第16讲 弧长和扇形面积（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

第16讲 弧长和扇形面积 （3大考点14大题型） 学习目标 1.掌握扇形和弓形的定义。 2.掌握扇形面积公式、弧长公式。(重点） 3.掌握圆锥的定义，以及相关量的计算. 考点整理 一、扇形 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，设扇形的圆心角为，则扇形的面积和弧长：，． 二、弓形 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 弓形的面积等于扇形面积减去三角形AOB的面积。 三、圆锥 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r十l). 题型归纳 【题型1 求弧长】 1．如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 2．月洞门是古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形的边长都是，点是圆心，，是网格线交点且均在上，整个图形是轴对称图形．若，则优弧的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在半径为6的中，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【题型2求扇形半径】 5．蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（     ） A． B． C． D． 6．如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 7．若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 8．已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【题型3 求圆心角】 9．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 10．如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 11．已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 12．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 【题型4 求某点的弧形运动轨迹长度】 13．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 14．如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 15．如图，在矩形中，已知，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B顺时针旋转至①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至②位置……以此类推，这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和为（   ） A． B． C． D． 16．如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 求扇形面积】 17．如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 18．如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 19．若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 20．如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么所得扇形的面积为原来的（     ） A．4倍 B．1倍 C． D． 【题型6 求图形旋转后扫过的面积】 21．如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 22．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 23．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为；…；按此规律，则为（   ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【题型7 求弓形面积】 25．如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 26．如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 27．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 28．如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【题型8 求其他不规则图形的面积】 29．如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 30．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 31．如图，在中，，以为直径的半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 32．如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心O点，点C为弧的中点，的半径为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【题型9求圆锥侧面积】 33．如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 34．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 35．一个圆锥，根据下列所给条件能计算出它的侧面积的是（     ） ①圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥的母线长； ②底面圆的面积，圆锥的母线长； ③圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的半径； ④圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的周长． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 36．将某工厂出售的网红款户外防雨斗笠抽象为几何图形，得到一个圆锥形几何体，测得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【题型10 求圆锥底面半径】 37．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 38．如图，点，，，都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，经过格点，，，三点在同一直线上，，，三点在同一直线上，若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 39．将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开，所得扇形的面积为，圆心角为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 40．若一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为40，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【题型11 求圆锥的高】 41．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 42．若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 43．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 44．一个圆柱形鱼缸，底面积是平方厘米，高是30厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径10厘米的圆锥形实心铸件完全浸没在水中，鱼缸的水面上升了2厘米，则这个圆锥的高是（   ）厘米． A．2 B．4 C．6 D．8 【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】 45．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 46．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 47．某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（     ） A． B． C． D． 48．一个底面半径为的圆锥，展开后的扇形半径为，则这个扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【题型13 圆锥的实际问题】 49．用一张圆心角为的扇形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为(　　) A． B． C． D． 50．某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 51．如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 52．如图以正六边形的顶点A为圆心，为半径作，与正六边形重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面半径与母线长之比为（　　） A． B． C． D． 【题型14 圆锥侧面的最短路径问题】 53．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 54．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 55．如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 56．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 弧长和扇形面积 （3大考点14大题型） 学习目标 1.掌握扇形和弓形的定义。 2.掌握扇形面积公式、弧长公式。(重点） 3.掌握圆锥的定义，以及相关量的计算. 考点整理 一、扇形 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，设扇形的圆心角为，则扇形的面积和弧长：，． 二、弓形 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 弓形的面积等于扇形面积减去三角形AOB的面积。 三、圆锥 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形.设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为2πr，圆锥的侧面积为πrl，圆锥的全面积为πr(r十l). 题型归纳 【题型1 求弧长】 1．如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：当弧是劣弧时，则弧长为； 当弧是优弧时，如图，则弧长为 ∴弧的长为或． 2．月洞门是古典园林建筑中的圆形过径门，形如满月，兼具通行与框景功能（如图1），图2是其在正方形网格中的平面示意图，每一个小正方形的边长都是，点是圆心，，是网格线交点且均在上，整个图形是轴对称图形．若，则优弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明为等边三角形，得出，进而得出优弧所对圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】由图可得， ，∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴优弧所对圆心角为， ∴优弧的长为． 故选：A． 3．如图，在矩形中，，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，则弧的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转得到，根据余弦值求角的度数得到，结合矩形的性质得到，再根据弧长公式即可求解． 【详解】解：将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴，则， ∴， ∴ ． 4．如图，在半径为6的中，为弦，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、，构造弧对应的圆心角，因为要求弧长需要先确定圆心角和半径，所以首先明确弧长公式为，其中是圆心角度数，是圆的半径．利用圆周角定理，因为圆周角和圆心角对应同一段弧，所以可由已知的的度数求出的度数．将得到的圆心角的度数和已知的半径代入弧长公式，计算弧的长度． 【详解】连接、， ， ． 半径， ， 因此的长为． 【题型2求扇形半径】 5．蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积公式的应用，同圆心角的扇形面积与半径的平方成正比，根据面积关系即可求出更小扇形的半径． 【详解】设裁剪出的更小扇形的半径为，折叠后的小扇形的半径． ∵扇形面积公式为，裁剪出的更小扇形与折叠后的扇形圆心角相同， ∴面积比等于半径平方的比， 又∵裁剪出的更小扇形面积是折叠后的扇形面积的， ∴， 代入得， 解得，半径为正，舍去负解， 因此裁剪出的更小扇形的半径为， 故选B． 6．如图，，分别切于点A，B，若，的长为，则的半径为（   ） A．10 B．15 C．20 D．30 【答案】B 【分析】连接，由切线定理及四边形内角和可得，然后根据弧长计算公式进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，分别切于点A，B， ∴， ∵，且， ∴， ∵的长为， ∴， 解得：． 7．若的圆心角所对的弧长为，则此弧所在圆的半径为（   ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】此题考查了弧长的计算，理解记忆弧长公式是解题的关键． 由弧长公式分别代入相应的数值求解即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， 解得． 故选：C． 8．已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积与弧长公式的应用，解答本题的关键是掌握扇形面积的计算公式．根据扇形的面积公式（其中为面积，为弧长，为半径），结合已知的弧长和面积，直接解方程即可求得半径． 【详解】设扇形的半径为， 根据扇形的面积公式， 解得． 故选：． 【题型3 求圆心角】 9．一个扇形的弧长是，面积是，则这个扇形的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了扇形面积的计算以及弧长的计算．利用扇形的弧长与面积公式确定出所求圆心角即可． 【详解】解：设这个扇形的半径为r，圆心角是n，面积为S，弧长为l， 由题意得：，即， 解得：， 又由可得：， 解得：， 故选：D． 10．如图，扇子上的精美图案是兴仁市某校学生在社团课上利用蜡染制作的，扇形完全打开后，扇面（即扇形）的面积为，竹条，的长均为，、分别为、的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积公式与弧长公式的综合应用，需先通过大扇形的面积求出圆心角，再结合中点条件确定小扇形的半径，进而计算弧长． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 根据题意，得：， 解得， 即圆心角． ∵、分别为、的中点， ∴， ∴的长为． 故选：B． 11．已知的半径为8，的长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求圆心角度数，掌握弧长公式是解题的关键． 设圆心角度数为，根据弧长公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】∵ 弧长 ，其中 ，， ∴ ， 简化得：， ∴ ， ∴ 。 故选：B． 12．一定滑轮的起重装置如图，滑轮半径为，当重物上升时，滑轮的一条半径按逆时针方向旋转的度数为（假设绳索与滑轮之间没有滑动）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算． 本题理解重物上升的长度就是弧长，然后利用弧长公式进行计算，然后即可求解． 【详解】解：重物上升即是弧长， 所以根据弧长公式可求得旋转的度数， ， 解得． 故选：C． 【题型4 求某点的弧形运动轨迹长度】 13．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式 进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， 半径，圆心角， 手腕的运动路线长：． 14．如图，中，，，，若以A为旋转中心，将其按顺时针方向旋转到位置，则B点经过的路线长为（    ） A．π B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴B点经过的路线长． 15．如图，在矩形中，已知，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B顺时针旋转至①位置，再绕右下角的顶点继续顺时针旋转至②位置……以此类推，这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据A的运动路径，计算前几次的路线长，探究一般性规律，然后计算求解即可． 【详解】解：∵，四边形是矩形， ∴， 转动一次A的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动第五次A的路线长是：， 以此类推，每四次为1个循环， ∴顶点A转动四次经过的路线长为：， ∵， ∴这样连续旋转61次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是：． 16．如图，矩形的边在直线l上，已知，，若矩形每次都以右下角的顶点为中心在直线l上顺时针旋转，如第1次旋转以C为中心，旋转后点D、A、B分别旋转到点、、位置；如第2次旋转以为中心，旋转后点C、、分别旋转到点、、位置；以此类推，则第2026次旋转后点D运动的总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴对角线长为， ∴转动一次的路线长是：， 转动第二次的路线长是：， 转动第三次的路线长是：， 转动第四次的路线长是：0， 转动五次的路线长是：， 以此类推，每四次循环， 故顶点转动四次经过的路线长为：， 顶点转动2026次经过的路线长为：． 故选：D． 【题型5 求扇形面积】 17．如图，在中，，，是斜边上的中线，以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点．若，则扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜边上的中线得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知， ∴， ∴， ∴扇形的面积为． 18．如图，，，，两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形可知，四个阴影扇形的圆心角之和即为四边形的内角和，利用四边形内角和为及扇形面积公式即可求解． 【详解】解：四边形的内角和为， 四个扇形的圆心角之和为 四个圆的半径都是， 四个扇形的面积之和． 19．若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接运用初中扇形面积公式代入数值计算即可． 【详解】解：∵ 扇形面积公式为 ，其中圆心角 ，半径 ， ∴ 代入得 ． 20．如果将扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩小为原来的，那么所得扇形的面积为原来的（     ） A．4倍 B．1倍 C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式计算判断即可 【详解】解：扇形面积，圆心角变为 ，半径变为， 变化后的扇形面积为： 【题型6 求图形旋转后扫过的面积】 21．如图，在中，，，．将绕点顺时针方向旋转至，点恰好在射线上，则边扫过的阴影面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，扇形面积公式，含的直角三角形的相关计算，求旋转图形扫过的面积，熟练掌握相关知识是解题的关键；先求出，再由旋转性质得，求出旋转角，根据扇形面积计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， 由旋转性质可知，，即，， ∴， ∴边扫过的阴影面积为， 故选B． 22．如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法以及勾股定理的逆定理是正确解答的关键． 根据垂径定理得出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，进而由勾股定理得出长，同理得到的长，再根据旋转性质可得旋转的圆心角为，半径，最后由扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：当点与点重合时，连接，如图所示： ∵点是的中点， ，且， ， 半圆的直径， ， ∴在中，， ， 当在半圆弧上旋转到点与点重合时，如图所示： 此时，同理可得， ， ∵是圆心O到弦CD的弦心距，且在同圆中，弦相等则弦心距也相等， 则弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，则点M在以O为圆心，为半径的圆上运动， 即就绕着点逆时针旋转，如图所示： ，， ， 则， ， 两条平行线之间的距离相等， ， 扫过的面积，即不规则扇形与扇形面积相等， ∴在整个滑动过程中线段扫过的面积， 故选：B． 23．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为；…；按此规律，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，余弦，扇形面积．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，，，，……均为等腰直角三角形，则，，，……，由，，，，……，可推导一般性规律为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，……，均为等腰直角三角形． ∴，，，……． ∴，， ，，……． ∴可推导一般性规律为． ∴当时， ∴． 故选：A． 24．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答． 【详解】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 【题型7 求弓形面积】 25．如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作于C，延长交于D，求出，得，由计算即得． 【详解】解：过点O作于C，延长交于D． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了弓形面积计算．熟练掌握垂径定理，勾股定理，余弦定义，30度的三角函数值，含30度的直角三角形性质，扇形面积和三角形面积公式，是解题的关键． 26．如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 27．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 【答案】D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 28．如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解． 【详解】解：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【题型8 求其他不规则图形的面积】 29．如图，将含角的直角三角板绕顶点A顺时针旋转后得到，点B经过的路径为弧，若，，则图中阴影部分的面积是 A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】根据题意得，再由含30度角的直角三角形的性质得出．结合图形及题意得出，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵绕顶点A顺时针旋转度后得到， ∴． ∴． 30．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，分别计算空白区域面积即可． 【详解】解：连接，如图， 阴影部分面积，矩形面积，的面积，空白区域面积，空白区域面积，扇形面积，扇形面积， ∴阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∵矩形，，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，为半径画弧交于点， ∴，,矩形面积， 在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∴，，， ∴的面积， ∴，， ∴, ∴扇形面积， ∵空白区域面积矩形面积的面积扇形面积， ∴， ∴， ∵扇形面积， ∴空白区域面积矩形面积扇形面积， ∴， ∴， ∵阴影部分面积矩形面积空白区域面积空白区域面积，即， ∴， ∴． 31．如图，在中，，以为直径的半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将空白部分分成一个扇形与一个三角形，先计算空白部分面积，再利用进行计算即可． 【详解】解：记的中点为点O， 连接和， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以为直径的半圆的面积为， 过O点作于E， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴扇形的面积， ∴ 32．如图，将弧沿弦翻折恰好过圆心O点，点C为弧的中点，的半径为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据翻折的对称性，得出和是等边三角形，再利用三角形全等将求阴影部分的面积转化为求扇形的面积，最终求出答案． 【详解】解：如图所示，连接，交于点， ∵点C为弧的中点， ∴， 又∵弧沿弦翻折恰好过圆心O点， ∴点关于对称，所在直线是线段的垂直平分线， ∴，即和是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴阴影部分的面积等于扇形的面积． 【题型9求圆锥侧面积】 33．如图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图（圆锥的母线和底面图形的直径都是），围成这个纸帽的纸的面积（不含接缝）是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆锥的母线和底面图形的直径都是， ，， ． 34．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面积. 【详解】解：∵圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形， ∴展开扇形的半径，圆心角， ∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， ∴. 35．一个圆锥，根据下列所给条件能计算出它的侧面积的是（     ） ①圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥的母线长； ②底面圆的面积，圆锥的母线长； ③圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的半径； ④圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的周长． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积，只需根据已知条件推导出计算侧面积所需的量，即可判断能否计算侧面积． 【详解】解：设圆锥底面半径为，母线长为，侧面展开图圆心角为，圆锥侧面积，且侧面展开扇形弧长等于底面周长，即， ① 已知和，由扇形面积公式，可直接计算侧面积，①符合要求； ② 已知底面圆面积，由可求出，又已知，代入，可计算侧面积，②符合要求； ③ 已知和，由可求出，代入可计算侧面积，③符合要求； ④ 已知和底面周长，由可求出，再由扇形面积公式可计算侧面积，④符合要求。 因此①②③④都能计算圆锥侧面积． 36．将某工厂出售的网红款户外防雨斗笠抽象为几何图形，得到一个圆锥形几何体，测得圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，代入侧面的面积公式计算． 【详解】解：由题意可知：圆锥形几何体的母线长为，底面圆的半径为， ∴圆锥侧面积为． 【题型10 求圆锥底面半径】 37．如图，中，，半径，若将扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先得到，然后求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，最后根据扇形的弧长即为圆锥的底面圆的周长求解即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 设圆锥的底面圆的半径为，则， 解得． 38．如图，点，，，都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，经过格点，，，三点在同一直线上，，，三点在同一直线上，若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是圆锥侧面展开图的性质(圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长)、正方形的性质(正方形的对角线平分内角，角度为)、扇形弧长公式(，其中为圆心角度数，为扇形半径)．先求出扇形的弧长，再根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长这一关系，求出圆锥底面半径． 【详解】解：连接， ∵由网格可知：扇形的圆心角， ， 扇形弧长， 设圆锥底面半径为， ， 解方程可得． 39．将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展开，所得扇形的面积为，圆心角为，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据扇形面积求出扇形的半径，根据圆锥底面周长等于扇形的弧长，进行求解即可. 【详解】解：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 由题意，得， 解得（舍去负根）； ∵， 解得； 故该圆锥的底面圆的半径为1. 40．若一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为40，则该圆锥的底面圆的半径为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 【题型11 求圆锥的高】 41．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解高，再由圆锥的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体为圆锥，如图， 由题意得， ∴ ∴， ∴这个几何体的体积为． 42．若一个圆锥的母线长为8，它的侧面展开图是半圆，则这个圆锥的高为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的高的计算，先利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长求出底面半径，再结合母线长，通过勾股定理计算圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面半径为，高为h， ∵圆锥母线长为8，侧面展开图是半圆， ∴侧面展开图半圆的弧长为， ∵圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长， ∴，解得， ∵圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，母线为斜边， ∴由勾股定理得， 即这个圆锥的高为， 故选：B． 43．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 44．一个圆柱形鱼缸，底面积是平方厘米，高是30厘米，里面盛有一些水，把一个底面半径10厘米的圆锥形实心铸件完全浸没在水中，鱼缸的水面上升了2厘米，则这个圆锥的高是（   ）厘米． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程实际应用．根据题意设这个圆锥的高是x厘米，再列出一元一次方程即可得到本题答案． 【详解】解：设这个圆锥的高是x厘米，根据题意得， 解得， 答：这个圆锥的高是6厘米． 故选：C． 【题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角】 45．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 46．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥的性质：侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，列方程求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角为 ， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，圆锥底面半径 ，母线长 ， ∴圆锥底面周长 ，扇形弧长公式为，据此列方程得 ， 解得 ， ∴圆心角为． 47．某校五四文艺汇演，需用扇形纸片制作锥形帽（不考虑接缝处损耗），若锥形帽底面圆的直径为，母线长为，则扇形纸片的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：圆锥底面圆直径为， 圆锥底面圆周长 ， 扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长 设扇形圆心角为，根据扇形弧长公式，可得： 解得， 扇形纸片的圆心角为． 48．一个底面半径为的圆锥，展开后的扇形半径为，则这个扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆锥侧面展开图的性质，关键是掌握扇形弧长与圆锥底面周长的相等关系． 圆锥展开后的扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用此关系列方程求解圆心角即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为， 圆锥底面周长为， 扇形弧长， 圆锥展开后的扇形的弧长等于圆锥底面的周长， ，即，解得． 这个扇形的圆心角为． 故选C． 【题型13 圆锥的实际问题】 49．用一张圆心角为的扇形铁皮，围成一个底面半径为的圆锥形工件的侧面(接缝忽略不计)，则圆锥的母线长为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆锥侧面展开图是扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，圆锥母线长等于扇形半径，利用该关系列方程求解即可. 【详解】解：设圆锥的母线长为，即扇形半径为. 根据扇形弧长等于圆锥底面周长， 可得方程. 解得. ∴圆锥的母线长为. 50．某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 51．如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为，进而得到，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设的长为， 四边形为正方形， 则，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得， 故选：C． 52．如图以正六边形的顶点A为圆心，为半径作，与正六边形重合的扇形部分恰好是一个圆锥侧面展开图，则该圆锥的底面半径与母线长之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正六边形的边长为a，圆锥的底面半径为r，由六边形为正六边形，得到，根据圆锥的底面周长与扇形的弧长相等可得，整理后即可得到答案． 【详解】解：设正六边形的边长为a，圆锥的底面半径为r， ∵六边形为正六边形， ∴， 根据题意得， 所以， 即该圆锥的底面半径与母线长之比为． 故选：C． 【点睛】此题考查了扇形的弧长、正六边形的性质、圆锥的相关知识，得到圆锥的底面周长与扇形的弧长相等是解题的关键． 【题型14 圆锥侧面的最短路径问题】 53．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 54．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 【答案】B 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 【详解】 解：圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是．故选：． 【点睛】 本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 55．如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， ∴展开后， ，， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 56．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $