直角三角形中利用勾股定理列方程（核心是找含x的Rt△）。折痕是对应点连线的垂直平分线。 2. 结合矩形原有性质，梳理等量关系； 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，把一张矩形纸片沿（点E、F分别在、上）所在直线折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则的度数为____________． 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，将矩形纸片折叠，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，同时得到线段，若，则的长为___________． 3．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，嘉淇同学用一张矩形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，为．当嘉淇折叠时，顶点D落在边上的点F处（折痕为）． (1) ， ； (2)求的长． 4．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：． 5．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，将矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）图形折叠求解： (1)如图1，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求的长和四边形的周长． (2)如图2，将沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 7．（25-26八年级下·山东泰安·期中）【问题情境】数学课上，兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠，折痕与边，分别交于点，，点的对应点记为，点的对应点记为 【特例探究】 (1)如图1，连接，与交于点，当点、、三点共线时，与相等的角为________（写出一个即可）． (2)如图2，为的中点，点恰好落在边上． ①判断四边形的形状并给出证明； ②求证： ③延长交于点，判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． (1)操作发现：将平行四边形纸片按图1所示折叠成完美矩形（折痕分别为），若平行四边形的面积为30，，则______，______； (2)类比探究：将纸片按图2所示折叠成完美矩形（折痕分别为），若，，，求的面积； (3)拓展延伸：将平行四边形纸片按图3所示折叠成完美矩形（折痕分别为），若，，求完美矩形的面积． 题型十五：菱形、矩形、正方形之间的关系 1.认为“正方形是特殊的菱形但不是矩形”（错，正方形是两者交集）； 2.混淆“对角线相等”和“对角线垂直”的归属。 维恩图：矩形+邻边相等=正方形；菱形+一个直角=正方形；对角线相等且垂直的平行四边形=正方形。 1．（24-25八年级下·江西南昌·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 2．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形 C．当时，它是正方形 D．当时，它是矩形 3．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）下列说法中不正确的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．有三个直角的四边形是矩形 C．两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形 5．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·吉林松原·期中）【新定义】顺次连接一个四边形各边中点所得四边形，叫做原四边形的中点四边形；若一个四边形的中点四边形与原四边形形状完全相同，则称这个四边形为同形中点四边形． 【观察探究】如图①，在四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、得到的四边形． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请你探究并填空： 当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是； 当四边形变成矩形时，它的中点四边形是； 当四边形变成菱形时，它的中点四边形是______； (3)根据以上探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？ 【类比延伸】 (4)如图②，点、、、分别为正方形的四边中点，顺次连接、、、得到四边形，请判断四边形是否为同形中点四边形，若是，请证明；若不是，请说明理由． 题型十六：根据正方形的性质进行计算 混淆边长与对角线（如已知对角线求面积，忘了除以2） ①对角线 = 边长×；②面积 = 边长2 = ；③出现45°角必用等腰直角。 1．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 2．（25-26八年级下·上海·期中）如图，正方形的边长为1，点E在对角线上且，则的长为______． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，是一个正方形花园，是一条小路，现准备继续修建两条观光小路和，若小路长为15米，则小路长为_______米． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，P是正方形内的一点，连接，，，．若是等边三角形，则的度数是______． 5．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在正方形中，点是上一点，连接，，点、分别在、上，连接，若，则的度数为______． 6．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在一个边长是8的正方形中，点E，F分别是边，的中点，连接和，点G，H分别是，的中点，连接，，则的长为______． 7．（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边上，，过点E作，分别交于点G、F，点H、M、N、P分别是的中点，则的长是________． 8．（25-26八年级下·陕西延安·期中）如图，四边形，分别是菱形与正方形，连接，若，求的度数． 题型十七：运用正方形的性质进行证明或证明正方形 证明正方形时，只证到菱形或矩形就停步，必须验证两条性质同时满足。 1.正方形的判定：在判定一个四边形是正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”。 ①判定一个四边形是正方形通常先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或者先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等； ②先判定四边形是平行四边形，再证明它有一个角为直角和一组邻边相等． 2.常用旋转全等（手拉手模型）证边角。 1．（25-26九年级上·广东河源·阶段检测）在菱形中，E，F是对角线所在直线上的两点，且，连接 (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 2．（25-26九年级上·四川广安·月考）已知：如图，点E是正方形的边上一点，，，逆时针旋转后能够与重合． (1)旋转中心是______，旋转角为______度； (2)请你判断的形状，并说明理由． 2．（24-25九年级上·安徽宿州·期中）如图，菱形的三个顶点E，F，G分别在矩形的边上，且，求证：四边形是正方形． 3．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，四边形是菱形，对角线、交于点O，点D、B是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，，求证：四边形是正方形． 4．（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究之间的数量关系，直接作答无需证明． 5．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，将正方形的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使． (1)试判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求四边形的面积． 6．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，已知：等腰梯形中，，，、、、分别是、、、的中点． (1)求证：； (2)四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论． (3)连接，当四边形是正方形时，线段与有什么数量关系？请说明理由． 7．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在正方形中，M为的中点，， (1)求证：平分； (2)连接，若，求的长； 题型十八：坐标与正方形 顺时针与逆时针旋转导致坐标符号相反，漏掉多解情况。 1.利用三垂直全等模型（K型）求顶点坐标； 2.绕点旋转90°时，用坐标差构造全等。 1．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点在轴上，顶点在轴上，且，则正方形ABCD的面积是____ 1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型十九：正方形的折叠 1.未识别出折叠产生的45°角，用复杂三角函数徒增计算； 2.折痕垂直平分特性未用。 1. 结合正方形原有性质，梳理等量关系； 2. 设未知线段，借助勾股定理和方程求解长度、角度。（注：折叠后产生等腰直角三角形，可简化边长计算） 1．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图所示，小华首先将一张正方形的纸片按（1）、（2）、（3）的顺序三次折叠，然后沿第三次折痕剪开，将剪下的这部分展开，平铺在桌面上，这时得到的一定是（    ） A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．（25-26八年级下·江西上饶·期中）如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ）；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·四川自贡·期中）如图，正方形的边长为4，点E，F 分别在边，上，将、分别沿、折叠，使B，D恰好都落在M处，已知，则的长为____________ ． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 题型二十：正方形中的面积转化问题 1.重叠面积计算时重复加减； 2.割补后图形边界没算清。 1.常用割补法和等积变换。 2.连接对角线，将不规则面积转化成小等腰直角三角形面积之和。 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，正方形的面积为，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______． 3．（21-22八年级下·山东泰安·期中）如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 4．（25-26八年级上·四川巴中·期中）“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则正方形的周长为______． 5．（24-25八年级下·宁夏石嘴山·期中）如图，为边长为1的正方形内的一点，为等边三角形，则___________． 6．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，四边形和是两个不全等的正方形，连接交于，如果面积为，则面积为（   ）． A． B． C． D． 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在矩形中，，，以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于长为半径作弧交于点P，作射线，过点D作的垂线交的延长线于点Q，则的长为（     ） A． B． C． D．4 2．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）如图，的四个角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形是矩形．下列是排乱的证明过程，证明步骤正确的顺序是（   ） ①∵分别平分与， ∴，； ②∵四边形是平行四边形，∴； ③∴； ④∴； ⑤∴； ⑥同理，∴； ⑦∴四边形是矩形． A．②③①⑤④⑥⑦ B．②①③⑥④⑤⑦ C．⑦⑤⑥③②④① D．①②④③⑥⑤⑦ 3．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，平行四边形的对角线交于点平分交于点，点E是上一点，且，连接，下列结论：；；；，成立的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，、是菱形的顶点，点从点出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点从点是出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，若点的速度是点的速度的2倍，则点和点第2026次相遇时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在正方形中，E、F分别是，的中点，交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（   ） A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③ 6．（25-26八年级下·四川南充·期中）正方形中，F正方形边上一个动点，连接交对角线于点E，过点E作，，垂足分别为M，N，连接，过E作交于H，下列说法：①四边形的周长是一个固定值；②；③存在某个F点，使得四边形是菱形；④；⑤当F运动到的中点时，；正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．①②④⑤ 7．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，在中，点D是边上一点，过点D分别作交于点E，交于点F，与相交于点O，若平分，，，则的长为_____． 8．（25-26八年级下·陕西延安·期中）如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 9．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，，，E，F分别是，的中点，，相交于点G，连接，，有下列结论：①；②；③；④，⑤若点P在上，连接，则的最小值为，其中正确的结论有________．（填写序号） 10．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有___． 11．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在菱形中，，． （1）菱形的面积为______． （2）线段（点在点的左侧）在直线上移动，且，当时，的长为______． 12．如图，在小正方形组成的网格中，四边形的顶点都是格点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） (1)在图1中，作矩形，使得点E，F分别在上． (2)在图2中，作矩形，使得点G，H分别在上． 13．如图，在矩形中，于点，点是边上一点，若平分，交于点G，于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 14．（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，D是边上一点，且，平分交边于点E，平分交边于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 15．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在菱形中，对角线，交于点，，，连接，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 16．（25-26八年级下·山东泰安·期中）【教材呈现】教材中有一个例题：如图1，在中，，垂足是，是的外角的平分线，，垂足是，连接交于点． (1)求证：四边形为矩形．请给出其证明． 【问题探究】数学兴趣小组在原题上进一步探究： (2)如图2，当时，四边形是什么特殊的四边形？请帮助小组的同学猜想出结果并给出证明． 17．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，已知：在中，、分别是边、上的中线，并交于点G，连接，点M是的中点，分别连接、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求证：四边形是正方形． 18．（25-26八年级下·山西大同·期中）阅读与思考： 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形中，点分别是边的中点，顺次连接，得到的四边形是平行四边形．     我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁（）是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．有以下结论： （1）当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形． （2）瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系． （3）瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半． 我们小组同学对四边形进行探究：如图2，在四边形中，点分别是边的中点，当对角线相等时，四边形是① ． 证明：分别为的中点， ，．（② ） 同理…… 任务： (1)填空：材料中①代表的内容______；材料中②代表的内容______； (2)补全材料中的证明过程； (3)在下图中作四边形使它的瓦里尼翁平行四边形为正方形（保留作图痕迹，不写作法）． 19．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接、、，且，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，若点是边上的动点（不与、重合），连接，过点作于点．令的面积为，的面积为，且，求的长． 20．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在菱形中，，点E是上一点（点E与A、D不重合），点F是边上的点，满足． (1)连接、、，证明； (2)若，试探究线段、、的数量关系，并写出证明过程； (3)连接分别交、于点M和N，若，求． 21．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）根据题目条件，回答下列各题 (1)[问题呈现] 在数学活动课上，王老师为每个学生提供了几张矩形纸片．王老师问了小明一个问题：如图1，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于E、F，求证四边形是菱形．请你补全证明过程； (2)[类比应用] 如图2，直线EF分别交矩形的边、于点E、F，将矩形沿翻折，使点C与点A重合，点D的对应点为，若，，求四边形的周长； (3)[拓展延伸] 如图3，矩形中，，，点E在射线上运动，将沿着折叠，当点A恰好落在的中垂线上时，求的长． 22．（25-26八年级下·湖北十堰·期中）某数学兴趣小组在课外活动中，对正方形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，易得．请证明； (2)如图2，在正方形中，点，，分别在边，，上，且．试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将边长为6的正方形沿折叠，使得点落在的中点处，点落在点处，直接写出的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $