1.3空间直角坐标系导学案——2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦空间向量及其运算的坐标表示，引导学生从平面直角坐标系过渡到空间直角坐标系，通过知识梳理填空搭建学习支架，结合例题与变式题深化对空间点坐标、向量坐标运算的理解。 以吴文俊先生的话引入数形结合思想，通过表格系统呈现向量运算规则，梯度化习题设计培养学生空间观念与运算能力，易错点提示助力规范思维，符合用数学眼光观察、用数学思维推理的核心素养要求。

第一章　空间向量与立体几何 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 学习目标1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置。2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 问题 我国著名数学家吴文俊先生指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法……。如何理解这段话？ 参考答案　数学不能把代数、几何割裂分开讲， 必须贯穿数形结合核心思想，学会用代数工具解决几何问题。 一、空间直角坐标系 知识梳理 (1)空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个 基底{}。以点O为原点,分别以的方向为 、以它们的长为 建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴。这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做 ,都叫做 。 (2)通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分。 (3)空间直角坐标系的画法:画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy= , ∠yOz= 。 (4)右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向 的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系。 (5)点的坐标:在单位正交基底{}下与向量=x+y+z对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作 ,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标。 (6)向量的坐标:在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=。由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=x+y+z。有序实数组 叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作 。 【例1】如图，正方体的棱长为2，是上的点，且，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示,在三棱锥O⁃ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=1,OB=2,OC=3,E,F分别为AC,BC的中点,建立以,,方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系Oxyz,求EF中点P的坐标。 【变式1-2】若空间一点在轴上，则（ ） A．1 B．0 C． D． 【变式1-3】已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，先建立空间直角坐标系. （1）求各顶点的坐标； （2）若点D在线段PC上靠近点P的三等分点，求点D的坐标. 【例2】在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4)。 (1)求点P关于x轴的对称点的坐标; (2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标; (3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标。 【变式2-1】（多选）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（ ） A．点的坐标为，5， B．点关于点对称的点为，8， C．点关于直线对称的点为，5， D．点关于平面对称的点为，5， 【变式2-2】在空间直角坐标系中，点和点的位置关系是（ ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于平面对称 D．关于平面对称 二、空间向量的坐标运算 知识梳理 (1)空间向量的坐标 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 (2)设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)。则有 向量运算 坐标表示 加法 +=( ) 减法 -=( ) 数乘 λ=( (λ∈R) 数量积 ·= 2.空间向量的平行、垂直及模和夹角 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 ∥ =λ(≠0) a1=λb1,a2=λb2, a3=λb3(λ∈R) ⊥ ·=0 模 ||= ||= 夹角 cos<,>= cos<,>= （3）空间两点间的距离公式 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=||=。 【例3】在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立适当的空间直角坐标系,并写出,,的坐标。 【变式3-1】已知点，向量，则点坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，，，则的值为（ ） A． B．5 C．7 D．36 【变式3-3】已知向量，，若，则k的值等于（ ） A．1 B． C． D． 【变式3-4】已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 【变式3-5】已知空间向量，，，则（ ） A． B． C． D． 【例4】在四棱锥P⁃ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2。 (1)求BP的长; (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值。 【变式4-1】已知点､，则的最小值为（ ） A．3 B．1 C． D． 易错点提示（1）在给定的空间直角坐标系下,空间任意一点与有序实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系。（2）“关于谁对称谁不变,其余的相反”（3）∥不能写成== ，当b1,b2,b3存在取0值时不成立。 巩固加练 1.如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,B1E=A1B1,则= ( ) A. B. C. D. 2.在空间直角坐标系中,点P(1,,),过点P作平面Oxy的垂线PQ,则点Q的坐标为 ( ) A.(0,,0) B.(0,,) C.(1,0,) D.(1,,0) 3.已知=(1,2,-y),=(x,1,2),且(+2)∥(2-),则 ( ) A.x=,y=-4 B.x=,y=4 C.x=2,y=- D.x=1,y=-1 4.若△ABC中,∠C=90°,点A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为 ( ) A. B.- C.2 D.± 5.（多选）对于任意非零向量，，以下说法错误的有( ) A．若，则 B．若，则 C． D．若，则为单位向量 6.（多选）已知点P是△ABC所在的平面外一点,若=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),则 ( ) A.AP⊥AB B.AP⊥BP C.BC= D.AP∥BC 7.如图所示,正四面体ABCD的棱长为1,G是△BCD的中心,建立如图所示的空间直角坐标系,则的坐标为  ,的坐标为  。  8.如图,将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,的长为,的长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧。则异面直线B1C与AA1所成角的大小为  。  9.在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点。 (1)求证:EF⊥CF; (2)求与所成角的余弦值; (3)求CE的长。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章　空间向量与立体几何 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 学习目标1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置。2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 问题 我国著名数学家吴文俊先生指出:“数学研究数量关系与空间形式,简单讲就是形与数,对于研究空间形式,你要真正的‘腾飞’,不通过数量关系,我想不出有什么好的办法……。如何理解这段话？ 参考答案　数学不能把代数、几何割裂分开讲， 必须贯穿数形结合核心思想，学会用代数工具解决几何问题。 一、空间直角坐标系 知识梳理 (1)空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底{}。以点O为原点,分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴。这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,都叫做坐标向量。 (2)通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分。 (3)空间直角坐标系的画法:画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°。 (4)右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系。 (5)点的坐标:在单位正交基底{}下与向量=x+y+z对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标。 (6)向量的坐标:在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=。由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=x+y+z。有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作=(x,y,z)。 【例1】如图，正方体的棱长为2，是上的点，且，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于平面，(2,2,0)，故设因为，所以，故． 【变式1-1】如图所示,在三棱锥O⁃ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=1,OB=2,OC=3,E,F分别为AC,BC的中点,建立以,,方向上的单位向量为正交基底的空间直角坐标系Oxyz,求EF中点P的坐标。 【答案】(,,) 【解析】因为C（0,0,3）A（1,0,0）B（0,2,0）,所以E（，0，），F（0，，） 所以点P的坐标为(,,)。 【变式1-2】若空间一点在轴上，则（ ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【解析】因为空间一点在轴上，所以，解得；故选：D 【变式1-3】已知三棱锥中，平面ABC，，若，，，先建立空间直角坐标系. （1）求各顶点的坐标； （2）若点D在线段PC上靠近点P的三等分点，求点D的坐标. 【答案】（1）答案见解析，（2） 【解析】（1）因为平面ABC，所以，，又因为，所以建立以点A为原点，以射线AB、AC、AP为x轴、y轴、z轴的正半轴的空间直角坐标系，如图所示 ：因为，，， 所以、、、； （2）若D点在线段PC上靠近P点的三等分点，所以， 设点D的坐标为，则 【例2】在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4)。 (1)求点P关于x轴的对称点的坐标; (2)求点P关于Oxy平面的对称点的坐标; (3)求点P关于点M(2,-1,-4)的对称点的坐标。 【答案】（1）P1(-2,-1,-4)，（2）P2(-2,1,-4)，(3)P3(6,-3,-12) 【解析】(1)由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P1(-2,-1,-4)。 (2)由于点P关于Oxy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数,所以对称点为P2(-2,1,-4)。 (3)设对称点为P3(x,y,z),则点M为线段PP3的中点,由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,所以P3(6,-3,-12)。 【变式2-1】（多选）如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则（ ） A．点的坐标为，5， B．点关于点对称的点为，8， C．点关于直线对称的点为，5， D．点关于平面对称的点为，5， 【答案】ACD 【解析】对A，由图可得，的坐标为，5，，故A正确； 对B，由图，，，设点关于点对称的点为则 ，解得，故，故B错误； 对C，在长方体中，所以四边形为正方形，与垂直且平分，即点关于直线对称的点为，选项C正确； 对D，因为平面，故点关于平面对称的点为，即，选项D正确； 故选：ACD. 【变式2-2】在空间直角坐标系中，点和点的位置关系是（ ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于平面对称 D．关于平面对称 【答案】C 【解析】在空间直角坐标系中，点和点两点x坐标，z坐标相同，y坐标相反，所以和点关于xOz平面对称，故选：C. 二、空间向量的坐标运算 知识梳理 (1)空间向量的坐标 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。 (2)设=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)。则有 向量运算 坐标表示 加法 +=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) 减法 -=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) 数乘 λ=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R) 数量积 ·=a1b1+a2b2+a3b3 2.空间向量的平行、垂直及模和夹角 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 ∥ =λ(≠0) a1=λb1,a2=λb2, a3=λb3(λ∈R) ⊥ ·=0 a1b1+a2b2+a3b3=0 模 ||= ||= 夹角 cos<,>= cos<,>= （3）空间两点间的距离公式 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=||=。 【例3】在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立适当的空间直角坐标系,并写出,,的坐标。 【答案】=(0,0,2),=,= 【解析】分别取BC,B1C1的中点D,D1,连接DD1,DA,由题意得DC,DA,DD1两两垂直,所以以D为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示。因为AD=,DC=,所以（0，，0），（0，，2）,（-, 0,2）,（, 0,2） =(0,0,2),=,=。 【变式3-1】已知点，向量，则点坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设点，则向量，所以，所以点. 故选：D 【变式3-2】若，，，则的值为（ ） A． B．5 C．7 D．36 【答案】B 【解析】，.故选：B 【变式3-3】已知向量，，若，则k的值等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得=，2，且，所以得，即2k+8k=2，解得k=. 故选：D 【变式3-4】已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】对于A选项：，不存在，使得，故A错误； 对于B选项：，，故B正确； 对于C选项：，，则，故C正确； 对于D选项：，，所以，故D正确； 故选：BCD 【变式3-5】已知空间向量，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，空间向量，，，可得，则. 故选：A. 【例4】在四棱锥P⁃ABCD中,PD⊥平面ABCD,PA与平面ABCD所成的角为60°,在四边形ABCD中,∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2。 (1)求BP的长; (2)求异面直线PA与BC所成角的余弦值。 【答案】(1)4 (2) 【解析】(1)如图,建立空间直角坐标系。因为∠ADC=∠DAB=90°,AB=4,CD=1,AD=2,所以A(2,0,0),C(0,1,0),B(2,4,0),由PD⊥平面ABCD,得∠PAD为PA与平面ABCD所成的角,所以∠PAD=60°。在Rt△PAD中,由AD=2,得PD=2。所以P(0,0,2)。所以BP==4。 (2)由(1)得,=(2,0,-2),=(-2,-3,0),所以cos<,>==-,所以异面直线PA与BC所成角的余弦值为。 【变式4-1】已知点､，则的最小值为（ ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题意， 当时，，故选：A 易错点提示（1）在给定的空间直角坐标系下,空间任意一点与有序实数组(x,y,z)之间存在唯一的对应关系。（2）“关于谁对称谁不变,其余的相反”（3）∥不能写成== ，当b1,b2,b3存在取0值时不成立。 巩固加练 1.如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,B1E=A1B1,则= ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】=+=k-j=。 2.在空间直角坐标系中,点P(1,,),过点P作平面Oxy的垂线PQ,则点Q的坐标为 ( ) A.(0,,0) B.(0,,) C.(1,0,) D.(1,,0) 【答案】D 【解析】由于点Q在Oxy平面内,故其竖坐标为0,又PQ⊥平面Oxy,故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同,从而点Q的坐标为(1,,0)。 3.已知=(1,2,-y),=(x,1,2),且(+2)∥(2-),则 ( ) A.x=,y=-4 B.x=,y=4 C.x=2,y=- D.x=1,y=-1 【答案】A 【解析】因为+2=(1+2x,4,4-y),2-=(2-x,3,-2y-2),且(+2)∥(2-),所以3(1+2x)=4(2-x)且3(4-y)=4(-2y-2),解得x=,y=-4 4.若△ABC中,∠C=90°,点A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为 ( ) A. B.- C.2 D.± 【答案】D 【解析】因为=(-6,1,2k),=(-3,2,-k),∠C=90°,则·=(-6)×(-3)+2+2k×(-k)=-2k2+20=0,所以k=± 5.（多选）对于任意非零向量，，以下说法错误的有( ) A．若，则 B．若，则 C． D．若，则为单位向量 【答案】BD 【解析】对于A选项，因为，则，A选项正确； 对于B选项，若，且，，若，但分式无意义，B选项错误； 对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知，C选项正确； 对于D选项，若，则，此时，不是单位向量，D选项错误. 故选：BD. 6.（多选）已知点P是△ABC所在的平面外一点,若=(-2,1,4),=(1,-2,1),=(4,2,0),则 ( ) A.AP⊥AB B.AP⊥BP C.BC= D.AP∥BC 【答案】AC 【解析】因为·=0,故A正确;=(3,-3,-3),·=3+6-3=6≠0,故B不正确;=(6,1,-4),||==,故C正确;=(1,-2,1),=(6,1,-4),各个对应分量的比值不同,故D不正确。 7.如图所示,正四面体ABCD的棱长为1,G是△BCD的中心,建立如图所示的空间直角坐标系,则的坐标为  ,的坐标为  。  【答案】（0,0,-） （0,-,-） 【解析】由题意可知,BG=BE=×=,所以AG==,所以=（0,0,-）,=-=（0,-,-） 8.如图,将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,的长为,的长为,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧。则异面直线B1C与AA1所成角的大小为  。  【答案】 【解析】以O为原点,OA,OO1所在直线分别为y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A(0,1,0),A1(0,1,1),B（,,1）,C。所以=(0,0,1),=(0,-1,-1),则·=02+0×(-1)+1×(-1)=-1,所以cos<,>===-。因此,异面直线B1C与AA1所成角为。 9.在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点。 (1)求证:EF⊥CF; (2)求与所成角的余弦值; (3)求CE的长。 【答案】（1）证明见详解（2）（3） 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz。则D(0,0,0),E,C(0,1,0),F,,0）,G,所以=（,,-）,=（,-,0）,=,=（0,-1,） (1)证明:因为·=×+×+×0=0,所以⊥,即EF⊥CF。 (2)因为·=×1+×0+=, ||==,||==,所以cos<,>===。 (3)CE=||==。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $