精品解析：山东青岛第一中学2026届高三年级一模考试数学试题

山东青岛第一中学2026届高三年级一模考试数学试题 2026.04 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则 （ ） A. B. {1} C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解. 【详解】， 得 2. 在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，再利用向量线性运算求解即得. 【详解】在中，M为BC的中点，，， 所以. 故选：C 3. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 【答案】C 【解析】 【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取 ，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 4. 若在是减函数，则 的最大值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以由得 因此，从而 的最大值为，故选：A. 5. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率. 详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 又，所以． 7. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为 ，P是 上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的定义及相似三角形的性质可得，从而可得正确的选项. 【详解】设准线与 轴的交点为，则， 如图所示，因为，故， 过点作，垂足为M，则轴，所以， 所以 ，由抛物线定义知，， 故选：B． 8. 设函数，若的图象与 图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【详解】令 ,可得． 设 根据题意与直线 只有两个交点， 不妨设，结合图形可知，当时如右图， 与左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点， 根据对称性可得，即，此时， ， 同理可得，当时如左图， ， 故选：B． 【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想，函数与方程思想等，难度较大，不易入手,具有很强的区分度. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量服从正态分布，记函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性逐项判断即可． 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以该正态分布曲线的对称轴为， 由正态分布性质可知，函数是单调递增函数， 则，故AB正确，C错误， 由对称性可知：， 所以， 则，即，故D正确. 10. 已知复数均不为0，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】设复数， 对于A，易知， 所以，可得A正确； 对于B，易知， 由可得，所以，即B正确； 对于C，， 而，所以，即C错误； 对于D，根据C中分析可知，即可得，所以D正确. 11. 已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数 ，则（ ） A. B. 是极小值点 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】结合导数的性质与零点存在性定理得到，，举反例判断A，不断构造函数并结合导数的性质判断B，利用正弦函数性质并结合题意代换判断C，对原函数合理变形得到，结合并利用导数判断D即可. 【详解】由题意得的定义域为，则， 而极值点满足 ，则，结合题意得， 可得方程的根出现在 时，即时， 而，，， 结合零点存在性定理得，， 对于A，由已知得，， 则，不满足，故A错误， 对于B，令 ，且， 令，则， 令，， 当时，，则在上单调递增， 而，，则， 由零点存在性定理得存在作为零点， 即存在作为零点， 令，，令 ，， 则在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，由零点存在性定理得存在作为零点， 令 ，，令 ，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 则是的极小值点，故B正确， 对于C，由已知得，， 则，而， ，而，则，得到， 由正弦函数性质得在上单调递减， 则，得到，故C错误， 对于D，由题意得，， 满足，由已知得，则， 可得， 令，且， 而，当时，， 则在上单调递增，则， 即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为_____________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据平均数和方差的定义建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，，所以， 由，得， 所以. 故答案为：5 13. 过点作圆 的两条切线，切点分别为 ，则= . 【答案】 【解析】 【详解】如图，连接，在直角三角形中，所以，，，故. 　　 考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积. 14. 在正三棱锥 中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，结合正三棱锥可得 在底面 内的投影为底面的中心 ，且，做辅助线结合长方体的性质可得，即可知点的轨迹是以点 为圆心，半径的圆的一部分即可求解. 【详解】由题意可知：， 则， 可知， 因为三棱锥 为正三棱锥，则点 在底面 内的投影为底面的中心 ， 取的中点，则，， 设点在平面 、平面 和平面 内的投影分别为、和， 根据正三棱锥的结构特征，可以以为邻边作长方体， 则 平面，平面，则，即， 同理可知：， 由长方体的性质可知：， 可得，即， 又因为 平面 ，平面， 则 ，可得， 可知点在以点 为圆心，半径的圆上， 因为，可知与圆 相交， 设圆 与交于两点，则， 可知为等边三角形，则， 结合对称性可知点运动路径的长度为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在如图所示的几何体中，四边形 是等腰梯形， ∥， 平面 . （Ⅰ）求证：平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值. 【答案】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB= 60°， ， 由余弦定理可知， ，即 ， 在 中， ， ， 则 是直角三角形，且 ， 又 ，且 ， 故BD⊥平面AED． （Ⅱ） 【解析】 【分析】（1）要证明直线和平面垂直，只需证明直线和平面内的两条相交直线垂直．由已知得 ，故只需证明，在 中，由余弦定理得 的关系，即的关系确定，在 中，结合已知条件 可判定 是直角三角形，且，从而可证明BD⊥平面AED；（2）求二面角 ，可先找后求，过作 ，由已知FC⊥平面ABCD，得面 ，故 ， ，故 为二面角F—BD—C的平面角，在 中计算 ． 【详解】（1）略 （2）过作 ，交 于点 . 因为FC⊥平面ABCD，面 ，所以 ，所以 面 ，因此 ， ， 故 为二面角F—BD—C的平面角. 在 中， ， 可得 因此. 即二面角F—BD—C的余弦值为. 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、二面角. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当 时，证明：当时，恒成立． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【小问1详解】 定义域为， 当 时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当 时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 ，且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在 上递增，则， 即在 上递增， 故，即在 上单调递增， 故，问题得证 17. 如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. （I）求直线AP斜率的取值范围； （II）求的最大值 【答案】（I）（-1，1）；（II）. 【解析】 【详解】（Ⅰ）设直线AP的斜率为k， ， 因为，所以直线AP斜率的取值范围是． （Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程 解得点Q的横坐标是． 因为|PA|==， |PQ|= ， 所以． 令， 因为， 所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减， 因此当k=时，取得最大值． 【点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达与的长度，通过函数求解的最大值． 18. 已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1）； （2）证明：∵ ∴ 由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又， 则有，即． 【解析】 【详解】（1）设直线：，联立得： ，则，∴（舍去） ，即，∴ （2）略 19. 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 位学生，每次活动均需该系 位学生参加（ 和 都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系 位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 （1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （2）求使取得最大值的整数. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由于A和B是相互独立，，没有收到信息的概率正好是，所以最后的结果就能求出； （2）要从 和两个角度考虑. 【小问1详解】 设事件A：“学生甲收到李老师所发信息”，事件B：“学生甲收到张老师所发信息”，由题意A和B是相互独立的事件，则与 相互独立， 而 所以， 因此，学生甲收到活动通知信息的概率为. 【小问2详解】 当 时，只能取 ，有 当，整数满足，其中 是和中的较小者.“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给位同学”所包含的基本事件总数为. 当时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为，仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数为，则由乘法计数原理知：事件所含基本事件数为 此时 当， 化简解得 假如成立， 则当能被整除时， ，故在和处达到最大值； 则当不能被整除时，在处达最大值.（注：表示不超过 的最大整数）. 下证： 因为，所以， ，故，显然. 因此. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是用高斯取整函数证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东青岛第一中学2026届高三年级一模考试数学试题 2026.04 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则 （ ） A. B. {1} C. D. 2. 在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设，，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 4. 若在是减函数，则的最大值是 A. B. C. D. 5. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知抛物线C：的焦点为F，准线为 ，P是 上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若的图象与 图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量服从正态分布，记函数，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数均不为0，则下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ ） A. B. 是极小值点 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知样本，，的平均数为2，方差为1，则，，的平均数为_____________． 13. 过点作圆 的两条切线，切点分别为，则= . 14. 在正三棱锥 中，，点在内部运动（包括边界），点到棱的距离分别记为，且，则点运动路径的长度为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形， ∥， 平面 . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的余弦值. 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）当 时，证明：当时，恒成立． 17. 如图，已知抛物线.点A，抛物线上的点P（x,y）,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. （I）求直线AP斜率的取值范围； （II）求的最大值 18. 已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 19. 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有 位学生，每次活动均需该系位学生参加（ 和都是固定的正整数）.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系位学生，且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为 （1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （2）求使取得最大值的整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $