第17讲 弧长和扇形面积（知识点+题型精讲）2026-年人教版九年级数学上册暑假预习讲义

第17讲 弧长和扇形面积 目录 知识点1 弧长核心公式 2 知识点2 扇形面积两套必考公式 3 知识点3 弓形面积公式 3 知识点4 圆锥核心对应关系（重难点） 3 知识点5 圆锥必考计算公式 4 知识点6 不规则图形面积解题思想 4 题型1 求弧长 4 题型2 求扇形半径 8 题型3 求圆心角 10 题型4 求某点的弧形运动路径长度 12 题型5 求扇形面积 14 题型6 求图形旋转后的面积 16 题型7 求弓形面积 19 题型8 求其他不规则图形的面积 24 题型9 求圆锥侧面积 28 题型10 求圆锥底面半径 29 题型11 求圆锥的高 32 题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角 34 题型13 圆锥的实际问题 36 题型14 圆锥侧面上最短路径问题 39 1. 知识目标：熟练背诵并掌握弧长公式、扇形两套面积公式、弓形面积公式；明晰扇形与圆、圆锥的转化关系；掌握圆锥侧面积、底半径、高、侧面展开图圆心角的全套推导公式；理解旋转路径、不规则阴影面积、圆锥最短路径的几何模型。 2. 能力目标：能正向、逆向运用弧长与扇形公式求弧长、半径、圆心角；熟练求解旋转路径、各类规则与不规则图形面积；精通圆锥四类核心计算与实际应用；掌握圆锥侧面最短路径压轴题型解题方法。 3. 素养目标：建立曲面与平面转化、割补转化、数形结合、空间想象思想，提升公式灵活变形、图形拆分、立体几何建模能力，攻克圆模块计算类基础与压轴题型。 知识点1 弧长核心公式 在半径为的圆中，圆心角所对弧长： 推导逻辑：整圆周长，平均分成360份，度对应占比。 变形公式：、（逆向求圆心角、半径）。 知识点2 扇形面积两套必考公式 1. 角度公式（知）： 2. 弧长公式（知）： 适用场景：角度已知用公式一，弧长已知用公式二，解题快速省时。 知识点3 弓形面积公式 1. 劣弧弓形（小于半圆）： 2. 优弧弓形（大于半圆）： 知识点4 圆锥核心对应关系（重难点） 1. 圆锥母线 = 侧面展开扇形的半径； 2. 圆锥底面周长 = 侧面展开扇形的弧长； 3. 圆锥高、底面半径、母线满足勾股定理：。 知识点5 圆锥必考计算公式 1. 圆锥侧面积： 2. 圆锥全面积： 3. 侧面展开图圆心角：（高频秒杀公式） 知识点6 不规则图形面积解题思想 核心方法：割补法、和差法、平移旋转等积替换法，将不规则阴影转化为扇形、圆、三角形、四边形等规则图形再计算。 题型1 求弧长 解题技巧（公式直代法）：1. 找准两个关键量：圆弧所在圆半径、对应圆心角度数；2. 直接代入弧长公式计算；3. 多段弧长：分段计算每一段弧长再求和；4. 结果保留，无特殊要求不近似。 易错提醒：必须用对应弧的圆心角，禁止误用圆周角、补角。 【典例1】．如图，等腰三角形内接于，且点在底边上，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，弧长公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，，，故，再根据弧长公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形内接于，且点在底边上， ∴是直径，，， 则， 连接 ∵，是等腰三角形， ∴， 则， ∴ ∴ 则． 【变式1】．如图，点在圆弧上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得到，再由弧长公式求解即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式2】．如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 【变式3】．如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 【答案】 【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得． 【详解】解：∵的直径为 ，则半径是： ， ∴， 连接、设的中点为，连接，根据题意知 ， ∵, ∴是直径， ∴， 在中，， 即扇形的对应半径， 弧长， 设圆锥底面圆半径为r，则有， 解得：． 题型2 求扇形半径 解题技巧（公式逆推法）：1. 已知弧长、圆心角：变形求解；2. 已知扇形面积、圆心角：变形求解；3. 已知扇形面积、弧长：变形求解；4. 根据题干已知条件灵活选择逆推公式，简化运算。 【典例2】．蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积公式的应用，同圆心角的扇形面积与半径的平方成正比，根据面积关系即可求出更小扇形的半径． 【详解】设裁剪出的更小扇形的半径为，折叠后的小扇形的半径． ∵扇形面积公式为，裁剪出的更小扇形与折叠后的扇形圆心角相同， ∴面积比等于半径平方的比， 又∵裁剪出的更小扇形面积是折叠后的扇形面积的， ∴， 代入得， 解得，半径为正，舍去负解， 因此裁剪出的更小扇形的半径为， 故选B． 【变式1】．如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别切于点A，B， ∴， ∵，且， ∴， ∵的长为， ∴， 解得：． 【变式2】．若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的相关计算，核心知识点为圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，根据该关系列方程即可求解母线长． 【详解】解：圆锥底面半径为， 圆锥的底面周长为， 设圆锥的母线长为，根据题意得， 整理得， 解得． 【变式3】．若一个扇形的圆心角为，弧长为，那么此扇形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查扇形弧长公式与扇形面积公式的应用，熟练掌握相关公式是解答本题的关键，先利用弧长公式求出扇形半径，再利用扇形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：设此扇形的半径为，由题意得，圆心角，弧长， 根据弧长公式得，解得． 根据扇形面积公式． 题型3 求圆心角 解题技巧（方程反求法）：1. 已知弧长半径：代入直接计算；2. 已知扇形面积半径：代入求解；3. 圆锥题型：用秒杀公式快速求展开圆心角；4. 结果为0°~360°之间的正数，舍去不合理解。 【典例3】．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算．利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即， 解得：， 又由可得：， 解得：， 故选：D． 【变式1】．已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆心角度数，掌握弧长公式是解题的关键． 设圆心角度数为，根据弧长公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】∵ 弧长 ，其中 ，， ∴ ， 简化得：， ∴ ， ∴ 。 故选：B． 【变式2】．已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【答案】120 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n度， ∵圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面周长为，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 则， 解得：． 【变式3】．把一个圆剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角是，则该扇形与另一个扇形的弧长之比是______． 【答案】 【分析】同一个圆的半径相等，结合扇形弧长公式可知，弧长之比等于圆心角度数之比，先求出另一个扇形的圆心角，再化简比即可得到结果． 【详解】解：设原圆的半径为， ∵其中一个扇形的圆心角是， ∴另一个扇形的圆心角为：， ∵扇形弧长公式为，且两个扇形的半径相同， ∴弧长之比等于圆心角之比， ∴则该扇形与另一个扇形的弧长之比是． 题型4 求某点的弧形运动路径长度 解题技巧（旋转路径模型）：1. 定点定径：图形旋转时，动点轨迹为圆弧；2. 锁定参数：轨迹半径=动点到旋转中心的距离，轨迹圆心角=图形旋转角度；3. 代入弧长公式计算路径总长；4. 多次旋转：分段求每一次旋转弧长，累加求和。 核心结论：旋转路径本质就是圆弧，全程套用弧长公式。 【典例4】．如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴B点经过的路线长． 【变式1】．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 半径，圆心角， 手腕的运动路线长：． 【变式2】．如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 【变式3】．摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意求出圆的半径，根据转速求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：根据题意得，摩天轮的半径为， 摩天轮每分钟转动的圆心角度数为， ∴后圆心角， ∴的长度为． 题型5 求扇形面积 解题技巧（双公式择优法）：1. 已知圆心角、半径：用；2. 已知弧长、半径：优先用，计算更简便；3. 等积转化：相同半径、相同圆心角扇形面积相等，可直接替换；4. 多扇形组合：拆分单个扇形分别计算，再求和或作差。 【典例5】．如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设空白部分的面积为，则，，得到，根据，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， ，， ， ， ， 故选：D． 【变式1】．如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：． 【变式2】．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 【答案】 【分析】重物上升，则滑轮转过的弧长也是，再由，即可求出半径转过的面积． 【详解】解：由题意得，半径转过的弧长为， 则半径转过的面积． 【变式3】．如图，的半径为，若它的周长等于弧的长的倍，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】根据圆的周长公式求出圆的周长，进而得到弧的长，最后利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵的半径为， ∴的周长为， ∵的周长等于弧的长的倍， ∴弧的长为， ∴阴影部分的面积． 题型6 求图形旋转后的面积 解题技巧（旋转等积法）：1. 旋转不变性：图形旋转前后面积不变；2. 扫过面积模型：图形旋转扫过的区域为圆环、扇形、扇环组合图形；3. 拆分计算：大扇形减小扇形、大圆减小圆求扫过面积；4. 不规则扫过区域：割补转化为规则扇形面积求解。 【典例6】．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 【变式1】．如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积的计算．首先根据钟面的特点求出时针转过的圆心角度数，再结合时针长度（即半径），利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：钟面一圈为，共有12个大格，时针每小时转过的角度为， 从点到点半，经过了30分钟，即小时， 时针转过的圆心角， 时针长，即扇形半径， 时针扫过的面积． 【变式2】．如图，点B在线段上，，，，．固定，将绕点C按顺时针旋转使得与重合，并停止旋转．则线段经旋转运动所扫过的平面图形的面积为 _____． 【答案】 【分析】先画出线段经旋转运动所形成的平面图形，然后根据直角三角形的性质求出，，结合，可得，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：线段经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点E落在上的点H处， 则， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】用割和补求不规则图形的面积是常用的解题方法． 【变式3】．如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积计算．根据含度角的直角三角形的性质求出，根据计算即可． 【详解】解：，， ， ， 则边扫过区域的面积为： 故答案为：． 题型7 求弓形面积 解题技巧（和差拆分法）：1. 劣弧弓形：扇形面积 − 对应等腰三角形面积；2. 优弧弓形：整圆面积 − 劣弧弓形面积；3. 步骤固定：先算扇形、再算三角形、最后作差；4. 复杂组合弓形：拆分多个基础弓形，分步求解。 易错点：禁止直接套用公式，必须区分优劣弧弓形。 【典例7】．如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作于C，延长交于D，求出，得，由计算即得． 【详解】解：过点O作于C，延长交于D． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了弓形面积计算．熟练掌握垂径定理，勾股定理，余弦定义，30度的三角函数值，含30度的直角三角形性质，扇形面积和三角形面积公式，是解题的关键． 【变式1】．如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】．已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水面宽为，则阴影部分面积为______． 【答案】 【分析】本题考查圆中求线段长、求不规则图形面积等知识，涉及圆的对称性、垂径定理、勾股定理、含直角三角形性质、扇形面积公式及间接法求不规则图形面积，锐角三角函数的应用．如图，过作交于，交于，由图形可知，，在中求解从而得到，由扇形面积公式及三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图，过作交于，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为： 【变式3】．如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查扇形的面积的计算、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，如图，连接、，由题意易知是等边三角形，根据计算即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、． 由题意知， ∴， ∴点是半圆的圆心， ∴， ∴是等边三角形， ． 故答案为：． 题型8 求其他不规则图形的面积 解题技巧（三大转化万能法）：1. 和差法：整体减空白、多规则图形叠加；2. 割补法：平移、旋转、对称拼接，将不规则阴影补为扇形、半圆、圆、三角形；3. 等积替换法：利用同圆等弧等面积性质替换区域；4. 解题核心：所有不规则面积全部转化为规则面积计算。 【典例8】．如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵绕顶点A顺时针旋转度后得到， ∴． ∴． 【变式1】．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，分别计算空白区域面积即可． 【详解】解：连接，如图， 阴影部分面积，矩形面积，的面积，空白区域面积，空白区域面积，扇形面积，扇形面积， ∴阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∵矩形，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点， ∴，,矩形面积， 在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∴，，， ∴的面积， ∴，， ∴, ∴扇形面积， ∵空白区域面积矩形面积的面积扇形面积， ∴， ∴， ∵扇形面积， ∴空白区域面积矩形面积扇形面积， ∴， ∴， ∵阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∴， ∴． 【变式2】．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 【详解】解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【变式3】．设计一个商标图案如图中阴影部分，矩形中，，且，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，则商标图案的面积等于________． 【答案】 【分析】根据解答即可； 【详解】 解：在矩形中， 则， ∵，， ∴， ∵以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点， ∴， ∴， ∴ ． 题型9 求圆锥侧面积 解题技巧（秒杀公式法）：1. 核心公式：（底面半径，母线长）；2. 已知高求母线：先用勾股再代入公式；3. 展开图题型：已知扇形弧长半径，用等价求侧面积；4. 区分侧面积与全面积，不重复加底面积。 【典例9】．如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 【变式1】．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面积. 【详解】解：∵圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形， ∴展开扇形的半径，圆心角， ∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， ∴. 【变式2】．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的全面积是________ 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长求出底面半径，再分别计算侧面积与底面积，求和得到全面积． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，侧面展开扇形的半径，圆心角为， 由圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，得 解得， 圆锥侧面积为：， 圆锥底面积为：， 因此圆锥的全面积为：． 【变式3】．如图，冰激凌蛋筒下部为一个底面直径为，母线长为的圆锥，则蛋筒圆锥部分包装纸的表面积（接缝忽略不计）为________． 【答案】 【分析】根据圆锥侧面积的计算公式即扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：由扇形面积公式得：． 题型10 求圆锥底面半径 解题技巧（周长等价法）：1. 核心等量：圆锥底面圆周长 = 侧面展开扇形弧长；2. 列等式：；3. 化简求解：快速解出底面半径；4. 已知侧面积反向求半径：结合变形求解。 【典例10】．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 【变式1】．如图，点，，，都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，经过格点，，，三点在同一直线上，，，三点在同一直线上，若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是圆锥侧面展开图的性质(圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长)、正方形的性质(正方形的对角线平分内角，角度为)、扇形弧长公式(，其中为圆心角度数，为扇形半径)．先求出扇形的弧长，再根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长这一关系，求出圆锥底面半径． 【详解】解：连接， ∵由网格可知：扇形的圆心角， ， 扇形弧长， 设圆锥底面半径为， ， 解方程可得． 【变式2】．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【分析】扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用该等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为， ∵用扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴代入圆心角，扇形半径， 得方程， 解得， ∴这个圆锥的底面圆的半径为． 【变式3】．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：设， ∵圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴该圆锥的底面圆的周长为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 题型11 求圆锥的高 解题技巧（勾股定理固定模型）：1. 圆锥三线关系：母线、底面半径、高构成直角三角形；2. 固定公式：；3. 解题步骤：先求母线、再求底面半径，最后套公式得高；4. 所有圆锥求高题型，通用此模型，无例外。 【典例11】．若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的高的计算，先利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长求出底面半径，再结合母线长，通过勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面半径为，高为h， ∵圆锥母线长为8，侧面展开图是半圆， ∴侧面展开图半圆的弧长为， ∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长， ∴，解得， ∵圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，母线为斜边， ∴由勾股定理得， 即这个圆锥的高为， 故选：B． 【变式1】．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 【变式2】．已知一个圆锥的底面半径是，且该圆锥的侧面展开图的半径为，则该圆锥的高为_______． 【答案】8 【分析】圆锥的母线长等于侧面展开图的半径，圆锥的高、底面半径与母线构成直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意可知，圆锥侧面展开图的半径即为圆锥的母线长，可得圆锥母线长，圆锥底面半径． 设圆锥的高为h，根据勾股定理得：． 【变式3】．如图，若从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是____． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的计算方法进行求解是解决本题的关键．根据圆的周长公式计算出剪去圆周的一个扇形的周长，这个扇形的周长就是圆锥底面圆的周长，根据圆的周长公式计算出圆锥底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】解：半径为的圆，剪去圆周的一个扇形的弧长为， 设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线， 则有， 解得：， ∴． 故答案为：． 题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角 解题技巧（终极秒杀公式）：1. 必考速算公式：；2. 适用所有圆锥题型，无需复杂联立方程；3. 推导逻辑：底面周长与展开扇形弧长等价；4. 验算范围：结果在0°~360°之间，符合扇形特征。 【典例12】．某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆锥底面圆直径为， 圆锥底面圆周长 ， 扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长 设扇形圆心角为，根据扇形弧长公式，可得： 解得， 扇形纸片的圆心角为． 【变式1】．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥的性质：侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，列方程求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角为 ， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，圆锥底面半径 ，母线长 ， ∴圆锥底面周长 ，扇形弧长公式为，据此列方程得 ， 解得 ， ∴圆心角为． 【变式2】．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 【答案】 【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算． 【详解】解：设圆心角为， ∵母线长为36cm，底面圆半径为20cm， ∴， 解得：， ∴该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为． 【变式3】．已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 【答案】 /90度 【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用该关系列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面周长为： 根据弧长公式，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，可得： 解得 ∴它的侧面展开图的圆心角为． 题型13 圆锥的实际问题 解题技巧（实景建模法）：1. 场景转化：烟囱帽、漏斗、沙堆、圣诞帽、扇形卷圆锥，全部标准化为圆锥模型；2. 提取数据：从实际场景中提取母线、底面半径、高、圆心角；3. 按需选公式：求面积用侧面积公式、求尺寸用勾股与等价关系；4. 结果取舍：舍去不合理负值、超范围数值，贴合实际。 【典例13】．某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 【变式1】．一个圆锥的底面直径是，侧面展开图的面积是，则母线长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，，其中弧长等于底面周长．根据给定条件列方程求解即可． 【详解】∵ 底面直径是， ∴ 底面半径 ， ∴底面周长 ，即扇形弧长． 设母线长为 ， 扇形面积 ． ∵， ∴， 解得 ． 故选：D． 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的面积计算，解题关键是掌握扇形面积公式和弧长与底面周长的关系． 【变式2】．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 【答案】24 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， 解得， ∴母线长是． 故答案为：24． 【变式3】．一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是，用这堆沙子在宽的公路上铺厚的路面，能铺_______． 【答案】 【分析】本题考查了学生运用圆锥体积公式解决实际问题的能力． 先根据底面周长求出底面半径，再计算圆锥体积，最后利用长方体的体积公式进一步计算即可求解． 【详解】一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是， 底面半径 ， 圆锥体积 ． 铺路厚度， 设能铺长， 长方体体积， 即， ． 故答案为：． 题型14 圆锥侧面上最短路径问题 解题技巧（展平化曲为直模型）：1. 核心思想：曲面最短路径 → 侧面展开平面图中两点之间线段最短；2. 操作步骤：将圆锥侧面沿母线剪开展为扇形；3. 定位两点：在展开扇形中标记起点、终点；4. 构造三角形：利用扇形半径、圆心角，结合勾股定理、余弦定理求线段长；5. 压轴套路：先展平、再找点、后算线段，是唯一解题思路。 【典例14】．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 【变式1】．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 【变式2】．如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， ∴展开后， ，， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【变式3】．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 1．月洞门是古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形的边长都是，点是圆心，，是网格线交点且均在上，整个图形是轴对称图形．若，则优弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明为等边三角形，得出，进而得出优弧所对圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】由图可得， ，∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴优弧所对圆心角为， ∴优弧的长为． 故选：A． 2．用一张圆心角为的扇形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，圆锥母线长等于扇形半径，利用该关系列方程求解即可. 【详解】解：设圆锥的母线长为，即扇形半径为. 根据扇形弧长等于圆锥底面周长， 可得方程. 解得. ∴圆锥的母线长为. 3．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算． 本题理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算，然后即可求解． 【详解】解：重物上升即是弧长， 所以根据弧长公式可求得旋转的度数， ， 解得． 故选：C． 4．如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 5．如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 6．如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 7．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），已知该扇形纸片的面积为，母线长为，则围成的圆锥的底面半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，设该圆锥的底面半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据扇形的面积公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设该圆锥的底面半径为， 根据题意得， 解得， 即该圆锥的底面半径为， 故选：C． 8．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是求解圆锥展开图的扇形圆心角，设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为，再利用底面圆周长等于展开图的弧长可得答案. 【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为， 由题知，， 解得， 其侧面展开扇形的圆心角为． 故选：D 9．如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴对角线长为， ∴转动一次的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动五次的路线长是：， 以此类推，每四次循环， 故顶点转动四次经过的路线长为：， 顶点转动2026次经过的路线长为：． 故选：D． 10．如图，是的直径，点C是左侧半圆上动点，以为斜边在右下方作等腰直角三角形，E是弧的中点，连接，，下列结论：①点C、D、E共线；②当C点从A运动到B时，D点的运动路径长为；③D点到的距离等于；④，其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．证明，，即可证明①；根据得到点的运动路径为半圆，求出半圆的长度即可判断②；根据等腰三角形的判定和性质以及相似三角形的性质进行判断③；证明，根据相似三角形的性质即可判断④． 【详解】解：如图，连接 ∵E是弧的中点，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴三点共线，故①正确； ∵， ∴点在以为直径的圆上， ∴点的运动路径为以为直径的半圆， ∵， ∴ ∴， ∴点的运动路径为， 故②错误， 延长交的延长线于点，作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 由圆周角定理可得， ∵， ∴， ∴， 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C． 11．如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】由题意，通过导角计算可证明，则为等边三角形，则可求相关的边长和角度，根据进行计算即可． 【详解】解：连接，作交于， 由题意， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴，‘ 则 ． 12．用一个圆心角为，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的侧面积是_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面积等于围成圆锥侧面的扇形的面积，利用扇形面积公式即可计算出结果． 【详解】解：由题意可知，圆锥的侧面积等于圆心角为，半径为的扇形的面积． 根据扇形面积公式，将，代入得： ． 13．将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于、两点．若厘米，则的长度为_____厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】直接根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴的长度为：． 14．在如图所示的正六边形中，点G是边的中点．已知，正六边形的面积是18，则图中阴影部分的面积是____． 【答案】3 【分析】连接，，，利用正六边形的性质得出的面积与正六边形面积的关系，进而求出的面积，最后根据三角形中线的性质求解． 【详解】解：连接，，， 正六边形的面积是18， 正六边形可以分割为6个全等的正三角形，每个正三角形的面积为， ， 在正六边形中，是经过中心的对角线， ∴，， ∴， ， 点到的距离等于点到的距离， ， 是正六边形的对角线， 四边形的面积是正六边形面积的一半，即， ， 点是边的中点， ， ． 15．如图，圆是的外接圆，是圆的直径，弦，垂足为点，的平分线交于点、交于点、交于点，连接、，给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，若，则阴影部分图形的面积为； ④当时，． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是勾股定理，圆周角定理，弧，弦，圆心角之间的关系，垂径定理，等腰三角形的判定与性质．由，可得，可得①符合题意；证明，可得，可得②符合题意；由，可得，如图，连接，可得，，进一步可得阴影部分图形的面积，可得③不符合题意；由，可得，，，设，再进一步可得④符合题意． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵为直径， ∴， ∴， ∵弦， ∴，， ∵的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， 如图，连接，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴阴影部分图形的面积为，故③不符合题意； ∵， ∴，，， ∴， ∴设， ∴， ∴， ∴；故④符合题意； 故答案为：①②④． 16．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出； (2)求边在旋转过程中扫过的图形面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作旋转图形，勾股定理，扇形的面积，熟练掌握作旋转图形及扇形的面积是关键． （1）分别作出点A与点B绕点C顺时针旋转后的对应点D与点E，连结，和即可； （2）根据勾股定理求得，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解： ，     线段在旋转过程中扫过的图形面积为． 17．如图，圆锥的高，底面圆的半径，则该圆锥的侧面积为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积等于． 先由勾股定理求解母线长，再由圆锥的侧面积公式求解． 【详解】解：由题意得，圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积为， 答：圆锥的侧面积为． 18．如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求弧长，求扇形的面积，熟练掌握弧长公式和扇形的面积公式是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理，等边对等角，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵以点为圆心，长为半径的圆交于点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴扇形的面积． 19．绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【答案】(1) (2) (3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到 【分析】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转： （1）先证明四边形是正方形即可得到坐标； （2）根据，算出圆的周长即可得到叶瓣的周长； （3）利用旋转即可． 【详解】（1）以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点 是正方形 （2）原点，为圆心、以为半径作圆 两个圆是等圆 叶瓣①的周长为： （3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到． 20．如图，在中，圆心角，． (1)求的长； (2)求阴影部分拱形面积．（保留） 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查求弧长以及不规则图形的面积，熟练掌握基本公式是解题关键． （1）先求出半径，再直接利用弧长公式求解即可； （2）先求出扇形的面积，再减去直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵圆心角，． ∴，且， ∴， ∴的长为：； （2）解：扇形的面积为：， 直角三角形的面积为：， ∴阴影部分拱形面积为：． 21．如图，在中，，以底边为直径作，连接，分别与，相交于点，． (1)连接，直接写出与的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，，则．容易判断是等腰直角三角形，则，根据圆内接四边形的性质求出； （2）连接，根据直角三角形的性质可得，，进而推断出是等边三角形，则，，使用扇形弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆内接四边形的性质可得，， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴点是斜边的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查圆的基本概念，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，扇形的弧长公式，熟练掌握圆的基本性质是关键． 22．已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 【答案】(1)证明：∵是直径, ∴. ∵， ∴(相等的圆周角所对的弦相等)， 在和中，, ∴； (2) (3)①   ② 【详解】（1）略 （2）解：如图，过D作于H， ∵半圆O中，直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：①如图2，连接，，，过M作于E． ∵直径，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，最大，如图3． ∵是等边三角形，M是的中点， ∴， ∴，即点M到的距离的最小值是； ②如图4． 由①知，， ∴M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧， 当C与A重合时，， 同理，当D与B重合时，， ∴, ∴点M的运动路径长为． 23．如图，在扇形中，． (1)尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若． ①求的长； ②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②  2 【分析】（1）尺规作图，作的角平分线，与的交点就是点C； （2）①先求扇形的半径，再根据弧长公式计算即可；②设圆锥底面半径为r，根据圆锥底面周长等于扇形弧长，列方程计算即可． 【详解】（1）解：如下图， 分别以A、B为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点E，连接，射线与交于点C，点C即为所求； （2）①设扇形的半径为R，则， ， ， 是的中点， ， ， ， 在中， ，即， 解得：， ； ②设圆锥底面半径为r ， ， ， 圆锥的底面半径是2． 24．如图1～图3，是半圆的直径，且，是半圆的弦（点，可分别与点，重合），将半圆沿直线翻折． (1)当点与点重合，且时，如图1．求劣弧的长； (2)当时，如图2，过点作，垂足为点，折叠后的劣弧恰好经过的中点，连接，求的值； (3)若折叠后的劣弧与直径切于点，且点是半径的中点，如图3，求折痕的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，求出，即可求出劣弧的长； （2）设的延长线与圆的交点为，连接，由折叠的性质得得，利用勾股定理求出，然后利用正切的定义即可求解； （3）设折叠后的圆弧所在的圆的圆心为，连接，设与的交点为，由勾股定理求出，得出，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设的延长线与圆的交点为，连接，如图， ∴， ∵， ∴，， 根据折叠的性质，得， ∵折叠后的劣弧恰好经过的中点， ∴， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理，得， ∴． （3）解：设折叠后的圆弧所在的圆的圆心为，连接，设与的交点为，如图3， 由折叠可知：，，，， ∵折叠后劣弧与直径切于点， ∴， ∵点是半径的中点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲 弧长和扇形面积 目录 知识点1 弧长核心公式 2 知识点2 扇形面积两套必考公式 3 知识点3 弓形面积公式 3 知识点4 圆锥核心对应关系（重难点） 3 知识点5 圆锥必考计算公式 4 知识点6 不规则图形面积解题思想 4 题型1 求弧长 4 题型2 求扇形半径 5 题型3 求圆心角 6 题型4 求某点的弧形运动路径长度 7 题型5 求扇形面积 8 题型6 求图形旋转后的面积 9 题型7 求弓形面积 10 题型8 求其他不规则图形的面积 11 题型9 求圆锥侧面积 12 题型10 求圆锥底面半径 13 题型11 求圆锥的高 14 题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角 15 题型13 圆锥的实际问题 16 题型14 圆锥侧面上最短路径问题 16 1. 知识目标：熟练背诵并掌握弧长公式、扇形两套面积公式、弓形面积公式；明晰扇形与圆、圆锥的转化关系；掌握圆锥侧面积、底半径、高、侧面展开图圆心角的全套推导公式；理解旋转路径、不规则阴影面积、圆锥最短路径的几何模型。 2. 能力目标：能正向、逆向运用弧长与扇形公式求弧长、半径、圆心角；熟练求解旋转路径、各类规则与不规则图形面积；精通圆锥四类核心计算与实际应用；掌握圆锥侧面最短路径压轴题型解题方法。 3. 素养目标：建立曲面与平面转化、割补转化、数形结合、空间想象思想，提升公式灵活变形、图形拆分、立体几何建模能力，攻克圆模块计算类基础与压轴题型。 知识点1 弧长核心公式 在半径为的圆中，圆心角所对弧长： 推导逻辑：整圆周长，平均分成360份，度对应占比。 变形公式：、（逆向求圆心角、半径）。 知识点2 扇形面积两套必考公式 1. 角度公式（知）： 2. 弧长公式（知）： 适用场景：角度已知用公式一，弧长已知用公式二，解题快速省时。 知识点3 弓形面积公式 1. 劣弧弓形（小于半圆）： 2. 优弧弓形（大于半圆）： 知识点4 圆锥核心对应关系（重难点） 1. 圆锥母线 = 侧面展开扇形的半径； 2. 圆锥底面周长 = 侧面展开扇形的弧长； 3. 圆锥高、底面半径、母线满足勾股定理：。 知识点5 圆锥必考计算公式 1. 圆锥侧面积： 2. 圆锥全面积： 3. 侧面展开图圆心角：（高频秒杀公式） 知识点6 不规则图形面积解题思想 核心方法：割补法、和差法、平移旋转等积替换法，将不规则阴影转化为扇形、圆、三角形、四边形等规则图形再计算。 题型1 求弧长 解题技巧（公式直代法）：1. 找准两个关键量：圆弧所在圆半径、对应圆心角度数；2. 直接代入弧长公式计算；3. 多段弧长：分段计算每一段弧长再求和；4. 结果保留，无特殊要求不近似。 易错提醒：必须用对应弧的圆心角，禁止误用圆周角、补角。 【典例1】．如图，等腰三角形内接于，且点在底边上，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，点在圆弧上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【变式3】．如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 题型2 求扇形半径 解题技巧（公式逆推法）：1. 已知弧长、圆心角：变形求解；2. 已知扇形面积、圆心角：变形求解；3. 已知扇形面积、弧长：变形求解；4. 根据题干已知条件灵活选择逆推公式，简化运算。 【典例2】．蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【变式2】．若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 题型3 求圆心角 解题技巧（方程反求法）：1. 已知弧长半径：代入直接计算；2. 已知扇形面积半径：代入求解；3. 圆锥题型：用秒杀公式快速求展开圆心角；4. 结果为0°~360°之间的正数，舍去不合理解。 【典例3】．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【答案】120 【变式3】．把一个圆剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角是，则该扇形与另一个扇形的弧长之比是______． 题型4 求某点的弧形运动路径长度 解题技巧（旋转路径模型）：1. 定点定径：图形旋转时，动点轨迹为圆弧；2. 锁定参数：轨迹半径=动点到旋转中心的距离，轨迹圆心角=图形旋转角度；3. 代入弧长公式计算路径总长；4. 多次旋转：分段求每一次旋转弧长，累加求和。 核心结论：旋转路径本质就是圆弧，全程套用弧长公式。 【典例4】．如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 【变式1】．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【变式3】．摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 题型5 求扇形面积 解题技巧（双公式择优法）：1. 已知圆心角、半径：用；2. 已知弧长、半径：优先用，计算更简便；3. 等积转化：相同半径、相同圆心角扇形面积相等，可直接替换；4. 多扇形组合：拆分单个扇形分别计算，再求和或作差。 【典例5】．如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 【变式3】．如图，的半径为，若它的周长等于弧的长的倍，则阴影部分的面积为________． 题型6 求图形旋转后的面积 解题技巧（旋转等积法）：1. 旋转不变性：图形旋转前后面积不变；2. 扫过面积模型：图形旋转扫过的区域为圆环、扇形、扇环组合图形；3. 拆分计算：大扇形减小扇形、大圆减小圆求扫过面积；4. 不规则扫过区域：割补转化为规则扇形面积求解。 【典例6】．如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【变式1】．如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，点B在线段上，，，，．固定，将绕点C按顺时针旋转使得与重合，并停止旋转．则线段经旋转运动所扫过的平面图形的面积为 _____． 【变式3】．如图，为半圆内一点，为圆心，直径长为，，，将绕圆心逆时针旋转至，点在上，则边扫过区域(图中阴影部分)的面积为______． 题型7 求弓形面积 解题技巧（和差拆分法）：1. 劣弧弓形：扇形面积 − 对应等腰三角形面积；2. 优弧弓形：整圆面积 − 劣弧弓形面积；3. 步骤固定：先算扇形、再算三角形、最后作差；4. 复杂组合弓形：拆分多个基础弓形，分步求解。 易错点：禁止直接套用公式，必须区分优劣弧弓形。 【典例7】．如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水面宽为，则阴影部分面积为______． 【变式3】．如图，在矩形中，，，以点为圆心、长为半径作弧交于点；再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 题型8 求其他不规则图形的面积 解题技巧（三大转化万能法）：1. 和差法：整体减空白、多规则图形叠加；2. 割补法：平移、旋转、对称拼接，将不规则阴影补为扇形、半圆、圆、三角形；3. 等积替换法：利用同圆等弧等面积性质替换区域；4. 解题核心：所有不规则面积全部转化为规则面积计算。 【典例8】．如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 【变式1】．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【变式3】．设计一个商标图案如图中阴影部分，矩形中，，且，以点为圆心，为半径作圆与的延长线相交于点，则商标图案的面积等于________． 题型9 求圆锥侧面积 解题技巧（秒杀公式法）：1. 核心公式：（底面半径，母线长）；2. 已知高求母线：先用勾股再代入公式；3. 展开图题型：已知扇形弧长半径，用等价求侧面积；4. 区分侧面积与全面积，不重复加底面积。 【典例9】．如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．若一个圆锥的侧面展开图是半径为18，圆心角是的扇形，则这个圆锥的全面积是________ 【变式3】．如图，冰激凌蛋筒下部为一个底面直径为，母线长为的圆锥，则蛋筒圆锥部分包装纸的表面积（接缝忽略不计）为________． 题型10 求圆锥底面半径 解题技巧（周长等价法）：1. 核心等量：圆锥底面圆周长 = 侧面展开扇形弧长；2. 列等式：；3. 化简求解：快速解出底面半径；4. 已知侧面积反向求半径：结合变形求解。 【典例10】．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，点，，，都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，经过格点，，，三点在同一直线上，，，三点在同一直线上，若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 【变式3】．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 题型11 求圆锥的高 解题技巧（勾股定理固定模型）：1. 圆锥三线关系：母线、底面半径、高构成直角三角形；2. 固定公式：；3. 解题步骤：先求母线、再求底面半径，最后套公式得高；4. 所有圆锥求高题型，通用此模型，无例外。 【典例11】．若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 【变式1】．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知一个圆锥的底面半径是，且该圆锥的侧面展开图的半径为，则该圆锥的高为_______． 【变式3】．如图，若从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是____． 题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角 解题技巧（终极秒杀公式）：1. 必考速算公式：；2. 适用所有圆锥题型，无需复杂联立方程；3. 推导逻辑：底面周长与展开扇形弧长等价；4. 验算范围：结果在0°~360°之间，符合扇形特征。 【典例12】．某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 【变式2】．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 【变式3】．已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 题型13 圆锥的实际问题 解题技巧（实景建模法）：1. 场景转化：烟囱帽、漏斗、沙堆、圣诞帽、扇形卷圆锥，全部标准化为圆锥模型；2. 提取数据：从实际场景中提取母线、底面半径、高、圆心角；3. 按需选公式：求面积用侧面积公式、求尺寸用勾股与等价关系；4. 结果取舍：舍去不合理负值、超范围数值，贴合实际。 【典例13】．某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【变式1】．一个圆锥的底面直径是，侧面展开图的面积是，则母线长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是______． 【变式3】．一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是，用这堆沙子在宽的公路上铺厚的路面，能铺_______． 题型14 圆锥侧面上最短路径问题 解题技巧（展平化曲为直模型）：1. 核心思想：曲面最短路径 → 侧面展开平面图中两点之间线段最短；2. 操作步骤：将圆锥侧面沿母线剪开展为扇形；3. 定位两点：在展开扇形中标记起点、终点；4. 构造三角形：利用扇形半径、圆心角，结合勾股定理、余弦定理求线段长；5. 压轴套路：先展平、再找点、后算线段，是唯一解题思路。 【典例14】．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【变式2】．如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【变式3】．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 1．月洞门是古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形的边长都是，点是圆心，，是网格线交点且均在上，整个图形是轴对称图形．若，则优弧的长为（    ） A． B． C． D． 2．用一张圆心角为的扇形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为(　　) A． B． C． D． 3．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 4．如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），已知该扇形纸片的面积为，母线长为，则围成的圆锥的底面半径是（   ） A． B． C． D． 8．如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（   ）． A． B． C． D． 9．如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（    ） A． B． C． D． 10．如图，是的直径，点C是左侧半圆上动点，以为斜边在右下方作等腰直角三角形，E是弧的中点，连接，，下列结论：①点C、D、E共线；②当C点从A运动到B时，D点的运动路径长为；③D点到的距离等于；④，其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________． 12．用一个圆心角为，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的侧面积是_________． 13．将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于、两点．若厘米，则的长度为_____厘米．（结果保留） 14．在如图所示的正六边形中，点G是边的中点．已知，正六边形的面积是18，则图中阴影部分的面积是____． 15．如图，圆是的外接圆，是圆的直径，弦，垂足为点，的平分线交于点、交于点、交于点，连接、，给出下面四个结论： ①； ②； ③当时，若，则阴影部分图形的面积为； ④当时，． 上述结论中，正确结论的序号有________． 16．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．将绕点C顺时针旋转，得到． (1)画出； (2)求边在旋转过程中扫过的图形面积． 17．如图，圆锥的高，底面圆的半径，则该圆锥的侧面积为多少？ 18．如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，连接，且． (1)求的长； (2)求扇形的面积． 19．绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 20．如图，在中，圆心角，． (1)求的长； (2)求阴影部分拱形面积．（保留） 21．如图，在中，，以底边为直径作，连接，分别与，相交于点，． (1)连接，直接写出与的度数； (2)若，求的长． 22．已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 23．如图，在扇形中，． (1)尺规作图：作的中点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，，并且，交于点，若． ①求的长； ②如图，将如图中的扇形围成圆锥，，恰好重合，求圆锥的底面半径． 24．如图1～图3，是半圆的直径，且，是半圆的弦（点，可分别与点，重合），将半圆沿直线翻折． (1)当点与点重合，且时，如图1．求劣弧的长； (2)当时，如图2，过点作，垂足为点，折叠后的劣弧恰好经过的中点，连接，求的值； (3)若折叠后的劣弧与直径切于点，且点是半径的中点，如图3，求折痕的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $