精品解析：山东省青岛市第九中学2026届高三第一次适应性检测数学试题

2026年山东省青岛市第九中学高三第一次适应性检测 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列数列中是等差数列也是等比数列的是（ ） A. 1，，1，，1 B. 1，2，3，4，5 C. 5，5，5，5，5 D. 1，2，3，5，7 2. 设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则=（ ） A. {1，3，5，7} B. {2，3} C. {2，3，5} D. {1，2，3，5，7，8} 3. =（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 15 5. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设，则随机变量的分布列是： 则当在内增大时 A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 7. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 10. 已知函数，则（ ） A. 在上有最小值和最大值 B. 当，时，有最大值 C. 当时，有2个解 D. 当时，与有4个交点 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是奇函数，则_____，______． 13. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 14. 在平面直角坐标系中，点A，B，C在双曲线上，满足为等腰直角三角形，则面积的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 16. 如图，为平面四边形的四个内角. （1）证明：； （2）若，，，，，求的值. 17. 为检验一批电子元件的寿命，从这批元件中抽取一批元件同时做寿命值试验． （1）若随机抽取了10个元件，得到各个元件寿命数据如下，求这10个元件寿命的均值与方差； 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 （2）记这批元件的总体寿命为X，随机变量X服从均值为的指数分布，且X的概率密度函数为，X取值不超过x的概率为，其中是自然对数的底数．现抽取10个元件，让所有元件同时开始工作，10个单位时间后停止试验，得到失效元件寿命数据为5.3、6.0、6.7．假设每个元件的寿命相互独立． （ⅰ）只考虑未失效的7个元件，记7个元件的寿命均超过10个单位时间的概率为，求； （ⅱ）记，求的极大值点． 18. 如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且．过三点的平面记为与的交点为． （1）证明：为的中点； （2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； （3）若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小． 19. 已知数列满足：， 证明：当时， （I）； （II）； （III）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省青岛市第九中学高三第一次适应性检测 数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列数列中是等差数列也是等比数列的是（ ） A. 1，，1，，1 B. 1，2，3，4，5 C. 5，5，5，5，5 D. 1，2，3，5，7 【答案】C 【解析】 【分析】设该数列为，由题可得，其中为常数，据此推得，即得该数列为非零常数列，即可判断. 【详解】设该数列为，则该数列满足，其中. 则，因为常数，该式对任意正整数成立，则， 从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意. 故选：C 2. 设集合A={2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}，则=（ ） A. {1，3，5，7} B. {2，3} C. {2，3，5} D. {1，2，3，5，7，8} 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果. 【详解】因为A{2，3，5，7}，B={1，2，3，5，8}， 所以 故选：C 【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单. 3. =（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接计算出答案即可. 【详解】 故选：B 【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单. 4. 如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ） A. 5 B. 8 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据原位大三和弦满足，原位小三和弦满足 从开始，利用列举法即可解出． 【详解】根据题意可知，原位大三和弦满足：． ∴；；；；． 原位小三和弦满足：． ∴；；；；． 故个数之和为10． 故选：C． 【点睛】本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题． 5. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可. 【详解】由得或 所以的定义域为 因为在上单调递增 所以在上单调递增 所以 故选：D 【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域. 6. 设，则随机变量的分布列是： 则当在内增大时 A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 先减小后增大 【答案】D 【解析】 【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得，则 ，则当在内增大时，先减小后增大. 方法2：则 故选D. 【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式. 7. 设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解. 【详解】对，令，则， 所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为， 故，则，代入抛物线得. 所以. 故选：C 8. 设函数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【详解】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 10. 已知函数，则（ ） A. 在上有最小值和最大值 B. 当，时，有最大值 C. 当时，有2个解 D. 当时，与有4个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断； ②求出在上的单调性，即可判断； ③求出在的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断； ④求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断. 【详解】设，则，， 令，则，则在上单调递增， 又，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取最小值为， 对于， 因，则函数为偶函数， 对于A，当在内有零点时，即，使得， 易知在，上单调递减，在，上单调递增， 且，，， ，即， 在和处取最小值，在处取最大值. 当在内无零点时，恒有，则， 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最小值，在处取得最大值，故A正确； 对于B：当时，，， 由A可得，在上单调递增， ，， ，使得， 在中，， 此时在上单调递减，在上单调递增， 因，即在处取最大值，故B正确； 对于C：时，中，， 即，使得， 因为偶函数，则在上单调递减，在上单调递增， 在和处取极小值，， 在上单调递减，， ，使得， 在上单调递增，， ，使得， 当时，， ，有3个解，故C错误； 对于D，由C可得，在中，， 此时在，上单调递减，在，上单调递增， 因，则，即直线在点的下方，且在轴上方， 由图知，此时直线与的图象有4个交点，故D正确. 11. 在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ） A. 当时，的周长为定值 B. 当时，三棱锥的体积为定值 C. 当时，有且仅有一个点，使得 D. 当时，有且仅有一个点，使得平面 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标； 对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值； 对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数； 对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数． 【详解】 易知，点在矩形内部（含边界）． 对于A，当时，，即此时线段，周长不是定值，故A错误； 对于B，当时，，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确． 对于C，当时，，取，中点分别为，，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，则，，，所以或．故均满足，故C错误； 对于D，当时，，取，中点为．，所以点轨迹为线段．设，因为，所以，，所以，此时与重合，故D正确． 故选：BD． 【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若是奇函数，则_____，______． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 13. 已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 14. 在平面直角坐标系中，点A，B，C在双曲线上，满足为等腰直角三角形，则面积的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过设点和向量表示等腰直角三角形顶点坐标，结合点在双曲线上的约束条件将面积转化为单变量函数，进而求解最小值. 【详解】法一：不妨设等腰直角的直角顶点为，设，由且，得，故，. ∵ 点在双曲线上，即满足， ∴ 对点： --- (1) 对点：，展开并代入(1)整理得： --- (2) 对点：，展开并代入(1)整理得： --- (3) 将(2)+(3)，得，整理得，即. 将代入(2)， 化简可得. 三角形面积，代入的表达式，得. 令，由(1)得，即，故. 代入面积表达式得. 对求导得：. 令，结合得. ∵ 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ∴ 时，取得最小值，. 法二：∵ 原双曲线方程为，为等轴双曲线，将坐标系顺时针旋转， 变换公式为，代入双曲线方程整理得. 旋转变换为正交变换，保持角度、长度、面积不变，故仅需在新坐标系下求解最小值. 设，则， ∴ 设等腰直角三角形的直角顶点为， ∴另外两个顶点为、. ∵ 均在双曲线上， ∴ ，展开得 ① 同理，展开得 ② 将①+②整理得③. 由①、②相乘，并利用③， 所以由基本不等式得 故 以下取一组满足条件的实数，使得（进而由可确定一个满足条件的，使得）． 考虑的取等条件，有，即． 不妨要求，结合，得 由①知，故由③得，其中，从而有 综上，的面积的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， （1）求C的方程； （2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）18. 【解析】 【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程； (2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值. 【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即. 当y=0时，解得，所以a=4， 椭圆过点M(2，3)，可得， 解得b2=12. 所以C的方程：. (2)设与直线AM平行的直线方程为：， 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值. 联立直线方程与椭圆方程， 可得：， 化简可得：， 所以，即m2=64，解得m=±8， 与AM距离比较远的直线方程：， 直线AM方程为：， 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：， 由两点之间距离公式可得. 所以△AMN的面积的最大值：. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 16. 如图，为平面四边形的四个内角. （1）证明：； （2）若，，，，，求的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简即得解； （2）化简得到.连结，利用余弦定理，可求得，.连结，同理可得，，即得解. 【详解】解：（1） （2）由，得，. 由（1），有 连结，在中，有 在中，有 所以 则 于是. 连结，同理可得 于是 所以. 17. 为检验一批电子元件的寿命，从这批元件中抽取一批元件同时做寿命值试验． （1）若随机抽取了10个元件，得到各个元件寿命数据如下，求这10个元件寿命的均值与方差； 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 （2）记这批元件的总体寿命为X，随机变量X服从均值为的指数分布，且X的概率密度函数为，X取值不超过x的概率为，其中是自然对数的底数．现抽取10个元件，让所有元件同时开始工作，10个单位时间后停止试验，得到失效元件寿命数据为5.3、6.0、6.7．假设每个元件的寿命相互独立． （ⅰ）只考虑未失效的7个元件，记7个元件的寿命均超过10个单位时间的概率为，求； （ⅱ）记，求的极大值点． 【答案】（1）均值为10，方差为0.036 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据均值和方差的公式求解即可； （2）（ⅰ）先根据题意得到单个元件寿命超过10个单位时间的概率，再根据相互独立事件的概率公式求解即可； （ⅱ）先求出，求导，分析函数的单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 这10个元件寿命的均值为， 方差为. 【小问2详解】 由题意，单个元件寿命超过10个单位时间的概率为， 由于每个元件的寿命相互独立， 则. 由题意， ，， 则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点为，即. 18. 如图，四棱柱中，底面．四边形为梯形，，且．过三点的平面记为与的交点为． （1）证明：为的中点； （2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； （3）若，梯形的面积为6，求平面与底面所成二面角大小． 【答案】（1） 四棱柱中，四边形为梯形，， 平面平面， 平面与面和平面的交线平行， ， ， 为的中点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行，证明线线平行，进而得到，进而证明为的中点； （2）连接，四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积为，分别求出和，可得答案； （3）在中，作，垂足为，连接，为平面与底面所成二面角的平面角，然后，计算可得，进而得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，设， 梯形的高为， 四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积为， 设，则， ， ， 棱柱， 四棱柱被平面所分成上､下两部分的体积之比 【小问3详解】 解：在中，作，垂足为，连接， 则平面， ， 为平面与底面所成二面角的平面角， ， ， 梯形的面积为， ， ， ， 平面与底面所成二面角的大小为． 19. 已知数列满足：， 证明：当时， （I）； （II）； （III）. 【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】 【分析】（I）用数学归纳法可证明； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由及，递推可得. 【详解】（Ⅰ）用数学归纳法证明：． 当时，． 假设时，，那么时，若， 则，矛盾，故． 因此，所以，因此． （Ⅱ）由得， ． 记函数， ， 函数在上单调递增，所以， 因此，故． （Ⅲ）因为，所以， 由，得， 所以，故． 综上，． 【名师点睛】本题主要考查利用数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $