1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题 课时3. 综合应用导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦用空间向量研究距离、夹角的综合应用，通过“温故”回顾线线、线面、面面角公式，“知新”构建空间向量法步骤，形成从旧知到新知的学习支架。 资料以“温故知新”衔接知识，课前自测结合正三棱柱、正方体等实例，通过坐标运算落实“以算代证”，培养逻辑推理与空间观念，反思融入数学史，答案解析详细，助力学生提升综合应用能力。

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 课时3.综合应用 预习提要 1.回顾用空间向量研究夹角问题； 2.阅读课本P39—P41内容，自主探究空间向量的综合应用，并根据阅读内容填写本节预习任务，把握本课重难点. 一、温故 1．立体几何中的角度问题包括直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及的夹角. 2．两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的向量的夹角来求得. 3．异面直线所成角公式：若异面直线所成的角为，其方向向量分别是，则. 4．直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的向量的夹角. 5．线面角公式：设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则. 6．平面与平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的. 7．面面角公式：若平面，的法向量分别是和，设平面与平面的夹角为，则. 二、知新 1．空间向量法解立体几何第一步：用空间向量表示立体图形中、、等元素. 2．第二步：进行的运算，研究点、直线、平面之间的关系. 3．第三步：把＂翻译＂成相应的意义. 4．综合法依靠解决立体几何问题. 5．求解立体几何题目时，需结合问题的与选择合适方法. 课前自测 1．如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D.0 2．如图，在三棱台中，若平面，，，，M为BC的中点，则平面与平面夹角的余弦值为( ) A. B. C. D. 3．在棱长为2的正方体中，点E是BC的中点，点F是CD的中点. （1）证明：平面； （2）求点D到平面的距离. 4．如图，已知正方体中，E为棱上的动点. （1）求证：； （2）若平面平面EBD，求证：E为的中点. 反思 从笛卡尔创立空间直角坐标系，哈密顿提出三维向量，再经柯西完善数量积、投影公式，几代数学家共同搭建出一套完整工具：空间向量.拉格朗日最先将所有空间几何问题整合，证明线面位置关系、距离、夹角都能统一用向量坐标运算解决，形成如今空间向量综合应用的完整框架.在向量体系成熟前，立体几何题型分割严重：证明平行垂直要找辅助线，求距离要作垂线，求夹角要构造平面角，每种题型思路完全独立，解题无统一套路.空间向量实现了＂数形合一、以算代证＂，综合应用可归纳三大模块：位置关系判定、空间距离计算、空间夹角求解. 答案及解析 一、温故 1．平面与平面 2．方向 3． 4．法 5． 6．夹角 7． 二、知新 1．点；直线；平面 2．空间向量 3．运算结果；几何 4．逻辑推理 5．条件；所求 课前自测 1．答案：C 解析：以的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正三棱柱的棱长均为2，可得，，，， 所以，，可得，， 则，所以异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 2．答案：B 解析：因为平面ABC，且平面ABC，所以，，又，故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，，且M为BC的中点，所以，，，则，. 设平面的法向量为，则取，可得，，所以. 易知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则.故选B. 3．答案：（1）证明见解析 （2） 解析：（1）证明：以A为坐标原点，直线AB，，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，， 则，，. 设平面的法向量为，则 取，则，，所以， 又因为，所以， 所以平面. （2）由（1）知平面的一个法向量为， 又因为， 所以点D到平面的距离为. 4．答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 解析：证明：（1）以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设正方体的棱长为a， 则，，，，，则. 设，则. ， ，即. （2）由（1）知，，，. 设平面的法向量为. 则即 令，则，则. 设平面EBD的法向量为，则即 令，则，，则. 由平面平面EBD，得， ，，即. 当平面平面EBD时，E为的中点. 学科网（北京）股份有限公司 $