1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第2课时）（导学案）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦用空间向量研究空间直线、平面平行关系，引导学生掌握线线、线面、面面平行的向量等价条件，通过探究活动衔接上节课方向向量与法向量知识，建立“几何平行⇌向量关系”的双向转化思维支架。 资料以“以算代证”为核心特色，提供坐标法、基底法等规范证明流程及存在性探究解题模板，通过小组讨论与题型分类训练，提升学生逻辑推理、数学运算与直观想象素养，习题结合各地期末期中真题，助力学生高效掌握空间平行关系的向量应用。

1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第2课时）（导学案） 1. 能用向量语言准确表述线线、线面、面面平行的等价条件，建立“几何平行⇌向量关系”双向转化思维； 1. 熟练运用坐标法、基底法，借助方向向量、平面法向量规范证明三类平行关系； 1. 掌握面面平行判定定理的向量证明思路，理解向量“以算代证”的优势； 1. 学会存在性探究题型标准解题流程：假设存在→设参数→列向量方程→求解验证范围； 1. 区分几何综合法与向量坐标法，能根据题型灵活选择解题方法，提升逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养。 重点 1. 线线、线面、面面平行的向量判定条件； 2. 利用方向向量、法向量完成平行关系的证明； 3. 存在性探究问题的向量解题模板； 4. “几何条件→向量条件→代数运算→几何结论”标准化证明范式。 难点 1. 理解线面平行“方向向量⊥平面法向量”的几何本质，不遗漏直线不在平面内的前提； 2. 面面平行判定定理严谨的向量推导过程； 3. 存在性问题参数求解后，验证参数取值范围； 4. 区分三类平行对应的向量关系，避免混淆共线、垂直条件。 阅读教材，完成以下问题： 知识点　　空间中垂直关系的向量表示 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2. 线线垂直 l1⊥l2⇔ 2⇔ 线面垂直 l1⊥α⇔ 1⇔ 面面垂直 α⊥β⇔ 2⇔ [提醒]　证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直． 探究1：线线平行的向量表示 教师：上节课可知，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量． 思考：那么如何用这些向量来刻画空间中三大平行关系呢？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师引出探究1. 探究1： 两条直线方向向量如何刻画这两条直线平行？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：如图1.4-8，设，分别是直线，的方向向量．由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行．所以 ，使得． 注：此处不考虑线线重合的情况 总结：直线平行等价于向量共线 探究2：线面平行的向量表示 直线方向向量与平面法向量如何刻画直线与平面平行？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：类似地，如图1.4-9，设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则 ． 注：(1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. 总结：线面平行等价于向量垂直 探究3：面面平行的向量表示,两平面法向量如何刻画这两平面平行？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：如图1.4-10，设，分别是平面，的法向量，则 ，使得． 总结：面面平行等价于向量共线 例2 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 已知：如图1.4-11，，，，，．求证：． 方法总结：空间向量证明两个平面平行的思路方法 (1)直接证明法:建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,证明两个法向量平行. (2)转化的思路:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面平行转化为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明. 例3 如图1.4-12，在长方体中，，，．上是否存在点，使得平面？ 方法总结：存在型问题与探究型问题的求解方法 1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等. 2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 题型一：空间向量证明线线平行. 例题 如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△，△，△，△都是正三角形． 证明：直线； 方法总结：利用空间向量证明线线平行的方法步骤 (1) 建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标. (2) 求出直线的方向向量. (3) 证明两向量共线. (4) 证明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的有向线段不共线,从而得证. 题型二：空间向量证明线面平行 例题. 如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面． 方法总结——空间向量证明线面平行的三种方法： 方法一（方向向量与法向量垂直法）：求直线方向向量u和平面法向量n，证u·n=0且直线不在平面内——最常用； 方法二（共面法）：证直线的方向向量与平面内两不共线向量共面，即u可用平面内基底线性表示； 方法三（线线平行转化法）：证直线的方向向量与平面内某一直线的方向向量共线，转化为线线平行。 题型三：空间向量证明面面平行. 例题 如图,在直四棱柱中,底面为等腰梯形,，是棱的中点. 试用向量的方法证明:平面平面. 题型四：利用空间向量解决空间中直线、平面平行的探究性问题. 例题 在多面体中，正方形和矩形互相垂直，､分别是和的中点，.试问在边所在的直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 方法总结：存在型问题与探究型问题的求解方法 1. 对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等. 2. 对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 1.（25-26高一下·山东青岛·期末）已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 2.（25-26高二上·广东梅州·期末）已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 3.（25-26高二上·广东广州·期末）已知空间向量，，若，则=（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·北京·期中）与向量共线且方向相同的向量的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·河南郑州·期中）在空间直角坐标系中，已知三点共线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第2课时）（导学案） 1. 能用向量语言准确表述线线、线面、面面平行的等价条件，建立“几何平行⇌向量关系”双向转化思维； 1. 熟练运用坐标法、基底法，借助方向向量、平面法向量规范证明三类平行关系； 1. 掌握面面平行判定定理的向量证明思路，理解向量“以算代证”的优势； 1. 学会存在性探究题型标准解题流程：假设存在→设参数→列向量方程→求解验证范围； 1. 区分几何综合法与向量坐标法，能根据题型灵活选择解题方法，提升逻辑推理、数学运算、直观想象核心素养。 重点 1. 线线、线面、面面平行的向量判定条件； 2. 利用方向向量、法向量完成平行关系的证明； 3. 存在性探究问题的向量解题模板； 4. “几何条件→向量条件→代数运算→几何结论”标准化证明范式。 难点 1. 理解线面平行“方向向量⊥平面法向量”的几何本质，不遗漏直线不在平面内的前提； 2. 面面平行判定定理严谨的向量推导过程； 3. 存在性问题参数求解后，验证参数取值范围； 4. 区分三类平行对应的向量关系，避免混淆共线、垂直条件。 阅读教材，完成以下问题： 知识点　　空间中垂直关系的向量表示 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2. 线线垂直 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0 线面垂直 l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1 面面垂直 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 [提醒]　证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直． 探究1：线线平行的向量表示 教师：上节课可知，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量． 思考：那么如何用这些向量来刻画空间中三大平行关系呢？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师引出探究1. 探究1： 两条直线方向向量如何刻画这两条直线平行？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：如图1.4-8，设，分别是直线，的方向向量．由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行．所以 ，使得． 注：此处不考虑线线重合的情况 总结：直线平行等价于向量共线 探究2：线面平行的向量表示 直线方向向量与平面法向量如何刻画直线与平面平行？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：类似地，如图1.4-9，设是直线的方向向量，是平面的法向量，，则 ． 注：(1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)特别强调直线在平面外. 总结：线面平行等价于向量垂直 探究3：面面平行的向量表示,两平面法向量如何刻画这两平面平行？ 师生：小组讨论，尝试得出结论，教师巡视，适当给与提示. 预设：如图1.4-10，设，分别是平面，的法向量，则 ，使得． 总结：面面平行等价于向量共线 例2 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 已知：如图1.4-11，，，，，．求证：． 分析：设平面的法向量为，直线a，b的方向向量分别为，，则由已知条件可得，由此可以证明与平面内的任意一个向量垂直，即也是的法向量． 证明：如图1.4-11，取平面的法向量，直线a，b的方向向量，． 因为，，所以，． 因为，，， 所以对任意点，存在x，，使得． 从而． 所以，向量也是平面的法向量．故． 方法总结：空间向量证明两个平面平行的思路方法 (1)直接证明法:建立空间直角坐标系,分别求出两个平面的法向量,证明两个法向量平行. (2)转化的思路:根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面平行转化为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明. 例3 如图1.4-12，在长方体中，，，．上是否存在点，使得平面？ 方法总结：存在型问题与探究型问题的求解方法 1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等. 2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 题型一：空间向量证明线线平行. 例题 如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△，△，△，△都是正三角形． 证明：直线； 分析：要证直线；需要求的方向向量并判断其共线即可要求其方向向量，核心是建立适当坐标系，求对应点的坐标.根据面面垂直，构造空间直角坐标系即可求解. 解析： 如图，过点作交于点，连接， 由平面知平面， 所以，以为坐标原点，为正方向，为正方向，为正方向建立空间直角坐标系， 因为，，，，都是正三角形， 所以，，，， 所以， 所以，所以 方法总结：利用空间向量证明线线平行的方法步骤 (1) 建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标. (2) 求出直线的方向向量. (3) 证明两向量共线. (4) 证明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所在的直线上,即表示方向向量的有向线段不共线,从而得证. 题型二：空间向量证明线面平行 例题. 如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面． 解析：如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则可得， ，， 平面，平面. 方法总结——空间向量证明线面平行的三种方法： 方法一（方向向量与法向量垂直法）：求直线方向向量u和平面法向量n，证u·n=0且直线不在平面内——最常用； 方法二（共面法）：证直线的方向向量与平面内两不共线向量共面，即u可用平面内基底线性表示； 方法三（线线平行转化法）：证直线的方向向量与平面内某一直线的方向向量共线，转化为线线平行。 题型三：空间向量证明面面平行. 例题 如图,在直四棱柱中,底面为等腰梯形,，是棱的中点. 试用向量的方法证明:平面平面. 解析：（方法一） 因为，是棱的中点， 所以，所以为正三角形. 因为为等腰梯形，， 所以. 取的中点，连接， 则，所以. 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 所以，， 又不重合，不重合， 所以，， 因为平面， 平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面 （方法二） 因为，，是棱的中点， 所以，则为正三角形． 因为底面为等腰梯形，所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 令，可得平面的一个法向量为， 因为，，， 所以，． 设平面的法向量为， 则， 令，可得平面的一个法向量为． 由（1）知，所以，即， 所以平面平面． 题型四：利用空间向量解决空间中直线、平面平行的探究性问题. 例题 在多面体中，正方形和矩形互相垂直，､分别是和的中点，.试问在边所在的直线上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 分析：建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用向量法，结合平面来求得点的坐标，进而求得的长. 解析：由于正方形和矩形互相垂直，且交线为，，根据面面垂直的性质定理可知平面. 以为原点建立如图所示空间直角坐标系，，设. ， 设平面的法向量为， 则，故可设, 若平面，则， 所以存在使平面，所以，. 方法总结：存在型问题与探究型问题的求解方法 1. 对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等. 2. 对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数. 1.（25-26高一下·山东青岛·期末）已知向量，，且，则等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【详解】由题可知，， 因为，所以存在实数，使得， 故，解得，，， 所以. 2.（25-26高二上·广东梅州·期末）已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量平行的坐标表示 【分析】先求出与的坐标，再根据向量共线的性质列出等式，进而求出，的值，最后计算即可. 【详解】设向量 ，， 由于 ，， 共线，存在 使 ， 由 ，解得 ， 代入得 ，解得 ， 所以，解得 ， 因此，. 答案：6. 3.（25-26高二上·广东广州·期末）已知空间向量，，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据空间向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以，使得， 因为，， 所以，解得. 故选：C. 4.（25-26高二上·北京·期中）与向量共线且方向相同的向量的坐标可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】利用共线向量定理求解. 【详解】与向量共线且方向相同的向量可设为，， 只有B选项符合. 故选：B 5.（25-26高二上·河南郑州·期中）在空间直角坐标系中，已知三点共线，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】由向量共线的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 由题意， 解得. 故. 故选：D. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $