2027年广东省普通高中学业水平考试数学复习讲义10.立体几何

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何核心考点，涵盖空间几何体表面积体积、空间点线面位置关系、平行垂直判定性质及空间角等内容，按“几何体度量-位置关系-空间角”逻辑架构知识点，通过真题再现、考点系统梳理、分层对点训练，帮助学生构建知识网络，突破重点难点。 资料以真题为导向，将公式定理与图形、符号语言结合，培养学生空间观念与推理能力，如线面平行证明中利用中点构造中位线，圆台侧面积计算中由底面积求半径再用公式。分层训练从基础到综合，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2027年广东省普通高中学业水平考试数学 复习讲义10.立体几何 1、 真题再现 （2026.11） 已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 （2026.18）已知圆台上底面积为，下底面积为，高为1，则圆台的侧面积为______． （2026.22） 在直三棱柱中，，，，，、、分别为、、的中点，是上任意一点． （1）求证：平面．（2）求三棱锥的体积 二、知识点整理 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl S圆台侧=π(r1+r2)l 2.柱、锥、台、球的表面积和体积 　　　名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体 S表=S侧+2S底 V=Sh 锥体 S表=S侧+S底 V=Sh 台体 S表=S侧+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S表=4πR2 V=πR3 3.长方体与球 外接球：外接球直径2R=体对角线长(a，b，c分别为长方体的长、宽、高). 4.异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围：. 5.线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 ⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 ⇒a∥b 6.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 ⇒β∥α 性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 ⇒a∥b 7.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 8.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°. (2)范围：. 9.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)二面角的平面角：如图，在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π]. 10.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 三、对点训练 一　表面积、体积 1.底面半径为1，母线长为2的圆锥，则圆锥的侧面积是______,体积是_____ 2.圆台上下底面的半径分别为1和2，母线为2，则该圆台的表面积为_______；该圆台的体积为________. 3.将一个球状气球的半径扩大一倍,则它的表面积扩大到原来的 倍，体积扩大到原来的 倍. 4.边长为的正方体的外接球的体积为_________ 5.长方体中，,，则长方体的外接球表面积为______ 6.边长为2的正方体的内切球的表面积是_________ 二　线线、线面、面面关系 7. 下列推断中，不正确的是(　　) A.若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l B.若α∩β=l，a⊂α，b⊂β，a∩b=A，则A∈l C.若α∥β，m⊂α，则m∥β D.若m∥n，m∥α，则n∥α 8.已知直线平面，下列说法正确的是（    ） A．若直线，则平面 B．若直线，则平面 C．若平面，则 D．若平面，则平面 三 证明平行、垂直，求空间角，求点到面的距离 9. 如图，在多面体ABCDEF中，AD∥BC，AB⊥AD，FA⊥平面ABCD，FA∥DE， 且AB＝AD＝AF＝2BC＝2DE＝2. (1)若M，N分别是线段EF，AD的中点，求证：MN∥平面ABF； (2)求多面体ABCDEF的体积． 10.如图，在三棱锥P­ABC中，PD⊥AB，PD⊥AC，AB＝6，AC＝3，BC＝， 且AD＝2DB. (1)求证：平面ABC⊥平面PAB； (2)若∠PAB＝，求三棱锥B­APC的体积． 11.如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)判断直线PB与平面AEC的位置关系，并给出理由； (2)设PD＝2，CD＝1，求异面直线AB与CE所成的角； (3)设AP＝1，AD＝，三棱锥P­ACD的体积V＝，求A到平面PBC的距离． 12. 如图，在四棱锥中，，且． (1)证明：面； (2)若，，求与平面所成的线面角的正弦值． 13.如图，在正四棱锥中，底面正方形的中心为，. (1)证明：平面; (2)求二面角的大小的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年广东省普通高中学业水平考试数学 复习讲义10.立体几何解析 真题答案 （2026.11） 已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解：非充分性：不能推出， 必要性：， 则“”是“”的必要不充分条件.选B （2026.18）已知圆台上底面积为，下底面积为，高为1，则圆台的侧面积为______． 【答案】 解：设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为. 因为圆台上底面积为，则，下底面积为，则， 高为1，则，则圆台的侧面积为． （2026.22） 在直三棱柱中，，，，，、、分别为、、的中点，是上任意一点． （1）求证：平面．（2）求三棱锥的体积 证明：(1)、分别为、的中点，． ∵在直三棱柱中，，． 平面，平面，平面． 解：(2)，，， 、平面，平面，平面． ，平面，平面． ，，，，． ， ． 平面，．． 故三棱锥的体积是 对点训练答案 一　表面积、体积 1.底面半径为1，母线长为2的圆锥，则圆锥的侧面积是______,体积是_____ 【答案】. 【详解】由题可知圆锥的侧面积是， 圆锥的高h＝，所以圆锥的体积V＝×π×12×. 2.圆台上下底面的半径分别为1和2，母线为2，则该圆台的表面积为_______；该圆台的体积为________. 【答案】11π；π 【详解】圆台的高h==. 圆台的表面积S=π×12+π×22+π(1+2)×2=11π， 圆台的体积V=π(12+1×2+22)×=π， 3.将一个球状气球的半径扩大一倍,则它的表面积扩大到原来的 倍，体积扩大到原来的 倍. 【答案】4,8 【详解】由球的体积公式，可得半径扩大一倍，即半径是时，表面变为原来的4倍,体积变为原来的8倍 4.边长为的正方体的外接球的体积为_________ 【答案】 【详解】 5.长方体中，,，则长方体的外接球表面积为______ 【答案】 【详解】 ,所以 所以长方体的外接球表面积为 6.边长为2的正方体的内切球的表面积是_________ 【答案】 【详解】长为2的正方体的内切球的直径为2，所以内切球的半径为1， 所以内切球的表面积为 二　线线、线面、面面关系 7. 下列推断中，不正确的是(　　) A.若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l B.若α∩β=l，a⊂α，b⊂β，a∩b=A，则A∈l C.若α∥β，m⊂α，则m∥β D.若m∥n，m∥α，则n∥α 【答案】D 【详解】　对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β=l，由基本事实3可知M∈l，A对； 对于B，若a⊂α，b⊂β，a∩b=A，则A∈α，A∈β，因为α∩β=l，所以A∈l，B对； 对于C，若α∥β，m⊂α，m与β没有公共点，则m∥β，C对; 对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，D错. 8.已知直线平面，下列说法正确的是（    ） A．若直线，则平面 B．若直线，则平面 C．若平面，则 D．若平面，则平面 【答案】C 【详解】A：若直线平面，且直线，则或 ，或与相交，故A错误； B：若直线平面，且直线，则或，故B错误； C：若直线平面，且平面，则必有，故C正确； D：若直线平面，且平面，则或与相交，故D错误， 三 证明平行、垂直，求空间角，求点到面的距离 9. 如图，在多面体ABCDEF中，AD∥BC，AB⊥AD，FA⊥平面ABCD，FA∥DE， 且AB＝AD＝AF＝2BC＝2DE＝2. (1)若M，N分别是线段EF，AD的中点，求证：MN∥平面ABF； (2)求多面体ABCDEF的体积． 【小问1详解】 因为M、N为线段EF、AD的中点，FA∥DE， 所以MN∥FA，又, 所以MN∥平面ABF， 【小问2详解】 AB＝AD＝AF＝2BC＝2DE＝2.所以CN=2, BC＝DE＝1 因为FA⊥平面ABCD,所以FA是三棱锥F­ABC的高，且FA⊥CN, 因为AB⊥AD，所以四边形ABCN是矩形，所以CN⊥AD， 又, 所以CN⊥平面ADEF，所以CN是四棱锥C­ADEF的高 所以多面体ABCDEF的体积是． 10.如图，在三棱锥P­ABC中，PD⊥AB，PD⊥AC，AB＝6，AC＝3，BC＝， 且AD＝2DB. (1)求证：平面ABC⊥平面PAB； (2)若∠PAB＝，求三棱锥B­APC的体积． 【小问1详解】 证明：因为PD⊥AB，PD⊥AC， , 所以PD⊥平面ABC,又，所以平面PAB⊥平面ABC 【小问2详解】 解：因为AB＝6，AD＝2DB. 所以AD＝4，,DB＝2 因为∠PAB＝，PD⊥AB，所以PD=AD=4 因为AB＝6，BC＝，AC＝3，所以, 所以BC⊥AC 又PD⊥平面ABC，所以PD是三棱锥P­ABC的高 所以 若∠PAB＝，三棱锥B­APC的体积是 11.如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点． (1)判断直线PB与平面AEC的位置关系，并给出理由； (2)设PD＝2，CD＝1，求异面直线AB与CE所成的角； (3)设AP＝1，AD＝，三棱锥P­ACD的体积V＝，求A到平面PBC的距离． 【小问1详解】PB∥平面AEC． 证明：如图，设BD与AC的交点为O，连接EO， 因为四边形ABCD为矩形，所以点O为BD的中点， 又点E为PD的中点，所以EO∥PB， 因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC． 【小问2详解】 解：因为AB∥CD,所以异面直线AB与CE所成的角是或其补角， 因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD, 又CD⊥AD,, 所以CD⊥平面PAD, 因为 PD⊂平面PAD,所以CD⊥PD, 在直角中，ED＝,所以ED＝CD＝1,所以, 所以异面直线AB与CE所成的角是. 【小问3详解】 解：作AH⊥PB于点H． PA⊥平面ABCD, 又ABCD为矩形，, AP＝1，AD＝, 由，可得CD＝,所以AB＝ 由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC， 即AH的长就是点A到平面PBC的距离．因为 ， 所以 ,所以点A到平面PBC的距离是. 12. 如图，在四棱锥中，，且． (1)证明：面； (2)若，，求与平面所成的线面角的正弦值． 【小问1详解】 证明：因为在四棱锥中，， 所以，， 又，所以， 因为，平面，所以平面， 因为,所以平面 【小问2详解】 解：取中点，连结， 因为，所以，由（1）知平面，平面，所以， 因为， 底面， 所以底面，                                        因为，，所以，, 所以， 因为底面，    所以为与平面所成的角， 在中，， 所以．所以与平面所成的线面角的正弦值是 13.如图，在正四棱锥中，底面正方形的中心为，. (1)证明：平面; (2)求二面角的大小的余弦值. 【小问1详解】 证明：在正四棱锥中，底面正方形的中心为， 由正四棱锥结构特征知：平面，因为，所以 ， 底面正方形中，，又因为,，所以平面; 【小问2详解】 解：取的中点为，连接，设正方形的边长为， 因为，所以是等边三角形，所以 在正方形中，；在等边中，， 为二面角的平面角， 平面，平面，； 在中，，，， ， 二面角的大小的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $