专题30.3正多边形与圆（4大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦正多边形与圆核心知识点，从正多边形定义（各边各角相等）出发，梳理与圆的关系（n等分圆得内接正n边形，外接内切同心圆），明确中心、半径等核心概念及中心角、内角公式，构建半径、边心距、半边长直角三角形的计算学习支架。 资料亮点在于易错点辨析（如中心角与外角混淆）、技巧总结（速记口诀、直角三角形万能模型），结合冬奥会雪花等实际情境例题，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过模型转化提升数学思维，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题30.3正多边形与圆 【新人教版】 【题型1 求正多边形的中心角】...........................................................................................................................2 【题型2 已知正多边形的中心角求边数】...........................................................................................................4 【题型3 利用正多边形的性质求解】...................................................................................................................6 【题型4 正多边形与圆综合】.............................................................................................................................10 1.正多边形定义 各边相等、各内角相等的多边形叫做正多边形。 2.正多边形与圆的关系 把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，可作出圆的内接正n边形； 任何正多边形都有一个外接圆和内切圆，且两圆同心圆。 3.核心专属概念 · 中心：正多边形外接圆的圆心； · 半径：外接圆半径（顶点到中心的距离）； · 边心距：中心到正多边形一边的距离（内切圆半径）； · 中心角：正多边形每一边所对圆心角。 4.必考公式（直接套用） 设正多边形边数为n，外接圆半径为R 中心角度数：; 内角公式：; 外角公式：. 5. 基本图形关系 正多边形的半径、边心距、边长的一半，构成直角三角形，可利用勾股定理计算。 6. 面积公式 易错1：概念误区 只边长相等或只角度相等的多边形不是正多边形，必须边、角全部相等。 例：菱形四边相等但内角不等，不是正四边形；矩形四角相等但边长不等，不是正四边形。 易错2：中心角、外角混淆 正多边形中心角=外角，均为，容易和内角公式记混。 易错3：半径、边心距混淆 半径：中心到顶点（外接圆半径）； 边心距：中心到边（内切圆半径），计算时常带错数据。 易错4：公式乱用 内角公式与中心角公式混淆，计算角度出错。 易错5：忽略特殊正多边形 正四边形（正方形）、正六边形为高频考点，特殊边长规律容易记错。 技巧1：速记口诀 等分圆得正多边，中心角三百六比n； 半径边心半边长，直角三角可计算； 面积周长乘边距，二分其一记心间。 技巧2：解题万能模型 所有正多边形计算，全部转化为直角三角形求解： 半径为斜边，边心距、半边长为直角边，套用勾股定理。 技巧3：特殊正多边形秒杀规律 · 正六边形：边长=外接圆半径；中心角=60° · 正方形：中心角=90°，边长、半径、边心距可直接比例换算 技巧4：角度快速判断 正多边形中心角与外角永远相等，可互相替换计算。 技巧5：面积快速计算 直接用「二分之一周长乘边心距」通用公式，适配所有正多边形。 题型一 求正多边形的中心角 【例1】（25-26九年级上·新疆和田·期末）正十边形的中心角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角度数，掌握相关计算公式是解题的关键． 正多边形的中心角度数等于除以边数． 【详解】解：∵正十边形的边数， ∴中心角度数为， 故选B． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为______． 【答案】/45度 【分析】本题考查正多边形与圆的关系，圆心角的计算，掌握圆心角的计算公式是解题关键． 利用正多边形内接于圆时顶点等分圆周的性质，用除以边数，即可求得圆心角 的度数． 【详解】解：正八边形内接于， 其个顶点将圆等分， 整个圆周角为， 每条边所对的圆心角为． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为______．      【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆的关系，根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·新疆·期中）北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查正六边形性质，正六边形中心角计算等．根据题意可知正六边形的六个中心角均相等，再利用除法算式计算即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二 已知正多边形的中心角求边数 【例2】（25-26九年级上·山东济宁·期末）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用正多边形中心角与边长的关系，当正多边形的边长与外接圆半径相等时，中心角对应的三角形为等边三角形，中心角为，从而边数为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设正多边形中心为，相邻顶点，（外接圆半径），（边长），且， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴正多边形的边数， 故选：． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【详解】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查圆内接正多边形的性质，熟练掌握圆心角与边数的关系是解决本题的关键． 设边数为，根据所有圆心角之和为，列式求解即可． 【详解】解：∵圆内接正多边形每条边所对的圆心角相等，且所有圆心角之和为， ∴设边数为，则， 解得， ∴该正多边形边数为9． 故选：B． 【变式2-3】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ． 故选：C． 题型三 利用正多边形的性质求解 【例3】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质，熟练掌握以上知识点是做题的关键．先求出中心角的度数，即可求出的度数，再根据切线的性质可得，然后根据正多边形的外角和定理求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，， 为正五边形的外接圆， ． ， ． 是的切线， ， ， ． 为正五边形的外角， ， ． 故选：D． 【变式3-2】（（25-26九年级上·河南商丘·期末）科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键．根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3-3】（（25-26九年级上·河北唐山·期末）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解正多边形的边，圆心角的数量的特点是解题的关键． 根据正多边形的性质可得，，是等边三角形，正六边形的面积为，再运用勾股定理算出，最后把数值代入进行计算，即可求解． 【详解】解：∵是正六边形，点为中心， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，正六边形的面积为， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四 正多边形与圆综合 【例4】（2026·山东泰安·三模）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴． 【变式4-1】（（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解题的关键是熟练掌握圆的基本知识．连接，，求出，再利用圆周角定理求解即可． 【点睛】 解：如图，连接，． ∵点M，N，F分别是边，，与的切点， ∴，， ∴， ∵正五边形中， ∴， ∴． 【变式4-2】（2026·安徽马鞍山·三模）如图，的外切正六边形的边长为4，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】/ 【分析】设与的切点是点，连接，则，首先根据正六边形的性质可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可以求出，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如下图所示， 设与的切点是点，连接， 则， 在正六边形中，，， 是等边三角形， 正六边形的边长为， ， ， ， ， ． 【变式4-3】（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 【答案】 【分析】根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可，进而得，然后，再求扇形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在正五边形中， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴． ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题30.3正多边形与圆 【新人教版】 【题型1 求正多边形的中心角】...........................................................................................................................2 【题型2 已知正多边形的中心角求边数】...........................................................................................................3 【题型3 利用正多边形的性质求解】...................................................................................................................4 【题型4 正多边形与圆综合】...............................................................................................................................5 1.正多边形定义 各边相等、各内角相等的多边形叫做正多边形。 2.正多边形与圆的关系 把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，可作出圆的内接正n边形； 任何正多边形都有一个外接圆和内切圆，且两圆同心圆。 3.核心专属概念 · 中心：正多边形外接圆的圆心； · 半径：外接圆半径（顶点到中心的距离）； · 边心距：中心到正多边形一边的距离（内切圆半径）； · 中心角：正多边形每一边所对圆心角。 4.必考公式（直接套用） 设正多边形边数为n，外接圆半径为R 中心角度数：; 内角公式：; 外角公式：. 5. 基本图形关系 正多边形的半径、边心距、边长的一半，构成直角三角形，可利用勾股定理计算。 6. 面积公式 易错1：概念误区 只边长相等或只角度相等的多边形不是正多边形，必须边、角全部相等。 例：菱形四边相等但内角不等，不是正四边形；矩形四角相等但边长不等，不是正四边形。 易错2：中心角、外角混淆 正多边形中心角=外角，均为，容易和内角公式记混。 易错3：半径、边心距混淆 半径：中心到顶点（外接圆半径）； 边心距：中心到边（内切圆半径），计算时常带错数据。 易错4：公式乱用 内角公式与中心角公式混淆，计算角度出错。 易错5：忽略特殊正多边形 正四边形（正方形）、正六边形为高频考点，特殊边长规律容易记错。 技巧1：速记口诀 等分圆得正多边，中心角三百六比n； 半径边心半边长，直角三角可计算； 面积周长乘边距，二分其一记心间。 技巧2：解题万能模型 所有正多边形计算，全部转化为直角三角形求解： 半径为斜边，边心距、半边长为直角边，套用勾股定理。 技巧3：特殊正多边形秒杀规律 · 正六边形：边长=外接圆半径；中心角=60° · 正方形：中心角=90°，边长、半径、边心距可直接比例换算 技巧4：角度快速判断 正多边形中心角与外角永远相等，可互相替换计算。 技巧5：面积快速计算 直接用「二分之一周长乘边心距」通用公式，适配所有正多边形。 题型一 求正多边形的中心角 【例1】（25-26九年级上·新疆和田·期末）正十边形的中心角度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，正八边形内接于，连接，，则的度数为______． 【变式1-2】（25-26九年级上·陕西西安·期末）古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为______．      【变式1-3】（25-26九年级上·新疆·期中）北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片“雪花”的故事展现了“世界大同，天下一家”的主题，让世界观众感受了中国人的浪漫．如图，作出“雪花”图案（正六边形）的外接圆，则正六边形中心角的度数为___________． 题型二 已知正多边形的中心角求边数 【例2】（25-26九年级上·山东济宁·期末）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的边数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北随州·期末）如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【变式2-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【变式2-3】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型三 利用正多边形的性质求解 【例3】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东德州·期末）如图，为正五边形的外接圆，过C点的切线交的延长线于点F，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式3-2】（（25-26九年级上·河南商丘·期末）科学家发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（（25-26九年级上·河北唐山·期末）苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为______． 题型四 正多边形与圆综合 【例4】（2026·山东泰安·三模）如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（    ） A．1 B． C． D．3 【变式4-1】（（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边，，与的切点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·安徽马鞍山·三模）如图，的外切正六边形的边长为4，则图中阴影部分的面积为______． 【变式4-3】（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $