第七讲 用空间向量研究距离、夹角问题导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦用空间向量研究距离与夹角问题，涵盖点到直线、点到平面的距离公式推导，以及线线角、线面角、面面角的向量表达与计算。以投影向量和数量积为学习支架，衔接空间向量基本概念，引导学生从已知推导未知，构建知识脉络。 资料亮点在于知识点系统整合与题型分类详尽，通过定义、公式、步骤、例题的清晰呈现，帮助学生掌握向量法统一解决空间问题的方法。注重培养学生的空间观念（数学眼光）、逻辑推理能力（数学思维）和规范表达能力（数学语言），提升解题效率与学科素养。

第七讲 用空间向量研究距离、夹角问题 【学习目标】 1.能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式. 2.能用向量方法推出两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角的向量表达式； 3.能用向量方法解决立体几何中有关角度的问题． 【学习重点】利用投影向量推导点到直线、点到平面的距离公式. 利用向量的数量积研究两条直线所成角、直线和平面所成角、两个平面的夹角. 【学习难点】利用投影向量推导点到直线、点到平面的距离公式；利用投影向量统一研究空间距离问题．根据问题的条件选择合适的基底，根据问题的条件建立恰当的空间直角坐标系． 必掌握知识点 一：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 二：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 三 用向量证明平行垂直方法总结： 1.向量证明线面平行： 方法一：直线方向向量与平面法向量满足，并且直线不在平面内； 方法二：直线方向向量可以被平面内两个不共线向量线性表示。 2.向量证明线面垂直：直线方向向量与平面法向量互相平行（共线）。 3.向量证明面面垂直：两个平面法向量数量积等于 0。 4.证明线线垂直：两个方向向量数量积等于。 必考题型全归纳 类型一：异面直线所成角 1.定义：把异面直线平移到相交位置，所得到锐角或直角叫做异面直线所成角，取值范围。 2.向量计算公式：设两条异面直线方向向量，异面直线夹角 必须加绝对值！向量夹角范围，而异面直线不取钝角。 3.解题步骤： ①建立空间直角坐标系； ②求出两条直线方向向量坐标； ③代入公式取绝对值，得到夹角余弦，再求角度。 4.常见载体：平行六面体、翻折几何体、圆柱、阳马（四棱锥）。 1．已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则， ， ， ， ， ，， ， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 2．如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】过点在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，，，由勾股定理可得， 由得， 翻折前，在梯形中，，所以， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以， 则， 因为，所以， 故点、、、， 所以，， 设直线与所成的角为，则， 所以， 故，所以， 因此异面直线与所成角的正切值为. 3．如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 【答案】(1) (2)1． 【分析】（1）利用面面垂直条件建立空间直角坐标系，借助向量夹角公式，求出异面直线所成角余弦值； （2）参数设点 F，求出平面 的法向量，利用线面角公式解参数，最后算出 DF 长度. 【详解】（1）取BC中点，连接OA、OD，又， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 为BC中点，，      如图，以分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， 设异面直线AC与BD所成的角为， 则，       所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为. （2）设， 由（1）知，， 则，得，故． 设平面的法向量， 则， 令，得，即，      由直线AD与平面所成角大小为， 得．            ， 所以线段DF的长度为1． 类型二：直线与平面所成角 1.定义：直线与平面中它的射影形成的锐角；范围。 2.向量公式：直线方向向量，平面法向量，线面角 易错：线面角是取正弦，不是余弦；法向量夹角和线面角互余。 3.解题步骤： ①建系写出点坐标； ②求直线方向向量，求平面法向量； ③代入上面公式，得到线面角正弦值。 4.特殊情形：直线平行平面 / 在平面内，；直线垂直平面，。 4．已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，为的中点. (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明：由为正三棱柱可知，平面， 又平面，所以， 又因点D为正三角形的边AB的中点，所以； 又，平面，所以平面； 又平面，所以. (2) (3) 【分析】（1）先由正三棱柱的性质可得平面，再利用线面垂直的判定定理证明平面，由线面垂直的性质定理可得； （2）以的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，及平面的一个法向量，利用求平面与平面夹角的大小； （3）设直线CA与平面所成的角为，利用求直线CA与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）分别取线段的中点，连接，易知两两垂直， 可以O为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示; 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得； 易得为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，则     ， 因,则，即平面与平面夹角为； （3）由（2）可知，平面的一个法向量为， 设直线CA与平面所成的角为， 所以， 即直线CA与平面所成角的正弦值为. 5．（多选）在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的数量积、点到平面的距离公式、线面角、空间向量的模的公式逐一判断计算即可. 【详解】因为在空间直角坐标系中，，，， 所以. 所以，所以A正确； 因为，设平面的一个法向量坐标为. 所以，即，令，则. 所以，因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为，D正确. 所以点到平面的距离为，所以B正确. 因为， 所以，所以，C错误. 类型三：二面角（两个平面的夹角） 1.二面角范围； 平面夹角（锐二面角）范围。 2.向量方法：求出两个平面法向量 3.判断二面角是锐角还是钝角：观察几何体图形； 若二面角为锐二面角，结果取绝对值； 二面角为钝角，则保留负号。 4.求法向量流程：取平面内两个不共线向量，联立，给一个分量赋值求一组解。 6．如图，正方体的棱长为6，点，分别是棱，上的动点（包含端点），且． (1)证明：； (2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若直线和平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法证明即可证明结论； （2）根据，结合基本不等式得三棱锥的体积最大时，，再求解对应面的法向量，计算平面的夹角余弦值即可； （3）求解平面的法向量为，再根据线面角求得即可求得. 【详解】（1）证明：以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则，，，，，，，． 因为，， 所以， 所以，即． （2）解：三棱锥的体积即三棱锥的体积，此时． 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当三棱锥的体积最大时，，此时， 所以，． 设平面的一个法向量为，则 令，则，，所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）解：设平面的法向量为，则 因为，，所以 令，则，，所以． 设直线和平面所成的角为，则． 因为，， 所以，解得或（舍去），     所以． 7．如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. (1)证明：平面BCD； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)在中，，，， 由余弦定理可得即， 所以，即， 且，，BD，平面BCD，所以平面BCD， 又因为，，则，即， 以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 可得，， 则，可得， 因为平面BCD，可知为平面BCD的一个法向量， 因为，则， 且平面BCD，所以平面BCD. (2) 【分析】（1）可证平面BCD，，建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行； （2）分别求平面APC、平面PCM的法向量，利用空间向量求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：，，， 设平面APC的法向量为，则， 令，则，，可得； 设平面PCM的法向量为，则， 令，则，，可得； 设二面角的平面角为θ，由题意可知θ为锐角， 则. 所以二面角的余弦值为. 8．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)如图，设与的交点为，连接， ∵在三棱柱中，四边形是平行四边形，∴是的中点， 又∵为的中点，∴是三角形的中位线， ∴，又∵平面，平面，∴平面. (2) 【详解】（1）略. （2）∵，，， 平面，∴平面， ∴，又∵侧面为正方形，∴， 以为原点，分别以的方向为轴正方向， 建立空间直角坐标系，则，， ，，，    ∵轴底面，∴取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，， ，则，化简得， 令，则，即， 设二面角的平面角为，由图可判断为钝角， 则. 类型四：点到直线的距离 1.向量公式：设直线过点，方向向量，直线外一点。 向量，点到直线距离：。 2.原理：勾股定理，总向量模平方减去投影数量的平方再开根号。 3.题型：正方体、三棱台、直三棱柱中求点到棱的距离； 4.重要结论：直线外一点到直线上所有点距离的最小值就是点到直线距离。 9．如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． (1)求点N到直线的距离； (2)点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 【答案】(1) (2)结合（1）的空间直角坐标系，有，则，， 设，，则，平面的法向量为， 所以，令，得到， 又平面，即， 所以，解得， 所以． 【分析】（1）先根据题意建立空间直角坐标系，得到所需各点的坐标，从而得到，，进而结合投影向量即可求出点到直线的距离； （2）结合（1）的空间直角坐标系，设，，从而求出平面的法向量为，再根据题意得到，即可求出的值，进而即可得到结论． 【详解】（1）由底面，，且底面，则，，两两垂直， 所以以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，，且，分别为棱，的中点， 则，，， 所以，， 所以在上的投影向量的模长为， 所以点到直线的距离为． （2）略 10．在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 11．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 类型五：两条异面直线之间的距离 1.异面直线距离定义：两条异面直线公垂线段的长度。 2.向量法：找异面直线方向向量，取分别在两条直线上点，。 先求公共法向量， 距离。 3. 解题技巧：也可以转化为：一条直线上任意一点，到过另一条直线且平行第一条直线的平面的距离。 12．如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 【答案】(1)证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. (2) (3). 【分析】（1）（方法一）连接，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（方法二）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用空间向量法证明即可； （2）利用空间向量法求解即可； （3）利用空间向量法，转化为求点E到直线的距离. 【详解】（1）略 （2）由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 13．（多选）正方体的棱长为2，分别为的中点，为棱上靠近的三等分点，则下列正确的有（   ） A．沿正方体表面从到的最短距离为 B．三棱锥的体积为2 C．为内的动点，则最小值为 D．是直线上的动点，是直线上的动点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】选项A转化为两点之间直线段最短问题，利用展开图将空间问题转化为平面问题；选项B利用切割法，在正方体体积上切除两个四棱锥和两个三棱锥即可得三棱锥的体积；选项C则是经典的将军饮马问题，可以取对称点加以解决；选项D，的最小值为直线到过直线且与直线平行的平面的距离，利用等体积法进行转化即可. 【详解】选项A，若将正方体的面与面如下图所示展开， 则展开图中，故A选项错误； 选项B， ，故B选项正确； 选项C，因为，且到平面的距离为， 则关于平面的对称点为线段靠近的三等分点，， 所以， ，当且仅当时不等式取等， 故C选项正确； 选项D，的最小值为直线到过直线且与直线平行的平面的距离， 如图，连接，交于点，取中点,连接, 由正方体结构特征可知, 又， ， 所以四边形为平行四边形，所以， 又不在平面内，在平面内， 所以平面，即平面. 则直线上一点到平面的距离可转化为点到平面的距离， 设该距离为且为以为底，点为顶点的三棱锥的高， 则有， 在中，， 所以， 在中，， 所以， 所以， 解得，D选项正确. 故选：BCD. 类型六：点到平面的距离 1.向量公式：平面法向量，平面内任取一点，平面外点。 点到平面距离：。 2.说明：结果一定是非负数，公式必须带绝对值。 3.拓展： 直线平行平面：直线上任意一点到平面距离，就是直线到平面距离； 两个互相平行平面：一个平面内任取一点，到另一个平面距离，就是两平行平面之间距离。 14．两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 15．如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 类型七：平行平面之间的距离 1.条件：；两平面距离 = 一个平面上任意一点到另外一个平面的距离。 2.计算：在其中一个平面随便取一个点，使用点到平面距离公式计算。 3.易错：只有两平面平行才有距离概念；相交平面没有距离。 16．如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 17．空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为______. 【答案】 【分析】 由已知得，设向量与向量都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平行平面的距离公式计算可得结果. 【详解】由已知得，，， 设向量与向量都垂直，则， 即取，则， 又平面平面，所以平面与平面间的距离. 故答案为： 类型八：向量综合多选、动点轨迹、体积、外接球综合 1.考点混合：异面直线夹角、线面角、距离、内切球、外接球、动点轨迹、截面面积、体积最值。 2.高频考点： ①内切球：体积法求内切球半径； ②外接球：找球心（到各个顶点距离相等）； ③动点：设参数坐标，建立方程，判断轨迹（线段、圆弧）； ④截面：过直线做平面截几何体，求截面面积最大最小值； ⑤旋转体（圆锥）结合空间向量求线线角。 3.解题技巧：逐个选项验证；优先建系，把几何条件翻译成坐标方程；看清角度是否需要加绝对值。 18．（多选）已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（     ） A． B．三棱锥的内切球半径为 C．的取值范围为 D．若平面，则使直线与所成角为的点有个 【答案】ABC 【详解】设正三棱锥顶点在底面的投影为底面中心，作于点， 底面边长为，，则，. 对于A，，A正确； 对于B，因，则三棱锥的侧面积为， 则表面积，设三棱锥的内切球半径为， 因三棱锥的体积为， 则由可得，B正确； 对于C，易知点为的中点，且， 所以 当重合时，． 下面求的最大值． 三棱锥表面上的任意点均在某个三角形面内，而三角形内一点到定点的距离不超过该三角形三个顶点到的距离中的最大值． 四个顶点到的距离分别为 所以，且最小值在重合时取得，最大值在重合时取得． 又当沿三棱锥表面上的折线连续移动时，的长度可以取遍内的所有数， 因此，从而，故C正确． 对于D，若平面且在三棱锥表面上，则位于三角形内或其边界上． 以为原点，建立空间直角坐标系，使轴平行于，轴沿方向． 则，设，， 由于三角形在轴方向上的投影长度为6，且投影关于原点对称，所以 设直线与所成角为，则 因此，不存在使直线与所成角为的点，更不是3个，故D错误．    19．（多选）如图，在棱长为1的正方体 中，点为中点，动点满足 则（    ） A．若点到直线和的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 B．存在这样的点使EP⊥平面 C．若点与点重合，则三棱锥的外接球半径为 D．若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】AC 【分析】以为原点，求得点位于上底面内，过点作，得到，结合抛物线的定义，可判定A正确；设，求得平面的法向量，结合，求得的值，可判定B不正确；设三棱锥的外接球的球心为，根据，列出方程求得球心的坐标，可判定C正确；求得点在以为圆心的圆弧上，结合对称性，求得，转化为，可判定D错误. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由，可得点位于上底面上， 对于A，连接，在正方体中，可得平面， 因为平面，所以，即点到距离即为， 过点作，可得点到的距离即为， 所以，即点到定点的距离等于到定直线的距离相等， 根据抛物线的定义，点P 的轨迹为抛物线在上底面内的一部分，所以A正确； 对于B，设，其中，则， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 若平面，则，即，解得， 因为，所以不存在这样的点 使EP⊥平面，所以B不正确； 对于C，当点与点重合时，则三棱锥即为三棱锥， 因为点是的中点，所以,且， 设三棱锥的外接球的球心为，半径为， 由，可得， 整理得，即， 由，可得， 整理得，所以， 由，可得， 代入，可得，即， 再将代入，可得，所以，所以， 所以外接球的半径为，所以C正确； 对于D，由，其中，且， 可得， 因为与的夹角为，可得， 所以，即，其中， 所以点在以为圆心，半径为的圆弧上， 连接，由对称性知，当点位于上时，取得最小值， 过点作于点，在直角中，， 所以，所以， 在平面中，过点作于点，则， 所以D错误. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七讲 用空间向量研究距离、夹角问题 【学习目标】 1.能利用投影向量得到点到直线、点到平面的距离公式. 2.能用向量方法推出两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面的夹角的向量表达式； 3.能用向量方法解决立体几何中有关角度的问题． 【学习重点】利用投影向量推导点到直线、点到平面的距离公式. 利用向量的数量积研究两条直线所成角、直线和平面所成角、两个平面的夹角. 【学习难点】利用投影向量推导点到直线、点到平面的距离公式；利用投影向量统一研究空间距离问题．根据问题的条件选择合适的基底，根据问题的条件建立恰当的空间直角坐标系． 必掌握知识点 一：点到线面距离 1、点到直线的距离 已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，是直线外一点.设，则向量在直线上的投影向量，在中，由勾股定理得： 2、点到平面的距离 如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量的长度. 二：用向量法求空间角 1、用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 2、用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 3、用向量运算求平面与平面的夹角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是钝二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为钝二面角（取负），则； 三 用向量证明平行垂直方法总结： 1.向量证明线面平行： 方法一：直线方向向量与平面法向量满足，并且直线不在平面内； 方法二：直线方向向量可以被平面内两个不共线向量线性表示。 2.向量证明线面垂直：直线方向向量与平面法向量互相平行（共线）。 3.向量证明面面垂直：两个平面法向量数量积等于 0。 4.证明线线垂直：两个方向向量数量积等于。 必考题型全归纳 类型一：异面直线所成角 1.定义：把异面直线平移到相交位置，所得到锐角或直角叫做异面直线所成角，取值范围。 2.向量计算公式：设两条异面直线方向向量，异面直线夹角 必须加绝对值！向量夹角范围，而异面直线不取钝角。 3.解题步骤： ①建立空间直角坐标系； ②求出两条直线方向向量坐标； ③代入公式取绝对值，得到夹角余弦，再求角度。 4.常见载体：平行六面体、翻折几何体、圆柱、阳马（四棱锥）。 1．已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 2．如图1，在直角梯形中，，，，.将直角梯形沿对角线折起，使得平面平面，如图2，则异面直线与所成角的正切值为（    ）       图1                         图2 A． B． C． D． 3．如图，三棱锥中，，平面平面． (1)求异面直线AC与BD所成角的余弦值； (2)若点F是线段AD（不含端点）上的一点，且直线AD与平面所成角大小为，求线段DF的长度． 类型二：直线与平面所成角 1.定义：直线与平面中它的射影形成的锐角；范围。 2.向量公式：直线方向向量，平面法向量，线面角 易错：线面角是取正弦，不是余弦；法向量夹角和线面角互余。 3.解题步骤： ①建系写出点坐标； ②求直线方向向量，求平面法向量； ③代入上面公式，得到线面角正弦值。 4.特殊情形：直线平行平面 / 在平面内，；直线垂直平面，。 4．已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，为的中点. (1)证明：； (2)求平面和平面夹角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 5．（多选）在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A． B．点到平面的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 类型三：二面角（两个平面的夹角） 1.二面角范围； 平面夹角（锐二面角）范围。 2.向量方法：求出两个平面法向量 3.判断二面角是锐角还是钝角：观察几何体图形； 若二面角为锐二面角，结果取绝对值； 二面角为钝角，则保留负号。 4.求法向量流程：取平面内两个不共线向量，联立，给一个分量赋值求一组解。 6．如图，正方体的棱长为6，点，分别是棱，上的动点（包含端点），且． (1)证明：； (2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若直线和平面所成角的正弦值为，求的长． 7．如图，在四面体ABCD中，，，，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且. (1)证明：平面BCD； (2)求二面角的余弦值. 8．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，，，为的中点．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 类型四：点到直线的距离 1.向量公式：设直线过点，方向向量，直线外一点。 向量，点到直线距离：。 2.原理：勾股定理，总向量模平方减去投影数量的平方再开根号。 3.题型：正方体、三棱台、直三棱柱中求点到棱的距离； 4.重要结论：直线外一点到直线上所有点距离的最小值就是点到直线距离。 9．如图，在三棱锥中，底面，，，分别为棱，的中点，在线段上，且，，． (1)求点N到直线的距离； (2)点D在线段上运动（包括端点），是否存在一点D，使平面？若存在，求出线段的值；若不存在，请说明理由．（以上问题用向量法求解，综合法一律不得分） 10．在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． . 类型五：两条异面直线之间的距离 1.异面直线距离定义：两条异面直线公垂线段的长度。 2.向量法：找异面直线方向向量，取分别在两条直线上点，。 先求公共法向量， 距离。 3. 解题技巧：也可以转化为：一条直线上任意一点，到过另一条直线且平行第一条直线的平面的距离。 12．如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 13．（多选）正方体的棱长为2，分别为的中点，为棱上靠近的三等分点，则下列正确的有（   ） A．沿正方体表面从到的最短距离为 B．三棱锥的体积为2 C．为内的动点，则最小值为 D．是直线上的动点，是直线上的动点，则的最小值为 类型六：点到平面的距离 1.向量公式：平面法向量，平面内任取一点，平面外点。 点到平面距离：。 2.说明：结果一定是非负数，公式必须带绝对值。 3.拓展： 直线平行平面：直线上任意一点到平面距离，就是直线到平面距离； 两个互相平行平面：一个平面内任取一点，到另一个平面距离，就是两平行平面之间距离。 14．两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 15．如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 类型七：平行平面之间的距离 1.条件：；两平面距离 = 一个平面上任意一点到另外一个平面的距离。 2.计算：在其中一个平面随便取一个点，使用点到平面距离公式计算。 3.易错：只有两平面平行才有距离概念；相交平面没有距离。 16．如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 17．空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为______. 类型八：向量综合多选、动点轨迹、体积、外接球综合 1.考点混合：异面直线夹角、线面角、距离、内切球、外接球、动点轨迹、截面面积、体积最值。 2.高频考点： ①内切球：体积法求内切球半径； ②外接球：找球心（到各个顶点距离相等）； ③动点：设参数坐标，建立方程，判断轨迹（线段、圆弧）； ④截面：过直线做平面截几何体，求截面面积最大最小值； ⑤旋转体（圆锥）结合空间向量求线线角。 3.解题技巧：逐个选项验证；优先建系，把几何条件翻译成坐标方程；看清角度是否需要加绝对值。 18．（多选）已知正三棱锥的底面边长和高均为，为三棱锥表面上的动点，则（     ） A． B．三棱锥的内切球半径为 C．的取值范围为 D．若平面，则使直线与所成角为的点有个    19．（多选）如图，在棱长为1的正方体 中，点为中点，动点满足 则（    ） A．若点到直线和的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 B．存在这样的点使EP⊥平面 C．若点与点重合，则三棱锥的外接球半径为 D．若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $