30.2 三角形的内切圆（预习讲义）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦三角形的内切圆与内心核心知识点，系统梳理内切圆定义（与各边都相切的圆）、内心定义（角平分线交点）及性质（到三边距离相等，内切圆唯一），承接直线与圆位置关系，构建从一般到特殊的学习支架，涵盖特殊与一般三角形内切圆、内心应用及综合题型。 资料亮点在于题型分层设计，从特殊三角形（如等边、直角三角形）内切圆半径计算到一般三角形内心性质应用，结合例题与变式题培养推理能力与几何直观。通过作图题发展数学眼光，综合题提升数学语言表达，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺。

第三十章 直线与圆的位置关系 02讲 三角形的内切圆 题型归纳 【知识点1 三角形的内切圆与内心 1】 【题型1. 特殊三角形内切圆 1】 【题型2. 一般三角形内切圆 6】 【题型3. 三角形内心的有关应用 10】 【题型4. 三角形内切圆与外接圆综合 16】 【巩固练习 19】 知识清单 知识点1 三角形的内切圆与内心 1.内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫作圆的外切三角形. 2.内心的定义：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 【提示】 ① 三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，这个距离就是半径； ② 三角形的内切圆有且只有一个. 题型专练 题型1. 特殊三角形内切圆 【例1】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出等边与内切圆，首先根据三角形面积计算公式求出，再观察发现的内切圆半径，恰好是内三个三角形的高，因而可以通过面积来计算半径，根据面积公式计算即可． 本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键． 【详解】解：设与相切于D，E，F，连接， ∵是等边三角形， ∴过点O，， ∴， ∴， 设内切圆半径为r， ∴， ∴， ∴内切圆面积 ． 故选：B． 【例2】在中，，，，则的内切圆的半径为________． 【答案】1 【分析】本题考查勾股定理和三角形的内切圆的定义，掌握三角形的内切圆的定义是解题关键． 先利用勾股定理求出斜边的长，通过三角形的面积列方程求解即可． 【详解】解：如图，作示意图如下， 由三角形的内切圆的定义可知，内切圆的圆心O到三角形的三边的距离相等，等于半径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式1】已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得，根据切线长定理和勾股定理可得，进而可求内切圆的半径．本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形内心的性质． 【详解】解：如图， 根据题意，得 ， 设圆O是等腰的内切圆，切圆于点D，切圆于点E， 连接， ∴， ∴， ∴， 根据切线长定理可知： ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ， 解得． ∴内切圆O的半径为． 故选：C． 【变式2】正三角形的边长为，则它的内切圆的半径大小是___________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形性质，三角形的内切圆、解直角三角形等知识，得出正三角形内外心的关系是解题关键． 根据为等边的内心（也是等边的外心，连接、、，设交于，则，，在中，求出，即可得出答案． 【详解】解：设为等边的内心，连接、、，设交于， 则，， 即是内切圆的半径， ∵， ∴， ∵为等边内切圆的圆心， ∴， 在中，， 故答案为∶ ． 【变式3】如图，在中，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留）_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，勾股定理，利用三角形内切圆的性质求出内切圆的半径是解题关键． 先用勾股定理求出斜边的长度，根据三角形内切圆的性质，结合三角形的周长和面积求出内切圆的半径，再用直角三角形的面积减去内切圆的面积即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， ∴的周长， ∴内切圆半径 ， ∴， ∴阴影部分的面积为：， 故答案为：． 【变式4】如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 【答案】3． 【分析】设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，易证四边形为正方形，在中，由勾股定理求出，再根据切线长定理即可求出． 【详解】解：设的半径为，与的三边分别相切于点，连接，如图所示． 易得四边形是正方形， ． 在中， ， ． 由切线长定理，得， 即， 解得， 的半径为． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的应用，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键． 题型2. 一般三角形内切圆 【例1】在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的定义得、分别平分、，则，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴、分别平分、， ∵，， ∴，， ∴． 故选：C． 【变式1】如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关系是解答此题的关键；根据三角形面积三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半．进行列式计算即可． 【详解】解： 是的内切圆且半径为2，，， ， ， 则的面积为26， 故选：C 【变式2】如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由三角形的面积求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ， ， 解得， 故选：D． 【变式3】已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的定义、三角形的内心，解题的关键是画出图形，作于，连接，，，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：过点作，垂足为，连接，，，设内切圆的半径为，      设，则， 由勾股定理得：，． ． 解得：． ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式4】已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为__________． 【答案】50 【分析】根据三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的面积为； 故答案为：50． 【点睛】本题考查三角形的内切圆．熟记三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，是解题的关键． 【变式5】如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程是解题的关键． （1）由切线长定理可知：，，，设，则，，根据，列方程求解即可； （2）先计算三角形的半周长s，再利用，代入三角形面积与半周长即可求出内切圆半径，即可求解出的长． 【详解】（1）解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ，，， 设， 则，， 根据题意得： 解得： ，，， 则的长为； （2）解：，，， ∴半周长， 又 ， ， ， 则的长为． 题型3. 三角形内心的有关应用 【例1】根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定内心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内心的定义．根据三角形内心是三角形三条角平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形内心是三角形三条角平分线的交点， ∴四个选项中只有D选项作图方法是角平分线的尺规作图， 故选：D． 【例2】如图，点为的内心，，则的度数是______． 【答案】/120度 【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出是解题关键． 首先求出，然后利用内心的性质得出，，进而利用三角形内角和定理得出，进而求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵O是的内心， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A．7 B．6 C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，可得平分，，由平行的性质和等角对等边可得，同理，可得到图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接， ∵点I为的内心， ∴平分， ∴， 由平移得：， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴的周长， 即图中阴影部分的周长为6， 故选择：B． 【变式2】如图，中，，点是的内心．则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的内心等知识，熟练掌握三角形的内心的定义是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据三角形的内心可得平分，平分，从而可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内心和外心、垂径定理、确定圆的条件，根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，可以判断A；根据垂径定理可以判断B；根据正多边形的定义，可以判断C；根据三角形的内心到三角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，可以判断D． 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项B错误，不符合题意； 各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意； 三角形的内心到三角形三边的矩离相等，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式4】如图，如图，在中，点D是的内心，连接，过点D作分别交于点E，F，若，则的长度为________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了内心，角平分线的定义，平行线的性质， 根据内心的性质得平分，可得，再根据平行线的性质，然后根据“等角对等边”得，即可得出答案． 【详解】∵点D是的内心， ∴平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：10． 【变式5】如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分，． (1)求的度数； (2)若点E是弦上一点，且点E是的内心，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同弧所对圆周角相等可推出，由直径所对圆周角为直角可得出，即可由求解； （2）首先求出，由三角形内心的定义得出，由角平分线的定义得出．由同弧所对圆周角相等可推出，再结合三角形外角性质即得出，得到，如图所示，过点D作于点F，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴ ∵平分， ∴， ∴ ∴ ∵平分，点E是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ 如图所示，过点D作于点F， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理的推论，三角形内心的定义，三角形外角的性质，等角对等角，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型4. 三角形内切圆与外接圆综合 【例1】如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，关键是掌握三角形外心的定义．由三角形外心的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴点O是的外心． 故选：C． 【变式1】已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切圆圆心到三条边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即可求解.由题意得是直角三角形，设的内切圆半径和外接圆半径分别为，则，直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 设的内切圆半径和外接圆半径分别为， 则， 解得：； ∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点， ∴ 故选：B 【变式2】如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、三角形内切圆和外接圆的应用，熟练掌握同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键．连接、，由圆周角定理可得由三角形的内角和可得，，根据点是的内心可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 点是的外心，， ． ， ． 点是的内心， ，． ． ， 故选：B． 【变式3】如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则_____． 【答案】35 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，连接，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由圆周角定理得，再根据内心的定义可得，据此即可求解，掌握内心的定义是解题的关键． 【详解】连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴， 故答案为：35． 巩固练习 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、，由切线的性质得，由求解即可． 【详解】解：过分别作、、，分别交、、于、、，连接、、， 是的内切圆，且半径为， ， ∵的面积为， ， ， 解得， 故选：D． 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【详解】解：∵三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点． 3．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，满足三角形内心在上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内心、基本尺规作图，根据三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点可得答案． 【详解】解：由题意，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，选项A中是该三角形的角平分线，符合题意， 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出，是解题的关键．设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， 的周长为，， ， ，， ， ， ，， ， 剪下的三角形的周长为， 故选：C． 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长； 故答案为：12． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点为的内心，若，则的度数为___________． 【答案】/40度 【分析】本题考查了三角形的内心，正确把握三角形内心的性质是解题的关键．根据内心定义得出即可求出结论． 【详解】解：∵点为的内心， ， ， ， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于，过作直线． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)的半径为 【分析】本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接圆与外心，圆周角定理． （1）连接，与交于点，由的内心得到平分，再由得到 垂直平分，由即可得到，即可证明是的切线； （2）连接，通过内心的性质，圆周角定理，可证出，即可证明； （3）在中，由勾股定理求出的长度，令的半径为，则，，在中，由勾股定理得，得出方程，求解得出的值即可． 【详解】（1）解：连接，与交于点，如下图所示： ∵点为的内心， ∴平分， 即， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 且为的半径， ∴是的切线． （2）解：连接，如下图所示： ∵点为的内心， ∴平分， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴． （3）解：∵，， 在中，由勾股定理得， 令的半径为， 则，， 在中，由勾股定理得， 得方程， 解得， 故的半径为． 9．（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2)点是图中的外心，理由见解析 【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理．熟记三角形外心与内心的性质是解题的关键． （1）连接，并延长交于点，连接，由三角形内心的性质可得平分，平分，得到，根据圆周角定理可得，推出，进而求出，即可得到； （2）如图，连接，由（1）知，圆周角定理可得，推出，进而得到点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 【详解】（1）解：如图所示，点D为所求： ∵点是的外心， ∴是的外接圆， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：点是图中的外心，理由如下： 如图，连接， 由（1）知， ∴，即， ∴， ∴点在以点D为圆心，为半径的圆上，即是的外心． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十章 直线与圆的位置关系 02讲 三角形的内切圆 题型归纳 【知识点1 三角形的内切圆与内心 1】 【题型1. 特殊三角形内切圆 1】 【题型2. 一般三角形内切圆 2】 【题型3. 三角形内心的有关应用 4】 【题型4. 三角形内切圆与外接圆综合 5】 【巩固练习 6】 知识清单 知识点1 三角形的内切圆与内心 1.内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫作圆的外切三角形. 2.内心的定义：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. ① 三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，这个距离就是半径； ② 三角形的内切圆有且只有一个. 【提示】 ① 三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，这个距离就是半径； ② 三角形的内切圆有且只有一个. 题型专练 题型1. 特殊三角形内切圆 【例1】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 【例2】在中，，，，则的内切圆的半径为________． 【变式1】已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为（　　） A．3 B．5 C． D． 【变式2】正三角形的边长为，则它的内切圆的半径大小是___________． 【变式3】如图，在中，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留）_________． 【变式4】如图，在中，为的内切圆，．求的半径． 题型2. 一般三角形内切圆 【例1】在中，，．是的内切圆，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，是的内切圆，与，，分别相切于点D，E，F．若的半径为2，，，，则的面积为（  ） A． B．24 C．26 D．52 【变式2】如图，在中，，，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3】已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为________． 【变式4】已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为__________． 【变式5】如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，． (1)求的长． (2)已知，求的长． 题型3. 三角形内心的有关应用 【例1】根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定内心的是（    ） A． B． C． D． 【例2】如图，点为的内心，，则的度数是______． 【变式1】如图，点为的内心，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A．7 B．6 C．9 D． 【变式2】如图，中，，点是的内心．则的度数（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列说法正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．各边都相等的多边形是正多边形 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等 【变式4】如图，如图，在中，点D是的内心，连接，过点D作分别交于点E，F，若，则的长度为________． 【变式5】如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分，． (1)求的度数； (2)若点E是弦上一点，且点E是的内心，，求的长． 题型4. 三角形内切圆与外接圆综合 【例1】如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 【变式1】已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【变式2】如图，点是的外心，也是的内心．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，已知点O是的外心，点I是的内心，连接，．若，则_____． 巩固练习 1．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，在中，为的内切圆，且半径为，若的面积为，则的长为（   ） A．10 B． C． D．13 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）三角形内切圆的圆心为（   ） A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点 3．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，满足三角形内心在上的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，是一张周长为的三角形的纸片，，是它的内切圆，小明准备用剪刀在的右侧沿着与相切的任意一条直线剪下，则剪下的三角形的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 6．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为______． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，点为的内心，若，则的度数为___________． 8．（25-26九年级上·江西宜春·期末）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于，过作直线． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的半径． 9．（2025·江苏泰州·三模）如图，点是的内心，点是的外心． (1)请仅用没有刻度的直尺在上一个点，使得． (2)试判断点是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由．（如需画草图，请使用图2） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $第三十章直线与圆的位置关系 02讲三角形的内切圆 题型归纳 【知识点1三角形的内切圆与内心… 1】 【题型1.特殊三角形内切圆 1】 【题型2.一般三角形内切圆 6】 【题型3.三角形内心的有关应用 10】 【题型4.三角形内切圆与外接圆综合 16】 【巩固练习· 19】 知识清单 知识点1三角形的内切圆与内心 1内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫作圆的外 切三角形. 2.内心的定义：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 【提示】 ①三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，这个距离就是半径； ②三角形的内切圆有且只有一个 题型专练 题型1.特殊三角形内切圆 【例1】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于() A.4π B.n c.π D. 【答案】B 1/27 【分析】根据题意画出等边△ABC与内切圆，首先根据三角形面积计算公式求出S△48C,再 观察发现△ABC的内切圆半径，恰好是△ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△AC S△4oB+S△Boc+S△40c来计算半径，根据面积公式计算即可， 本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是 解题的关键。 【详解】解：设⊙O与△ABC相切于D,E,F,连接CD, D ,△ABC是等边三角形， .CD过点O,CD1AB, CD-AB=2V3 ∴SAARC=号AB·CD=4W5, 设内切圆半径为r, SAABC=(AB+BC+AC)r=4V3. r=23 3 ∴内切圆面积=元×() =n 故选：B. 【例2】在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆的半径为 【答案】1 【分析】本题考查勾股定理和三角形的内切圆的定义，掌握三角形的内切圆的定义是解题关 键 先利用勾股定理求出斜边的长，通过三角形的面积列方程求解即可， 【详解】解：如图，作示意图如下， 2/27 B 由三角形的内切圆的定义可知，内切圆的圆心O到三角形的三边的距离相等，等于半径， SABC =SOAc+S0+SoBcACBBC=(AC+B+BC). .'LACB=900, SABC=ACBC=×3×4=6,AB=VAC+BC=5, 6=r×(3+5+4), r=1, 故答案为：1. 【变式1】己知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为( A.3 B.5 c 0.月 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质可得BD=CD=3,根据切线长定理和勾股定理可得CE=3, 进而可求内切圆的半径.本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握三角形 内心的性质， 【详解】解：如图， B 根据题意，得 AB=AC=5,BC=6, 设圆O是等腰△ABC的内切圆，BC切圆于点D,AC切圆于点E, 连接AD,OE, .AD⊥BC,OE1AC, ..BD CD=BC=3, 3/27 ∴.AD=VAC2-CD=4, 根据切线长定理可知： CE=CD=3, ..AE=AC-CE=2, 设0D=OE=x,则A0=4-x, 在Rt△AOE中，根据勾股定理，得 (4-x)2=x2+22, 解得x= ∴内切圆0的半径为 故选：C 【变式2】正三角形的边长为6，则它的内切圆的半径大小是 【答案】V 【分析】本题考查了等边三角形性质，三角形的内切圆、解直角三角形等知识，得出正三角 形内外心的关系是解题关键。 根据0为等边△ABC的内心（也是等边△AB的外心），连接OA、OC、OB,设AO交BC于D, 则AD L CD,∠OBD=30°，在Rt△OBD中，求出OD=V3,即可得出答案. 【详解】解：设O为等边△ABC的内心，连接OA、OC、OB,设AO交BC于D, 则AD⊥BC,BD=DC, 即OD是△ABC内切圆的半径， BC=6, ∴.BD=DC=3, ,O为等边△ABC内切圆的圆心， ∴.L0BD=号ABC=3×60°=30°， 在Rt△0BD中，OD=BD×tan30°=3×9=V5, 4/27 故答案为：√3 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,⊙0为Rt△ABC的内切圆， 则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ●0 【答案】30-4π/-4r+30 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，勾股定理，利用三角形内切圆的性质求出内切圆 的半径是解题关键。 先用勾股定理求出斜边的长度，根据三角形内切圆的性质，结合三角形的周长和面积求出内 切圆的半径，再用直角三角形的面积减去内切圆的面积即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，AC=12,BC=5, ∴.AB=VAC2+BC2=13, S△ABc=号AC·BC=30, 2 ∴.△ABC的周长=AC+BC+AB=30, ∴内切圆半径r=25匹=2x30=2, 周长 30 ∴.So0=r2=4r, ∴.阴影部分的面积为：S△4Bc-SO0=30-4r, 故答案为：30-4玩. 【变式4】如图，在△ABC中，∠C=90,⊙I为△ABC的内切圆，BC=9,AC=12.求⊙1 的半径， B A 【答案】3. 【分析】设⊙I的半径为r,⊙I与△ABC的三边分别相切于点D,E,F,连接D,IE,IF,易证 5/27 四边形1ECF为正方形，在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=15,再根据切线长定理即可 求出r. 【详解】解：设⊙I的半径为r,⊙I与△ABC的三边分别相切于点D,E,F,连接ID,IE,IF, 如图所示。 0 易得四边形IECF是正方形， CE=CF IE=r. 在Rt△ABC中， ∠C=90°，BC=9,AC=12, ·AB=VAC2+BC=15. 由切线长定理，得AD=AF=AC-EBD=BE=BC-r, AB=AD+BD,..AB=AC-r+BC-r,15=12-r+9-r, 解得r=3, ⊙1的半径为3. 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的应用，掌握三角形内切圆的性质是解题的关键。 题型2.一般三角形内切圆 【例1】在△ABC中，∠ABC=46°，∠ACB=84°.⊙O是△ABC的内切圆，连接0B、OC, 则LBOC的度数为() A.105 B.110 C.115° D.125 【答案】c 【分析】本题考查了内切圆的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据内切圆的 6/27 定义得0B、OC分别平分LABC、∠ACB,则L0BC=∠ABC=23,∠0CB=;ACB=42, 再根据三角形内角和定理求解即可. 【详解】解：⊙O是△ABC的内切圆， ∴.OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB, ,∠ABC=46°，∠ACB=84°， ∴L0BC=ABC=230,∠0CB=ACB=42, ,'.∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=115°， 故选：C 【变式1】如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F.若⊙O 的半径为2，AB=6,AC=8,BC=12,则△ABC的面积为() B A.12V3 B.24 C.26 D.52 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内切圆与三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边与内切圆的关 系是解答此题的关键：根据三角形面积=三角形边长之和乘以内切圆半径之积的一半.进行 列式计算即可 【详解】解：~⊙0是△ABC的内切圆且半径为2，AB=6,AC=8,BC=12 六SAABC=(AB+AC+BC)·, 1 S△ABc=2×(6+8+12)×2=26, 则△ABC的面积为26， 故选：C 【变式2】如图，在△ABC中，AB=12,AC=6,⊙O为△ABC的内切圆，且半径为V7, 若△ABC的面积为14W7,则BC的长为() 7/27 ○ B A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过O分别作0D1AB、OE1AC、OF1BC,分别交AB、AC、 BC于D、E、F,连接OA、OB、OC,由切线的性质得OD=OE=OF=√7，由三角形的面 积求解即可。 【详解】解：过O分别作OD1AB、OE⊥AC、OF1BC,分别交AB、AC、BC于D、E、F, 连接0A、OB、0C, B :⊙O是△ABC的内切圆，且半径为V7, 0D=0E=0F=V7 ∴AB,OD+AC,0F+0F·BC=147, ×12×V7+×6×V7+号×V7BC=14W7, 解得BC=10, 故选：D. 【变式3】已知△ABC的三边长为AB=2,BC=3,AC=4,则三角形内切圆半径为 【答案】四 【分析】本题主要考查的是勾股定理的定义、三角形的内心，解题的关键是画出图形，作AD1 BC于D,连接AO,BO,CO,根据直角三角形的性质和勾股定理求出AD、DC的长，根据三 角形的面积公式求出即可. 【详解】解：过点C作CD1AB,垂足为D,连接AI,BI,CI,设△ABC内切圆的半径为Tr, 8/27 B D 设AD=x,则BD=2-x, 由勾股定理得：CD2=AC2-AD2,CD2=BC2-BD2. .42-x2=32-(2-x)2」 解得：x=2.75. CD=VAC2-AD=V伞-2.75=3 4 ∴S△ABc=S△Aoc+S△AB0+S△BCO, :×AB×CD=×AC×r+号×AB×T+×BC×T, x2x亚=x4×r+×2XT+x3×n 4 2 解得：r=压 61 故答案为：压 6 【变式4】已知△ABC的周长为20，其内切圆半径R=5,则△ABC的面积为 【答案】50 【分析】根据三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，进行求解即可 【详解】解：由题意，得：△ABC的面积为×20×5=50： 故答案为：50 【点睛】本题考查三角形的内切圆.熟记三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘 积的一半，是解题的关键. 【变式5】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5cm, BC 7cm,CA=6cm. 9/27 (1)求AF的长. (2)已知S△4Bc=6V6cm2,求0D的长. 【答案】(1)2cm cm 【分析】本题主要考查的是三角形内切圆的有关问题以及切线长定理的应用，根据切线长定 理列出方程是解题的关键. (1)由切线长定理可知：AF=AE,BF=BD,CD=CE,设AF=AE=X,则BF=BD=5-x, EC=DC=6-x,根据BD+DC=BC=7,列方程求解即可： (2)先计算三角形的半周长5，再利用S△4BC=S·T,代入三角形面积与半周长即可求出内 切圆半径，即可求解出OD的长， 【详解】(1)解：，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, ·AF=AE,BF=BD,CD=CE, 设AF=AE=X, BF=BD=5-x,EC=DC=6-x, 根据题意得：5-x+6-x=7 解得：x=2cm AF=2cm,BD=5-x=5-2=3(cm),EC=6-x=6-2=4(cm), 则AF的长为2cm: (2)解：AB=5cm,BC=7cm,CA=6cm, :半周长s=4B+BC4c4=+76=9(cm), 2 2 又S△48c=6V6cm2, 6V6=r·9, r-26 3 则0D的长为29cm, 题型3，三角形内心的有关应用 【例1】根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC内心的是() 10/27 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内心的定义.根据三角形内心是三角形三条角平分线的交点 进行求解即可. 【详解】解：：三角形内心是三角形三条角平分线的交点， .四个选项中只有D选项作图方法是角平分线的尺规作图， 故选：D. 【例2】如图，点0为△ABC的内心，∠A=60°，则∠B0C的度数是 【答案】120°/120度 【分析】此题主要考查了三角形内心的性质以及三角形内角和定理，正确得出∠OBC+ ∠0CB=55°是解题关键 首先求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，然后利用内心的性质得出LAB0=∠CB0= ABC,∠AC0=∠BC0=ACB,进而利用三角形内角和定理得出∠0BC+∠0CB,进而 求出答案。 【详解】解：，∠A=60°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°， ,O是△ABC的内心， 11/27 ..LABO LCBO=LABC.LACO=ZBCO=ACB. LOBC+20CB=(ABC+ACB)=60, ∴.∠B0C=180°-（∠0BC+∠0CB)=120°. 故答案为：120°， 【变式1】如图，点I为△ABC的内心，AB=6,AC=4,BC=3,将LACB平移使其顶点与 I重合，则图中阴影部分的周长为() A.7 B.6 C.9 D.6.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三 角形的内心是角平分线的交点是关键. 连接AI、BL,根据三角形的内心是角平分线的交点，可得A1平分LCAB,由平行的性质和 等角对等边可得AD=DI,同理BE=EI,可得到图中阴影部分的周长就是边AB的长 【详解】解：如图，连接A1、BI, ≤-- ,点I为△ABC的内心， .AI平分∠CAB, .∠CAI=∠BAI, 由平移得：AC II D, ,∴，∠CAI=∠AID, ∠BAI=∠AID, .'.AD DI, 同理BE=EI, 12/27 ∴.△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=6, 即图中阴影部分的周长为6， 故选择：B 【变式2】如图，△ABC中，∠A=80°，点O是△ABC的内心.则∠B0C的度数() A.60 B.80° C.120° D.130 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的内心等知识，熟练掌握三角形的内心的定义 是解题关键，先根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=I00°，再根据三角形的内心 可得BO平分LABC,CO平分LACB,从而可得LOBC+∠OCB=50°，然后根据三角形的内角 和定理求解即可得. 【详解】解：，△ABC中，∠A=80°， .LABC+∠ACB=180°-∠A=100°， ,点0是△ABC的内心， ∴.BO平分∠ABC,CO平分∠ACB, ∴.LOBC=LABC,∠OCB=1LACB, ∴.L0BC+L0CB=ABC+∠ACB=(LABC+∠ACB)=50, ∴.∠B0C=180°-（∠0BC+∠0CB)=130°， 故选：D. 【变式3】下列说法正确的是() A.三点确定一个圆 B.相等的圆周角所对的弧相等 C.各边都相等的多边形是正多边形 D.三角形的内心到三角形三边的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内心和外心、垂径定理、确定圆的条件，根据不在同一条直线上 的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有同时过这三个点的圆，可以判断 A:根据垂径定理可以判断B:根据正多边形的定义，可以判断C;根据三角形的内心到三 13/27 角形三边的矩离相等，三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等，可以判断D. 【详解】解：不在同一条直线上的三个点确定一个圆，如果三个点在同一条直线上，则没有 同时过这三个点的圆，故选项A错误，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故选项B错误，不符合题意； 各边都相等各角都相等的多边形是正多边形，故选项C错误，不符合题意； 三角形的内心到三角形三边的矩离相等，故选项D正确，符合题意： 故选：D. 【变式4】如图，如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB,DC,过点D作EFIBC 分别交AB,AC于点E,F,若BE+CF=10,则EF的长度为 【答案】10 【分析】本题主要考查了内心，角平分线的定义，平行线的性质， 根据内心的性质得BD,CD平分LABC,LACB,可得∠DBE=∠CBD,∠DCF=∠BCD,再根据平 行线的性质LCBD=∠BDE,∠BCD=∠CDF,然后根据"等角对等边"得BE=DE,DF=CF, 即可得出答案。 【详解】点D是△ABC的内心， ∴.BD,CD平分∠ABC,∠ACB, ∴LDBE=∠CBD,∠DCF=LBCD. .EF II BC, ..LCBD LBDE,LBCD LCDF, ∴∠EBD=∠BDE,∠DCF=∠CDF, ∴.BE=DE,DF=CF .EF =DE DF, ..EF DE DF=BE CF=10. 故答案为：10. 【变式5】如图，⊙0是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BD平分∠ABC,∠ACB=15. 14/27 D (1)求LBDC的度数： (2)若点E是弦BD上一点，且点E是△ABC的内心，DC=4,求BE的长. 【答案】(1)75° 2)2V6-4 【分析】(1)由同弧所对圆周角相等可推出∠ADB=∠ACB=15°，由直径所对圆周角为直 角可得出LADC=90°，即可由∠BDC=∠ADC-∠ADB求解； (2)首先求出AD=CD=4,由三角形内心的定义得出LCAE=∠BAE,由角平分线的定义 得出∠ABD=∠CBD.由同弧所对圆周角相等可推出∠DAC=∠CBD,再结合三角形外角性质 即得出∠DAE=∠DEA,得到DA=DE=4,如图所示，过点D作DF⊥BC于点F,求出FC= CD=2,然后利用勾股定理求解即可. 【详解】(1)解：AB=AB, .LADB=LACB=15°. ,AC是⊙0的直径， ∴.∠ADC=90°， ∴.∠BDC=∠ADC-∠ADB=75°： (2)解：，AC是⊙0的直径， ∴.LADC=90° ,BD平分∠ABC, ∴.LABD=∠CBD, ∴AD=CD ..AD=CD=4 ,BD平分LABC,点E是△ABC的内心， ∠ABD=∠CBD,∠CAE=∠BAE. .CDCD, ,.∠DAC=∠CBD=45°， 15/27 ∠DAC+∠CAE=∠ABD+∠BAE, ∴∠DAE=∠DEA, ∴.DA=DE=4, ,LBDC=75° ∴.∠DCB=180°-∠BDC-∠DBC=60° 如图所示，过点D作DF⊥BC于点F, D ∴.LBDF=90°-∠CBD=45° ∴.BF=DF,∠CDF=∠BDC-∠BDF=30° ∴FC=CD=2 ..BF DF =VCD2 CF2 =2V3 ..BD =VBF2 DF2 =2V6 ∴.BE=BD-DE=2V6-4. 【点睛】本题考查圆周角定理的推论，三角形内心的定义，三角形外角的性质，等角对等角， 勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点， 题型4.三角形内切圆与外接圆综合 【例1】如图，△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D,E,F,则点O是△DEF的() A.重心 B.内心 C.外心 D.以上选项都不正确 【答案】c 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，关键是掌握三角形外心 的定义.由三角形外心的定义，即可得到答案 16/27 【详解】解：⊙O是△DEF的外接圆， ∴点O是△DEF的外心. 故选：C. 【变式1】己知△ABC的三边长为3cm,4cm,5cm,则△ABC的内切圆半径和外接圆半径 分别为()cm A.1,2 B.1,2.5 C.2,2.5 D.2,2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切 圆圆心到三条边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即 可求解.由题意得△ABC是直角三角形，设△ABC的内切圆半径和外接圆半径分别为R,r,则 ×(3+4+5)×R=×3×4,直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解。 【详解】解：32+42=52， .△ABC是直角三角形， 设△ABC的内切圆半径和外接圆半径分别为R,r, 则×(3+4+5)×R=×3×4, 解得：R=1: 直角三角形外接圆圆心为斜边的中点， r=x5=25 故选：B 【变式2】如图，点O是△ABC的外心，也是△BCD的内心.若LA=70°，则LBDC的度数 是() A.90° B.100° C.110° D.120° 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、三角形内切圆和外接圆的应用，熟练掌握同弧或等弧所 17/27 对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题关键.连接0B、OC,由圆周角定理可得∠BOC= 140°由三角形的内角和可得，∠OBC+∠OCB=40°，根据点O是△BCD的内心可得，∠DBC+ LDCB=80°，再根据三角形内角和定理即可求解. 【详解】解：如图，连接OB、OC, ~点0是△ABC的外心，∠A=70°， ∠B0C=2LA=140°. .∠0BC+∠OCB+∠B0C=180°， ∴∠0BC+∠0CB=180°-∠B0C=40°. 点O是△BCD的内心， ∴∠DBC=2∠OBC,∠DCB=2∠OCB. ∴.∠DBC+∠DCB=80° ∴.∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB)=100°， 故选：B. 【变式3】如图，已知点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接OB,IA.若∠OBC=20°， 则LCAI= 0 【答案】35 【分析】本题考查了三角形的内心，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理， 连接OB,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠BOC=140°，进而由圆周角定理得 ∠BAC=号∠B0C=70°，再根据内心的定义可得∠CA1=∠BAC,据此即可求解，掌握内心 的定义是解题的关键， 【详解】连接0C, 18/27 ,0B=0C, ∴.∠0CB=∠0BC=20°， .∠B0C=180°-2×20°=140°， ∴.∠BAC=∠B0C=70°， ,点I是△ABC的内心， ∴.LCA1=BAC=×70°=35， 故答案为：35。 巩周练习 1.（25-26九年级上安徽六安期末)如图，在△ABC中，AB=14,AC=9,⊙0为△ABC的 内切圆，且半径为V6,若△ABC的面积为186，则BC的长为() A.10 B.8V2 C.9W2 D.13 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质，过O分别作OD1AB、OE⊥AC、OF1BC,分别交AB、AC、 BC于D、E、F,连接0A、OB、0C,由切线的性质得0D=0E=0F=V6,由S△4Bc=AB,OD+ AC:0F+0F·BC=18V6求解即可. 【详解】解：过O分别作OD1AB、OE1AC、OF1BC,分别交AB、AC、BC于D、E、F, 连接0A、OB、OC, 19/27 D B ~⊙O是△ABC的内切圆，且半径为V6, ∴OD=OE=0F=V6, ,△ABC的面积为18V6, S△A8c= AB.OD+AC.OF +OF.BC=18/6. x14W6+x9V6+×V6BC=18V6, 解得BC=13, 故选：D. 2.(25-26九年级上·宁夏吴忠·期末)三角形内切圆的圆心为() A.三条高的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 【答案】c 【详解】解：，三角形内切圆的圆心到三角形三条边的距离相等， 又，角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点. 3.(25-26九年级上山东淄博期末)如图，满足三角形内心在MN上的是() 20/27 【答案】A 【分析】本题考查三角形的内心、基本尺规作图，根据三角形的内心是三角形的三条角平分 线的交点可得答案， 【详解】解：由题意，三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，选项A中MN是该三 角形的角平分线，符合题意， 故选：A 4.(25-26九年级上·江苏南通·期中)如图，△ABC是一张周长为24cm的三角形的纸片，BC= 7cm,⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙0的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN 剪下△AMN,则剪下的三角形的周长为() A.12cm B.11cm C.10cm D.随直线MN的变化而变化 【答案】c 【分析】此题重点考查三角形的周长、三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识，推导出 AD+AF=AB+AC-(BD+CF)=10Cm,是解题的关键.设⊙O与AB、BC、AC、直线MN 分别相切于点D、E、F、H,由△ABC的周长为24cm,BC=7cm,求得AB+AC=17cm, 由BD=BE,CF=CE,求得AD+AF=AB+AC-(BD+CF)=10cm,由HM=DM,HN= FN,得AM+MN+AN=AD+AF=10cm,于是得到问题的答案. 【详解】解：设⊙O与AB、BC、AC、直线MN分别相切于点D、E、F、H, ~△ABC的周长为24cm,BC=7cm, B ..AB+AC AD+BD CF+AF=24-7=17(cm), BD=BE,CF=CE, ..BD+CF=BE+CE=BC=7cm 21/27 .AD AF=AB+AC-(BD+CF)=17-7=10(cm), HM=DM,HN=FN, .AM MN AN AM +HM+HN AN AM+DM FN +AN AD AF 10cm, 剪下的三角形的周长为10cm, 故选：C 5.(25-26九年级上江苏宿迁·期末)如图，点0是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心， 连接OB、IA.若LCAI=40°，则∠OBC的度数为 【答案】10°/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理： 连接OC,由点I是△ABC的内心可得AI平分LBAC,根据角平分线的定义可得∠BAC= 2∠CA1=80°，根据圆周角定理可得LB0C=2∠BAC=160°，根据等腰三角形的定义及三角 形内角和定理进行计算即可得到答案. 【详解】解：如图，连接OC, :点I是△ABC的内心， ∴.A1平分∠BAC, CA1=40°， .∠BAC=2∠CAL=2×40°=80°， ,点O是△ABC外接圆的圆心， ,∴.∠B0C=2∠BAC=2X80°=160°， ,0B=0C, 六.20BC=∠0CB=×(180°-B0C)=号×(180°-160)=10， 22/27 故答案为：10°. 6.(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，⊙0是△ABC的内切圆，D、E、F为切点.若AD=1, BC=5,则△ABC的周长为 【答案】12 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到AD=AE,CE= CF,BD=BF,进而推出△ABC的周长等于2(AD+BC),即可得出结果， 【详解】解：，⊙O是△ABC的内切圆，D、E、F为切点， .'.AD=AE,CE=CF,BD=BF, ∴.△ABC的周长=AD+AE+BD+BF+CE+CF=2AD+2BF+2CF=2AD+2BC, ,AD=1,BC=5, .△ABC的周长=2×1+2×5=12： 故答案为：12. 7.(25-26九年级上·江苏宿迁期中)如图，点I为△ABC的内心，若∠BAC=80°，则∠BA1 的度数为 【答案】40/40度 【分析】本题考查了三角形的内心，正确把握三角形内心的性质是解题的关键.根据内心定 义得出∠BA1=∠CAI=BAC即可求出结论. 【详解】解：，点I为△ABC的内心， ∠BA1=∠CAI=BAC, :∠BAC=80°， 28A1=号×80°=40， 23/27 故答案为：40°. 8.(25-26九年级上江西宜春期末)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外 接圆⊙O相交于D,过D作直线DGII BC. D G (1)求证：DG是⊙0的切线： (2)求证：BD=DE; (3)若DE=7.5,BC=12,求⊙0的半径. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 3)⊙0的半径为6.25 【分析】本题主要考查了三角形的内心性质，切线的判定与性质，勾股定理，三角形的外接 圆与外心，圆周角定理。 (1)连接OD,与BC交于点H,由△ABC的内心得到AD平分LBAC,再由BD=DC得到OD 垂直平分BC,由DG∥BC即可得到LODG=∠OHC=90°，即可证明DG是⊙O的切线： (2)连接OB,通过内心的性质，圆周角定理，可证出∠BED=∠EBD,即可证明BD=DE: (3)在Rt△BHD中，由勾股定理求出HD的长度，令⊙O的半径为r,则0B=T,OH=r-4.5, 在Rt△OBH中，由勾股定理得OB2=BH2+OH2,得出方程，求解得出r的值即可. 【详解】(1)解：连接0D,与BC交于点H,如下图所示： B D G ,点E为△ABC的内心， ∴.AD平分∠BAC, 即BD=C, 24/27 .OD垂直平分BC, ∴.∠0HC=90°， .DG I BC, ∴.L0DG=∠0HC=90°， 且0D为⊙0的半径， .DG是⊙O的切线 (2)解：连接OB,如下图所示： D ,点E为△ABC的内心， .BE平分LABC, .LABE=∠EBC, 又，LBAD=∠DAC=∠DBC, '.∠BED=∠ABE+∠BAE=∠EBC+DBC=∠EBD, 即LBED=∠EBD, .BD DE. (3)解：BD=DE=7.5,BH=HC=BC=6, 在Rt△BHD中，由勾股定理得HD=√BD2-BH亚=4.5， 令⊙0的半径为r, 则0B=r,0H=r-4.5, 在Rt△OBH中，由勾股定理得OB2=BH2+OH2, 得方程r2=62+(r-45)2, 解得r=6.25, 故⊙0的半径为6.25 9.(2025江苏泰州·三模)如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心. 25/27 Q.1 图① 图② (1)请仅用没有刻度的直尺在BC上一个点D,使得BD=ID (2)试判断点D是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由.（如需画草图，请使用图 2) 【答案】(1)见解析 (2)点D是图中△BCI的外心，理由见解析 【分析】本题考查了三角形外心与内心，弧与弦的关系，圆周角定理.熟记三角形外心与内 心的性质是解题的关键， (1)连接A1,并延长交⊙O于点D,连接BI,由三角形内心的性质可得AD平分LBAC,BI 平分LABC,得到LBAD=∠CAD,LABD=∠CBI,根据圆周角定理可得∠CAD=∠CBD,推 出∠BAD=∠CBD,∠BID=2∠BAD,进而求出LDBI=∠CBD+LCBI=2LBAD,即可得到 BD=ID; (2)如图，连接CD,CI,由(1)知∠BAD=∠CAD,圆周角定理可得BD=CD,推出BD=ID= CD,进而得到点B,I,C在以点D为圆心，BD为半径的圆上，即⊙D是△BCI的外心 【详解】(1)解：如图所示，点D为所求： D ,点O是△ABC的外心， .⊙O是△ABC的外接圆， ,点I是△ABC的内心， .AD平分∠BAC,BI平分∠ABC, '.∠BAD=∠CAD,∠ABD=∠CBI, .CD=CD, 26/27 LCAD=∠CBD, .∠BAD=∠CBD,∠BID=2∠BAD, ∴.∠DBI=∠CBD+∠CBI=2LBAD=LBID, ..BD=ID; (2)解：点D是图中△BCI的外心，理由如下： 如图，连接CD,CI, A D 由(1)知∠BAD=∠CAD, ∴BD=CD,即BD=CD, ..BD=ID=CD, .点B,I,C在以点D为圆心，BD为半径的圆上，即⊙D是△BCI的外心. 27/27第三十章直线与圆的位置关系 02讲三角形的内切圆 题型归纳 【知识点1三角形的内切圆与内心… 1】 【题型1.特殊三角形内切圆 少 【题型2.一般三角形内切圆 2】 【题型3.三角形内心的有关应用 8) 【题型4.三角形内切圆与外接圆综合 5】 【巩固练习… 6】 知识清单 知识点1三角形的内切圆与内心 1内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫作圆的外 切三角形. 2.内心的定义：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. ①三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，这个距离就是半径： ②三角形的内切圆有且只有一个 【提示】 ①三角形内切圆的圆心到三角形三边的距离相等，这个距离就是半径： ②三角形的内切圆有且只有一个： 思型专练 题型1.特殊三角形内切圆 【例1】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于() 1/8 A.4π B.知 c 【例2】在△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,则△ABC的内切圆的半径为 【变式1】已知一个三角形的三边长分别为5、5、6，则其内切圆的半径为() A.3 B.5 c 月 【变式2】正三角形的边长为6，则它的内切圆的半径大小是 【变式3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12,BC=5,⊙0为Rt△ABC的内切圆， 则图中阴影部分的面积为（结果保留π） A C 【变式4】如图，在△ABC中，∠C=90°，⊙1为△ABC的内切圆，BC=9,AC=12.求⊙1 的半径 题型2.一般三角形内切圆 【例1】在△ABC中，∠ABC=46°，∠ACB=84°.⊙O是△ABC的内切圆，连接0B、OC, 则LB0C的度数为() A.105 B.110° C.115 D.125 2/8 【变式1】如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F.若⊙0 的半径为2，AB=6,AC=8,BC=12,则△ABC的面积为() E B A.12V3 B.24 C.26 D.52 【变式2】如图，在△ABC中，AB=12,AC=6,⊙0为△ABC的内切圆，且半径为V7, 若△ABC的面积为14W7,则BC的长为() 0 B A.7 B.8 C.9 D.10 【变式3】已知△ABC的三边长为AB=2,BC=3,AC=4,则三角形内切圆半径为 【变式4】已知△ABC的周长为20，其内切圆半径R=5,则△ABC的面积为 【变式5】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5cm, BC 7cm,CA=6cm. B (1)求AF的长. (2)已知S△ABc=6V6cm2,求0D的长. 3/8 题型3.三角形内心的有关应用 【例1】根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC内心的是() 【例2】如图，点0为△ABC的内心，∠A=60°，则∠B0C的度数是 【变式1】如图，点I为△ABC的内心，AB=6,AC=4,BC=3,将∠ACB平移使其顶点与 1重合，则图中阴影部分的周长为() A.7 B.6 c.9 D.6.5 【变式2】如图，△ABC中，∠A=80°，点0是△ABC的内心.则∠B0C的度数() B A.60° B.80 C.120° D.130° 【变式3】下列说法正确的是() 4/8 A.三点确定一个圆 B.相等的圆周角所对的弧相等 C.各边都相等的多边形是正多边形 D.三角形的内心到三角形三边的距离相等 【变式4】如图，如图，在△ABC中，点D是△ABC的内心，连接DB,DC,过点D作EFIBC 分别交AB,AC于点E,F,若BE+CF=10,则EF的长度为 B 【变式5】如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AC是⊙O的直径，BD平分LABC,∠ACB=15°， D (1)求LBDC的度数： (2)若点E是弦BD上一点，且点E是△ABC的内心，DC=4,求BE的长. 题型4.三角形内切圆与外接圆综合 【例1】如图，△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D,E,F,则点O是△DEF的() D A.重心 B.内心 C.外心 D.以上选项都不正确 【变式1】已知△ABC的三边长为3cm,4cm,5cm,则△ABC的内切圆半径和外接圆半径 分别为()cm A.1,2 B.1,2.5 C.2,2.5 D.2,2 5/8 【变式2】如图，点O是△ABC的外心，也是△BCD的内心.若LA=70°，则∠BDC的度数 是() A A.90° B.100° C.110° D.120° 【变式3】如图，已知点O是△ABC的外心，点I是△ABC的内心，连接0B,IA.若LOBC=20°， 则∠CAI= 巩周练习 1.（25-26九年级上安徽六安期末)如图，在△ABC中，AB=14,AC=9,⊙0为△ABC的 内切圆，且半径为V6,若△ABC的面积为186，则BC的长为() A.10 B.8V2 C.9V2 D.13 2.(25-26九年级上.宁夏吴忠期末)三角形内切圆的圆心为() A.三条高的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 3.（2526九年级上山东淄博·期末)如图，满足三角形内心在MN上的是() 6/8 M ( 0 4.(25-26九年级上江苏南通期中)如图，△ABC是一张周长为24cm的三角形的纸片，BC= 7cm,⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN 剪下△AMN,则剪下的三角形的周长为() A.12cm B.11m C.10cm D.随直线MN的变化而变化 5.(25-26九年级上江苏宿迁·期末)如图，点0是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心， 连接0B、IA.若LCA1=40°，则LOBC的度数为 6.(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，⊙0是△ABC的内切圆，D、E、F为切点.若AD=1, BC=5,则△ABC的周长为· D B 7.（25-26九年级上江苏宿迁.期中)如图，点I为△ABC的内心，若LBAC=80°，则∠BA1 的度数为 7/8 8.（25-26九年级上江西宜春，期末)如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外 接圆⊙O相交于D,过D作直线DGII BC. E B D (1)求证：DG是⊙O的切线： (2)求证：BD=DE; (3)若DE=7.5,BC=12,求⊙0的半径. 9.(2025江苏泰州三模)如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心. Q.1 Q.1 图① 图② (1)请仅用没有刻度的直尺在BC上一个点D,使得BD=ID (2)试判断点D是图中哪三个点构成的三角形的外心，并说明理由，（如需画草图，请使用图 2) 8/8