第六讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦用空间向量研究线面位置关系，涵盖向量表示点、直线、平面及平行垂直判定等核心知识。通过衔接空间向量基础，以位置向量、方向向量、法向量为支架，构建代数与几何的转化桥梁，帮助学生梳理前后知识脉络。 资料亮点在于题型分层系统，从基础概念辨析到综合载体应用，结合易错点解析，引导学生用数学眼光抽象空间形式，用数学思维推理位置关系，提升逻辑严谨性与空间观念，便于自主学习与教师教学评估。

第六讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 【学习目标】 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系. 2.能用向量方法证明直线、平面平行与垂直的判定定理. 3.能归纳出用向量方法解决平行与垂直问题的一般思路. 【学习重点】用空间向量表示空间直线、平面的平行与垂直关系. 【学习难点】建立空间基本图形与向量间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题. 必掌握知识点 一：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 二：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 三：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 四：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 必考题型全归纳： 题型一：直线的方向向量 1.定义：与一条直线平行的非零向量叫做这条直线的方向向量；一条直线有无数个方向向量，它们互相共线。 2.获取方法：若直线过两点，则就是直线的一个方向向量。 3.性质： ①若是方向向量，则也为该直线方向向量；零向量不能作为方向向量。 ②两条直线平行它们的方向向量互相平行（共线）。 ③两条直线垂直它们的方向向量数量积等于。 4.易错：方向向量只描述直线朝向，不代表直线位置；方向向量共线，直线可以平行也可以重合。 1．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 2．已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 4．若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型二：平面的法向量、平面点法式方程 1.定义：垂直于平面的非零向量称为平面的法向量；一个平面有无穷多法向量，全部互相共线；零向量不能作为法向量。 2.平面点法式方程：若平面过点，法向量，则平面内任意点满足： 。 3.求平面法向量步骤： ①取平面内两个不共线向量； ②设法向量，列方程组； ③给其中一个分量赋非零值，解出一组解，即为一个法向量。 4.两个平面平行两平面法向量互相平行；两个平面垂直两平面法向量数量积为。 5．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 6．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 7．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 题型三：方向向量、法向量判定线面位置关系（平行、垂直） 设直线方向向量，平面法向量 1.直线与平面平行：（注意：直线不在平面内）； 若，直线有可能在平面内，做题要排除这种情况。 2.直线与平面垂直：，方向向量与平面法向量共线。 3.两直线平行：。 4.两直线垂直：。 5.两平面平行：。 6.两平面垂直：。 7.逻辑判断易错： 直线垂直平面内两条直线，不能推出线面垂直，要求这两条直线必须相交； 只能说明直线与平面平行或者直线在平面内。 9．平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知为空间中两条直线，为平面，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 11．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 12．已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 题型四：充分、必要条件逻辑判断题（向量与位置关系） 1.充分条件：条件成立就可以推出结论；必要条件：结论成立才可以推出条件。 2.高频模型： ①“点在直线上”向量等式成立；但是向量等式成立，点不一定在直线上。 ②，不能直接推出直线平行平面，直线可能落在平面内。 3.做题技巧：举反例，找到条件成立但结论不成立的例子，即可否定充分性。 13．已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 14．在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型五：空间向量概念辨析多选题（方向向量、法向量、夹角、共面） 易错点： 1.零向量既不能做直线方向向量，也不能做平面法向量。 2.，夹角不一定是锐角，两向量同向共线时数量积大于 0，夹角为； ，夹角不一定是钝角，两向量反向共线夹角为。 3.四点共面判定：，必须满足。 4.若是平面法向量，则也是平面法向量；得到零向量，失效。 15．设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 16．在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 17（多选）．下列说法正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若A，B，C三点不共线，平面外任一点，有，则M，A，B，C四点共面 D．若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量 18（多选）．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 C．若空间向量、、为非零向量，且，，则 D．若，则可知 题型六：正方体、长方体、多面体载体综合小题（动点、轨迹、体积定值） 1.解题通用思路：建立空间直角坐标系，把点、动点设参数坐标。 2.常见考点： ①动点轨迹：满足向量等式，判断轨迹是线段、圆弧；求轨迹长度。 ②体积定值判断：看点到平面距离是否不变，底面积是否不变。 ③截面问题：过定点作几何体截面，判断截面形状，判断是否为菱形、平行四边形，体积分割。 ④外接球：设球心坐标，利用到各顶点距离相等，求半径范围、最小半径。 ⑤线面位置：判断线线垂直、线面平行，存在性问题 “是否存在点满足条件”。 19（多选）．已知正方体的棱长为1，点满足，，，是棱的中点．以下说法正确的有（     ） A． B．若平面，则 C．若，则的最大值是 D．若当为定值（）时，点的轨迹长度为，则 20（多选）．如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（     ）    A．存在满足条件的点M，使 B．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 C．三棱锥的体积为定值 D．当点Q在线段上移动时，必存在点M，使 21（多选）．如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（    ） A． B．平面 C． D． 题型七：填空题（向量共线垂直、方向向量、法向量综合） 1.向量共线：存在，各分量成比例，列方程求参数。 2.向量垂直：，坐标相乘相加等于 0 求参数。 3.异面直线夹角：异面直线夹角范围，，要取绝对值。 4.直线与平面平行，则直线方向向量与平面法向量垂直。 22．如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，为直线上一动点，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B．直线与直线一定是异面直线 C．若，则点的轨迹长度为 D．三棱锥的体积是定值 23（多选）．已知半径为2的球内部有一定点，且是球面上三个不同的点，且，下面说法正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积最大值为 C．若，则点一定在球外部 D． 24（多选）．如图，在长方体中，，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．对任意点，四边形是平行四边形 B．对任意点， C．存在点，使截面为菱形 D．存在点，使是直角三角形 题型八：解答大题（求法向量、证明线面平行垂直、二面角 / 面面角） 1.证明线面平行：证明直线方向向量与平面法向量垂直，同时直线不在平面内；或证明直线方向向量可以用平面内两个向量线性表示。 2.证明线面垂直：证明直线方向向量与平面内两条相交向量都垂直。 3.求平面法向量：取平面两个不共线向量，建立方程组求解，取一组非零解。 4.求两个平面夹角：求出两个平面法向量，计算法向量夹角，面面角取，再求正弦 / 余弦。 25．在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； 26．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 巩固提升： 1．已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 2．已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 3．已知向量，，若，则（   ） A．6 B．8 C．2 D． 4．已知，，若，则（   ） A．2 B． C． D． 5．已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 6．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 7．在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 8．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 9．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 10．空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（     ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六讲 用空间向量研究直线、平面的位置关系 【学习目标】 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系. 2.能用向量方法证明直线、平面平行与垂直的判定定理. 3.能归纳出用向量方法解决平行与垂直问题的一般思路. 【学习重点】用空间向量表示空间直线、平面的平行与垂直关系. 【学习难点】建立空间基本图形与向量间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题. 必掌握知识点 一：用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 二：平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. （3）共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作． （4）共线向量定理 对空间中任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使． （5）直线的方向向量 如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线．对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使①，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式①可化为② ①和②都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，，此式叫做线段的中点公式． （6）共面向量 如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量． （7）共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使． 推论：①空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式． ②已知空间任意一点和不共线的三点，，，满足向量关系式（其中）的点与点，，共面；反之也成立． 三：空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 四：空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 必考题型全归纳： 题型一：直线的方向向量 1.定义：与一条直线平行的非零向量叫做这条直线的方向向量；一条直线有无数个方向向量，它们互相共线。 2.获取方法：若直线过两点，则就是直线的一个方向向量。 3.性质： ①若是方向向量，则也为该直线方向向量；零向量不能作为方向向量。 ②两条直线平行它们的方向向量互相平行（共线）。 ③两条直线垂直它们的方向向量数量积等于。 4.易错：方向向量只描述直线朝向，不代表直线位置；方向向量共线，直线可以平行也可以重合。 1．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 2．已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 3．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 4．若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【详解】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A 题型二：平面的法向量、平面点法式方程 1.定义：垂直于平面的非零向量称为平面的法向量；一个平面有无穷多法向量，全部互相共线；零向量不能作为法向量。 2.平面点法式方程：若平面过点，法向量，则平面内任意点满足： 。 3.求平面法向量步骤： ①取平面内两个不共线向量； ②设法向量，列方程组； ③给其中一个分量赋非零值，解出一组解，即为一个法向量。 4.两个平面平行两平面法向量互相平行；两个平面垂直两平面法向量数量积为。 5．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意可得出所求平面的点法式方程，化简即可. 【详解】由题意可知经过点的平面的一个法向量为， 该平面的方程为，即. 6．在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 7．如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，为上的点，为的中点，底面，则以下向量可以作平面的法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平面内的两个不共线向量的坐标，然后根据法向量的定义验证． 【详解】由题意，，，是中点，则， 因此， 对于A选项，，不是法向量，A错； 对于B选项，，是法向量，B正确； 对于C选项，，不是法向量，C错； 对于D选项，，不是法向量，D错； 故选：B． 8．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 题型三：方向向量、法向量判定线面位置关系（平行、垂直） 设直线方向向量，平面法向量 1.直线与平面平行：（注意：直线不在平面内）； 若，直线有可能在平面内，做题要排除这种情况。 2.直线与平面垂直：，方向向量与平面法向量共线。 3.两直线平行：。 4.两直线垂直：。 5.两平面平行：。 6.两平面垂直：。 7.逻辑判断易错： 直线垂直平面内两条直线，不能推出线面垂直，要求这两条直线必须相交； 只能说明直线与平面平行或者直线在平面内。 9．平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】结合线面垂直、平行的性质与方向向量、法向量的关系逐一分析选项. 【详解】选项A：，又，故，则A选项正确； 选项B：，又，故，则B选项正确； 选项C：，又，故，则C选项正确； 选项D：、时，直线与可能为平行、相交或异面关系，因此它们的方向向量与不一定平行，故D选项错误. 故选：D 10．已知为空间中两条直线，为平面，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由线面垂直的判定定理，及充分必要性的定义判断. 【详解】由线面垂直的判定定理可得，直线要垂直于平面内相交的两条直线才能得到， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 11．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面与直线平行得出平面法向量与直线的方向向量互相垂直，建立方程求解参数即可. 【详解】根据题意可得，所以，即. 12．已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 【答案】B 【详解】若，由于是直线的方向向量，这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直。 此时直线可能与平面平行，但也可能在平面内，因此不能推出，故充分性不成立； 若，则直线的方向向量必定与平面的法向量垂直，即一定成立，故必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 题型四：充分、必要条件逻辑判断题（向量与位置关系） 1.充分条件：条件成立就可以推出结论；必要条件：结论成立才可以推出条件。 2.高频模型： ①“点在直线上”向量等式成立；但是向量等式成立，点不一定在直线上。 ②，不能直接推出直线平行平面，直线可能落在平面内。 3.做题技巧：举反例，找到条件成立但结论不成立的例子，即可否定充分性。 13．已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用空间向量法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为空间向量和三个不同的点、、，且， 若点在直线上，则，故存在实数使得. 由题设可得，， 即“点在直线上”“”， 若，不妨假设点不在直线上，则为平面的一个法向量，符合题意， 所以“点在直线上”“”， 故“点在直线上”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 14．在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，利用平面的法向量与直线的方向向量的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量， 若，则，所以，解得，所以充分性不成立； 反之：若，可得，此时， 可得与不垂直，所以与不平行，所以必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件. 题型五：空间向量概念辨析多选题（方向向量、法向量、夹角、共面） 易错点： 1.零向量既不能做直线方向向量，也不能做平面法向量。 2.，夹角不一定是锐角，两向量同向共线时数量积大于 0，夹角为； ，夹角不一定是钝角，两向量反向共线夹角为。 3.四点共面判定：，必须满足。 4.若是平面法向量，则也是平面法向量；得到零向量，失效。 15．设为实数，空间向量，，则以下说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据空间向量共线与垂直的坐标表示，逐一检验即可. 【详解】对于A，当时，，显然不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，，显然不存在实数使得，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，当时，，，故D错误. 16．在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 【答案】B 【分析】根据异面直线的概念判断异面的问题，根据垂直、平行的判断结合空间向量的运算逐一判断平行和垂直问题. 【详解】A：连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故本选项说法不正确； B：连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确； C：以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故本选项不正确； D：因为，， 所以，所以直线与平面内的直线不垂直， 所以直线与平面不垂直，因此本选项说法不正确. 17（多选）．下列说法正确的是（    ） A．在空间直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为 B．若空间向量，满足，则与夹角为锐角 C．若A，B，C三点不共线，平面外任一点，有，则M，A，B，C四点共面 D．若向量是平面的法向量，则也是平面的法向量 【答案】AC 【分析】由对称特征求出点的坐标判断A；举例说明判断BD；利用共面向量定理的推论判断C. 【详解】对于A，点关于轴对称点的坐标为，A正确； 对于B，当时，可能同向共线，此时夹角为，B错误； 对于C，平面外任一点，，由，得四点共面，C正确； 对于D，当时，，它不能作为平面的法向量，D错误. 故选：AC 18（多选）．给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则是钝角 B．若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 C．若空间向量、、为非零向量，且，，则 D．若，则可知 【答案】CD 【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据向量平行的判定定理分析判断；对于D：根据向量的线性运算分析判断. 【详解】A：若，则，夹角可能为，故A错误； B：当时，，不是直线l的方向向量，所以B错误； C：若空间向量，，为非零向量，且， 则存在非零实数，，使得，， 所以，所以，故C正确； D：因为，即， 可得，即，所以D正确； 故选：CD 题型六：正方体、长方体、多面体载体综合小题（动点、轨迹、体积定值） 1.解题通用思路：建立空间直角坐标系，把点、动点设参数坐标。 2.常见考点： ①动点轨迹：满足向量等式，判断轨迹是线段、圆弧；求轨迹长度。 ②体积定值判断：看点到平面距离是否不变，底面积是否不变。 ③截面问题：过定点作几何体截面，判断截面形状，判断是否为菱形、平行四边形，体积分割。 ④外接球：设球心坐标，利用到各顶点距离相等，求半径范围、最小半径。 ⑤线面位置：判断线线垂直、线面平行，存在性问题 “是否存在点满足条件”。 19（多选）．已知正方体的棱长为1，点满足，，，是棱的中点．以下说法正确的有（     ） A． B．若平面，则 C．若，则的最大值是 D．若当为定值（）时，点的轨迹长度为，则 【答案】BC 【分析】对于A，直接根据向量运算求解判断即可；对于B，建立空间直角坐标系，利用坐标法得即可判断；对于C，结合B选项，利用坐标法得，再根据基本不等式求解即可判断；对于D，分和两种情况讨论求解即可判断. 【详解】因为点满足，，， 所以点在四边形内（含边界）， 对于A选项，，故错误； 对于B，如图，建立空间直角坐标系，则，， ， ，，，， 因为，所以，即， 因为平面，所以平面， 因为， 所以，当平面时，，即，整理得，故正确； 对于C选项，因为，， 所以，当时，有，即，整理得， 所以，根据基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以，若，则的最大值是，C选项正确； 对于D选项，由正方体的性质易知平面， 所以，当为定值（）时，为定值， 当时，，点即为点；当时，，点即为点； 当时，的轨迹为：以为圆心，半径的圆弧，位于正方形区域内（含边界）， 当，即时，的轨迹为在正方形内的完整圆周， 故当点的轨迹长度为时，，解得； 当，即时，的轨迹为在正方形内的弧， 此时的长为，令，则， 则，故弧长， 此时结合图形可知弧的长度从逐渐减小到0，故存在使得弧长. 综上，当为定值（）时，点的轨迹长度为，则或，故D选项错误. 20（多选）．如图，正方体的棱长为2，设P是棱的中点，Q是线段上的动点（含端点），M是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（     ）    A．存在满足条件的点M，使 B．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 C．三棱锥的体积为定值 D．当点Q在线段上移动时，必存在点M，使 【答案】ABD 【分析】取的中点E，的中点F，连接，，，，易得，，平面平面，故点M的轨迹为线段．对于A，易得平面，当M为线段中点时，，因为，所以；对于B，设直线与平面所成的角为，由平面知，在中，，即可求解；对于C，由的轨迹为线段，易得，所以与平面不平行，所以点到平面的距离不是定值，故三棱锥的体积不是定值；对于D，建系后写出向量的坐标，令，得的关系式，由的范围即可求出的范围，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点E，的中点F，连接，，，，    易知，， 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面，又，又平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，故点M的轨迹为线段． 对于A，连接，交于点O，如图所示．    则，又，，平面， 所以平面，当M为线段中点时，， 因为，所以，故A正确； 对于B，设直线与平面所成的角为、连接，如图所示．    由平面知，， 在中，由，得，故B正确； 对于C，由的轨迹为线段，在正方体中，可知，所以与平面不平行， 又，点的轨迹为线段,所以点到平面的距离不是定值，故三棱锥的体积不是定值，所以C错误； 对于D，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：    则，， 设（），得，从而， 又，令，得， 当时，显然不合题意； 当时，由，解得， 即当点Q在线段上移动时，均存在点M，使，故D正确； 21（多选）．如图，二面角的大小为，点A在半平面内，点B，均在半平面内，于点C，于点C，于点D，，，则（    ） A． B．平面 C． D． 【答案】ABD 【详解】以为原点，在平面内过作的垂线为轴，直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 由题意得，，，；二面角的平面角为，，故. 对选项A，，与方向一致，又且，由线面平行判定定理得，故A正确. 对选项B，由，，，得平面， 又，故平面，故B正确. 对选项C，，平面的法向量为， 因为与法向量不平行，故不垂直于，C错误. 对选项D，，，即，故D正确. 题型七：填空题（向量共线垂直、方向向量、法向量综合） 1.向量共线：存在，各分量成比例，列方程求参数。 2.向量垂直：，坐标相乘相加等于 0 求参数。 3.异面直线夹角：异面直线夹角范围，，要取绝对值。 4.直线与平面平行，则直线方向向量与平面法向量垂直。 22．如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，为直线上一动点，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B．直线与直线一定是异面直线 C．若，则点的轨迹长度为 D．三棱锥的体积是定值 【答案】D 【分析】若平面，可得，进而可判断A；由题意可得平面平面，进而可判断B；点轨迹为以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，计算可判断C；根据平面，可判断D. 【详解】对于A，若平面，又平面，所以， 又因为、分别为棱，的中点，所以，所以， 因为是等边三角形，所以，与矛盾， 所以不垂直于平面，故A错误； 对于B，连接， 因为、分别为棱，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 由正方体的性质可得，又，所以， 又平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，平面， 故直线与直线是异面直线或，故B错误； 对于C，由知点轨迹为以为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图所示， 由正方体棱长为得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为，故C错误. 对于D，因为平面，又， 所以点到平面的距离为定值，又为定值， 所以为定值，故D正确. 23（多选）．已知半径为2的球内部有一定点，且是球面上三个不同的点，且，下面说法正确的是（    ） A． B．三棱锥的体积最大值为 C．若，则点一定在球外部 D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量模长的坐标公式即可判断AC，由锥体的体积公式即可判断B，由向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】 不妨以为坐标原点，方向分别为建立空间直角坐标系， 因为，设球心，且，可知以为球心，为半径的球面与轴分别交于， 与轴分别交于， 与轴分别交于， 所以或， 又，所以，故A正确； 因为， 当时，， 此时，三棱锥的体积大于，故B错误； 由题意可知， 所以， 即，而，所以D在球外，即C正确； 因为， 所以， 而，，当且仅当时等号成立， 所以，故D正确. 故选：ACD 24（多选）．如图，在长方体中，，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（   ） A．对任意点，四边形是平行四边形 B．对任意点， C．存在点，使截面为菱形 D．存在点，使是直角三角形 【答案】ABC 【详解】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 设，， 则截面与棱的交点， 则且等长； 且等长. 故四边形是平行四边形，A正确； 长方体体积，截面的对角线与交于 长方体中心，即截面过几何中心. 因此截面将长方体平分为两个全等部分，故，B正确； ，令其相等解得， 此时，满足， 四边形是平行四边形且邻边相等， 故截面是菱形，C正确； 三边平方为： ， 若，则，不符合； 若或，解得，不符合. 故无满足条件的点，使是直角三角形，D错误. 题型八：解答大题（求法向量、证明线面平行垂直、二面角 / 面面角） 1.证明线面平行：证明直线方向向量与平面法向量垂直，同时直线不在平面内；或证明直线方向向量可以用平面内两个向量线性表示。 2.证明线面垂直：证明直线方向向量与平面内两条相交向量都垂直。 3.求平面法向量：取平面两个不共线向量，建立方程组求解，取一组非零解。 4.求两个平面夹角：求出两个平面法向量，计算法向量夹角，面面角取，再求正弦 / 余弦。 25．在四棱锥中，，，，，，，分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； 【答案】(1)连接，因为为中点，所以， 又，，所以且，所以四边形为平行四边形， 又，，所以四边形为正方形，所以，， 又因为，，所以，所以， 又因为，分别为线段和的中点，所以，所以， 又，平面，所以平面. (2) 【分析】(1)通过线面垂直判断方法求解. (2)建立空间直角坐标系后通过求解法向量来求面面角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）因为，，所以，所以，由(1)知， 又，平面，所以平面，又，，所以， 所以，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，则， 由（1）知平面，所以平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为， 所以， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 26．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，试建立恰当的空间直角坐标系，求： (1)平面的一个法向量 (2)直线的一个方向向量和平面的一个法向量． 【答案】(1) (2)方向向量，法向量为 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则平面的一个法向量为； （2）直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为， 由，得，令，则. 所以平面的一个法向量为. 巩固提升： 1．已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 因为，所以存在实数，使得， 故，解得，，， 所以. 2．已知空间向量，，若，则实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】由，得，使得， 则， ，解得. 3．已知向量，，若，则（   ） A．6 B．8 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据空间向量共线的充要条件即可求解. 【详解】因为，所以，所以，，所以． 4．已知，，若，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，，解得. 5．已知，且，则的值分别为（    ） A．3，1 B．4， C．3， D．1，1 【答案】C 【详解】已知，，且， 则存在实数使得, 即：，解得：. 6．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 【答案】A 【详解】由，得， 所以或. 7．在空间直角坐标系Oxyz中，，若，则的竖坐标为（    ） A．－9 B．－1 C．1 D．9 【答案】B 【详解】由于，故，故， ， 故的竖坐标为. 8．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 9．设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 【答案】B 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 10．空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（     ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据空间两直线所成角，以及直线方向向量的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性：若两条直线的方向向量​​，说明方向向量夹角为， 因此两直线所成角为，可得，充分性成立， 必要性：若，说明两直线所成角为，即方向向量夹角为， 因此，必要性成立， 因此“​​”是“”的充分必要条件. 1 学科网（北京）股份有限公司 $