辽宁省2026-2027学年高一数学上学期开学自编模拟试卷03

**基本信息** 衔接初高中知识，以台灯销售、公司利润等现实情境设计问题，考查集合、不等式等核心内容，注重逻辑推理与模型意识，适配高一开学检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合运算、命题否定、不等式性质|基础巩固，如第2题集合补集运算| |选择题（多选）|3/18|二次函数图像、方程根与系数关系|能力提升，如第10题方程根的条件判断| |填空题|3/15|不等式组解集、代数式取值范围|抽象能力，如第13题代数式范围求解| |解答题|5/77|集合关系、命题真假、函数与不等式应用|创新应用，如第18题公司利润问题考查模型意识与运算能力|

辽宁省2026-2027学年高一数学上学期开学自编模拟试卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：初中衔接知识点+人教B版必修第一册第一章集合与常用逻辑用语+第二章不等式。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 4．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，且，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 7．已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 10．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 11．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为_______． 13．已知，则的取值范围为______ 14．已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接．    (1)求证：； (2)若，平分，直接写出的形状． 16．设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17．设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 18．某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 19．已知函数 (1)若的解集为，求实数a，c的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026-2027学年高一数学上学期开学自编模拟试卷03 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：初中衔接知识点+人教B版必修第一册第一章集合与常用逻辑用语+第二章不等式。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查存在量词命题的否定. 【详解】”的否定为. 2．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】等价于，解得，即. 所以. 3．将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求解即可. 【详解】已知该三角板是含角的等腰直角三角板，其锐角为，因此. 4．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 5．某文具店购进一批新型台灯，最低销售价格为15元，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售价格的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知得到销售收入且，再由求范围. 【详解】由题设，销售收入且， 为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则， 所以，可得， 综上，. 故选：C 6．已知集合，且，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解一元二次不等式得出集合A，再分类计算集合计算求解. 【详解】. 当时，. 当时，，则，得或. 故的取值集合为. 7．已知则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值是. 8．已知命题：关于的方程有两个不相等的实根，若为真命题，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若为真命题，则命题为假命题，所以关于的方程没有两个不相等的实根， 即：有两个相等的实根或者没有实根，则， 解得：，所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知抛物线的一段图像如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据二次函数性质分析可知，，且，即可判断A；举反例判断B；结合不等式性质判断CD. 【详解】因为抛物线的图象开口向上，则， 且对称轴，则， 又因为抛物线的图象过点，， 则，可得，解得，故A正确； 例如，符合题意，但，故B错误. 因为，且，则， 所以，故CD正确； 10．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ） A．当时，方程的两个实根和为0 B．方程无实根的一个必要条件是 C．方程有两个正实根的充要条件是 D．方程有两个正实根的一个充分条件是 【答案】BCD 【详解】对于A，当时，方程无实数根，所以A错误； 对于B，方程无实数根，则，解得， 又由是的真子集，方程无实根的一个必要条件是， 所以B正确； 对于CD，方程有两个正实数根的充要条件是， 解得，且是的真子集， 所以方程有两个正实根的一个充分条件是，故CD正确. 11．对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【详解】由，得， 由，得， 要使不等式组的解集为，则. 13．已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 14．已知 当取最大值时，的最小值为______，取得这个最小值时，__________ 【答案】 / / 【分析】由条件化简，结合基本不等式求其最大值，确定取最大值的条件，再结合二次函数性质求的最小值，并求得此时的，得到的值. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，当且仅当，时等号成立， 所以当，时，取最大值， 所以当取最大值时，，，， 所以， 所以，， 所以当时，取最小值. 此时，， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接．    (1)求证：； (2)若，平分，直接写出的形状． 【答案】(1)证明：，， ，，，． (2)等边三角形 【详解】（1）略 （2），由（1），， 平分，，， ，，是等边三角形. 16．设为全集，集合，． (1)若，求，； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由题设结合交集，补集定义可得答案； （2）由题可得是的真子集，据此可得答案. 【详解】（1）当时，， 又，结合， 则，，从而. 则，或，； （2）由（1）知. 由题可得是的真子集， 若为空集，则； 若不为空集，，综上可得. 17．设命题：，，命题：，. (1)若为真命题，求实数m的取值范围； (2)若为假命题、为真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得关于的方程无实根， 因此，解得， 所以实数m的取值范围是. （2）由为假命题，则的否定：，为真命题， 即，， 而当时，， 当且仅当时取等号，因此， 因为为假命题且为真命题，则， 则， 所以实数m的取值范围是. 18．某公司为进一步增强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知该产品年利润（单位：万元）与年产量（单位：台）的函数关系为.假设生产的产品当年能全部销售完，且每年最大产量为100台． (1)当年产量为20台时，求公司所获年利润； (2)当年产量不超过40台时，为实现年盈利，该产品的年产量至少为多少台？ (3)当该产品的年产量为多少台时，公司所获年利润最大？ 【答案】(1)万元； (2)台； (3)台. 【分析】（1）根据分段函数求值即可； （2）解一元二次不等式，即可得解； （3）利用二次函数性质和基本不等式分别求出各段最大值，比较即可作出判断. 【详解】（1）当年产量为20台时，（万元）， 所以当年产量为20台时，公司所获年利润为万元； （2）当年产量不超过40台时，为实现年盈利，即， 解得，又因为，所以， 即为实现年盈利，该产品的年产量至少为台； （3）当时，， 此时当时，在此区间内公司所获年利润最大值为万元， 当时，， 当且仅当时，在此区间内公司所获年利润取得最大值为万元， 综上可得：当该产品的年产量为台时，公司所获年利润最大值为万元. 19．已知函数 (1)若的解集为，求实数a，c的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，求的最小值． 【答案】(1)， (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 (3) 【分析】（1）借助韦达定理计算即可得； （2）借助根的判别式，分、、与进行讨论即可得； （3）借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由已知的解集为， 所以，3是方程的解，且， 所以，， 所以，； （2）若，不等式可化为， 方程的判别式， 当，即且时， 方程的两根为，， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； （3）因为，所以， 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，或，，时等号成立； 所以的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $