1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时1.距离问题导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦“用空间向量研究距离问题”，通过“温故”环节回顾线线、线面、面面垂直的向量判定，搭建知识支架，衔接“知新”中距离问题的向量转化方法，引导学生掌握点到直线、平面及平行关系间距离的求解。 资料特色在于将抽象空间距离转化为向量投影计算，体现数学思维的逻辑推理，课前自测分层设计培养运算能力与应用意识，反思融入数学史激发数学眼光的创新意识，助力学生高效掌握方法，提升核心素养。

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时1.距离问题 预习提要 1.回顾空间中直线、平面的垂直； 2.阅读课本P33—P35内容，自主探究用空间向量研究距离问题，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．一般地，直线与直线垂直，就是两直线的向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量. 2．线线垂直的向量判定：设直线的方向向量分别为，则 3．线面垂直的向量判定：设直线的方向向量为，平面的法向量为，则 ，使得. 4．面面垂直的向量判定：设平面的法向量分别为，则 二、知新 1．立体几何中的距离问题包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平面的距离问题等. 2．点到直线的距离：已知直线的单位方向向量为是直线上的定点，是直线外一点，设，则向量在直线上的投影向量. 3．点到直线的距离公式：在Rt中，由勾股定理得，点到直线的距离. 4．点到平面的距离：已知平面的法向量为是平面内的定点，是平面外一点，则点到平面的距离就是在直线上的投影向量的. 5．点到平面的距离公式：点到平面的距离. 6．两条平行直线之间的距离，可以转化为其中一条直线上一点到另一条直线的. 7．两个平行平面之间的距离，可以转化为其中一个平面内一点到另一个平面的. 课前自测 1．已知空间中向量，向量的单位向量为，则点B到直线AC的距离为( ) A. B. C. D. 2．正方体的棱长为，则平面与平面的距离为( ) A. B. C. D. 3．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点E在棱上，且，则点C到平面的距离为( ) A. B. C. D. 4．已知正四棱柱中，，，点E为的中点，则直线到平面的距离为__________. 5．如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点. (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 反思 笛卡尔建立三维坐标系，哈密顿创立空间向量后，法国数学家柯西系统研究向量数量积的投影几何意义，推导出统一求解各类空间距离的向量公式，把异面直线距离、点到平面距离等复杂立体几何问题转化为标准化代数计算. 在向量方法诞生前，求解空间距离需要作多条垂线、构造垂面，异面直线距离更是立体几何难点，作图与推理难度极大.柯西提出核心思路：空间所有距离本质都是垂线段的长度，可以借助向量投影长度统一计算. 答案及解析 一、温故 1．方向；法；垂直 2． 3． 4． 二、知新 1．平行 2． 3． 4．长度 5． 6．距离 7．距离 课前自测 1．答案：B 解析：设向量的单位向量为e，则，所以，则点B到直线AC的距离为.故选B. 2．答案：C 解析：如图，由正方体的性质易得平面平面，则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离.连接.显然平面.以D为坐标原点，分别以DA，，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则易得平面的一个法向量为.，，，则两平面间的距离.故选C. 3．答案：D 解析：以D为坐标原点，以的正方向为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，，. 设平面的法向量为，则. 令，则，，. 点C到平面的距离. 故选:D 4．答案：1 解析：如图，连接，，且与相交于点O，连接，以D为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，所以，，，易知平面. 设平面的一个法向量是， 则令，则，，所以.又因为， 所以点A到平面的距离为， 故直线到平面的距离为1. 5．答案：(1)(2) 解析：(1)以D为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为2，则，，， 可得，， ，，， 设F点到的距离为d， 则； (2)设平面的法向量为，，，， 则，. 设，，令，解得，，所以， 又，，， 点F到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $