25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（作业课件）-【优翼·学练优】2026-2027年九年级数学上册同步备课（人教版）

该初中数学课件聚焦九年级“一元二次方程的根与系数的关系”，通过基础题、条件变式题及综合题搭建学习支架，衔接方程解法前备知识，引导学生从已知根求系数、已知系数求根逐步过渡到整体求值与实际应用。 其亮点在于融入中考真题与逆向思维设计，如通过“已知a²+3a=2，b²+3b=2且a≠b，求b/a + a/b”培养抽象能力与推理意识，方法归纳总结代数式变形公式助力形成系统思维，能提升学生解题能力，为教师提供分层教学素材。

《学练优》·九年级数学上·RJ 第二十五章　一元二次方程 25.2　降次——解一元二次方程 25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 目 录 CONTENTS 01 A 学习理解 02 B 应用实践 03 C 迁移创新 知识点一　根与系数的关系 1. (1)(2025·广西中考)已知x1，x2是方程x2－20x－25 ＝0的两个实数根，则x1＋x2＝(　C　) A. －25 B. －20 C. 20 D. 25 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)(2025·湖北中考)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两 个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　D　) A. x1＋x2＝－4 B. x1＋x2＝3 C. x1x2＝4 D. x1x2＝3 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 2. 已知一元二次方程x2－mx＋4＝0的一个根为x1＝ 1，则另一个根x2＝ ⁠. 　条件变式·已知两根积→已知两根和 (2025·苏州中考)已知x1，x2是关于x的一元二次方程 x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2 ＝ ⁠. 4　 －3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 3. 经典题 整体求 值设方程x2－3x－4＝0的两个根分 别为x1，x2，不解方程求下列各式的值： (1)＋； 解：由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝－4. (1)＋＝＝－. (2)x2＋x1； (2)x2＋x1＝x1x2(x1＋x2)＝－4×3＝－12. 解：由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝－4. (1)＋＝＝－. (2)x2＋x1＝x1x2(x1＋x2)＝－4×3＝－12. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (3)(x1－3)(x2－3). 解：(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－4－3×3 ＋9＝－4. 解：(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－4－3×3 ＋9＝－4. 3. 经典题 整体求 值设方程x2－3x－4＝0的两个根分 别为x1，x2，不解方程求下列各式的值： 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 知识点二　根与系数的关系的应用 4. 关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两根为－2和3，则 b，c的值分别为(　B　) A. b＝1，c＝－6 B. b＝－1，c＝－6 C. b＝5，c＝－6 D. b＝－1，c＝6 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 5. 新视角 模块综合 (2025·河北中考)若一元二次方 程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m， n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(　C　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 6. 若关于x的方程x2＋(m2－4)x＝0的两根互为相反 数，则m的值为 ⁠. 易错变式 (1)若关于x的方程x2＋(2－k)x＋k2＝0的两根互为倒 数，则k的值为 ⁠. (2)新考向 开放设问 写一个关于x的一元二次方程， 使其两根互为倒数： ⁠ ⁠. ±2　 －1　 3x2－10x＋3＝0(答案不唯 一)　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 7. 已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有 两个实数根. (1)求实数m的取值范围； 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0 有两个实数根，∴Δ＝(－4)2－4×1×(－2m＋5)＝ 8m－4≥0，解得m≥. 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0 有两个实数根， ∴Δ＝(－4)2－4×1×(－2m＋5)＝8m－4≥0， 解得m≥. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 7. 已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有 两个实数根. (2)若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2＋x1＋x2 ＝m2＋6，求m的值. 解：(2)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－4x－2m ＋5＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝－2m＋ 5.∵x1x2＋x1＋x2＝m2＋6， ∴－2m＋5＋4＝m2＋6，整理得m2＋2m－3＝0， 解得m1＝－3(不符合题意，舍去)，m2＝1.∴m的值 为1. 解：(2)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－4x－2m ＋5＝0的两个实数根， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝－2m＋5.∵x1x2＋x1＋x2＝m2＋6， ∴－2m＋5＋4＝m2＋6，整理得m2＋2m－3＝0， 解得m1＝－3(不符合题意，舍去)，m2＝1. ∴m的值为1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 8. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程 时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方 程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次 项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原 来的方程是(　B　) A. x2＋6x＋5＝0 B. x2－7x＋10＝0 C. x2－5x＋2＝0 D. x2－6x－10＝0 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 9. 已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x－6＝0，k ＜0，则该方程的根的情况是(　C　) A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为－6 D. 两根之和为1 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 10. (2025·广安中考)已知方程x2－5x－24＝0的两根 分别为a和b，则代数式a2－4a＋b的值为 ⁠. 11. 新视角 逆向思维 若实数a，b满足a2＋3a＝2，b2 ＋3b＝2，且a≠b，则＋＝ 　－　. 辅助设问 a，b可以看作是关于x的一元二次方程 ⁠ 的两根. 29　 －　 x2＋3x－2 ＝0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 12. 新课标 代数推理 (2025·南充中考)设x1，x2是关 于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两根. (1)当x1＝－1时，求x2及m的值； (1)解：把x1＝－1代入方程(x－1)(x－2)＝m2，得m2 ＝6. ∴m＝±.∴(x－1)(x－2)＝6，即x2－3x－4＝0. ∴(x－4)(x＋1)＝0.∴x1＝－1，x2＝4.∴x2＝4，m ＝±. (1)解：把x1＝－1代入方程(x－1)(x－2)＝m2， 得m2＝6. ∴m＝±.∴(x－1)(x－2)＝6，即x2－3x－4＝0. ∴(x－4)(x＋1)＝0.∴x1＝－1，x2＝4.∴x2＝4， m＝±. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0. (2)证明：方程(x－1)(x－2)＝m2可化为x2－3x＋2 －m2＝0. ∵Δ＝9－4(2－m2)＝4m2＋1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根. ∵方程(x－1)(x－2)＝m2， 即x2－3x＋2－m2＝0的两根为x1，x2， ∴x1＋x2＝3，x1·x2＝2－m2. 12. 新课标 代数推理 (2025·南充中考)设x1，x2是关 于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 ∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝2－m2－ 3＋1＝－m2. ∵m2≥0，∴－m2≤0，即(x1－1)(x2－1)≤0. ∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1＝2－m2－ 3＋1＝－m2. ∵m2≥0，∴－m2≤0，即(x1－1)(x2－1)≤0. (2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0. 12. 新课标 代数推理 (2025·南充中考)设x1，x2是关 于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 13. 新考向 模块综合 (2026·上海青浦区期中)如果关 于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0有两个不相等的 实数根x1，x2，小普发现对于这个方程的两根，有x1 ＋x2＝－m，x1x2＝n.假设x1，x2在数轴上对应的点 分别为P1，P2，点P1，P2之间的距离为2，P1P2的中 点表示的数是p. (1)当m＝时，p＝ 　－　； －　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (2)根据小普的结论，求m，n；(结果用含p的代数式 表示) 解：(2)不妨设x1＜x2，∵点P1，P2之间的距离为 2， ∴x1＝p－1，x2＝p＋1.∴x1＋x2＝p－1＋p＋1＝ －m， x1·x2＝(p－1)(p＋1)＝n.∴m＝－2p，n＝p2－1. 解：(2)不妨设x1＜x2，∵点P1，P2之间的距离为2， ∴x1＝p－1，x2＝p＋1. ∴x1＋x2＝p－1＋p＋1＝－m， x1·x2＝(p－1)(p＋1)＝n.∴m＝－2p，n＝p2－1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 (3)如果n是一个正整数的平方，现保持P1P2的中点 不变，P1，P2之间的距离变为8，对应的方程x2＋ m1x＋n1＝0中n1也是一个正整数的平方，求P1P2的 中点表示的数. 解：(3)由题意，当P1P2＝2时，n＝p2－1＝c2(c为正 整数)， 当P1P2＝8时，n1＝p2－16＝d2(d为正整数，且d＜c). ∴c2－d2＝15，即(c＋d)(c－d)＝15. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 ∴或 解得 ∴p1＝，p2＝－，p3＝，p4＝－. ∴P1P2的中点表示的数是或－或或－. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 方法归纳 　　利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式 的值，常见的变形如下： (x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1； ＋＝(x1＋x2)2－2x1x2； (x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ＋＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 $