精品解析：湖北省某重点中学2026-2027学年高一上学期分班考试数学试题

高一分班试题 一、 填空题：15 小题，每小题 4 分，共 60 分. 1. 要使分式有意义，则的取值范围为___. 【答案】且 【解析】 【分析】0的0次幂没有意义，偶次根号下被开方数为非负数，分母不能是0. 【详解】 2. 已知，则的算术平方根等于___. 【答案】9 【解析】 【分析】先由已知等式结合根式与绝对值的非负性列方程组求解，再代入求解算术平方根. 【详解】根据根式和绝对值的非负性，列式得 ，， 所以的算术平方根等于9. 3. 观察下列等式，从计算结果中找规律，用规律计算____. 【答案】 【解析】 【分析】观察已知等式得到各个式子之间分母关系的共同规律，利用规律计算. 【详解】由， 可得规律， 所以，……， 所以 . 4. 记为超过实数的最小整数，如，则满足不等式的的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【详解】由题设，等价于，即. 5. 设满足关系式，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【详解】令， 则，故， 则当时，取最小值. 6. 二次函数图象如图所示，则代数式：中，结果为正数的有_____个. 【答案】4 【解析】 【分析】根据二次函数的图象开口、对称性及特殊点的位置逐一判断即得. 【详解】由图可知时，图象在x轴下方，则， 时，图象在x轴上方，即，时，图象在x轴上方，即， 又因二次函数的对称轴介于0，1之间，即 因，则可得，又因抛物线与轴交于负半轴，故 则有.故结果为正数的有4个. 7. 在式子中代入不同的的值，得到对应的值，这些对应的值中，最小值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】令，进行分类讨论，化简式子并结合图象判断最小值即可 【详解】令， 则当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 作图象如下图： 由图象可知最小值为. 8. 已知三角形三内角平分线相交于一点（记为三角形的内心），过作三角形边的垂线，垂足为，已知三角形的面积为18，周长为9，则____. 【答案】4 【解析】 【详解】根据角的平分线到角两边距离相等的性质，可知到三边距离相等，记为 所以，即，则. 9. 在三角形纸片中，在边上取一点，以为折痕，使一部分与重合，与延长线上的点重合，则的长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，再根据折叠的性质得到，，进而求出．设，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解． 【详解】因为，所以 由折叠的性质，得 又，，且点在的延长线上，所以 设，则 在直角三角形中，由勾股定理得 解得 所以 10. 如图分别是双曲线在第一，三象限上的点，轴，轴，垂足分别为，与相交于M，记的面积为，则 _______0（填，=，<) 【答案】= 【解析】 【详解】连接，记， 则， 同时减去，，即. 11. 设正整数，且，则______，______ 【答案】 ①. 21 ②. 18 【解析】 【分析】对等式进行因式分解变形，令，由是质数，得到二元一次方程组，即可求解. 【详解】，所以，即， 因为，为正整数，所以或， 即，或（舍），令，因为， 所以，，所以， 因为是质数，则，， ，，. 12. 已知三角形三边中垂线交于一点，称为三角形的外心，三角形三边高线交于一点，称为三角形的垂心.如图所示：分别是三角形的外心和垂心，则三角形外接圆的半径为_______. 【答案】 【解析】 【分析】本题结合定义，利用直径所对的圆周角是以及同弧所对的圆周角相等解答即可. 【详解】 连结并延长交圆于 ，则为直径，易知，均垂直于，，均垂直于， 所以四边形为平行四边形.所以，又， 又因为,所以,. 13. 如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移个单位，与y轴，x轴分别交于两点，以线段长为边作等边三角形，若反比例函数图象恰好经过点，则的值为___. 【答案】 【解析】 【详解】平移后直线变为，则,故， 因三角形是等边三角形，则，于是 由勾股定理，， 则点的横坐标为,纵坐标为,即， 又因反比例函数图象恰好经过点，则得. 14. 如图所示是一个信号灯装置，当时，在原点处的信号灯亮，按照如图所示的方向每隔一秒钟信号灯前进一格，即当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮.依此类推，当时，亮的信号灯的位置坐标为_____. 【答案】 【解析】 【详解】到达位置时，共前进1格，到达位置时，共前进9格，到达位置时，共前进25格， 依此类推，到达时，共前进225格，再向右前进5格， 当时，坐标为 15. 如图，已知顶角为的等腰，为内一点，若的面积为4，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用的面积求出三角形的腰的长，利用旋转将化为，结合F，E，P，C四点共线时和最小，即可求得答案. 【详解】如图，，设，则腰上的高为. 则，解得 将AB绕A顺时针旋转，B旋转到F，P旋转到E，则为等边三角形，且， 所以等于， 由图可知，当F，E，P，C四点共线时和取得最小值. 又，即为等腰直角三角形，故， 即的最小值为. 二、 解答题：6 小题，共 60 分.解答题需在答题卡上写出必要的说明、推理或演算过程. 16. 已知关于x的一元二次方程有实数根 （1）求实数k的取值范围. （2）设方程两个实根分别为，求的最大值. 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用韦达定理代入计算，再根据二次函数的性质求出最值. 【小问1详解】 因为方程是x的一元二次方程，所以， 又有实数根， 所以判别式即，即，解得 所以实数k的取值范围且； 【小问2详解】 因为方程两个实根为，则 即且， 由韦达定理得 则， 该抛物线的对称轴为，且开口向上， 因且，故当时，二次函数取得最大值为， 即的最大值为. 17. 已知实数，满足，当的三边满足，求的周长和面积. 【答案】周长为；面积为 【解析】 【分析】根据条件可得为方程的两个实根，利用韦达定理与勾股定理判断三角形的形状，结合三角形周长与面积公式计算即得. 【详解】，则为方程的两个实根， 由韦达定理得，，， 又 则是以为直角的直角三角形，因， 则的周长为，面积为. 18. 设，求不超过s的最大整数，并求当时，的最大值. 【答案】，1 【解析】 【详解】当为正整数时， ， 则 ，故， 因为在时随着的增大而减小，所以当时，的最大值为. 19. 已知为整数，求使它们满足不等式，并判断以为边，能否构成三角形？如能，说明三角形的特征. 【答案】，能构成等腰三角形. 【解析】 【分析】利用为整数这一条件，将严格不等式转化为整数不等式，再通过配方将其化为若干平方项之和，利用平方的非负性确定的值，最后判断三边能否构成三角形． 【详解】因为均为整数，所以与均为整数． 由可得 移项并配方，得 而 又所以三个平方项均为 ，即 解得 因为所以以 为三边能构成三角形，且有两边相等，因此该三角形为等腰三角形． 20. 如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （1）如图，当时，线段三者之间的数量关系式是 ． （2）如图，当时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． （3）当点在射线上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段三者之间的数量关系式． 【答案】（1） （2）结论仍然成立； 如图过点作//交的延长线于点， //，，，，， ，，，且，， ，，. （3）不成立，当点在线段上时，；当点在延长线上时， 【解析】 【分析】（1）本小问设置特殊位置，可推导出四边形为正方形.设边长进行计算，能够得到.本题由特殊图形得到线段猜想，起到投石问路的作用，为第（2）问一般情况的证明指明待证结论. （2）结论依旧成立.作//，构造等腰直角三角形，得到.通过角度运算证，结合旋转条件证明，等量代换，将两条线段拼接在同一直线上完成推导. （3）点落在射线上，图形发生变化，原等式不再成立.需要分两种位置讨论：在线段上时；在延长线上时.解题构造全等思路不变，侧重考查动点分类讨论能力. 【小问1详解】 是等腰直角三角形，，，，， ，，，，， 将绕点逆时针旋转，得到线段，，， ，//，四边形是平行四边形，且， 四边形是矩形，且，四边形是正方形，，， . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不成立， 当点在线段上时，如图，过点作//， ，，， ，，，，且， ，，，； 当点在的延长线上时，如图，过点作//，交延长线于点， ，，， ，，，，且，， ，，，． 21. 1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提了个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位视角最大？此最大视角问题被称为“米勒问题”.已知点是的边上的两个定点，点是边上的一动点，通过研究得出：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大.如图；已知抛物线与轴交于两点，点均在抛物线上，抛物线顶点在直线上. （1）求抛物线的方程； （2）一动点从原点出发，在轴上沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度前进，运动时间为何值时最大？ （3）若动点在轴上运动，点坐标为何值时最大？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）本小问为基础计算.由纵坐标相等，得到抛物线对称轴；结合顶点在直线求得顶点横坐标与纵坐标关系，再利用抛物线建立方程组求解系数.求出解析式后确定坐标，为后面米勒视角最值问题提供定点坐标支撑. （2）本题直接应用题干给出的米勒最大视角结论.为轴定点，在轴正半轴，当外接圆与轴相切于点时最大.设，借助切线性质建立方程求解，重在考查学生读取信息、直接迁移模型解决坐标几何问题的能力. （3）延续米勒视角模型，定点更换为，动点仍在轴上.满足外接圆与轴切于时最大.相较于第（2）问，定点不在坐标轴上，坐标运算更为复杂，训练学生抓住模型本质，不受定点位置变化干扰，熟练数形结合列式计算. 【小问1详解】 过点，抛物线对称轴为，又抛物线顶点在直线上， 顶点为， 抛物线方程为. 【小问2详解】 根据米勒问题得出的结论，易知当且仅当的外接圆与轴相切于点时， 最大.根据弦切角定理可知，与相似， ，由（1）可知，， . 【小问3详解】 延长至，交轴于，根据米勒定理，， 易知， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一分班试题 一、 填空题：15 小题，每小题 4 分，共 60 分. 1. 要使分式有意义，则的取值范围为___. 2. 已知，则的算术平方根等于___. 3. 观察下列等式，从计算结果中找规律，用规律计算____. 4. 记为超过实数的最小整数，如，则满足不等式的的取值范围为_______. 5. 设满足关系式，则的最小值为_______. 6. 二次函数图象如图所示，则代数式：中，结果为正数的有_____个. 7. 在式子中代入不同的的值，得到对应的值，这些对应的值中，最小值是______. 8. 已知三角形三内角平分线相交于一点（记为三角形的内心），过作三角形边的垂线，垂足为，已知三角形的面积为18，周长为9，则____. 9. 在三角形纸片中，在边上取一点，以为折痕，使一部分与重合，与延长线上的点重合，则的长为_____. 10. 如图分别是双曲线在第一，三象限上的点，轴，轴，垂足分别为，与相交于M，记的面积为，则 _______0（填，=，<) 11. 设正整数，且，则______，______ 12. 已知三角形三边中垂线交于一点，称为三角形的外心，三角形三边高线交于一点，称为三角形的垂心.如图所示：分别是三角形的外心和垂心，则三角形外接圆的半径为_______. 13. 如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移个单位，与y轴，x轴分别交于两点，以线段长为边作等边三角形，若反比例函数图象恰好经过点，则的值为___. 14. 如图所示是一个信号灯装置，当时，在原点处的信号灯亮，按照如图所示的方向每隔一秒钟信号灯前进一格，即当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮，当时，在处的灯亮.依此类推，当时，亮的信号灯的位置坐标为_____. 15. 如图，已知顶角为的等腰，为内一点，若的面积为4，则的最小值为______. 二、 解答题：6 小题，共 60 分.解答题需在答题卡上写出必要的说明、推理或演算过程. 16. 已知关于x的一元二次方程有实数根 （1）求实数k的取值范围. （2）设方程两个实根分别为，求的最大值. 17. 已知实数，满足，当的三边满足，求的周长和面积. 18. 设，求不超过s的最大整数，并求当时，的最大值. 19. 已知为整数，求使它们满足不等式，并判断以为边，能否构成三角形？如能，说明三角形的特征. 20. 如图，是等腰直角三角形，，为延长线上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到线段，连接． （1）如图，当时，线段三者之间的数量关系式是 ． （2）如图，当时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． （3）当点在射线上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段三者之间的数量关系式． 21. 1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提了个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位视角最大？此最大视角问题被称为“米勒问题”.已知点是的边上的两个定点，点是边上的一动点，通过研究得出：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大.如图；已知抛物线与轴交于两点，点均在抛物线上，抛物线顶点在直线上. （1）求抛物线的方程； （2）一动点从原点出发，在轴上沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度前进，运动时间为何值时最大？ （3）若动点在轴上运动，点坐标为何值时最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $