30.3 正多边形与圆-【木牍中考·名师教案】2026-2027学年九年级上册数学（人教版·新教材）

该初中数学教学设计聚焦正多边形与圆的关系，涵盖定义、相关计算及作图。情境导入结合国旗、正六边形等生活实例与高斯历史故事，衔接圆的知识，为转化为解直角三角形学习搭建支架。 特色在于融合数学眼光、思维与语言，情境导入从生活现象发现数学联系，培养创新意识。合作探究通过正六边形计算、延安宝塔地基面积等实例，将问题转化为解直角三角形，发展推理能力。作图教学提供多种方法，提升应用意识，助力学生能力发展，为教师提供实用教学资源。

30.3　正多边形与圆 ◇教学目标◇ 　　1.了解正多边形的定义. 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系,并能应用它们进行有关的计算. 3.会应用正多边形和圆的关系画正多边形. 4.学习借助圆来研究正多边形这一数学方法,通过转化,用解直角三角形来研究圆内接正多边形,培养学生探索、推理、归纳、迁移等能力. 5.学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到数学来源于生活,又服务于生活,体现了事物之间的相互联系与相互作用. ◇教学重难点◇ 教学重点 探索正多边形和圆的关系,弄清正多边形半径、中心角、边心距和边长之间的关系. 教学难点 利用圆研究正多边形,化正多边形问题为解直角三角形问题. ◇教学过程◇ 一、情境导入 中华人民共和国国旗上的五角星及正六边形、正三角形等许多图形都可以利用圆的有关知识画出来.早在古代,就有人用直尺和圆规作出正三角形、正方形及正五边形了,可是利用尺规却无法作出正七边形或正十一边形,许多先人的尝试都以失败告终,这种局面持续了2000多年.1796年,年仅19岁的数学家高斯解决了这个问题,成为轰动数学界的伟大成就.目前,对于正多边形的研究,我们经常借助圆来讨论,那么它们之间有怎样的联系呢? 二、合作探究 探究点1　正多边形的有关概念及性质 典例1　已知正六边形的半径为R,求正六边形的边长、边心距和面积. [解析]　如图,边长为AB,半径OA=R,作OM⊥AB于点M,设边心距OM=r. 在Rt△AOM中,∵正六边形的中心角为60°, ∴∠AOM=30°,∴OA=2AM. 而AB=2AM, ∴AB=OA=R,r=R, ∴S=6S△AOB=6××AB×OM=R2. 变式训练　半径为2的圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边心距之比为　　　　.  [答案]　1∶ 典例2　延安宝塔是革命圣地延安的标志和象征,它是一个八角九层楼阁式砖塔,其地基的形状是半径为6 m的正八边形.求宝塔地基的面积(结果保留小数点后一位). [解析]　如图,连接OA,OB,作AP⊥OB,垂足为P. ∵八边形ABCDEFGH是半径为6 m的正八边形,∴OA=OB=6,∠AOB==45°. 又△APO为直角三角形, ∴∠OAP=∠AOB.∴AP=OP. 在Rt△APO中,由勾股定理,得AP2+OP2=OA2.∴AP=OA=3. 因此,宝塔地基的面积S=8××OB×AP=8××6×3=72≈101.8(m2). 探究点2　画正多边形 典例3　(1)画一个半径为2 cm的圆的内接正七边形; (2)画一个半径为3 cm的圆的内接正十二边形. [解析]　(1)作法:在半径为2 cm的☉O中,用量角器画α=≈51°,这个角所对的弧就是圆的,然后在圆上依次截取等弧来7等分圆,就得到圆的7等分点,顺次连接这7个等分点,就得到半径为2 cm的圆的内接正七边形(如图1). 图1 (2)作法:在半径为3 cm的☉O上,以半径的长在圆上依次截取弦长等于半径的弧,再作各弧的相应弦的垂直平分线,各平分线与圆相交,这些点和前面的6等分圆的点就把圆12等分,依次连接各等分点,就得到半径为3 cm的圆内接正十二边形(如图2). 图2 变式训练　如图,已知半径为R的☉O,用多种工具多种作法作出它的圆内接正三角形. [解析]　方法1:(1)用量角器画圆心角∠AOB=120°,∠BOC=120°; (2)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形,如图1所示. 图1 方法2:(1)用量角器画圆心角∠BOC=120°; (2)在☉O上用圆规截取; (3)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形,如图2所示. 图2 方法3:(1)作直径AD; (2)以点D为圆心,以DO为半径画弧,交☉O于点B,C; (3)连接AB,BC,CA,则△ABC为圆内接正三角形,如图3所示. 图3 三、板书设计 正多边形与圆 1.正多边形计算 有关正多边形的计算,都要作出它的半径和边心距为辅助线,从而将问题转化为解直角三角形的问题. 2.画正多边形 方法:(1)用量角器——平分圆心角(可作任意正多边形); (2)尺规——作特殊的正多边形(正三、四、六、八、十二、二十四边形等). ◇教学反思◇ 　　本节课一开始,通过观看图案,欣赏生活中的正多边形,让学生感受到数学来源于生活,并从中感受到数学美,同时提出本课所要研究的问题,激发了学生的好奇心和求知欲. 1 立足安徽 精准备考 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $