2027年广东省普通高中学业水平考试数学复习讲义6.函数

该高中数学高考复习讲义聚焦函数专题，覆盖函数概念、单调性、奇偶性、指数对数函数、零点等核心考点，按“概念-性质-应用”逻辑梳理知识体系。通过真题再现、知识点系统整理、分层对点训练的教学流程，帮助学生构建函数知识网络，突破定义域求解、单调性证明等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以“数学思维”培养为核心，真题讲解注重解题逻辑分析，如2026年奇偶性题通过定义域判断与解析式验证强化推理能力。对点训练分定义域、运算、单调性等模块，设置基础到综合题，配合详细解析，助力学生高效掌握解题方法。为教师提供清晰复习框架，帮助把控节奏，提升学生函数专题应考能力。

2027年广东省普通高中学业水平考试数学 复习讲义6.函数 1、 真题再现 （2026.3）函数，的最小正周期为（ ） A. B. C. D. （2026.5）下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. （2026.12）已知函数，若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. （2026.13） 计算：______． （2026.19）已知函数 （1）求函数的定义域；（2）判断并证明函数单调性． 真题答案 （2026.3）函数，的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 解：函数，的最小正周期为：. 选C （2026.5）下列函数为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 解：A：，定义域关于原点对称，且有，故为奇函数； B：，定义域关于原点对称，且有，故为偶函数； C：，定义域关于原点对称，但是，，故非奇非偶函数； D选项，，定义域，不关于原点对称故为非奇非偶函数． 选A （2026.12）已知函数，若函数在上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 解：因为函数在上单调递增，所以， 解得．选B （2026.13） 计算：______． 【答案】5 解： . （2026.19）已知函数 （1）求函数的定义域；（2）判断并证明函数单调性． 解：(1)由，所以，解得，所以函数定义域为. (2)在上单调递增，证明如下： 的定义域为，∴任取， 则 ， ，，又有， ，即， 是上的单调递增. 二、知识点整理 1.函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域. 3.函数的单调性 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减， 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 4.函数的最值 前提 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M (1)∀x∈D，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈D，使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 5.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 6.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，+∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，+∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，+∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y=xα为奇函数；当α为偶数时，y=xα为偶函数. 7.根式 (1)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (3)()n=a. 当n为奇数时，=a，当n为偶数时，=|a|= 8.分数指数幂 正数的正分数指数幂：=(a>0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂：==(a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 9.指数幂的运算性质 aras=ar+s；(ar)s=ars；(ab)r=arbr(a>0，b>0，r，s∈R). 10.对数的概念 一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.  以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.  11.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1=0，logaa=1，=N(a>0，且a≠1，N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)=logaM+logaN； ②loga=logaM-logaN； ③logaMn=nlogaM(n∈R). (3)对数换底公式：logab=(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1). 12.指数函数的图象及其性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，+∞) 性质 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 增函数 减函数 13.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，+∞) 值域 R 性 质 过定点(1，0)，即x=1时，y=0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 增函数 减函数 指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称. 14.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. 15.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 三、对点训练 一　求定义域 1函数的定义域是 （ ） A． B． C． D． 2. 函数的定义域为 （    ） A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 3.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4.已知f(x+1)=2x，且f(m)=4，则m=　　　　.  二　指数、对数、幂函数运算 5. 计算：______． 6.已知函数，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 7.已知幂函数的图象过点，则=__________. 三　单调性、奇偶性 8.下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 9.下列函数图象中，为奇函数且单调递增的是（  ） A． B． C． D． 10 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 11..已知函数为奇函数，且当时， ，则=( ) A．2 B．1 C．0 D．－2 12.已知函数是偶函数，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 13. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性 （3） 判断并证明函数在单调性． 14.已知函数是偶函数，而且在上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断. 四　分段函数 15.设函数 ，则使得的自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16.已知函数，若方程有2个不同的实根，则a的取值范围是(　　) A．[－1,0)　　　B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 17.知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论不正确的是(　　) A.f(f(1))=1 B.若f(x)=3，则x的值是 C.f(x)<1的解集为 D.f(x)的值域为 18.已知函数,设，则 19（2024.20）某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电量不超过的部分按0.6元收费，超过的部分，按1.2元收费.设某用户的用电量为，对应电费为元. (1)请写出关于的函数解析式； (2)某居民本月的用电量为，求此用户本月应缴纳的电费. 五　函数的零点、二分法 20.函数的零点是________ 21.在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 22.已知函数，求证：方程在内至少有两个实数解. 六　函数的图像应用 23. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 24. 某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去，则： （1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式； （2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析. 25.研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数f(x)=(x12)2+84图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y=log0.8(x+a)+80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”. (1)求函数y=f(x)的解析式； (2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：log0.814.6≈12，精确到1分钟) 对点训练答案 一　求定义域 1函数的定义域是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由二次根式的定义可知：，所以该函数的定义域为，故答案为B 2. 函数的定义域为 （    ） A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】B 【详解】，所以，故选：B. 3.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得且，所以函数的定义域为， 故选：B. 4.已知f(x+1)=2x，且f(m)=4，则m=　　　　.  【答案】 【详解】由题意知f(x+1)=2x，令x=2，得f(2+1)=4，即f(3)=4,又f(m)=4，∴m=3. 二　指数、对数、幂函数运算 5. 计算：______． 【答案】1 【详解】.故答案为：1. 6.已知函数，则（  ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【详解】.故选：C. 7.已知幂函数的图象过点，则=__________. 【答案】3 【详解】由幂函数定义知，，又过，所以，，故答案为：3 三　单调性、奇偶性 8.下列函数中，在区间上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 9.下列函数图象中，为奇函数且单调递增的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：奇函数且单调递减，故A错误；对于B：非奇非偶函数，故B错误； 对于C：偶函数，故C错误；对于D：奇函数且单调递增，故D正确；故选：D. 10 下列函数为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】A：，定义域关于原点对称，且有，故为奇函数； B：，定义域关于原点对称，且有，故为奇函数； C：，定义域，不关于原点对称，故为非奇非偶函数； D：，定义域关于原点对称，且有，故为偶函数； 故选：D 11..已知函数为奇函数，且当时， ，则=( ) A．2 B．1 C．0 D．－2 【答案】D 【详解】函数为奇函数，所以，故选：D. 12.已知函数是偶函数，且，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【详解】为偶函数，所以 ，， 13. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性 （4） 判断并证明函数在单调性． 【小问1详解】 由，所以，所以函数的定义域为. 【小问2详解】 在上是奇函数，证明如下： 因为的定义域为.因为，都有，且 ，所以函数是奇函数. 【小问3详解】 在上单调递增，证明如下： ，任取，则 ，，，， ，即， 是上的单调递增. 14.已知函数是偶函数，而且在上单调递减，判断在上单调递增还是单调递减，并证明你的判断. 【详解】在上单调递增，证明如下： 任取，则. 在上单调递减，. 是偶函数，. ，故在上单调递增. 四　分段函数 15.设函数 ，则使得的自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由, 得， 即，解得， 即，故选：A. 16.已知函数，若方程有2个不同的实根，则a的取值范围是(　　) A．[－1,0)　　　B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 【答案】C 【详解】方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示， 由图可知，，解得， 故选：C. 17.知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论不正确的是(　　) A.f(f(1))=1 B.若f(x)=3，则x的值是 C.f(x)<1的解集为 D.f(x)的值域为 【答案】C 【详解】对于A，∵f(x)=则f(1)=1+2=1，∴f(f(1))=f(1)=12=1，故A正确； 对于B，当x≤1时，由f(x)=x+2=3，解得x=1(舍去)；当1<x<2时，由f(x)=x2=3，解得x=(舍去)或x=， ∴f(x)=3的解为x=，故B正确； 对于C，当x≤1时，由f(x)=x+2<1，解得x<1；当1<x<2时，由f(x)=x2<1，解得1<x<1， ∴f(x)<1的解集为∪，故C错误； 对于D，当x≤1时，f(x)=x+2≤1+2=1；当1<x<2时，f(x)=x2∈， ∴f(x)的值域为，故D正确. 18.已知函数,设，则 【答案】 【详解】，,则 19（2024.20）某城市为了鼓励居民节约用电采用阶梯电价的收费方式，即每户用电量不超过的部分按0.6元收费，超过的部分，按1.2元收费.设某用户的用电量为，对应电费为元. (1)请写出关于的函数解析式； (2)某居民本月的用电量为，求此用户本月应缴纳的电费. 【详解】（1）由题意得，当时，， 当时，， 综上所述，； （2）当用电为时，由（1）知， 所以元， 所以此用户本月应交156元. 五　函数的零点、二分法 20.函数的零点是________ 【答案】1 【详解】 21.在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第三次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是； 第三次所取的区间可能是. 22.已知函数，求证：方程在内至少有两个实数解. 【详解】由得： 令 则，， ， 在内至少有一个零点，在内至少有一个零点 在内至少有两个零点，即方程在内至少有两个实数解 六　函数的图像应用 23. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由得，， 由得，由得. 在同一平面直角坐标系中画出、、的图象， 由图象知，，. 24. 某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2500元，每件产品的售价为3500元.若该公司所生产的产品全部销售出去，则： （1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式； （2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析. 【小问1详解】由题意，得，，， . 【小问2详解】画出的图象如图. 由图象可知，当时，该公司亏损； 当时，公司不赔不赚；当时，公司赢利. 25.研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0，16]时，曲线是二次函数f(x)=(x12)2+84图象的一部分；当x∈[16，40]时，曲线是函数y=log0.8(x+a)+80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”. (1)求函数y=f(x)的解析式； (2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：log0.814.6≈12，精确到1分钟) 【小问1详解】 当x∈[0，16]时，f(x)=(x12)2+84 当x∈[16，40]时，f(x)=log0.8(x+a)+80，由f(16)=log0.8(16+a)+80=80，得log0.8(16+a)=0， 所以16+a=1，得a=15，所以f(x)=log0.8(x15)+80， 综上，f(x)= 【小问2详解】 当x∈[0，16]时， 令f(x)=(x12)2+84≤68， 即(x12)2≥64，解得x≤4或x≥20(舍去)，所以x∈[0，4]； 当x∈[16，40]时，令f(x)=log0.8(x15)+80≤68，得log0.8(x15)≤12≈log0.814.6 所以x15≥14.6，所以x≥29.6， 因为精确到1分钟，所以x∈[30，40]， 所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4-0+40-30=14(分钟). 学科网（北京）股份有限公司 $