2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷

**基本信息** 2027年广东学考数学模拟卷覆盖集合、函数、几何等核心知识，通过选择、填空、简答梯度设计，结合统计图表、立体几何证明等情境，考查抽象能力、推理意识与数据观念，适配学考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/72|集合运算（题1）、复数几何意义（题2）、函数定义域（题3）|基础概念与辨析，如充要条件（题4）考查逻辑推理| |填空题|6/36|概率计算（题13）、向量分解（题14）、指数函数单调性（题15）|空间向量（题14）体现几何直观，概率（题13）培养数据意识| |简答题|4/42|统计直方图（题20）、解三角形（题21）、立体几何证明（题22）|22题线面平行与垂直证明，考查空间观念与推理能力，符合学考命题趋势|

2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷解析 本试卷22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝(　　) A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8} C.{1，2，4，6，8} D.U 【答案】A 【详解】　由题意知，∁UN＝{2，4，8}，所以M∪∁UN＝{0，2，4，6，8}. 2. 在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【详解】　因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i， 所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A. 3. 函数的定义域为 （    ） A.(0,1) B.[0,1) C.(-1,1] D. [-1,1) 【答案】D 【详解】，所以，故选：D. 4. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】因为，所以不能推出；可以推出； 所以“”是“”的的必要不充分条件.故选：B. 5.已知函数为偶函数，且当时，，则=( ) A．2 B．1 C．0 D．－2 【答案】A 【详解】函数为偶函数，所以，故选：A 6. 正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A. B.3 C.2 D.5 【答案】B 【详解】由题意知，＝＋＝＋，＝＋＝－＋， 所以·＝(＋)·(－＋)＝||2－||2， 由题意知||＝||＝2，所以·＝4－1＝3. 7. 10名体育生的身高(单位：cm)分别为175，178，176，180，179，175，176，179，180，179，则中位数为( ) A. 178 B. 178.5 C.179 D. 179.5 【答案】B 【详解】　把10名旗手的身高从小到大排列为175，175，176，176，178，179，179，179，180，180，则＝178.5，所以所求中位数为178.5. 8.已知sin＋cos(π－α)＝sin α，则tan α＝(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 【答案】A 【详解】由诱导公式可得sin α＝sin＋cos(π－α)＝－2cos α，所以tan α＝－2. 9. 为了得到的图像，只需将的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】因为 ，所以，为了得到的图像，只需将 的图像向左平移个单位长度．故选：A． 10. 若，且，则的最大值为( ) A.4 B.6 C.8 D.12 【答案】B 【详解】由基本不等式，，代入，得，即，两边平方得，故,当且仅当，即时等号成立,所以的最大值为. 11.已知l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是(　　) A.若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B.若α⊥β，l⊂α，则l⊥β C.若l∥α，α⊥β，则l⊥β D.若l⊥α，l∥β，则α⊥β　 【答案】D 【详解】由l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面知， 在A中，若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l与n平行或异面，故A错误； 在B中，若α⊥β，l⊂α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误； 在C中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误； 在D中，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故D正确.故选：D 12.已知a＝log21.8，b＝log43.6，c＝，则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【答案】C 【详解】由＝log2<log21.8＝log2<log2＝log43.6，可得c<a<b，故选C. 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13. 从1，2，3，4，5中随机选取两个不同的数，若这两个数之积为偶数的概率为______ 【答案】 【详解】　从1，2，3，4，5中随机选取两个不同的数，共10种情况， 这两个数之积为偶数的样本点有(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(4，5)，共7个，故所求概率p=. 14. 如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P.若＝x＋y，则x＋y＝________. 【答案】 【详解】　因为在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P， 所以＝＝2，所以＝＝(＋). 又＝x＋y，所以x＝y＝，x＋y＝. 15. 已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的值为_______ 【答案】 【详解】　由题意得2a2－5a＋3＝1， ∴2a2－5a＋2＝0，∴a＝2或a＝. 当a＝2时，f(x)＝2x在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当a＝时，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，符合题意.∴a＝. 16. 不等式解集为______ 【答案】R 【详解】∵，∴不等式解集为R 17. 已知，则______ 【答案】 【详解】 18. 在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为_______ 【答案】1 【详解】如图，取AB的中点D，连接PD，CD， 因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2， 所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝，又PC＝， 所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD， 又AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC， 所以PD⊥平面ABC，所以VP－ABC＝·S△ABC·PD＝××2××＝1 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 已知函数f(x)＝a－. (1)求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性，并证明你的结论． 解(1)f(0)＝a－＝a－1. (2)f(x)在R上单调递增．证明如下： ∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝. ∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2， ∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在R上单调递增． 20. 某校1 000名学生在高三某测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)， （1）求a；（2）估计本次考试的平均分. 解（1）由题图可知20×(0.002＋0.014＋a＋0.004＋0.020＋0.002)＝1，解得a＝0.008， （2）平均分为(0.002×40＋0.004×60＋0.014×80＋0.020×100＋0.008×120＋0.002×140)×20＝93.6（分） 所以本次考试的平均分是93.6分. 21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. (1)求sin B的值；(2)求c的值. 解　(1)由正弦定理＝，得＝，解得sin B＝. (2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即39＝4＋c2－4ccos 120°，整理得c2＋2c－35＝0， 解得c＝5或c＝－7(舍去)，所以c＝5. 22. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上，平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证：AB∥平面PDC； (2)若AB⊥AF，求证：平面PAD⊥平面ABCD. 证明　(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD. 又AB⊄平面PDC，CD⊂平面PDC，所以AB∥平面PDC. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD. 因为AB⊥AF，所以AF∩AD＝A，AF，AD⊂平面PAD， 所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷 本试卷22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪∁UN＝(　　) A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8} C.{1，2，4，6，8} D.U 2. 在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 函数的定义域为 （    ） A.(0,1) B.[0,1) C.(-1,1] D. [-1,1) 4. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5.已知函数为偶函数，且当时，，则=( ) A．2 B．1 C．0 D．－2 6. 正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A. B.3 C.2 D.5 7. 10名体育生的身高(单位：cm)分别为175，178，176，180，179，175，176，179，180，179，则中位数为( ) A. 178 B. 178.5 C.179 D. 179.5 8.已知sin＋cos(π－α)＝sin α，则tan α＝(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 9. 为了得到的图像，只需将的图像（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 10. 若，且，则的最大值为( ) A.4 B.6 C.8 D.12 11.已知l，n是两条不同的直线，α，β是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是(　　) A.若α∥β，l⊂α，n⊂β，则l∥n B.若α⊥β，l⊂α，则l⊥β C.若l∥α，α⊥β，则l⊥β D.若l⊥α，l∥β，则α⊥β　 12.已知a＝log21.8，b＝log43.6，c＝，则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13. 从1，2，3，4，5中随机选取两个不同的数，若这两个数之积为偶数的概率为______ 14. 如图，在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，AC与MD相交于点P.若＝x＋y，则x＋y＝________. 15. 已知指数函数f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的值为_______ 16. 不等式的解集为______ 17. 已知，则______ 18. 在三棱锥P－ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为_______ 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 已知函数f(x)＝a－. (1)求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性，并证明你的结论． 20. 某校1 000名学生在高三某测试中数学成绩的频率分布直方图如图所示(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)， （1）求a；（2）估计本次考试的平均分. 21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. (1)求sin B的值；(2)求c的值. 22. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上，平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证：AB∥平面PDC； (2)若AB⊥AF，求证：平面PAD⊥平面ABCD. 学科网（北京）股份有限公司 $