1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时3. 综合应用导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

课时3.综合应用

 

预习提要

1.回顾用空间向量研究夹角问题；

2.阅读课本P39—P41内容，自主探究空间向量的综合应用，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点.

一、温故

1．立体几何中的角度问题包括直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及的夹角.

2．两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的向量的夹角来求得.

3．异面直线所成角公式：若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，则.

4．直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的向量的夹角.

5．线面角公式：设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则.

6．平面与平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的.

7．面面角公式：若平面，的法向量分别是和，设平面与平面的夹角为，则.

二、知新

1．空间向量法解立体几何第一步：用空间向量表示立体图形中、、等元素.

2．第二步：进行的运算，研究点、直线、平面之间的关系.

3．第三步：把＂翻译＂成相应的意义.

4．综合法依靠解决立体几何问题.

5．求解立体几何题目时，需结合问题的与选择合适方法.

课前自测

1．如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是(    )

A. B. C. D.0

2．如图，在三棱台中，若平面，，，，M为BC的中点，则平面与平面夹角的余弦值为(    )

A. B. C. D.

3．在棱长为2的正方体中，点E是BC的中点，点F是CD的中点.

（1）证明：平面；

（2）求点D到平面的距离.

4．如图，已知正方体中，E为棱上的动点.

（1）求证：；

（2）若平面平面EBD，求证：E为的中点.

反思

从笛卡尔创立空间直角坐标系，哈密顿提出三维向量，再经柯西完善数量积、投影公式，几代数学家共同搭建出一套完整工具：空间向量.拉格朗日最先将所有空间几何问题整合，证明线面位置关系、距离、夹角都能统一用向量坐标运算解决，形成如今空间向量综合应用的完整框架.在向量体系成熟前，立体几何题型分割严重：证明平行垂直要找辅助线，求距离要作垂线，求夹角要构造平面角，每种题型思路完全独立，解题无统一套路.空间向量实现了＂数形合一、以算代证＂，综合应用可归纳三大模块：位置关系判定、空间距离计算、空间夹角求解.