第48讲空间几何体的切接球问题·综合测试-2027年高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦空间几何体切接球问题，整合2025-2026年多地模拟题，梯度覆盖基础计算到综合应用，适配一轮复习空间观念与逻辑推理能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|正四面体中点外接球、圆锥外接球体积、正四棱台外接球表面积|结合几何体中点、动态体积最值，体现数学眼光观察空间形式| |多选|3/18|圆锥轴截面与外接球、正四棱锥动态直角三角形、三棱锥外接球表面积|多结论辨析，考查数学思维的严谨性| |填空|3/15|三棱锥外接球与体积、线面角相等的外接球、翻折后线面角与外接球|动态翻折、线面角关联外接球，凸显数学语言表达空间关系| |解答|5/77|直四棱柱外接球表面积、折叠问题面面垂直与外接球、四棱锥外接球与二面角|综合证明与计算，适配高考真题中折叠、组合体命题趋势，强化数学思维的逻辑推理|

第48讲 空间几何体的切接球问题 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 C B D B A 6 7 8 9 10 D C A ABD ACD 11 12 13 14 15 ABD （1） （2） 16 17 18 19 （1）证明见解析 （2） （3） （1）证明见解析 （2） （1）证明见解析 （2） （1）证明见解析 （2）（i） （ii） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·湖北十堰·一模）已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】取正四面体各棱中点， 可得平面平面，且，作平面于点，交平面于，则为中点，且球心是的中点，即，令正四面体的棱长为，，，，而，因此球的半径，所以球的表面积与该正四面体的表面积之比为. 【点拨】求正四面体棱中点球（切棱球）的半径，可以利用正四面体的对称性，通过截面图形计算球心位置与半棱长的几何关系求解. 2.（2025·江西“三新”·模拟）已知某圆锥的外接球的体积为，若球心到该圆锥底面的距离为，则该圆锥体积的最大值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设外接球的半径为，则，解得，则圆锥的底面半径为，当圆锥的高为时，圆锥的体积最大，体积最大为. 【点拨】由外接球体积求出半径后，底面圆半径由勾股定理确定，当圆锥的高取最大值时，圆锥体积取得最大值. 3.（2025·江西稳派上进·联考）已知正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球的表面上，若该三棱锥的体积与球的表面积在数值上相等，则点到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由三棱锥为正三棱锥，且其侧面均为直角三角形，则其各侧面均为等腰直角三角形，设，则，故该三棱锥的体积，又该三棱锥的外接球等价于棱长为的正方体的外接球，故外接球的半径，则球的表面积，则有，解得.则点到平面的距离即为. 【点拨】三棱锥侧棱两两垂直时，可补形为正方体，其外接球与正方体相同，利用体积与表面积相等求出侧棱长即可. 4.（2025·河北沧州·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台外接球的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设正四棱台上底面的中心为，下底面的中心为.因为，，所以.过作于，设该正四棱台外接球的球心为，则在直线上，，设，则，即，解得.设外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为. 【点拨】正四棱台的外接球球心在上、下底面中心连线上，利用球心到各顶点的距离等于球半径构造勾股定理方程求解. 5.（2025·江西新余·二模）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】依据题意，球内切与圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示， 过点作的垂线，垂足为，设球的半径为，则，设圆台的母线为，即，上、下底面的面积之比为，即，，由圆的切线长定理可知，，圆台的侧面积为，解得，则，即，则球的表面积. 【点拨】画出轴截面（等腰梯形内切圆），根据切线长定理得出母线长与底面半径的关系，再由侧面积求出半径及球半径. 6.（2025·江西萍乡实验·一模）在四面体中，平面，，，，若四面体的外接球的表面积为，则四面体的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设四面体的外接球的半径为，因为外接球的表面积为，所以，解得，因为，，，则，，的外接圆圆心为的中点，由为直角三角形可得外接球球心在过斜边的中点且垂直于平面的直线上，又平面，则有，因为外接球球心到四面体各顶点距离相等，由平面，结合勾股定理可知球心到平面的距离为.即，解得，因为平面，平面，则，，则，同理.因为，所以，即为直角三角形，故四面体的表面积. 【点拨】利用直角三棱锥补形与直角三角形外心性质，由勾股定理求出高，进而计算四个侧面的面积之和. 7.（2025·江西上进·联考）在三棱锥中，平面平面，，若点均在球的表面上，则球的体积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，又，所以平面，所以，故为球的直径，故球的半径，所以球的体积为. 【点拨】证明平面得到，从而为球的直径，利用勾股定理求出即得球体积. 8.（2026·河北沧州·一模）一个底面边长和侧棱长均为的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，，如图 ，，而，，，即，由于到距离，则到距离，设正方形外接圆圆心，则，设矩形外接圆圆心，则，设外接球半径，，，故外接球表面积为. 【点拨】利用等体积法求出上方空气小三棱柱的尺寸，再由上下底面外接圆圆心连线求球心及半径. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·安徽阜阳·一模）如图，为圆锥的底面圆的直径，是圆弧的中点，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则下列结论正确的是（　　） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥外接球体积为 C. 圆锥侧面展开图的圆心角为 D. 二面角的正切值为 【答案】ABD 【解析】由圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，得圆锥的底面圆半径，高，母线， 对于A，圆锥体积，A正确； 对于B，圆锥的外接球球心在直线上，设球半径为，则球心到圆锥底面距离，由，得，解得，因此该球的体积为，B正确； 对于C，圆锥侧面展开图弧长为，该弧所对圆心角为，C错误； 对于D，取的中点，连接，则，由平面，平面，得，而平面，则平面，又平面，因此，为二面角的平面角，所以，D正确. 【点拨】由圆锥轴截面几何性质分别计算体积、外接球半径、展开图圆心角及二面角. 10.（2026·安徽淮北·一模）已知正四棱锥，为棱上的动点．则（　　） A. 平面平面 B. 存在使得为直角三角形 C. 当为中点时，平面 D. 若，球与四棱锥的所有棱都相切，则球的表面积为 【答案】ACD 【解析】对于A，连接，设交于点，连接，在正四棱锥中，，平面，因为平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故A正确； 对于B，在正四棱锥中，若为直角三角形，则，由，得，即，而在正方形中，，由于，则，矛盾，所以不存在使得为直角三角形，故B错误； 对于C，当为中点时，连接，由于在正方形中，为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故C正确； 对于D，当时，，而，则，在等腰直角中，到的距离为，而到的距离也为，则球的球心位于点，半径为，则球的表面积为，故D正确. 【点拨】分别验证面面垂直、侧面不可能为直角三角形、线面平行及棱切球的球心位置与半径. 11.（2025·广东衡水金卷·联考）三棱锥中，平面平面，其各顶点均在球的表面上，则（　　） A. B. 点到平面的距离为 C. 二面角的余弦值为 D. 球的表面积为 【答案】ABD 【解析】对于A，取中点，由可知，由平面，平面平面，平面平面可知平面，于是由平面可得，故，代入数据得，故A正确； 对于B，取上一点使得，记点到平面的距离为，则，故，而，由余弦定理得，故，故，故，故B正确； 对于C，由平面平面，可知平面，由平面，可知，而平面平面，故平面，且平面，故二面角的平面角为，类比的推导过程可知，故，即二面角的余弦值为，故C错误； 对于D，由，为中点可知，故的外心为，由平面可知直线上的点到点的距离相等，故球心在直线上，由平面几何知识可知点在线段上，记，则，故，故球的表面积，故D正确. 【点拨】利用面面垂直性质定理得出平面，推导几何量，求出距离、二面角及外接球半径. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2025·江西上进·检测）已知三棱锥的所有顶点都在体积为的球的表面上，点在棱上，是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】如图， 因为点在上，三棱锥的所有顶点都在球的表面上，所以为球的直径，，由球的体积为，得，因为，过点作于，连接，，则，所以的面积，所以三棱锥的体积为. 【点拨】根据在上得出为球的直径，求出各边长及的面积，利用等体积法求三棱锥体积. 13.（2026·湖北新八校·二模）三棱锥中，与底面所成的线面角相等，二面角的大小也相等，且，则三棱锥的外接球体积为＿＿＿＿＿＿. 【答案】. 【解析】由题意可知，顶点在底面的射影既是的外心，又是的内心，从而是等边三角形，该三棱锥是正三棱锥. 设正三棱锥底面正三角形边长为，侧棱. 底面的外接圆半径. 正三棱锥的高. 设外接球半径为，球心在的高线上，有，即，解得. 故外接球体积. 【点拨】射影既是外心又是内心说明底面为正三角形，转化为正三棱锥的外接球计算. 14.（2026·山东德州·一模）在矩形中，已知，是的中点，将沿直线翻折成，为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因，是的中点，则，是矩形，，翻折后，因为线段的中点，则，因，，则，故，取的中点，连接，则，，，，平面平面，平面，平面，在平面的射影为，与平面所成角为，，因和都是直角三角形，则，为等边三角形，取的中点为，连，则，平面平面，平面，是直角三角形，，为的外接圆的圆心，设为三棱锥外接球的球心，半径为，则平面，设，则，解得，则，三棱锥外接球的表面积. 【点拨】由翻折前后角度与垂直关系求出在底面上的射影，确定底面外心及球心位置，利用勾股定理求外接球表面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2025·河北·模拟）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，是的中点，且. （1） 求四棱柱的外接球的表面积； （2） 求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 解：取的中点，连接， 底面是正方形，且该四棱柱是直四棱柱，平面， 又平面，， ，，都在平面内，平面， 又平面，， 2 分 ，，即，. 4 分 四棱柱的外接球直径就是其体对角线， 外接球半径， 故四棱柱的外接球的表面积. 6 分 （2） 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 8 分 设平面的法向量为，则， 令，得，， 而平面就是平面，其一个法向量是， 11 分 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 13 分 【点拨】由线面垂直求出高，体对角线即外接球直径得出表面积；建立坐标系利用向量法求两平面的法向量夹角余弦值. 16.（2026·广东华师附中·检测）如图1所示，是边长为的正三角形，四边形是一个等腰梯形，，，现在沿着把折起到的位置，连接，使得，如图2所示． （1） 证明：平面平面； （2） 求三棱锥的外接球的半径； （3） 求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明见解析 （2） （3） 【解析】（1） 证明：取的中点为，连接， 由图1中，是边长为的正三角形，可得， 1 分 又由等腰梯形，且，可得，且， 因为，所以，所以， 2 分 因为，且平面， 所以平面， 4 分 因为平面，所以平面平面； 5 分 （2） 解：连接，易得，因为，所以， 所以的外接圆圆心为， 6 分 又平面，所以三棱锥的外接球的球心在直线上， 7 分 如下图， 设外接球半径为，设，则，解得， 8 分 所以. 9 分 （3） 解：取的中点，连接，因为四边形为等腰梯形，且为的中点，所以，又因为平面， 10 分 以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 所以， 12 分 设平面的法向量为，则，取，可得，所以， 13 分 设直线与平面所成角为，则. 14 分 所以直线与平面所成角的正弦值为. 15 分 【点拨】由折叠勾股逆定理证明线面垂直与面面垂直；求出底面外心，球心在过外心垂直于底面的直线上；建立空间直角坐标系利用向量法求线面角. 17.（2025·广东大湾区·模拟）如图，在四棱锥中，平面，，，． （1） 证明：； （2） 若四棱锥的外接球的表面积为，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 证明见解析 （2） 【解析】（1） 证明：过作于，过作于，则，所以，又因为，所以， 2 分 在中，由余弦定理得， 3 分 所以，即， 4 分 又因为平面，所以， 5 分 又因为，平面，所以平面， 6 分 又因为平面，所以； 7 分 （2） 解：取的中点，则，，为等边三角形，，即为四边形外接圆的圆心，且半径， 8 分 过作平面的垂线，则，在平面内作的垂直平分线交与点，则，即为四棱锥的外接球的球心， 9 分 且半径，，，，， 12 分 连接，平面，平面，又平面，，为二面角的平面角， 13 分 ，二面角的余弦值为. 15 分 【点拨】由底面几何性质推导，结合作高证明平面得到；求出底面外心及球心位置，由外接球表面积求得，找准二面角平面角求其余弦值. 18.（2026·浙江精诚联盟·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，和均是边长为的正三角形，分别为棱的中点，且. （1） 证明：平面； （2） 求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明见解析 （2） 【解析】（1） 证明：因为和均是边长为的正三角形，为的中点，所以，又因为为的中点，所以， 2 分 因为，所以，因为，且平面，所以平面， 4 分 因为平面，所以，因为，所以平面； 6 分 （2） 解：由（1）知平面，所以，所以， 7 分 因为，所以平面，所以，取中点，连接，则三条直线两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 9 分 易得，因为，故， 10 分 得到， 11 分 所以， 12 分 设平面的一个法向量为，则，令，得，所以， 13 分 易知平面的一个法向量为， 14 分 设平面与平面的夹角为，则， 15 分 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19.（2025·河北沧州·一模）如图，在三棱锥中，为上一点，． （1） 证明：平面平面； （2） 若，求： （i） 三棱锥的体积； （ii） 平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明见解析 （2） （i） 1 （ii） 【解析】（1） 证明：在中，，，所以，所以， 1 分 又，所以，即， 2 分 又因为，所以平面， 3 分 又平面，所以平面平面； 4 分 （2） （i） 因为，所以，则，所以， 5 分 过点作于，， 6 分 由（1）可知，点到的距离即为点到平面的距离， 7 分 所以三棱锥的体积； 8 分 （ii） 如图，连接，则，，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 9 分 则，又，所以， 10 分 ， 11 分 设平面的法向量为，则，令，则，所以， 13 分 设平面的法向量为，则，令，则，所以， 15 分 设平面与平面的夹角为，则， 16 分 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17 分 【点拨】由角的关系推出，结合证明线面垂直与面面垂直；求出侧面高求三棱锥体积；建立直角坐标系利用法向量求夹角余弦值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第48讲 空间几何体的切接球问题 · 综合测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·湖北十堰·一模）已知正四面体各条棱的中点都在球的表面上，则球的表面积与该正四面体的表面积之比为（　　） A. B. C. D. 2.（2025·江西“三新”·模拟）已知某圆锥的外接球的体积为，若球心到该圆锥底面的距离为，则该圆锥体积的最大值为（　　） A. B. C. D. 3.（2025·江西稳派上进·联考）已知正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球的表面上，若该三棱锥的体积与球的表面积在数值上相等，则点到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 4.（2025·河北沧州·一模）在正四棱台中，，，，则该正四棱台外接球的表面积为（　　） A. B. C. D. 5.（2025·江西新余·二模）已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为；上、下底面的面积之比为，则球的表面积为（　　） A. B. C. D. 6.（2025·江西萍乡实验·一模）在四面体中，平面，，，，若四面体的外接球的表面积为，则四面体的表面积为（　　） A. B. C. D. 7.（2025·江西上进·联考）在三棱锥中，平面平面，，若点均在球的表面上，则球的体积为（　　） A. B. C. D. 8.（2026·河北沧州·一模）一个底面边长和侧棱长均为的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·安徽阜阳·一模）如图，为圆锥的底面圆的直径，是圆弧的中点，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则下列结论正确的是（　　） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥外接球体积为 C. 圆锥侧面展开图的圆心角为 D. 二面角的正切值为 10.（2026·安徽淮北·一模）已知正四棱锥，为棱上的动点．则（　　） A. 平面平面 B. 存在使得为直角三角形 C. 当为中点时，平面 D. 若，球与四棱锥的所有棱都相切，则球的表面积为 11.（2025·广东衡水金卷·联考）三棱锥中，平面平面，其各顶点均在球的表面上，则（　　） A. B. 点到平面的距离为 C. 二面角的余弦值为 D. 球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2025·江西上进·检测）已知三棱锥的所有顶点都在体积为的球的表面上，点在棱上，是边长为的正三角形，则三棱锥的体积为＿＿＿＿＿＿. 13.（2026·湖北新八校·二模）三棱锥中，与底面所成的线面角相等，二面角的大小也相等，且，则三棱锥的外接球体积为＿＿＿＿＿＿. 14.（2026·山东德州·一模）在矩形中，已知，是的中点，将沿直线翻折成，为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2025·河北·模拟）如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，是的中点，且. （1） 求四棱柱的外接球的表面积； （2） 求平面与平面夹角的余弦值. 16.（2026·广东华师附中·检测）如图1所示，是边长为的正三角形，四边形是一个等腰梯形，，，现在沿着把折起到的位置，连接，使得，如图2所示． （1） 证明：平面平面； （2） 求三棱锥的外接球的半径； （3） 求直线与平面所成角的正弦值． 17.（2025·广东大湾区·模拟）如图，在四棱锥中，平面，，，． （1） 证明：； （2） 若四棱锥的外接球的表面积为，求二面角的余弦值． 18.（2026·浙江精诚联盟·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，和均是边长为的正三角形，分别为棱的中点，且. （1） 证明：平面； （2） 求平面与平面的夹角的余弦值. 19.（2025·河北沧州·一模）如图，在三棱锥中，为上一点，． （1） 证明：平面平面； （2） 若，求： （i） 三棱锥的体积； （ii） 平面与平面夹角的余弦值． 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $