第二章一元二次方程单元综合培优检测试题 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本单元综合培优检测试题通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，覆盖一元二次方程的概念、解法及实际应用，梯度递进培养抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一元二次方程定义、解法（直接开平方法、因式分解法）、根的判别式|以选择、填空基础题为主，强化概念辨析与基本运算，培养抽象能力| |提升层|韦达定理应用、解法综合选择、含参方程|结合错误分析（如第8题）和定义新运算（如“和谐方程”），发展推理意识| |拓展层|实际问题（增长率、传染模型）、动态几何问题|通过十字步道、运动点等情境（第21、23题），构建数学模型，体现模型观念|

第二章一元二次方程单元综合培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。 1.下列方程是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 3.一元二次方程根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 4.用配方法解方程时，原方程应变形为(    ) A. B. C. D. 5.解下列方程：最适当的解法是(    ) A. 直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法 B. 因式分解法，公式法，配方法，直接开平方法 C. 直接开平方法，公式法，因式分解法 D. 直接开平方法，公式法，因式分解法 6.若方程的两个根是和，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为(    ) A. B. C. D. 8.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和则原来的方程可能是(    ) A. B. C. D. 9.化学老师教会了若干名同学“高锰酸钾制取氧气”的实验操作，这些同学回到班上后每个人又教会了同样多名同学，这样恰好全班名同学都会做这个实验了，若设化学老师教会了名同学，依题意可列方程(    ) A. B. C. D. 10.某公司今年月的营业额为万元，按计划第二季度的总营业额要达到万元，设该公司两月的营业额的月平均增长率为根据题意列方程，则下列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.方程的解是          ． 12.若，且，则的值为          ． 13.下表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知关于的方程的根是          ． 14.若，是方程的两个根，则代数式的值为          ． 15.经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有人患上流感，按这样的传染速度，若人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有          人 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题12分）用适当的方法解下列方程： ． 17.本小题8分 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐方程”． 判断一元二次方程是否为“和谐方程”，说明理由； 已知是关于的“和谐方程”，若是此“和谐方程”的一个根，求，的值． 18.本小题分 已知关于的方程． 当取何值时，方程有两个不相等的实数根 当取何值时，方程有实数根 19.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 20.本小题分 用整体换元法解特殊的一元二次方程． 【例】解方程：． 解：设，则原方程可化为，解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 所以原方程的解为，． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程：； 已知，求的值． 21.本小题分 如图，某社区口袋公园规划建设，现有一块长 30m、宽 20m 的矩形空地，准备在空地上修建十字形便民步道（横向、纵向步道宽度相同，均为x米），步道铺设透水防滑地砖，剩余区域种植耐阴花草打造绿化草地，已知草地绿化面积为551m2。 （1）求便民步道的宽度x； （2）若步道地砖每平方米造价 120 元，草地花草每平方米造价 80 元，求修建这个口袋公园总造价为多少元。 22.本小题分 “骑行安全最重要，安全头盔要戴好”年月日起，新修订的成都市非机动车管理条例正式实施，对驾驶非机动车闯红灯、不戴头盔、逆行等违法行为做出了规范据了解，某经销商以元个的价格购入一批头盔，按元个的价格销售一段时间后，连续两次对该头盔进行降价，两次降价后，该头盔的售价为元个． 若该经销商两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 市场调研表明：当头盔售价为元个时，每月能够售出个，当售价每降元时，则月销量能增加个若要使月销售利润为元，则头盔的售价应为多少元？ 23.本小题分 如图，在矩形中，，，点从点开始，沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始，沿边向终点以的速度移动如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动设运动时间为 填空：           ，           用含的代数式表示 当为何值时，的长度等于？ 是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11. ，  12.   13. ，  14.   15.   16. 【小题】 解：， ，即或， ，． 【小题】 解：，，即， ，即或， ，． 【小题】 解：，，， ， ， ，． 【小题】 解：，， 或，，．  17. 【小题】 解：一元二次方程是“和谐方程”，理由如下：  在一元二次方程中，，，，，一元二次方程是“和谐方程”． 【小题】 是关于的“和谐方程”，是此“和谐方程”的一个根，，  即，解得的值为，的值为．  18. 【小题】 解：关于的方程有两个不相等的实数根， 且，解得且． 当且时，方程有两个不相等的实数根． 【小题】 当时，原方程为，解得． 当时，，解得且． 综上所述，当时，方程有实数根．  19. 【小题】 ，，，，无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【小题】 方程的两个实数根为，，，，即，  整理，得，的值为或．  20. 【小题】 解：设，则原方程变形为，解得，当时，，解得；当时，，解得所以原方程的解为，． 【小题】 将原方程两边都除以，得设，则原方程可化为，解得，，的值为或．  21. 解：（1）根据题意，得， 解得，． 当时，， ． 答：小路宽的值为．  （2） 22. 【小题】 解：设每次降价的百分率为根据题意，得， 解得或舍去，每次降价的百分率为． 【小题】 设头盔的售价应为元个． 根据题意，得， 整理，得，解得或， 头盔的售价应为元个或元个．  23. 【小题】    【小题】 由题意，得，解得，． 当或时，的长度等于． 【小题】 当时，能够使得五边形的面积等于理由如下： 由题意，得矩形的面积为， 若五边形的面积等于， 则的面积为． ，解得不符合题意舍去，． 当时，五边形的面积等于．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $