1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）（导学案） 数学人教A版 选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦用空间向量研究空间角问题，引导学生推导异面直线所成角、线面角、两平面夹角的向量公式，明确取值范围。通过黄道倾角实例类比平面向量夹角，结合知识点填空与探究问题，搭建从平面向量到空间向量的学习支架。 以核心素养为导向，自主推导培养数学抽象，辨析几何角与向量夹角关系提升直观想象，规范坐标法与基底法步骤强化数学运算。例题覆盖正四面体、直三棱柱等几何体，对比方法优劣，课后检测分层设计，助学生构建空间度量体系，形成“几何→向量”解题思路，便于教学与自主学习。

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时） （导学案） 1. 结合黄道倾角天文实例，类比平面向量夹角，自主推导异面直线所成角、线面角、两平面夹角向量公式，准确说出三类角取值范围，培养数学抽象素养。 1. 清晰辨析异面角取绝对值余弦、线面角用正弦、两平面夹角取绝对值余弦的底层逻辑，厘清几何角与向量夹角相等/互补关系，提升直观想象素养。 1. 熟练运用坐标法、基底法两类方法求解空间角，规范完成建系、求向量、代入运算全流程，强化数学运算素养。 1. 能结合几何体图形判断二面角为锐角或钝角，正确选取余弦正负，规范书写综合大题解题步骤，发展逻辑推理素养。 1. 梳理三类空间角对比表格，区分公式、范围、易错点，构建完整空间度量知识体系。 1. 体会向量法无需辅助线的优势，形成“几何度量→向量运算”固定解题思路。 重点 1. 异面直线所成角直线与平面所成角平面与平面夹角的向量公式； 2. 坐标法求三类空间角完整解题步骤； 3. 平面法向量的规范求解； 4. 向量法解决立体几何的通用“三步曲”。 难点 1. 理解线面角与直线方向向量平面法向量夹角互余的几何关系，区分与； 2. 二面角与两平面夹角的概念区分，根据图形判断二面角余弦正负； 3. 不规则几何体合理建系，简化向量坐标运算； 4. 基底法无坐标系时，用基底表示向量完成夹角计算。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　空间角及向量求法 (1)异面直线所成的角的向量求法 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝＝． 注意：异面直线所成的角的取值范围是． (2)直线与平面所成的角的向量求法 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝＝． 注意：直线与平面所成的角的取值范围是． [想一想]　设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？ 提示：θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－. (3)平面与平面的夹角及其向量求法 ①平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角． ②若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1与n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝． 注意：平面与平面的夹角的取值范围是. 知识点二　用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题． (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． 思考：立体几何中有哪些夹角问题呢？ 学生：回顾必修第二册中学习的立体几何初步，得出答案. 教师：邀请一位同学分享， 分享不全，全班一起补充，并展示标准答案. 预设： 探究1：如何利用两直线的方向向量求两直线所成的角？ 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，异面直线所成的角为 思考1：两方向向量的夹角与有何关系？ 学生：小组讨论，根据异面直线所成角的定义，画一下直线与方向向量的关系. 预设： 结论：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角. 思考2：与有何关系？ 学生：根据以上两角的关系，得出结论 预设： 归纳：两直线的方向向量求两直线所成的角： 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，则 . 例7 如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值． 【分析】求直线和夹角的余弦值，可以转化为求向量与夹角的余弦值．为此需要把向量，用适当的基底表示出来，.为此,选择为基底并表示向量，进而求得向量，夹角的余弦值． 【解析】化为向量问题 如图1.4-19，以作为基底， 则，． 设向量与的夹角为，则直线和夹角的余弦值等于． 在此基础上,将此问题推广到一般,学生思考后作答,教师对学生的回答给予补充.梳理出 教师：将立体几何问题转化为向量问题的途径: 途径1: 通过建立一个基底,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素,从而把立体几何问题转化为向量问题; 途径2: 通过建立空间直角坐标系,用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素,从而把立体几何问题转化为向量问题.实际上,空间直角坐标系也是基底,是“特殊”的基底. 进行向量运算 ． 又和均为等边三角形，所以． 所以， 所以． 回到图形问题 所以直线和夹角的余弦值为． 方法总结：基底法求异面直线所成角的基本步骤： 第一步：设角：将夹角问题转化为向量问题 第二步：基底表示：选基底，用基底表示方向向量 第三步：向量运算：求两个方向向量的数量积和各自的模长 第四步：翻译下结论：将运算结果“翻译”，得出结论 思考：坐标法与基底法求异面直线所成角有何共同特点？ 学生：小组讨论，并尝试得出答案，做好分享准备 预设：都是利用空间向量工具求异面直线所成角，且基本步骤相同： 课后思考：利用坐标法完成例7的解答，并分析坐标法和基底法解该题的优劣性？借助坐标法，还是基底法解题的选择上有什么心得体会？ 探究2：如何利用直线方向向量与平面法向量求直线与平面所成的角？ 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为 思考1：两向量的夹角与有何关系？ 学生：小组讨论，尝试利用数形结合的思想得出答案. 预设：， 思考2：与有何关系？ 学生：根据两角的关系，得出答案 预设：，， 又 归纳：直线方向向量与平面法向量求线面角： 如图，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则 定义：如下图，平面与平面相交，形成 四 个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角. 思考：两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角的大小有何关系？ 学生：观察图形以及二面角和夹角的定义可得出答案：相等 或 互补 探究3：如何利用两平面的法向量求平面与平面的夹角？ 已知平面的法向量为，平面的法向量为，平面与平面的夹角为 思考1：两法向量的夹角与有何关系？ 学生：小组讨论，观察图形，尝试得出答案 预设：， 思考2：与有何关系？ 学生：根据以上两角的关系，结合诱导公式即可得出结论 预设：又 归纳：两平面的法向量求平面与平面的夹角： 已知平面的法向量为，平面的法向量为，平面与平面的夹角为，则 思考：设二面角的平面角为，平面的法向量为，平面的法向量为，则与有何关系？ 当不大于时，为平面与平面的夹角，余弦值大于0 当大于时，为平面与平面的夹角的补角，余弦值小于0 小结：空间夹角的向量求解 范围 图形 公式 异面直线 所成角 直线与平 面所成角 平面与平 面的夹角 例8 如图1.4-22，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，．求平面与平面夹角的余弦值． 【分析】因为平面与平面的夹角可以转化为平面与平面的法向量的夹角，所以只需要求出这两个平面的法向量的夹角即可． 【解析】化为向量问题 以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图1.4-22所示的空间直角坐标系．设平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角． 进行向量运算 因为平面，所以平面的一个法向量为， 根据所建立的空间直角坐标系，可知，，． 所以，． 设，则 所以，所以 取，则 ． 回到图形问题 设平面与平面的夹角为，则． 即平面与平面的夹角的余弦值为． 师生：教师引导学生先分析题意,明确解题思路,再让学生独立解答,教帅根据学生的解答板书补充,其中重点关注法向量的求法.为了保证解题规范,教师展示学生的解答,并适当完善学生板书. 【设计意图】通过例题巩固平面与平面所成的角的求解方法,进一步理解法向量的夹角和两个平面所成角的关系,进一步体会向量方法解决立体几何问题的一般步骤. 方法总结：坐标法求两平面的夹角的基本步骤： 用向量法求两平面夹角的大小,可以避免作出二面角的平面角这一难点,转化为计算两半平面法向量的夹角问题,具体求解步骤如下: (1)设角：将夹角问题转化为向量问题 (2)建系求法向量：分别求两个平面的法向量的坐标 (3)向量运算：以上两个法向量坐标代入公式运算得结果 (4)翻译下结论：将运算结果“翻译”，得出结论 例9 图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 师生：教师引导学生思考下列问题: (1)降落伞匀速下落,下落过程中,8根绳子拉力的合力大小与礼物重力大小有什么关系? (2)每根绳子的拉力和合力有什么关系? (3)如何用向量方法解决这个问题? 师生共同分析,将实际问题转化数学问题,进而解决问题. 【设计意图】让学生体会向量方法在解决实际问题中的作用. 【分析】因为降落伞匀速下落，所以降落伞8根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小．8根绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量与礼物的重力是一对相反向量． 【解析】如图1.4-24， 设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为．因为， 所以在上的投影向量为．所以8根绳子拉力的合力． 又因为降落伞匀速下落，所以． 所以，所以． 例10 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 教师：你能找到解决问题的方法吗? 师生：教师引导学生根据条件确定利用空间直角坐标系解决问题.建立以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系. 【分析】本题涉及的问题包括：直线与平面平行和垂直的判定，计算两个平面的夹角，这些问题都可以利用向量方法解决．由于四棱锥的底面是正方形，而且一条侧棱垂直于底面，可以利用这些条件建立适当的空间直角坐标系，用向量及坐标表示问题中的几何元素，进而解决问题． 【解析】以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图1.4-26所示的空间直角坐标系，设．（建系） （1）证明： 连接，交于点， 连接．依題意得，，． 因为底面是正方形，所以点是它的中心，故点的坐标为，（求点） 且， ，所以，即．（坐标法证线线平行） 而平面， 且平面， 因此平面． （结合线面平行判定定理下结论） （2）证明：依题意得，，又，故， 所以．（坐标法证线线垂直） 由已知，且，所以平面． （结合线面垂直判定定理下结论） （3）【解析】 已知，由（2）可知，故是平面与平面的夹角． （结合平面角定义得出所求角） 设点的坐标为，则． 因为，所以，即，，， 设，则，所以， 点的坐标为．（待定系数法求点F坐标） 又点的坐标为，所以． 所以．（向量运算得结果） 所以，即平面与平面的夹角大小为． 1.（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【详解】以D为原点，分别以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 则，故与MN所成角的余弦值为． 故选：A. 2.（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 3.（24-25高二下·江苏·阶段检测）若直线l的方向向量为，向量是平面的一个法向量，则直线l与平面所成角的大小为_______． 【答案】 【知识点】线面角的向量求法 【分析】根据给定条件，利用线面角的向量法求解. 【详解】设直线l与平面所成角为，依题意，， 所以. 故答案为： 4.（2026·四川巴中·一模）已知正四面体，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间距离公式的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，设正四面体边长为2，设，通过即可求点坐标，从而可表示和，进而可求，即异面直线与所成角的余弦值. 【详解】以点为原点，为轴，在平面内过点作轴与垂直，过作轴垂直于平面，建立空间直角坐标系如下：    不妨设正四面体的边长为2，则， 设点，则有，解得， 因为是的中点，则有，即， 因为是的中点，则有，即， 则， 则， 故选：A. 5.（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】面面角的向量求法 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时） （导学案） 1. 结合黄道倾角天文实例，类比平面向量夹角，自主推导异面直线所成角、线面角、两平面夹角向量公式，准确说出三类角取值范围，培养数学抽象素养。 1. 清晰辨析异面角取绝对值余弦、线面角用正弦、两平面夹角取绝对值余弦的底层逻辑，厘清几何角与向量夹角相等/互补关系，提升直观想象素养。 1. 熟练运用坐标法、基底法两类方法求解空间角，规范完成建系、求向量、代入运算全流程，强化数学运算素养。 1. 能结合几何体图形判断二面角为锐角或钝角，正确选取余弦正负，规范书写综合大题解题步骤，发展逻辑推理素养。 1. 梳理三类空间角对比表格，区分公式、范围、易错点，构建完整空间度量知识体系。 1. 体会向量法无需辅助线的优势，形成“几何度量→向量运算”固定解题思路。 重点 1. 异面直线所成角直线与平面所成角平面与平面夹角的向量公式； 2. 坐标法求三类空间角完整解题步骤； 3. 平面法向量的规范求解； 4. 向量法解决立体几何的通用“三步曲”。 难点 1. 理解线面角与直线方向向量平面法向量夹角互余的几何关系，区分与； 2. 二面角与两平面夹角的概念区分，根据图形判断二面角余弦正负； 3. 不规则几何体合理建系，简化向量坐标运算； 4. 基底法无坐标系时，用基底表示向量完成夹角计算。 阅读教材，完成以下问题： 知识点一　空间角及向量求法 (1)异面直线所成的角的向量求法 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ＝ ＝ ＝ ． 注意：异面直线所成的角的取值范围是 ． (2)直线与平面所成的角的向量求法 直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝ ＝ ＝ ． 注意：直线与平面所成的角的取值范围是 ． [想一想]　设直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为v，平面的法向量为n，则θ与〈v，n〉有什么关系？ 提示：θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－. (3)平面与平面的夹角及其向量求法 ①平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中 的二面角称为平面α与平面β的夹角． ②若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1与n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝ ＝ ＝ ． 注意：平面与平面的夹角的取值范围是 知识点二　用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题． (3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论． 思考：立体几何中有哪些夹角问题呢？ 学生：回顾必修第二册中学习的立体几何初步，得出答案. 教师：邀请一位同学分享， 分享不全，全班一起补充，并展示标准答案. 预设： 探究1：如何利用两直线的方向向量求两直线所成的角？ 已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，异面直线所成的角为 思考1：两方向向量的夹角与有何关系？ 学生：小组讨论，根据异面直线所成角的定义，画一下直线与方向向量的关系. 预设： 结论：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角. 思考2：与有何关系？ 学生：根据以上两角的关系，得出结论 预设： 归纳：两直线的方向向量求两直线所成的角： 一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角来求得.也就是说，若异面直线，所成的角为，其方向向量分别是，则 . 例7 如图1.4-19，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值． 教师：将立体几何问题转化为向量问题的途径: 途径1: 通过建立一个基底,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素,从而把立体几何问题转化为向量问题; 途径2: 通过建立空间直角坐标系,用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素,从而把立体几何问题转化为向量问题.实际上,空间直角坐标系也是基底,是“特殊”的基底. 进行向量运算 ． 又和均为等边三角形，所以． 所以， 所以． 回到图形问题 所以直线和夹角的余弦值为． 方法总结：基底法求异面直线所成角的基本步骤： 第一步：设角：将夹角问题转化为向量问题 第二步：基底表示：选基底，用基底表示方向向量 第三步：向量运算：求两个方向向量的数量积和各自的模长 第四步：翻译下结论：将运算结果“翻译”，得出结论 思考：坐标法与基底法求异面直线所成角有何共同特点？ 学生：小组讨论，并尝试得出答案，做好分享准备 预设：都是利用空间向量工具求异面直线所成角，且基本步骤相同： 课后思考：利用坐标法完成例7的解答，并分析坐标法和基底法解该题的优劣性？借助坐标法，还是基底法解题的选择上有什么心得体会？ 探究2：如何利用直线方向向量与平面法向量求直线与平面所成的角？ 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为 思考1：两向量的夹角与有何关系？ 学生：小组讨论，尝试利用数形结合的思想得出答案. 预设：， 思考2：与有何关系？ 学生：根据两角的关系，得出答案 预设：，， 又 归纳：直线方向向量与平面法向量求线面角： 如图，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则 定义：如下图，平面与平面相交，形成 四 个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角. 思考：两个平面的夹角与这两个平面形成的二面角的大小有何关系？ 学生：观察图形以及二面角和夹角的定义可得出答案：相等 或 互补 探究3：如何利用两平面的法向量求平面与平面的夹角？ 已知平面的法向量为，平面的法向量为，平面与平面的夹角为 思考1：两法向量的夹角与有何关系？ 学生：小组讨论，观察图形，尝试得出答案 预设：， 思考2：与有何关系？ 学生：根据以上两角的关系，结合诱导公式即可得出结论 预设：又 归纳：两平面的法向量求平面与平面的夹角： 已知平面的法向量为，平面的法向量为，平面与平面的夹角为，则 思考：设二面角的平面角为，平面的法向量为，平面的法向量为，则与有何关系？ 当不大于时，为平面与平面的夹角，余弦值大于0 当大于时，为平面与平面的夹角的补角，余弦值小于0 小结：空间夹角的向量求解 范围 图形 公式 异面直线 所成角 直线与平 面所成角 平面与平 面的夹角 例8 如图1.4-22，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，．求平面与平面夹角的余弦值． 方法总结：坐标法求两平面的夹角的基本步骤： 用向量法求两平面夹角的大小,可以避免作出二面角的平面角这一难点,转化为计算两半平面法向量的夹角问题,具体求解步骤如下: (1)设角：将夹角问题转化为向量问题 (2)建系求法向量：分别求两个平面的法向量的坐标 (3)向量运算：以上两个法向量坐标代入公式运算得结果 (4)翻译下结论：将运算结果“翻译”，得出结论 例9 图1.4-23为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°，已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N)． 例10 如图1.4-25， 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． （1）求证：平面； （2）求证： 平面； （3）求平面与平面的夹角的大小． 1.（25-26高二上·河北秦皇岛·阶段检测）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二上·安徽六安·期末）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高二下·江苏·阶段检测）若直线l的方向向量为，向量是平面的一个法向量，则直线l与平面所成角的大小为_______． 4.（2026·四川巴中·一模）已知正四面体，为的中点，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 5.（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $