2027年高考数学一轮复习检测卷（全国一卷01）

**基本信息** 全面覆盖集合、复数、向量等基础知识点及函数、导数、立体几何等核心内容，通过晨跑计划概率模型、蚂蚁移动新背景问题等设计，体现数学思维与应用意识，适配一轮复习巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合运算、复数模、向量数量积、函数单调性|单选注重基础，多选综合考查（如抛物线几何性质与直线位置关系）| |填空题|3/15|函数切线、双曲线离心率、格点移动计数|第14题新背景问题，培养创新意识| |解答题|5/77|解三角形、椭圆方程、立体几何证明、函数导数应用、概率数列综合|第19题晨跑计划结合概率与数列，体现数学建模；第18题导数综合考查逻辑推理，贴合高考命题趋势|

2027年高考一轮复习检测卷（全国通用） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合 ，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由集合的交集运算求解. 【详解】, 则. 2．若（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简原等式，然后根据复数的乘除运算计算即可. 【详解】因为，所以移项化简得， 所以. 3．已知平面向量，的夹角为，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， ，， ， ， 因为向量的模长为非负数， 所以． 4．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式及二倍角公式求解即可. 【详解】. 5．已知正四棱台上､下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体积为（    ） A． B．688 C． D．888 【答案】B 【分析】根据正棱台的性质求出高，再利用体积公式计算. 【详解】如图，正四棱台，取上下底面正方形的中心， 再取分别为的中点，过作， 则由题意可得，，则， 则在中，， 则该四棱台积为. 故选：B 6．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 7．记为等比数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．13 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质可知成等比数列，由此列式计算即可. 【详解】由题意得：成等比数列， 所以， 所以，化简整理得：， 所以， 所以或， 又，所以， 所以， 所以. 8．定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，结合函数单调性，奇偶性和特殊点的函数值得到不等式，求出解集 【详解】为定义在上的奇函数，故，此时，不合要求， 当时，设，， 所以为偶函数，， 时，，， 故在上单调递增， 当时，， 又，故，所以，故， 为偶函数，故在上单调递减， 时，， 又，所以，故， 所以不等式的解集为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C． D．随机变量落在与落在的概率相等 【答案】BCD 【分析】根据正态分布的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：当时， 所以，故B正确； 对于C：因为，所以, 所以，故C正确； 对于D：因为， 由正态分布密度曲线的对称性可知，随机变量落在与的概率相等，故D正确． 故选：BCD． 10．已知数列满足，则（     ） A． B． C．的前项和为 D．的前10项和为216 【答案】ABC 【分析】先根据关系式求出通项公式，再根据等差数列求和公式求和即可判定. 【详解】已知， 当时，. 当时，. 得， 化简得，验证时，符合条件， 因此通项公式为. 选项A：，正确. 选项B：通项，正确. 选项C：是首项、公差的等差数列，前项和，正确. 选项D：，当时，时， 前10项和，错误. 11．已知抛物线C：的焦点为F，C的准线与轴的交点为，直线与交于，两点，是上一点，则下列结论正确的是（     ） A．最小值为1 B．若直线过点，则的准线上存在点使得为钝角 C．若线段的中点横坐标为4，则的最大值为10 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义判断A；联立直线与抛物线方程，利用数量积的坐标表示判断B；求出过抛物线焦点的最短弦长，再利用抛物线定义求解判断C；建立函数关系，结合基本不等式求解判断D. 【详解】抛物线的焦点，准线，点，设， 对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，直线，由，得，则，令， 则， ，，因此，B错误； 对于C，当直线过点时，， 当且仅当时取等号，即过抛物线焦点的最短弦长为4，当时， ，当且仅当直线过点时取等号，C正确， 对于D，， 当时，；当时，， 当且仅当，即时取等号，D错误.    第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________. 【答案】 【详解】因为，所以，又， 所以切线方程为，即. 13．已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为____________． 【答案】 【分析】结合双曲线定义可得或，然后由离心率公式求解即可. 【详解】由双曲线定义可知，所以或， 当时，则有，所以， 又因为，即，所以， 所以；同理可得当时，. 14．平常我们用的方格纸，都画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离总是相等的．方格纸上两条直线的交点称为格点．右图每个小正方形的边长为，假设方格纸足够大，已知一只蚂蚁从格点出发，沿格子四个方向移动，每次移动距离为，则蚂蚁移动次回到出发点的不同方法总数为________（用数字作答）． 【答案】 【分析】对向左、右、上、下移动的步数进行分类讨论，利用排列组合计数原理以及分类加法计数原理可得结果. 【详解】分以下几种情况讨论： ①次移动中，有次向左移动一步，次向右移动一步，此时不同的移动方法种数为种； ②次移动中，有次向上移动一步，次向下移动一步，此时不同的移动方法种数为种； ③次移动中，有次向左移动一步，次向右移动一步，次向上移动一步，次向下移动一步， 此时不同的移动方法种数为种； ④次移动中，有次向上移动一步，次向下移动一步，次向右移动一步，次向左移动一步， 此时不同的移动方法种数为种. 综上所述，不同的移动方法种数为种. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，，分别为的内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）利用正弦定理把边化成角，再借助两角和的正弦公式代换，约去后求出，从而算出角； （2）先用面积公式求出，再结合余弦定理求出，即可求得周长. 【详解】（1）由已知得，， 由正弦定理，得， 由于， 化简得， 由于，则， 于是， 由于，则，于是， 则，故． （2）由（1）及条件知，，得， 由余弦定理，得， 即，即， 故的周长为． 16．（15分） 已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点． (1)写出曲线的方程； (2)若以为直径的圆经过原点，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）曲线上动点满足，得出，求出几何量，即可得到椭圆的方程； （2）直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，及，即可求得结论． 【详解】（1）由题意知曲线是椭圆， 设椭圆的焦半距为，则由题设，得，， 所以， 故所求椭圆的方程为； （2）若以为直径的圆经过原点，    设点，，，， 将直线的方程代入， 并整理，得， 则，． 因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点， 所以，即． 又， 于是，解得， ， 当时，，符合条件， 所以以为直径的圆经过原点，． 17．（15分） 如图，是圆锥的底面圆的圆周上三点，且，为劣弧的中点. (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证得平面，再由线面垂直的性质定理即可得证. （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据二面角的余弦值公式结合同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】（1）证明：设，因为，所以. 因为为劣弧的中点，所以，则，即，所以. 连接，则，所以. 又平面，所以平面. 因为平面，所以. （2）以为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系. 设，则， 所以， . 设平面的一个法向量为， 由得取，则， 设平面的一个法向量为， 由得取，则， 设二面角为，则， ， 故二面角的正弦值为. 18．（17分） 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)时，求零点的个数； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在定义域上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在定义域上单调递减. (2)2 (3) 【分析】（1）求导后，分别在和两种情况下判断导函数的正负，从而得到原函数的单调性； （2）求导并找到函数单调区间后，根据零点的存在性定理可判断； （3）分离参数将问题转变为在上恒成立，令，通过导数可得函数的单调性，进而判断出其最大值，从而得到所求范围. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 当时，，则在定义域上单调递增， 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上恒成立， 所以在定义域上单调递减； 综上所述：当时，在定义域上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在定义域上单调递减. （2）若，则的定义域为， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在内单调递减，则， 且，，可知在上各有一个零点， 又因为，所以有两个零点. （3）由分离参数可得，即在上恒成立， 令，， 则， 令，，则， 因为，则，可知在上单调递减， 则，且， 可知，满足，即， 可得，， 当时，，即；当时，，即； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则， 可得，所以实数a的取值范围为. 19．（17分） 小明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第n天晨跑的概率为. (1)求，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若X，Y都是离散型随机变量，则，记小明前n天晨跑的天数为X，求. 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用概率的基本性质即可求出，，的值； （2）通过分析与的关系，构造等比数列，进而求出数列的通项公式； （3）利用期望的性质，将转化为，再根据期望的定义求出. 【详解】（1）已知第1天一定晨跑，故， 第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故， 第3天晨跑的情况分两种：①第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为， ②第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为，故. （2）由题意得，时，第天晨跑的事件可分为两种互斥情况：其一是第天晨跑且第天晨跑，其概率为；其二是第天不晨跑且第天晨跑（这意味着第天必须晨跑），其概率为， 所以，即，则， 所以，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，则，，，， 所以． （3）记小明前天中，第天晨跑的次数为． 由题意得，服从两点分布，且，因为，且对于离散型随机变量，都有， 所以 . 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（全国通用） 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A B B D D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ABC AC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【详解】（1）由已知得，， 由正弦定理，得，（2分） 由于，（4分） 化简得， 由于，则， 于是，（5分） 由于，则，于是， 则，故．（7分） （2）由（1）及条件知，，得，（8分） 由余弦定理，得，（10分） 即，即，（12分） 故的周长为．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题意知曲线是椭圆， 设椭圆的焦半距为，则由题设，得，，（2分） 所以，（3分） 故所求椭圆的方程为；（4分） （2）若以为直径的圆经过原点，    设点，，，， 将直线的方程代入， 并整理，得，（5分） 则，．（6分） 因为以线段为直径的圆恰好经过坐标原点， 所以，即．（9分） 又，（10分） 于是，解得，（12分） ， 当时，，符合条件，（14分） 所以以为直径的圆经过原点，．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）证明：设，因为，所以.（1分） 因为为劣弧的中点，所以，则，即，所以.（3分） 连接，则，所以.（4分） 又平面，所以平面.（5分） 因为平面，所以.（6分） （2）以为坐标原点，过点作平行于的直线为轴，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系.（7分） 设，则， 所以， .（8分） 设平面的一个法向量为， 由得取，则，（10分） 设平面的一个法向量为， 由得取，则，（12分） 设二面角为，则，（13分） ，（14分） 故二面角的正弦值为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由题意可知：的定义域为， 且，（1分） 当时，，则在定义域上单调递增，（2分） 当时，令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减；（3分） 当时，在上恒成立， 所以在定义域上单调递减；（4分） 综上所述：当时，在定义域上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在定义域上单调递减.（5分） （2）若，则的定义域为， 令，，则， 令，解得；令，解得；（7分） 可知在上单调递增，在内单调递减，则， 且，，可知在上各有一个零点，（9分） 又因为，所以有两个零点.（10分） （3）由分离参数可得，即在上恒成立， 令，， 则，（12分） 令，，则， 因为，则，可知在上单调递减， 则，且， 可知，满足，即，（14分） 可得，， 当时，，即；当时，，即； 可知在上单调递增，在上单调递减，（15分） 则，（16分） 可得，所以实数a的取值范围为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）已知第1天一定晨跑，故，（1分） 第2天晨跑的概率由第1天晨跑决定，故，（2分） 第3天晨跑的情况分两种：①第1天晨跑，第2天不晨跑，第3天晨跑，概率为， ②第1天晨跑，第2天晨跑，第3天晨跑，概率为，故.（4分） （2）由题意得，时，第天晨跑的事件可分为两种互斥情况：其一是第天晨跑且第天晨跑，其概率为；其二是第天不晨跑且第天晨跑（这意味着第天必须晨跑），其概率为，（5分） 所以，即，则，（7分） 所以，即，（8分） 所以是以为首项，为公比的等比数列.（9分） 所以，则，，，， 所以．（13分） （3）记小明前天中，第天晨跑的次数为． 由题意得，服从两点分布，且，因为，且对于离散型随机变量，都有， 所以（14分） .（17分） 7 / 7学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（全国通用） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合 ，，则（     ） A． B． C． D． 2．若（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，的夹角为，，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知，则（     ） A． B． C． D． 5．已知正四棱台上､下底面的面积分别为4和144，侧面等腰梯形的高为13，则该四棱台的体积为（    ） A． B．688 C． D．888 6．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．记为等比数列的前项和，若，，则的值为（    ） A．1 B．3 C．9 D．13 8．定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机变量服从正态分布，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C． D．随机变量落在与落在的概率相等 10．已知数列满足，则（     ） A． B． C．的前项和为 D．的前10项和为216 11．已知抛物线C：的焦点为F，C的准线与轴的交点为，直线与交于，两点，是上一点，则下列结论正确的是（     ） A．最小值为1 B．若直线过点，则的准线上存在点使得为钝角 C．若线段的中点横坐标为4，则的最大值为10 D．的最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________. 13．已知点分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为____________． 14．【新背景】平常我们用的方格纸，都画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离总是相等的．方格纸上两条直线的交点称为格点．右图每个小正方形的边长为，假设方格纸足够大，已知一只蚂蚁从格点出发，沿格子四个方向移动，每次移动距离为，则蚂蚁移动次回到出发点的不同方法总数为________（用数字作答）． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，，分别为的内角，，的对边，且． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 16．（15分） 已知曲线上动点到两点，的距离之和为4，直线和曲线相交于两点，为坐标原点． (1)写出曲线的方程； (2)若以为直径的圆经过原点，求实数的值． 17．（15分） 如图，是圆锥的底面圆的圆周上三点，且，为劣弧的中点. (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值. 18．（17分） 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)时，求零点的个数； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分） 小明在暑假为了锻炼身体，制定了一项坚持晨跑的计划：30天晨跑训练.规则如下：从第1天开始晨跑，若第天晨跑，则他第天晨跑的概率为，且他不能连续两天没有晨跑.设他第n天晨跑的概率为. (1)求，，的值； (2)求数列的通项公式； (3)若X，Y都是离散型随机变量，则，记小明前n天晨跑的天数为X，求. 1 / 6学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $