一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，先系统梳理判别式定义、根的三种情况判定及逆用方法，再衔接根与系数关系（韦达定理）的定义、六大应用类型，构建从概念理解到综合应用的学习支架。 该资料通过例题与变式题结合，如求待定系数、确定取值范围等实例，培养学生推理意识和运算能力。课中助力教师分层教学，课后学生可通过典型题回顾知识，有效查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础） 责编：常春芳 【学习目标】 1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围； 2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 例题1.若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是　　 A．4 B． C． D．2 【分析】根据题意得△，进行计算即可得． 【解答】解：方程有两个相等实数根， △， ， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数与根的判别式的关系． 例题2. 一元二次方程的根的判别式△ 　　0．（填“”“ ”或“” 【分析】根的判别式△，把相应值代入求值即可． 【解答】解：，，， △． 故答案为：． 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 例题3.已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 【分析】由于方程有两个相等的实根，由此可以得到其判别式等于0，由此可以列出关于的方程，解此方程即可求出的值． 【解答】解：关于的方程有两个相等的实根， △， ， ，． 【点评】此题既考查了一元二次方程的根与判别式的关系，也考查了一元二次方程的解法，利用判别式首先求出待定系数的值，然后解方程即可解决问题． 变式1.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B． C．且 D．且 【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断． 【解答】解：一元二次方程有实数根， ，且， 解得且， 故选：． 【点评】此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键． 变式2.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 【分析】利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可． 【解答】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， △， 解得，． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 要点诠释： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 例题1.已知关于的方程 （1）当取何值时，方程有两个实数根； （2）为选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根． 【分析】（1）根据根的判别式△时，方程有两个实数根求的值即可； （2）根据根的判别式△时，方程有两个不相等的实数根列出不等式，求的取值范围，再得出整数的值． 【解答】解：（1）方程有两个实数根， △， 即， ； （2）方程有两个不相等实数根， △， 即， ； 令，代入方程得 ，． 【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根是解题的关键． 变式1.已知关于的一元二次方程．求证：对于任意实数，原方程总有两个实数根． 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行证明即可． 【解答】证明：关于的一元二次方程， ，，， ， 无论为任意实数，， 原方程总有两个实数根． 【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根． 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点诠释： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 例题1.已知、是一元二次方程的两根，那么的值为　　 A． B．1 C． D．7 【分析】先根据根与系数的关系得到，，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得，， ． 故选：． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，． 例题2.已知关于的方程的一个根为，则另一个根为 　　． 【分析】本题根据，即可得到答案． 【解答】解：设此方程的另一根为， 由一元二次方程根与系数的关系得：， 解得， 即方程的另一根为， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 变式1.已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程有一个根为，求的值及另一个根． 【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）将代入原方程求出值，再将的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次不等式即可得出方程的另一个根． 【解答】解：（1）关于的一元二次方程有实数根， △， 解得：． （2）将代入原方程，， 解得：， 原方程为， 解得：，． 的值为5，方程的另一个根为． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及十字相乘法解一元二次不等式，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△”是解题的关键． 变式2.已知关于的方程的一个解与方程解相同． （1）求的值； （2）求方程的另一个解． 【分析】（1）分式方程较完整，可先求出分式方程的解，代入整式方程即可求得的值； （2）根据两根之积即可求得另一根． 【解答】解：（1）由解得， 经检验是方程的解． 把代入方程， 得：， 解得：； （2）由（1）知方程化为：， 方程的一个根为2，则设它的另一根为， 则有： ． 【点评】此题主要考查方程解的意义，及同解方程、解方程等知识．注意运用根与系数的关系使运算简便 学科网（北京）股份有限公司 $