精品解析：湖北省孝感高级中学等校2025-2026学年高一上学期期末质量检测数学试题

2025级上学期末质量检测 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是假命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知θ是第一象限角， ，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数（且）的图象过定点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 想要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A. 各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位 B. 各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位 C. 各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 D. 各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 6. 已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设t为实数，已知函数，，若存在实数a，b（）同时满足和，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数的单调递增区间是 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 已知，则函数的最小值为4 10. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的图象与直线在上的交点恰有2个 C. 的图象与直线在上的交点恰有2个 D. 在上不一定单调 11. 已知函数是定义域为的奇函数， ，当时，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 方程恰有9个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是_____________. 13. 幂函数在上为减函数，则的值为______　； 14. 已知函数（，，），其部分图象如图所示，其中为最高点，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）计算：. 16. 已知函数且. （1）若，求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 17. 一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且． （1）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 18. 设函数. （1）若，求函数在上的值域； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 19. 已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意、，都有；②对任意，.请解答下列问题： （1）判断的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明； （2）解不等式：； （3）证明：对任意正整数，. 提示：①；②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级上学期末质量检测 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求集合，再根据集合补集的定义求解. 【详解】，则， 故选：A. 2. 下列命题是假命题的为（ ） A. 若，，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项验证即可求解. 【详解】对于A：由，所以，故A正确； 对于B：由，得，所以，又，所以，故B正确； 对于C：当时，，故C错误； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 3. 已知θ是第一象限角， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式结合同角三角函数关系直接求解即可. 【详解】由， 则， 因为θ是第一象限角，所以，且， 所以. 故选：A. 4. 已知函数（且）的图象过定点，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数型函数过定点问题求出函数过定点，进而求解即可. 【详解】令，得，此时， 则函数过定点，即， 所以. 故选：D 5. 想要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A. 各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位 B. 各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位 C. 各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 D. 各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数解析式之间的关系结合三角函数图像变换关系进行判断即可． 【详解】， 将函数的图像各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位，即可得出函数的图像， 故选：C． 6. 已知定义在上的函数满足：对任意均有成立，且（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察题目给出的不等式，整理成两边形式统一的结构，构造新函数并判断新函数的单调性，再利用单调性解不等式，求解过程中要注意函数的定义域。 【详解】由，，得，令，则， 所以在上单调递减.因为，所以，因为，所以，即， 因为在上单调递减，故，因为定义在上，所以， 即,解得，因此不等式解集为. 故答案为：B 7. 已知函数，若有四个零点，，，，且满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画图确定函数有四个零点时m的取值范围，再利用韦达定理及对数性质求出和，最后通过换元法求取值范围. 【详解】作出函数的图象，如图： 因为有四个零点，所以， 因为，， 所以，即，所以， 则， 因为是方程的根，即的根， 所以， 又，所以， 令，则， 令，则， 所以， 因为在上单调递减， 所以，即的取值范围是. 8. 设t为实数，已知函数，，若存在实数a，b（）同时满足和，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，，令，则，利用单调性求出最值即可求解. 【详解】，定义域为， 所以， 所以，所以为奇函数， 在上单调递增，在上单调递增， 故函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 存在实数a，b（）同时满足，故，且. ，即， 令， ， 在上为减函数，所以. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数的单调递增区间是 C. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 已知，则函数的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，的解为或，利用充分条件和必要条件的定义得解；选项B，先求出函数的定义域，再利用还原法，设，利用二次函数的图象得到的单调性，由为上的单调递增函数，利用复合函数得到的单调性，从而得解；选项C，由的定义域为，求出的定义域，从而得到中的的范围，从中解出的范围，从而得解；选项D，由得到，利用基本不等式得到，经过验证等号不成立设，则转化为，利用对勾函数可得在范围内是单调递减函数，利用单调性求出的最小值，从而得解. 【详解】选项A，的解为或，则由“”可以得到“”， 但是“”不一定得到“”，故“”是“”的充分不必要条件， 故选项A正确； 选项B，，或， 设，对称轴为， 在上是单调递增函数，在上是单调递减函数， 为上的单调递增函数， 在上是单调递增函数，在上是单调递减函数， 故选项B错误； 选项C，的定义域为， 中的的范围为， 中的， 中的，的定义域为， 中的，解得， 的定义域为，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， ，等号取不到， 设，则转化为， 由对勾函数可得在范围内是单调递减函数， 时，取最小值，且最小值为， 故选项D错误. 故选：AC. 10. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的图象与直线在上的交点恰有2个 C. 的图象与直线在上的交点恰有2个 D. 在上不一定单调 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，由零点个数列出不等式求解判断A；整体代换并结合余弦函数图象性质求解判断BC；由给定区间求出相位所在范围分析判断D． 【详解】函数， 令，则. 对于A，由，得，依题意，，解得，A正确； 对于B，由选项A知，，而函数在上， 当且仅当或时，取得最大值1，则当取时，取得最大值1， 因此的图象与直线在上的交点恰有2个，B正确； 对于C，当时，当且仅当时，取得最小值， 由，知是否取到不确定， 因此的图象与直线在上的交点有1个或2个，所以C错误； 对于D，当时， ，由， 得，，显然值可以超过， 因此函数在上不一定单调，所以D正确． 故选：ABD 11. 已知函数是定义域为的奇函数， ，当时，，则（ ） A. B. C. 当时， D. 方程恰有9个解 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过对函数关系的化简以及奇函数的性质判断A选项；由时函数解析式以及函数的关系，写出时的函数解析式，从而知道函数在上的单调性，判断的大小关系即可判断B选项；同理写出时函数解析式，判断C选项，写出时函数解析式，从而得到函数的函数图象，即可找到方程解的个数，判断D选项. 【详解】∵，∴， 又∵函数是定义域为的奇函数，∴， ∴，即， ∴，A选项正确； 令，则，， ∴函数在区间上单调递减， ∵， ， ，∴，B选项错误； 令，则，，C选项正确； 令，则，， 该函数的函数图象如下： 故方程恰有9个解，D选项正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由该命题为假命题，可知其否定为真命题，分离参数，结合函数单调性可得参数范围. 【详解】因为“存在使得”是假命题， 所以“，有”是真命题，即，恒成立， 所以只需，， 而函数在上单调递减， 所以，即实数的取值范围是， 故答案为：. 13. 幂函数在上为减函数，则的值为______　； 【答案】1 【解析】 【分析】由题意可得m2﹣3m+3＝1，求得m值，再满足3m﹣4＜0即可． 【详解】∵函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4是幂函数， ∴m2﹣3m+3＝1，即m2﹣3m+2＝0，解得m＝1或m＝2． 又幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）x3m﹣4在（0，+∞）上为减函数， ∴3m﹣4＜0，即m， 故m＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查幂函数的性质，明确m2﹣3m+3＝1是关键，是基础题． 14. 已知函数（，，），其部分图象如图所示，其中为最高点，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出函数的周期，再找出函数的解析式，找出规律，最后求出的值. 【详解】由题意，过点B作x轴的垂线，垂足为C， 在直角中，, ，， 解得，，的最大值为， 根据，解得的周期， 所以，则， 已知，即，其中， 由图可得，解得， 根据是周期为4的函数，可得是周期为12的周期函数， 所以， 因为，，， ，，，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知，求的值； （2）计算：. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）因为，所以 . （2） . 16. 已知函数且. （1）若，求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，令，换元法求不等式的解集即可；（2）依题意，令，问题转化为存在，成立，求出的最小值即可. 【小问1详解】 当，， 令， 则可化为， 即， 解得或，即，或， 所以或， 故不等式的解集为或， 【小问2详解】 因为， 当时，有最大值， 故存在，成立， 令，因为，所以 即存在，成立， 即， 而函数的图象开口向下，对称轴为， 又，则， 故. 17. 一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建3条如图所示的观光走廊OE，EF，OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且． （1）设，试将的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； （2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用． 【答案】（1）； （2）详见解析；元. 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出边长，即可写出的周长表达式，在使实际问题有意义的基础上可求得定义域. （2）根据题意可知即求函数的最小值，利用换元法将函数化简，结合的范围，即可求出函数的最小值和最低总费用. 【小问1详解】 在Rt 中，，，所以 ， 在Rt 中，，即 ，又 ， 所以 ， 所以 的周长， 即; 当点 在点 时，角 最小，此时 ; 当点 在点 时，角 最大，此时 ; 故此函数的定义域是 【小问2详解】 由题意可知，只需求出 的周长 的最小值即可 设 ，则 ， 则原函数可化简为 ， 因为 ，所以 ，， 则 ， 则 从而 则当时，即时，； 即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元. 18. 设函数. （1）若，求函数在上的值域； （2）若不等式在上恒成立，求的取值范围； （3）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，，则，，其中，当时，利用二次函数的基本性质求出函数在上的值域，即为函数的值域； （2）当时，，函数变为，，所求问题变为恒成立，然后对实数的取值进行分类讨论，利用二次函数的单调性求出的最小值，可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围； （3）分析可知在内有两个不等实数根，根据二次方程根的分布可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 令，，则， 令， 当时，在上单调递减， 所以，，即的值域为，故函数的值域为. 【小问2详解】 若要，则需，当时，， 函数变为，，所求问题变为恒成立， 函数的图象开口向下， ①当时，即当时，此时函数在上单调递减， 则，解得，此时； ②当时，即当时，此时函数在上单调递增， 则，解得，此时； ③当时，即当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故， 当时，即当时，，解得，此时； 当时，即当时，，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 令，，由题意可知，当时， 关于的方程在时有两个不等实数解， 而关于的方程最多只有两个根， 因为方程在上有四个不相等的实数根， 所以原题可转化为在内有两个不等实数根， 令，则有，解得， 即的范围. 19. 已知定义在上的函数满足下列两个条件：①对任意、，都有；②对任意，.请解答下列问题： （1）判断的奇偶性及在定义域内的单调性，并证明； （2）解不等式：； （3）证明：对任意正整数，. 提示：①；②. 【答案】（1）奇函数，单调递减，证明见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）令可得出，再令结合奇函数的定义证得函数为奇函数，设，可得出，求得，结合题干条件以及函数单调性的定义可证得结论成立； （2）将所求不等式变形为，根据函数的定义域与单调性可得出关于的不等式组，即可解得所求不等式的解集； （3）推导出，求得，利用裂项求和法以及不等式的基本性质可证得结论成立. 【小问1详解】 令，则，解得； 令，则， 所以为定义在上的奇函数， 设，则，所以， 因为 ，所以，则，， 又，所以， 又当，，所以， 所以，即，所以在上是减函数. 【小问2详解】 由得， 因为定义域为且在上是减函数，所以， 解得，故原不等式的解集为. 【小问3详解】 因为， 因为，， 所以， 所以 ， 因为，所以，则， 所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $