湖北省孝感高级中学2025-2026学年高一上学期阶段性诊断考试数学试题

湖北省孝感高级中学2025级阶段性诊断考试 高一数学试卷 命题教师：连天培 审题教师：张翔 考试时问：2025年9月15日14：20-16：20试卷满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应的位置上。 1.已知全集U={x∈N 2cx<16 若集合A={1,3,4,5},则CA=（) A.{2 8.{2,5} C.{0,2} D.{-1,0,2} ,1,则() 1 2.己知命题p:x≥0；x+ 人，命题2的否定为e20,t21,耳是真命题 B.命题D的否定为≥0，x+≥1，且p是真命题 x+1 c.命题p的否定为x20,x+上≥1，且p是假命题 x+1 D.命题p的否定为x<0,x+ 121,p是假命题 X+1 3.若，∈R,则“(-)x<0”是“x2”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4若函数/(2x-)的定义域为[-3,1]，则y=3-4 的定义域为( V5-2x A 引 c 5.已知实数x,y满足1≤x+y≤4，-1≤x-y≤2，则4x-2y的取值范围是（ A.-4≤4x-2y≤10 B.-3≤4x-2y≤6 C.-5≤4x-2y≤13 D.-2≤4x-2y≤10 6.已知集合M={(x,y)川x2+y2≤2，x∈Zy∈Z，则集合M的真子集的个数为( A.29-1 B.28-1 C.2 D.2+1 孝感高中2025级阶段性诊断考试·高一数学试卷《共不页)第1页 1设奥合4-[引，[ (4-2x,xeA 函数∫(x)= 分∈a若eB,V》B, 则x的取值范围是( 1 35) C. 28 .) 8.设函数f(x)=Vax2+bx+c(a<0)的定义域为D,若所有点(s,f(s,t∈D)构成 个正方形区域，则a的值为（) A.-2 B.-4 C.-8 D.-16 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设全集为么，集合A.B满足A∩(CvB)=0,则) A.ANB=A B.AUB=(C.AU(CB)=U D.BU(GA)=U 10.下列说法中正确的为（) A已知a,beR,则“a-3b=0”是“号=3”的必要不充分条件 B若xeR,则V2+2+n +2的最小值为2 C.若正实数，y,满足x+y+y=3,则x+2y的最小值为4V互-3 。专党分且品20，则吐号的数大值为？ 3 x y 11.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为 设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[)称为“高斯函数”，如 1.2]}上1[-12]=-2y=[x)又称为“取整函数”设{x=x-[x)],则下列结论正确的是 () ax∈R,[2x]=2x] B.[灯{x≥x-1的解集为(-0,2) c.[x+-2,则x[侵2] D.e网+[x+-2到 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.设集合A=23,d-3a,a+2+7,B=1a-23》,已知4∈A且4eB,则a的取值集 a 合为 孝感高中2025级阶段性诊断考试高一数学试卷（共4页）第2页 国 13.已知函数f()=2+5x+8,g(x)=nx+3-5m,若对任意的名1∈[-4,2]，总存在 x2∈[2,6]，使得∫()=g(x2)成立，则实数m的取值范围是一 14已如夹数aee0,以极子+亡6名+亡。是+亡方这三个数的最大值为M,则 M的最小值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程戴演算步骤. 15.(13分)已知集合A={xa-1≤x≤3-2@，B={-2x-8≤0}. (1)若a=0；.求AnB; (2)若AUB=B,求实数a的取值范围： (3)若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范圃， 16.(15分)设函数f(x)=ax2+(1-a)x+ar2(a∈R) (1)若不等式∫(x)≥x一3对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式：f(x)<a-1. 17.(15分)已知a、6、c、d为正实数，请回答下列问题。 们请根据基本不等式a+b≥2历(a,beR*,证明：a+b+c+d≥ab:crd, ②)请利用(1)的结论，正明：a+b+C≥abc: 3 (3)如图，将边长为0.5米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成 一个无盖纸盒，如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米？ 孝感高中2025级阶段性诊断考试高一数学试卷（共4页)第3页 18、(17分)定义在R的函数)满足f心x+=之/w)f0),且/(k>0吲=(2+o). (1)求f(0): (2)证明：f(x)>0: (3)若对任意的x∈R,∫(x)+元f(-x)之4恒成立，求实数的取值范围. 19.（17分)已知集合A={a,a2,…,a}(k之2)，其中a,为整数(i=1,2,…,k),由A中元素 可构成两个点集P和2：P={《x,yxeA,y∈A,x+y∈A,2=(x,yx∈本y∈A,x-y∈， 其中P中有m个元素，2中有n个元素，新定义1个性质G:若对任意的∈A,必有-x廷A, 则称集合A具有性质G. (1)已知集合S={0,2,4与集合T={-1,2,3},判断它们是否具有性质G,若有，则直接 写出其对应的集合P,Q;若无，请说明理由： (2)集合A具有性质G,若k=100,求：集合2最多有几个元素？ (3)试判断：集合A具有性质G是m=n的什么条件，并证明。 孝感高中2025级阶段性诊断考试高一数学试卷（共4页）第4页湖北省孝感高级中学2025级阶段性诊断考试 高一数学试卷答案 1 2 A 6 8 9 10 11 0 D B 8 AD ACD BD 7.【答案】B 【详解】根据函数解折式。可得当xe4时，了∈(2，当xeB时，)e[l 因为U》eB,故可得4-2)e[2,解得f)e(引 又因为e,故◆1解得号<故e孕 7 故选：B 2 8.【答案】B 【详解】设函数m=x2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标为：名，2，戈<为， 且由题意可得△=b2-4ac>0,所以函数f(x)的定义域为[x,x2], 4ac-b2 由题意可知，fx)m=0，fx=y4a 所以函数f(x)的值域为[O,f(x)mx]，即 ®。产，因为所有的点0eteD)构成个正方形区。 所以片-七上f,所以片-=26之@ 46-b3 ，所以462=4a9_4ac-b2 2a V 4a 4a2 4a, 整理可得，(4+a)b2-4ac)=0,因为△=b2-4ac>0,所以a=-4.故答案为B. 10.【答案】ACD 【详解】对于A选项，号=3中，0，a-3动=0中6e,所以号=3可以指出a-3动=0， 但a-36=0不能推出分=3，所以“a-36=0"是“g-3”的必要不充分条件，故A正确， 对于B选项，2+2+≥2，当+2= √x2+2 时取“=”，但此时x无解，B错误： x2+2 对于C选项，因为x+少+炒=3，所以(x+1)(y+1)=4 则x+2y=(x+1)+2(y+1)-3≥22(x+1(y+1)-3=4W2-3, 当且仅当x+1=2(y+1)时，即x=22-l,y=√2-1时，取“=”，故C正确： 孝感高中2025级阶段性诊断考试高一数学答案（共8页）第1页 对于D造项设29>0,30，则若，且+120 ,1-2s1-3t x'y 3+s't+1 其中 中+e+明+}台品语台 当且仅当s=9,t=1时，等号成立，故+2s8-6×=7,故D正确，故选：A0D x y 6 11.【答案】BD 【详解1对于：取2-L2网=2引0，故4错误： 对于B:因为[{=[]x-[])=x[]-x≥x-1,可得(]-1(x-[-)20, 又因为x<[]+1,即x-[]-1<0,可得[x]s1,即x<2,故B正确： 对于C:若[x+{x]=2,则x+{}e[2,3),又因为{x=x-[]e[0,1),则xe(13), 当xe12)时，间-x+y=2-=2-1e23xe[32:当e时。 2+树=x-x-2s引上所述：[限引 故C错误； 对于D:设{x=a∈[0,1)，则x=[]+{=[]+a, 所gr+引-回[4e+引-2r[erp网=[ea-24剑. 当aeo时，a+[2aeo[a*+号-o2a-o, 可得+[x+=2=2,故当a0时，++引-2成立： 当aef时，则a+l}2aet2a+引-p网-1， 可得因++引2+2=21，放当ae店时，网++引2成立 故D正确；故选：BD. 12.4) 【详解】因为4eA,即4e{23心-3品a+子+7，所以心-3a=4成a+名7=4， 若a2-3a=4,则a=-1或a=4:若a+2+7=4,即a2+3a+2=0,则a=-1或a=-2. a 孝感高中2025级阶段性诊断考试高一数学答案（共8页)第2页 飞0m 由a2-30与a42+7互异，得a≠-1，故d=-2或a=4, 又4eB,即4∈‖a-2l,3},所以|a-2=4,解得a≠-2且a≠6， 综上所述，4的取值集合为(4)，故答案为：{4} 13.(←，-11U09,+o) 【详解】由题意，函数了)=+5x+8-气+)+子g)-+3-5, 根据=次函数的性质，当e2时。心)[匠2习，记4-[仔2] 对任意x∈[-4,2]，总存在x∈[2,6)，使f(x)=g(3)成立， 当m>0,g(x)在[2,6]上是增函数，g(x)∈[3-3m,m+3],记B=[3-3m,m+3]. [m>0 所以AcB,则名之3-3m,解得m≥19：当m<0,g()在2,6]上是减函数， m+3≥22 m<0 g(x)e[m+3,3-3m,记B=[m+3,3-3m,所以A≤B,则 4≥m+3,解得m≤-1 3-3m≥22 综上，实数的取值范围是（一，学U儿9o。 14.3+2W2 【详解1由烟藏可得子+，名亡。0,2。业，即有 c 1-a 3M≥2+，L+2++21 2,1 是。=+0-+白台=3+20,0+品9+20：9已。-3+26当且仅当 1-a a=V21-a),即a=2-√2时，取得最小值3+2√2： 同理可得后+6在6=2-万时，取得最小值3+25： 名+已6在6=2-反时，取得最小值3+2反 孝感高中2025级阶段性诊断考试高一数学答案（共8页）第3页 则3M≥3(3+2√2).即M>3+2W2,可得M的最小值为3+2√2. 15.【答案】(1){x-1≤x≤3}( (3)(aa≤-l, 【详解】(1)当a=0时，A={-1≤x≤3}，B={x2-2x-8≤0}={-2≤x≤4}， 所以AnB={x|-1≤x≤3}； -3分 (2)因为A={a-1sx≤3-2a},B={-2≤x≤4}， 所以由AUB=B,得AsB, -4分 回当A=⑦时，a-1>3-2a,解得a>)满足题意 -5分 a-1≤3-2a ②当A≠0时，则 a-12-2,解得-}sas号 4 -7分 2 3-2a≤4 家上，a≥-宁故实数a的取值花周为[方+ -8分 (3)由x∈B是x∈A的充分不必要条件，可得BSA, 9分 又A={a-1≤x≤3-2a,B={-2≤x≤4， [a-1≤3-2a① 则a-1s-2②·且②③式等号不同时成立， -11分 3-2a≥4③ 解得a≤-1，故实数a的取值范围是(-o,-1]. -13分 16:【答案】(1)[0,4∞)(2)答案见解析 【详解】(1)f(x)≥x-3恒成立等价于x∈R,ax2-ar+a+1≥0恒成立.-一1分 当a=0时，不等式可化为1≥0，满足题意 -2分 [a>0na>0 当a≠0，有 4so'即 =a2-4a(a+1s0'解得a>0, 4分 综上，a的取值范围是[0，+oo).- -5分 (2)依题意，f(x)<a-1等价于ax2+(1-a)x-1<0, 孝感高中2025级阶段性诊断考试高一数学答案（共8页)第4页 当a=0时，不等式可化为x<1,所以不等式的解集为{xx<; 当a>0时，不等式化为(ax+1)(x-1)<0, 此时-上<1，所以不等式的解集为 当a<0时，不等式化为(ax+1)(x-1)<0, 当a=-1时，-上=1，不等式的解集为{xk≠1： a 当1a<0时，台1，不等式做解集为女上歌< 当a<-1时，-二<1，不等式的解集 a 为体引 袋上，当a<-1时，限不等式的解集为>或<日司 当a=-1时，原不等式的解集为{xx≠1}： 当-1ca<0时，原不等式的解集为中>廊<小： 当a=0时，原不等式的解集为{xx<: 当a>0时，原不等式的解案为-日<<. (第二问每种类别两分，共10分，合计15分，具体不同情况可酌情给分) 1,【管案】①证明见解析@正明见解析（⑧）立米 【详解】(1正明：因为生护之历，生之应，当且仅当b,。时等号成立 所以a+b+c+d之Nab+a当且仅当a=-b,c=d时等号成立. 2 -2分 所以ya硒+aba=acd,当且仅当√ad=a时等号成立， 2 所以a+b+c+d≥历+6反≥abca,当且仅当a=b=c=d时等号成立.一4分 4 2 (2解：由于a+b+c+d≥5+反≥aca, 4 2 孝感高中2025级阶段性诊断考试高一数学答案（兴8页州第5页 当且仅当a=b=c=d时等号成立， 5分 令d=aie,得a+b+c+ab≥abc,aic=abc片=bc)片-=36c，--8分 4 即a+b+c+abc≥4Wabc,故a+b+c≥3abc 所以a+b+9≥bc,当且仅当a=b=c=d时等号成立. -9分 3 (3)解：做成的长方体的底面是一个边长为与-2x的正方形，高为x, 所以v合2x沿24 11分 a相就仔g 当且仅当-2x=4红时等号成立，当组且仅当x=立时等号成立 -13分 所以传沿-2得因-传沿2小s 综上所述，当x= 1米，长方体盒子的容积V取到最大值 1立方米。 ----15分 0 18.【答案】(1)2(2)证明见解析 (3)[1,+o) 【详解】（1)解：由f+)=/0),令y=0,得6=fr0, 因为f(x)不恒为0，所以f(0)=2 -4分 (2)法一：由(1)知当x=0时，f(x)=2: 又由题意，当x>0时，f(x)>2; -5分 而当x<0时，-x>0,f(-x)>2, -6分 令y=,可得/-9=4，所以f倒70. 综上所述，x∈R,f(x)>0. -9分 法.网}}周≥ 7分 若存在%∈R使f(,)=0,则有x)=(3)(x-=0,这与题设矛盾， 所以xeR,fx)>0. -9分 (3)在条件式中令y=-x,可得f(x)f(-x)=4, -10分 孝感高中2025级阶段性诊断考试高一数学答案（共8页）第6页 115(13分) 又由(2)知xeR,f)>0,所以f=西 4 -11分 令1=，则对任意>0,1+然24，即≥4-0恒成立 -14分 记g0=44-0=4-2对+1,1>0，取1=了0)=2时，80有最大值1， 所以元的取值范围为[1，o). -17分 19.【答案】(1)答案见解析(2)4950(3)充分不必要条件，理由见解析 【详解】(1)由于0eS,不符合定义，故S不具有性质G; -1分 集合T具有性质G，对应集合P=(-33,-1},旦={(2，-1)，(2,3)}： -4分 (2)由题意知： 集合A的元素构成有序数对(a,a,jEN,≤E,j≤k),共有k2个， -6分 因为0EA,所以(a,)g(iEN,巡)，共有k个， 一7分 又因为a∈A时，-aEA,所以(4，a)∈2时，(a,a)e2, -8分 所以集合2的元素个数不超过-k=4950个， 一9分 2 取A={1,2,…,100},则2中元素的个数为4950个， 故2中元素的个数最多4950. -10分 (3)充分不必要条件，理由如下： -11分 当集合A具有性质G时， ①对于(a,b)∈P,根据定义可知：a∈A,b∈Aa+b∈A, 又因为集合A具有性质G,则(a+b,a)∈2， 如果(a,b),(c,d)是P中的不同元素，那么a=c,b=d中至少有一个不成立， 于是b=d,a+b=c+d中至少有一个不成立， 故(a+b,b)和(c+d,d)也是2中不同的元素， 可见P的元素个数不多于2的元素个数，即m≤M, -13分 ②对于(a,b)e2,根据定义可知：aeA,b∈A,a-b∈A, 又因为集合A具有性质G,则(a-b,b)∈P, 如果(a,b),(c,d)是2中的不同元素，那么a=c,b=d中至少有一个不成立， 孝感高中2025级阶段性诊断考试高一数学答案（共8页)第7页 于是b=d,a-b=c-d中至少有一个不成立， 故(a一b,b)和(c一d,d)也是d中不同的元素，可见的元素个数不多于P的元素个数，即 n≤m, 由①②可知m=n,- -15分 若A={-1,12,3},则P={(-1,2),(2,-10,(-1,3),(3,-10,(1,10,(1,2),(2,0}, 2={1,2),(2,3),(2,103,2),1,-10,(3,10.(2,-1)}, 满足m=n,而集合A不具有性质G. 所以集合A具有性质G是m=n的充分不必要条件： -17分 ”已孝感高书2025级阶段性诊断考试高一数学答案（共8页）第8页