25.2一元二次方程根的判别式和根与系数的关系五种技法 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，构建从基础判断根的情况，到结合两者求值，再到新定义问题、几何应用及论证猜想的递进式学习支架，系统梳理五种核心技法。 资料通过分类型设计（如“三倍根方程”新定义题、等腰三角形边长几何题），培养学生创新意识（数学眼光）、推理能力（数学思维）与模型观念（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生强化练习，有效查漏补缺。

25.2一元二次方程根的判别式和根与系数的关系五种技法 专项课时练 学科网（北京）股份有限公司 类型1 利用根的判别式判断含字母系数的方程的根的情况（4题） 1. 已知，，判断关于 的一元二次方程 的根的情况，并说明理由。 2. 已知 ，方程 的判别式 ，求证：。 3. 已知 ，判断方程 的根的情况，并说明理由。 4. 求证：无论实数 取何值，方程 总有实数根。 类型2 利用根的判别式和根与系数的关系求值（5题） 5. 关于 的一元二次方程 。 (1) 求证：方程总有两个实数根； (2) 若方程两根为，且，求 的值； (3) 若方程有一个根不大于2，求 的取值范围。 6. 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根。 (1) 求 的取值范围； (2) 若 为符合条件的最小正整数，设方程两根为 ，求代数式 的值。 7. 已知关于的一元二次方程 有两个实数根。 (1) 求的取值范围； (2) 若两根平方和为，求的值。 8. 已知关于 的方程 。 (1) 求证：方程总有两个实数根； (3) 若两根满足 ，求 的值。 9. 已知方程 有两个实数根，且两根和等于两根积，求 的值。 类型3 利用根与系数的关系解决新定义问题（4题） 【新定义】若一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，则称该方程为“三倍根方程”。 10. (1) 若方程 是“三倍根方程”，求 的值； (2) 若方程 是“三倍根方程”，求方程的两根。 【新定义】若一元二次方程有一根为，则称该方程为“至简方程”。 11. (1) 求证：方程 恒为“至简方程”； (2) 若方程两根之差为2，求的值。 12. 【新定义“对半根方程”】若一元二次方程有一个根是另一个根的 ，称该方程为“对半根方程”。若方程 是对半根方程，求 的值。 13. 【新定义“等值方程”】若一元二次方程两根相等，称为等值方程。已知 是等值方程，求 的值。 类型4 利用根与系数的关系解决几何问题（6题） a. 三角形问题 14. 若等腰三角形一边长为6，另外两边长是方程 的两根，则 的值为（ ） A. 40　B. 49　C. 40或49　D. 不存在 15. 已知直角三角形的两条直角边长为方程 的两根，求该直角三角形的斜边长和面积。 16. 等腰三角形两腰长是方程 的两根，底边长为8，求该等腰三角形的周长。 b. 四边形问题 17. 已知平行四边形 的邻边 是方程 的两个实数根。 (1) 若 ，求 的值； (2) 当 为何值时，平行四边形 为菱形 ； (3) 是否存在 ，使得平行四边形为对角线长 的矩形？若存在，求 和矩形面积；若不存在，说明理由 18. 已知菱形的两条对角线长为方程 的两根，求该菱形的边长和面积。 19. 已知矩形邻边长是方程 的两根，求该矩形的对角线长和面积。 类型5 利用根与系数的关系解决论证与猜想问题（4题） 20. 已知 是一元二次方程 的两根，记 ，，，。 (1) 直接写出：______，______； (2) 猜想：当 且为整数时， 的数量关系，并证明； (3) 根据以上结论，直接写出______。 21. 已知 是方程 的两根，定义 。 (1) 求 ； (2) 推导 的递推关系。 22. 已知 是方程 的两根，记 ，求 ，并推导 的递推公式。 23. 已知 是方程 的两根，求证：（）。 参考答案与详细解析（完整无缺版） 类型1 解析 1. 解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： 对于一元二次方程 ，判别式 ，已知 ，分三类讨论： ① 当 时：，由不等式性质可得 ， ，故，方程有两个不相等实数根； ② 当 时：，，方程有两个不相等实数根； ③ 当 时：，，中 ，故 。 综上，该一元二次方程有两个不相等的实数根。 2. 证明： 计算判别式： 由题意 ，故 或 。 若 ，则 ，该式无法使判别式恒为0，不满足题干条件，因此只能 ，即 ，得证。 3. 解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： 已知 ，可得， ，故 。 因此方程有两个不相等的实数根。 4. 纠正+证明：题干命题有误，无法对任意 恒有实根。 当 即 时，方程有实数根； 时无实根。 类型2 解析 5. (1) 证明： ∴ 方程总有两个不相等的实数根。 (2) 解：由韦达定理得： 解得 。 (3) 解：因式分解得：，两根为 。 恒成立，故 取值为全体实数。 6. (1) 解： ，解得：。 (2) 解：符合条件的最小正整数 ，代入得方程：。 由根的定义：，韦达定理：。 原式。 7. (1) 解： ，解得 。 (2) 解：设两根为，。 ，化简验证得合理解 。 8. (1) 证明： ，方程总有两个不相等实数根。 (2) 解：，则 。 化简得 ，解得 或 。 9. 解：韦达定理：。 由题意：，解得 。 验证：，根存在，解有效。 类型3 解析 10. (1) 解：设两根为，，两根为2、6。 。 (2) 解：设两根，。 化简得 ，代入得 ，方程两根为2、6。 11. (1) 证明：将代入方程，左边，恒成立，故为至简方程。 (2) 解：一根为1，设另一根为，，得或。 代入韦达定理解得 或 。 12. 解：设两根，，另一根为3。 。 13. 解：等值方程即。 解得 或 。 类型4 解析 14. 答案：B 解析：① 6为腰：代入方程得，无对应选项，舍去； ② 6为底：方程两根相等，，解得，三边7、7、6成立。故选B。 15. 解：解方程得两根2、6。 面积：，斜边长：。 16. 解：解方程得腰长8、10。 三边为10、10、8（8、8、10不满足腰长定义舍去），周长。 17. (1) 解：将代入方程，解得。 (2) 解：菱形邻边相等，，，解得。 (3) 解：存在。矩形中， ， 解得（负根舍去），矩形面积。 18. 解：解方程得对角线长2、8。 菱形面积：，边长：。 19. 解：解方程得矩形邻边3、4。 面积，对角线长。 类型5 解析 20. (1) (2) 结论： 证明：由根定义， 。 (3) 21. (1) 解：。 (2) 结论：，由方程根定义代换可证。 22. 解：。 递推公式：。 23. 证明： 是方程的根，故。 当时，，得证。 $