1.3.2 空间向量运算的坐标表示 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量运算的坐标表示，引导学生掌握空间向量加减、数乘、数量积的坐标运算，以及平行、垂直、夹角、距离的坐标表示方法。通过回顾平面向量坐标运算（探究1），类比迁移至空间向量（探究2），构建从平面到空间的学习支架，梳理运算公式及应用条件。 以探究问题驱动学生抽象空间向量运算规律（数学眼光），典例结合正方体、正三棱柱等几何模型，培养逻辑推理与运算能力（数学思维），用坐标语言精准表达空间关系（数学语言）。分层练习与解题感悟总结方法，助力学生巩固知识，提升自主学习效率。

1.3.2 空间向量运算的坐标表示 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 ⚪学习目标　1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. 2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单的几何问题. 一、空间向量的坐标运算 探究1　设平面向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b，a－b，λa，a·b的运算结果分别是什么？ 探究2　有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ ⚪梳理教材 　设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）. 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝ 减法 a－b a－b＝ 数乘 λa λa＝ ，λ∈R 数量积 a·b a·b＝ ⚪温馨提示　对空间向量坐标运算的两点说明 （1）空间向量的加法、减法、数乘和数量积都与平面向量的类似，但应注意向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示，即a＝（x，y），而在空间中则表示为a＝（x，y，z）. （2）运算结果：空间向量的加法、减法、数乘的坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积的坐标运算结果是一个实数. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）在空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同.（　 　） （2）设A（0，1，－1），O为坐标原点，则＝（0，1，－1）.（　 　） 【典例1】　（1）已知a＝（－1，2，1），b＝（2，0，1），则（2a＋3b）·（a－b）＝ . （2）在△ABC中，A（2，－5，3），＝（4，1，2），＝（3，－2，5）. ①求顶点B，C的坐标； ②求； ③若点P在AC上，且＝，求点P的坐标. ⚪解题感悟 空间向量坐标运算的解题方法 （1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定. （2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算. （3）由条件求向量或点的坐标：把向量用坐标形式设出来，通过解方程（组），求出其坐标. 【练习1】　已知a＝（－2，0，－5），b＝（3，2，－1），求下列各式的值. ①a·a；②｜b｜；③a·b；④（3a＋2b）·（a－b）；⑤a·（a－2b）. 二、利用向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题 探究3　设平面向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？那么对于空间向量是不是也有类似的结论？ ⚪梳理教材 空间向量的平行、垂直的坐标表示 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）且b≠0，则a∥b⇒＝＝.（　 　） （2）若四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同.（　 　） （3）“两个空间向量同向”是“两个空间向量平行”的充分不必要条件.（　 　） 【典例2】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点. 求证：（1）AB1∥GE，AB1⊥EH；（2）A1G⊥平面EFD. ⚪解题感悟 判断空间向量垂直或平行的步骤 （1）向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行. （2）向量关系代数化：写出向量的坐标. （3）对于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），a≠0，b≠0，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是不是0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2（λ∈R）或＝＝（x2，y2，z2都不为0）判断两向量是否平行. [提醒]由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程（组）求解即可. 【练习2】　已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设＝a，＝b. （1）设向量c＝（－，－1，1），判断2a－b与c是否平行； （2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值. 三、利用向量的坐标运算解决空间中的夹角、距离问题 探究4　你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ ⚪梳理教材 1.若a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），cos＜a，b＞＝＝ . 2.空间两点间的距离公式 设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）是空间中任意两点，则P1P2＝｜｜＝ . 【典例3】　已知正三棱柱ABC－A1B1C1，AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求三棱柱的侧棱长； （2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值. ⚪解题感悟 　　1.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 （1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系. （2）利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标. （3）利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角. 2.利用向量坐标公式求空间中线段的长度的一般步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系. （2）求出以线段端点为起点和终点的向量的坐标. （3）利用向量的模的计算公式求出线段的长. 【练习3】　（1）已知a＝（－1，2，1），b＝（3，x，y），且a∥b，那么｜b｜＝（　 　） A.3 B.6 C.9 D.18 (2)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点． ①求证：EF⊥B1C; ②求FH的长； ③求异面直线EF与C1G所成角的余弦值． ⚪课堂达标 1.已知a＝（3，－2，1），b＝（－2，4，0），则4a＋2b＝（　 　） A.（16，0，4） B.（8，－16，4） C.（8，16，4） D.（8，0，4） 2.若在△ABC中，C＝90°，A（1，2，－3k），B（－2，1，0），C（4，0，－2k），则实数k的值为（　 　） A. B.－ C.2 D.± 3.已知a＝（1，x，3），b＝（－2，4，y），若a∥b，则x－y＝ . 4.已知空间三点A（1，1，1），B（－1，0，4），C（2，－2，3），则与的夹角的大小是 . 5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，Q为A1A的中点. （1）求的长； （2）求cos＜，＞，cos＜，＞，并比较＜，＞，＜，＞的大小. 解析版 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 ⚪学习目标　1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. 2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些公式解决简单的几何问题. 一、空间向量的坐标运算 探究1　设平面向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b，a－b，λa，a·b的运算结果分别是什么？ 提示：a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1），a·b＝x1x2＋y1y2. 探究2　有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？ 提示：设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）， 与平面向量运算的坐标表示一样，我们有： a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）， a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）， λa＝（λa1，λa2，λa3），λ∈R， a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示. 设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k， 所以a·b＝（a1i＋a2j＋a3k）·（b1i＋b2j＋b3k）. 利用向量数量积的分配律以及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝0， 得a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3. 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的. ⚪梳理教材 　设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）. 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝　（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）　 减法 a－b a－b＝　（a1－b1，a2－b2，a3－b3）　 数乘 λa λa＝　（λa1，λa2，λa3）　，λ∈R 数量积 a·b a·b＝　a1b1＋a2b2＋a3b3　 ⚪温馨提示　对空间向量坐标运算的两点说明 （1）空间向量的加法、减法、数乘和数量积都与平面向量的类似，但应注意向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示，即a＝（x，y），而在空间中则表示为a＝（x，y，z）. （2）运算结果：空间向量的加法、减法、数乘的坐标运算结果依然是一个向量；空间向量的数量积的坐标运算结果是一个实数. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）在空间直角坐标系中，向量的坐标与终点B的坐标相同.（　✕　） （2）设A（0，1，－1），O为坐标原点，则＝（0，1，－1）.（　√　） 【典例1】　（1）已知a＝（－1，2，1），b＝（2，0，1），则（2a＋3b）·（a－b）＝　－4　. （2）在△ABC中，A（2，－5，3），＝（4，1，2），＝（3，－2，5）. ①求顶点B，C的坐标； ②求； ③若点P在AC上，且＝，求点P的坐标. [解]　①设B（x，y，z），C（x1，y1，z1）， 所以＝（x－2，y＋5，z－3），＝（x1－x，y1－y，z1－z）. 因为＝（4，1，2）， 所以解得 所以点B的坐标为（6，－4，5）. 因为＝（3，－2，5）， 所以解得 所以点C的坐标为（9，－6，10）. ②因为＝（－7，1，－7）， 所以＝－21－2－35＝－58. ③设P（x2，y2，z2）， 则＝（x2－2，y2＋5，z2－3）， ＝（9－x2，－6－y2，10－z2）， 于是有（x2－2，y2＋5，z2－3）＝（9－x2，－6－y2，10－z2）， 所以 解得 故点P的坐标为（，－，）. ⚪解题感悟 空间向量坐标运算的解题方法 （1）由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定. （2）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算. （3）由条件求向量或点的坐标：把向量用坐标形式设出来，通过解方程（组），求出其坐标. 【练习1】　已知a＝（－2，0，－5），b＝（3，2，－1），求下列各式的值. ①a·a；②｜b｜；③a·b；④（3a＋2b）·（a－b）；⑤a·（a－2b）. 解：①a·a＝a2＝（－2）2＋02＋（－5）2＝29. ②｜b｜＝＝＝. ③a·b＝（－2）×3＋0×2＋（－5）×（－1）＝－1. ④（3a＋2b）·（a－b）＝3a2－a·b－2b2＝3×29－（－1）－2×14＝60. ⑤a·（a－2b）＝a2－2a·b＝29－2×（－1）＝31. 二、利用向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题 探究3　设平面向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？那么对于空间向量是不是也有类似的结论？ 提示：a∥b⇔a＝λb（λ∈R）⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 对于空间向量也有类似的结论. ⚪梳理教材 　空间向量的平行、垂直的坐标表示 设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0. ⚪判断正误（正确的打“√”，错误的打“✕”） （1）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）且b≠0，则a∥b⇒＝＝.（　✕　） （2）若四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同.（　√　） （3）“两个空间向量同向”是“两个空间向量平行”的充分不必要条件.（　√　） 【典例2】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点. 求证：（1）AB1∥GE，AB1⊥EH； 证明：如图，以A为坐标原点，{，，}为正交基底建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1）. 由中点坐标公式，得E（1，1，），F（1，，0），G（，1，0），H（，，1）. （1）由＝（1，0，1），＝（，0，），＝（－，－，），得＝2，＝1×（－）＋0＋1×＝0，所以∥（A∉GE），⊥，所以AB1∥GE，AB1⊥EH. （2）A1G⊥平面EFD. 证明：如图，以A为坐标原点，{，，}为正交基底建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1），C1（1，1，1）. 由中点坐标公式，得E（1，1，），F（1，，0），G（，1，0），H（，，1）. （2）＝（，1，－1），＝（1，－，0），＝（1，0，）.因为＝－＋0＝0，＝＋0－＝0，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE. 又因为DF∩DE＝D，DF，DE⊂平面EFD，所以A1G⊥平面EFD. ⚪解题感悟 判断空间向量垂直或平行的步骤 （1）向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行. （2）向量关系代数化：写出向量的坐标. （3）对于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），a≠0，b≠0，根据x1x2＋y1y2＋z1z2是不是0判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2（λ∈R）或＝＝（x2，y2，z2都不为0）判断两向量是否平行. [提醒]由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程（组）求解即可. 【练习2】　已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设＝a，＝b. （1）设向量c＝（－，－1，1），判断2a－b与c是否平行； （2）若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值. 解：（1）因为a＝＝（1，1，0）， b＝＝（－1，0，2）， 所以2a－b＝（3，2，－2）， 又c＝（－，－1，1）， 所以2a－b＝－2c， 所以（2a－b）∥c. （2）因为a＝＝（1，1，0），b＝＝（－1，0，2）， 所以ka＋b＝（k－1，k，2）， ka－2b＝（k＋2，k，－4）. 因为（ka＋b）⊥（ka－2b）， 所以（ka＋b）·（ka－2b）＝0， 即（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－. 三、利用向量的坐标运算解决空间中的夹角、距离问题 探究4　你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？ 提示：如图，建立空间直角坐标系Oxyz， 设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）是空间中任意两点，＝－＝（x2－x1，y2－y1，z2－z1），于是｜｜＝ ＝， 所以P1P2＝｜｜ ＝， 因此，空间中已知两点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）， 则AB＝｜｜＝. ⚪梳理教材 1.若a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），cos＜a，b＞＝＝　　. 2.空间两点间的距离公式 设P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）是空间中任意两点，则P1P2＝｜｜＝　　. 【典例3】　已知正三棱柱ABC－A1B1C1，AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求三棱柱的侧棱长； （2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值. [解]　（1）设侧棱长为b，b＞0，易知A（0，－1，0），B1（，0，b），B（，0，0），C1（0，1，b），C（0，1，0）， 所以＝（，1，b），＝（－，1，b）. 因为AB1⊥BC1，所以＝（，1，b）·（－，1，b）＝＋12＋b2＝0， 所以b＝.故侧棱长为. （2）由（1）知，＝（，1，）， ＝（－，1，0）， 因为｜｜＝＝， ｜｜＝＝2，＝（，1，）·（－，1，0）＝－（）2＋1×1＝－2，所以｜cos＜，＞｜＝＝＝.所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为. ⚪解题感悟 　　1.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 （1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系. （2）利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标. （3）利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角. 2.利用向量坐标公式求空间中线段的长度的一般步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系. （2）求出以线段端点为起点和终点的向量的坐标. （3）利用向量的模的计算公式求出线段的长. 【练习3】　（1）已知a＝（－1，2，1），b＝（3，x，y），且a∥b，那么｜b｜＝（　A　） A.3 B.6 C.9 D.18 解析：根据题意，设b＝ka（k∈R），又a＝（－1，2，1），b＝（3，x，y）所以（3，x，y）＝k（－1，2，1），则k＝－3，所以x＝－6，y＝－3，所以b＝（3，－6，－3），故｜b｜＝＝3.故选A. (2)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点． ①求证：EF⊥B1C; ②求FH的长； ③求异面直线EF与C1G所成角的余弦值． 解：①证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点， 则E(0，0，)，F(，，0)，C(0，1，0)，B1(1，1，1)， ＝(，，0)－(0，0，)＝(，，－)， ＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1). ∴·＝×(－1)＋×0＋(－)×(－1)＝0，∴⊥，即EF⊥B1C. ②∵F(，，0)，H(0，，)， ∴＝(－，，)，∴||＝＝. ∴FH的长为. ③∵C1(0，1，1)，G(0，，0)， ∴＝(0，，0)－(0，1，1)＝(0，－，－1).∴||＝. 由①得·＝×0＋×(－)＋(－)×(－1)＝，||＝， ∴|cos 〈，〉|＝＝. 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. ⚪课堂达标 1.已知a＝（3，－2，1），b＝（－2，4，0），则4a＋2b＝（　D　） A.（16，0，4） B.（8，－16，4） C.（8，16，4） D.（8，0，4） 解析：4a＋2b＝4（3，－2，1）＋2（－2，4，0）＝（12，－8，4）＋（－4，8，0）＝（8，0，4）. 2.若在△ABC中，C＝90°，A（1，2，－3k），B（－2，1，0），C（4，0，－2k），则实数k的值为（　D　） A. B.－ C.2 D.± 解析：∵＝（－6，1，2k），＝（－3，2，－k），C＝90°，∴＝（－6）×（－3）＋2＋2k·（－k）＝－2k2＋20＝0，∴k＝±. 3.已知a＝（1，x，3），b＝（－2，4，y），若a∥b，则x－y＝　4　. 解析：因为a∥b，所以b＝λa，λ∈R，所以解得所以x－y＝4. 4.已知空间三点A（1，1，1），B（－1，0，4），C（2，－2，3），则与的夹角的大小是　120°　. 解析：因为＝（－2，－1，3），＝（－1，3，－2）， cos＜，＞＝＝＝－，所以＜，＞＝120°. 5.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，Q为A1A的中点. （1）求的长； （2）求cos＜，＞，cos＜，＞，并比较＜，＞，＜，＞的大小. 解：建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 由已知，得C（0，0，0），B（0，1，0），Q（1，0，1），B1（0，1，2），A1（1，0，2）. ∴＝（1，－1，1），＝（0，1，2），＝（1，－1，2）. （1）｜｜＝＝. （2）∵＝0－1＋2＝1，｜｜＝，｜｜＝＝， ∴cos＜，＞＝＝. ∵＝0－1＋4＝3，｜｜＝＝，｜｜＝， ∴cos＜，＞＝＝. ∵0＜＜＜1， ∴＜，＞，＜，＞∈（0，）. 又y＝cos x在（0，）内单调递减， ∴＜，＞ ＞ ＜，＞. 页 学科网（北京）股份有限公司 $