专题02 勾股定理中的翻折模型（几何模型讲义）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学讲义通过模型分类框架系统梳理了勾股定理中翻折模型的知识体系，将矩形翻折（折痕过对角线、顶点、边上任意两点）和三角形翻折（角平分线、斜边中点、任意两点）六大模型按“条件-结论-证明”逻辑呈现，突出轴对称性质与勾股定理的内在联系及“几何+方程”的核心重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与“设元+勾股列方程”方法指导，A组基础题巩固模型应用，C组压轴题结合动点问题（如矩形折叠后直角三角形存在性），培养推理能力与模型意识。易错点总结（如对应边标注）和万能口诀帮助学生突破难点，教师可据此实施分层教学，助力不同层次学生提升几何计算能力。

专题02.勾股定理中的翻折模型 勾股翻折模型是八年级几何计算的核心题型，承接轴对称变换与勾股定理两大知识点，是学生从纯几何证明过渡到 “几何 + 方程” 综合计算的关键。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角； 它常常和矩形、正方形结合出现在填空压轴，也可以和K型全等、动点问题嵌套在一起。熟练掌握本模型的设元+勾股列方程的套路后，可以解决初中绝大多数折叠求值类问题，完善勾股专题的解题体系。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 4 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 8 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶角的角平分线模型 10 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 15 易错点与方法总结 18 模型运用 19 A组（基础题） 19 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 29 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 1）轴对称折叠性质：对应边相等，对应角相等； 2）矩形、直角三角形边角特征，直角识别； 3）勾股定理：a2+b2=c2； 4）线段和差表示，用未知数表示线段长度；一元一次方程解法。 勾股中的翻折（折叠）属于轴对称变换，核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。 解题核心思路：把折叠产生的等线段标注在图形上，将所求线段设为未知数，利用矩形 / 直角三角形自带的直角，锁定 Rt△，以勾股定理为等量关系列出一元一次方程，解方程求出线段长度。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 【模型提炼与证明】 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·成都·校考期中）如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：设与交于点，作于点， 点A的坐标为，点C的坐标为，，， 四边形是矩形，， ，由翻折变换的性质可知，， ，，在中，设，则， 由勾股定理得，解得，即，， 在中，，， 由得，， 在中，由勾股定理得， ，点的坐标为，故答案为：． 【典例2】（25-26八年级下·湖北·阶段练习）如图，在长方形中，，，，，且，将长方形沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E．则线段的长为 ． 【答案】3 【详解】解：长方形纸片沿折叠，∴， ∵在长方形纸片中，，，∴， ∴，∴，设，∴， ∴，解得：，∴；故答案为：3． 【典例3】（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点D落在点处， (1)求证：；(2)求重叠部分的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：由题意得，， 由折叠的性质可得，∴， 又∵，∴，∴； （2）解：设，则， 在中，由勾股定理得：，∴，解得， ∴，∴． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 【模型提炼与证明】 矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在矩形中，，，点E为上一点，把沿翻折，点C恰好落在边上的点F处，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解: 在矩形中，，， 设，则，把沿翻折，点C恰好落在边上的点F处， 在中，由勾股定理，得，， 在中，由勾股定理，得，即，解得，．故选：A． 【典例2】（25-26八年级下·重庆·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， ∴，由折叠的性质得：， ∴，，，∴，， 设，则，，在中，由勾股定理得：， 即，解得：，故选：B． 【典例3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： 当点落在矩形内部时，，如图所示： ∵沿折叠，点落在点处，∴，，， ∴，∴，∴点，，共线， 在中，，，∴，∴， 设，则，，在中，∵， ∴，解得：，∴； ②当点落在边上时，，如图所示：此时四边形为正方形，∴， 综上所述，的长为或3，故答案为：或； 【典例4】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形中，，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（    ） A．3 B． C．3.6 D． 【答案】D 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，，， 根据折叠的性质，得，，， ∵，∴，∴，， ∴，∴，∴，设， ∴，，， 根据勾股定理，得，解得，故，故选：D． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 【模型提炼与证明】 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 【模型运用】 【典例1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 【答案】/ 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵是中点，∴， 由折叠的性质得到：，设，∴，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：． 【典例2】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵在矩形纸片中，，，设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中，即解得． ∴的面积为：故答案为． 【典例3】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 【答案】5 【详解】解：设，则，由折叠知， 在中，由勾股定理得：， ，解得，故答案为：5 【典例4】（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上． (1)如图（1），当折痕的另一端F在边上且时，求的长． (2)如图（2），当折痕的另一端F在边上且时，①求证：． ②求的长． 【答案】(1)(2)①见解析；② 【详解】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处，∴， ∵，∴，在中，， 即，解得：； （2）解：①∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处，∴， ∵长方形纸片的边，∴，∴，∴； ②∵纸片折叠后顶点B落在边上的E点处， ∴，，，∴， 在中，，∴． 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 【模型提炼与证明】 三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 模型中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 【模型运用】 【典例1】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 【答案】D 【详解】解：设，根据折叠的性质得，∴， ∵根据勾股定理，得，∴，解得， ∴，∴阴影部分的面积．故选：D． 【典例2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则的长度是 ． 【答案】 【详解】解：由折叠性质可知，，，， ∵，，∴，， ∴，，∴垂直平分，，∴， 在中，由勾股定理得，，∴， ∴，∴，故答案为：． 【典例3】（24-25·河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，于， 将沿直线翻折，，，， ，，，，，， ，， ，， ，，，，故答案为：． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 【模型提炼与证明】 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 模型中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，将沿翻折与重合，若．则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵将沿翻折与重合，∴， ∵，∴，∵∠C=90°，∴， ∴，解得：，故答案为：． 【典例2】（24-25·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______ 【答案】 【详解】解：连接，延长交于点G，作于点H，如图所示， 由折叠的性质可得：，则为的中垂线，∴， ∵D为中点，∴，∴， ∵，即，∴，即， 在直角三角形中，由勾股定理可得：，∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：． 【典例3】（2526八年级下·广东·期中）已知中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接，过作于，∵，，， ∴由勾股定理得，由折叠可得，与全等，    ∵的面积是面积的一半，， ∴的面积是面积的一半，，∴F是的中点，∴ 又∵是的中点，∴，即是的中点， 又∵，∴，∴， 又∵，∴中，，故选：A． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型提炼与证明】 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为 ． 【答案】3 【详解】解：由折叠的性质知，设，则， ∵，，∴，即，解得，故答案为：3． 【典例2】（2026·河南·校考一模）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或． 【详解】解：在中，，，∴； ①当时，如图，由折叠得：， ∴，设，则， 在中，，∴，解得，，即：； ②当时，如图，由折叠得，， ∵，∴，又，∴， 设，则，∴, ∵，∴，解得：， 经检验，是原方程的解，∴；综上，的长为或． 【典例3】（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长；(2)求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，是的中点，∴， 在中，由勾股定理得； （2）解：由折叠的性质可得， ∴，设，则， 在中，由勾股定理得，∴，解得，∴． 模型常见易错点 1）看错折叠对应边，等量标注错误； 错误：随便找两条线段当作折叠相等线段，对应关系混乱。 正解：找准折叠前后的对应顶点，顶点一一对应，再写相等线段。 2）不会用代数式表示线段，只会硬算； 很多学生只愿意用数字计算，不习惯设 x，无法把零散线段转化为代数式，不能建立方程。 3）找错直角三角形，在斜三角形里套用勾股； 勾股定理只适用于直角三角形，折叠后很多三角形并非直角三角形，盲目列式导致方程错误。 4）线段和差运算出错，总长减未知时符号写错； 在矩形折叠中，边长 = 总长−折线段，代数式书写出错，方程建立错误。 5）解答题只计算数值，不写折叠性质的文字说明； 书写扣分：直接列方程，没有先写 “由折叠可知：XX=XX”，逻辑链条缺失。 解题方法总结 步骤 1：利用折叠，写出等量线段： 由折叠的性质可得：____ = ____ 步骤 2：设未知数，用 x 表示相关线段：设所求线段EC=x，则其余线段用含x的式子表达。 步骤 3：确定直角三角形，写出直角条件：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠C=90° 步骤 4：根据勾股定理列出方程：在 Rt△____中，由勾股定理得：直角边² + 直角边² = 斜边²，列出方程。 步骤 5：解方程，求出未知数，写出答案 万能口诀 折叠先找对应边，设元代换各线段；锁定直角三角形，勾股方程解答案。 1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，则．根据图形折叠的性质得：． ∵四边形为长方形，∴．∴． 在和中∵，∴．∴． 在中，即．解得：．∴．故选：A． 2．（2025·河南南阳·统考一模）如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标为，将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点．那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，∵矩形沿对角线翻折，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴，，∴， 在中，，∴，解得：， ∴，∴点的坐标为．故选：A． 3．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是长方形，∴，，， ∵折叠长方形的一边，点D落在边的点F处， ∴，,， ∴，∴， 在中，由勾股定理得到，即， 解得故选：A． 4．（24-25八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接，，， 在中，，，，， ，设，则， 在中，，即：，解得：，．故选：A． 5．（2025广东广州·统考一模）如图，在中，，，，点在上，并且，点为上的动点（点不与点重合），将沿直线翻折，使点落在点处，的长为，则边的长为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故C正确．故选：C． 6．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【详解】解：∵长方形，∴，∴， ∵折叠，∴， ∴，∴，设，则：， 在中，由勾股定理，得：，解得：；∴；故选：C 7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，三角形纸片中，，，．D是边上一点，连接，把沿翻折，点B恰好落在延长线上的点处，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：由翻折可得为的角平分线，作于点，则， 在中，由勾股定理得， ，，， 又，，．故答案为：． 8．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知在矩形中，，，将这个矩形沿直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交边于点E，那么等于 度． 【答案】 【详解】解：由折叠可得：，∵，∴， ∵四边形为矩形，∴，在中，， ∴，∴，∴， ∵在中，，，∴， ∴，故答案为：． 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接，作交于点， 由四边形是正方形及折叠性知，，，，， 在中，，∵，为的中点， ∴，∴，解得，在中，， 在中，，∴， ∴，解得，，∴，∴， 在中，，故选：B． 2．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：点为的中点，，由折叠的性质可得：， 设，则，由勾股定理可得：， ，解得：，，故选：D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，，，是边上一点，将沿所在直线翻折得到交于当时，则的长为 【答案】 【详解】解：如图，作于H，于M， ∵，，∴，∵，∴，∴， ∵将沿所在直线翻折得到，且， ∴，，∴， ∴，∴．∴， ∴，∴，故答案为：． 4．（2026·湖北·模拟预测）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，（1）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ． （2）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ．    【答案】 【详解】解：（1）设，，， 长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处， ，，， ，，，故答案为：； （2）连接，如图所示：    折叠，，， 四边形是长方形，，，， ，，，，， ，．故答案为：． 5．（24-25·成都市·八年级专题练习）如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点点，若，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：连接，则在矩形中，根据翻折的性质和是的中点，可得： ，，，， 在与中， ∴；∴， ∵，，∴， ∴∴， 在中，故答案为：． 6．（24-25·广西·八年级专题练习）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________． 【答案】． 【详解】如图所示，∵，∴BC==8， ∵CD是上的中线，∴CD=BD=AD=5，设DE=x，BE=y， 根据题意，得，，解得x=，y=,∴,故答案为：． 7．（24-25八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，三角形纸片为边上一点，连接，把沿着翻折，得到与交于点，连接交于点，若的面积为2，则点到的距离为 ．    【答案】 【详解】解：，，，    由翻折可知，，，，， ，，，， 设点到的距离为，则有，，故答案为：． 8．（25-26·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为. （1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？ 【答案】（1）；（2）当时，点恰好落在边上,这时. 【详解】解：（1）由题意可得,∴ 设,则在中, ∴重叠的面积 （2）由题意可得∴    在中∵∴∴ 在中解得： 此时 ∴当时，点恰好落在边上 这时. 1．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）已知正方形的面积为81，点H是边上的一个动点，沿过点H的直线将正方形折叠，使顶点D恰好落在边上的三等分点E处，则线段的长是（   ） A．5.5 B．6.5 C．5或5.5 D．5或6.5 【答案】D 【详解】解：根据题意，得．∴．设，由折叠得 ． 如图①所示，当时，．由勾股定理，得，解得； 如图②所示，当时．由勾股定理，得，解得． 综上所述，DH的长为5或6.5．故选D． 2．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将沿折叠，使点落在边上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由翻折的性质可知，，， 在和中，，，， 四边形是矩形，， 四边形是矩形，，， 由翻折的性质可知，，，， ，，，，故选：C． 3．（2025·广东东莞·一模）矩形中，沿翻折到，，的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接交于点，连接交于点，连接，如图所示： 四边形为矩形，且，， ，，，，， 在中，由勾股定理得：， ，由折叠的性质可得：，， 由三角形的面积公式得：， ，，， ，，是的垂直平分线，， ，，， 在中， ， ，，即，是直角三角形， 在中，由勾股定理得：，故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在长方形纸片中，，，点在上，沿直线折叠长方形纸片，点B落在点F处，连接，当取最小值时，的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴当点F在上，则，此时的值最小， 如图，点F在上，∵四边形是矩形，∴，由折叠得，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴， 解得，故答案为：． 5．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在直角三角形中，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处． ①的长为 ；②当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】 6或 【详解】解：（1）在直角三角形中，，，， ，，；故答案为：； （2）∵点D是边上的一点，∴，∴当是直角三角形时，或， ①当时，则， ∵将沿折叠，使点C落在点E处，∴，∴， ②当时，∵将沿折叠，使点C落在点E处， ∴，∴，∴点E在上，如图， ∴，∴， ∵，∴，∴， 综上所述，的长为 6或，故答案为：6或． 6．（2025·吉林·校考一模）如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，， ，，， ，是等腰直角三角形，，， 在中，由勾股定理得：，， 在中，由勾股定理得：，， ，故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点E，F分别在，上，将沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处．设线段的长度为m，则m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：当点H与点A重合时，有最小值，，则， 在中，，即，解得，∴， 若点与点重合时，有最大值，∴四边形是正方形， ∴，∴最大值为4，∴，故答案为：． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知在矩形纸片中，，点P在边上，连接．将该纸片沿折叠，使点B落在点E的位置，设与与直线的交点为Q． (1)如图①，当点P与点A重合时，连接．①求的长；②求的长； (2)如图②，当点P与点A不重合时，连接．若为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)①5；②； (2)或或4 【详解】（1）解：①由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形，∴，， ∴，∴，∴， 设，则，在中，由勾股定理得， ∴，解得，∴； ②如图所示，过点E作于H，由折叠的性质可得， 由（1）得，∴，∵， ∴，∴，∴，∴； （2）解：当时，在中，由勾股定理得，∴； 当时，由折叠的性质可得，， ∴，∴； 当时，在中，∴； 综上所述，的长为或或4． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02.勾股定理中的翻折模型 勾股翻折模型是八年级几何计算的核心题型，承接轴对称变换与勾股定理两大知识点，是学生从纯几何证明过渡到 “几何 + 方程” 综合计算的关键。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角； 它常常和矩形、正方形结合出现在填空压轴，也可以和K型全等、动点问题嵌套在一起。熟练掌握本模型的设元+勾股列方程的套路后，可以解决初中绝大多数折叠求值类问题，完善勾股专题的解题体系。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 4 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 8 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶角的角平分线模型 10 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 15 易错点与方法总结 18 模型运用 19 A组（基础题） 19 B组（能力提升题） 23 C组（综合压轴题） 29 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 1）轴对称折叠性质：对应边相等，对应角相等； 2）矩形、直角三角形边角特征，直角识别； 3）勾股定理：a2+b2=c2； 4）线段和差表示，用未知数表示线段长度；一元一次方程解法。 勾股中的翻折（折叠）属于轴对称变换，核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。 解题核心思路：把折叠产生的等线段标注在图形上，将所求线段设为未知数，利用矩形 / 直角三角形自带的直角，锁定 Rt△，以勾股定理为等量关系列出一元一次方程，解方程求出线段长度。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 【模型提炼与证明】 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·成都·校考期中）如图，四边形是矩形，点A的坐标为，点C的坐标为，把矩形沿折叠，点C落在点D处，则点D的坐标为 ． 【典例2】（25-26八年级下·湖北·阶段练习）如图，在长方形中，，，，，且，将长方形沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E．则线段的长为 ． 【典例3】（24-25八年级下·山东滨州·阶段练习）如图，在长方形中，，将长方形沿折叠，点D落在点处，(1)求证：；(2)求重叠部分的面积． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 【模型提炼与证明】 矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 【模型运用】 【典例1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在矩形中，，，点E为上一点，把沿翻折，点C恰好落在边上的点F处，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 【典例2】（25-26八年级下·重庆·阶段练习）如图，将长方形纸片折叠，使点D落在上的点处，折痕为．若，，则的长为（   ） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【典例3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，矩形中，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ． 【典例4】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）矩形中，，，为边上的一点，沿直线将翻折至（点落到点处）．如图与相交于点，且，则的长为（    ） A．3 B． C．3.6 D． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 【模型提炼与证明】 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 【模型运用】 【典例1】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 【典例2】（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为 ． 【典例3】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 【典例4】（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点B落在边上的E点处，折痕的一端G点在边上． (1)如图（1），当折痕的另一端F在边上且时，求的长． (2)如图（2），当折痕的另一端F在边上且时，①求证：． ②求的长． 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 【模型提炼与证明】 三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 模型中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 【模型运用】 【典例1】（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，为边上一点，把沿折叠，使落在直线上，则重叠部分（阴影部分）的面积为（   ） A．24 B．18 C．15 D．9 【典例2】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，为边上一点，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上，则的长度是 ． 【典例3】（24-25·河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 【模型提炼与证明】 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 模型中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 【模型运用】 【典例1】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，将沿翻折与重合，若．则的长为 ． 【典例2】（24-25·上海徐汇·八年级校联考期末）如图，点是的边的中点，将沿直线翻折能与重合，若，，，则点到直线的距离为_______ 【典例3】（2526八年级下·广东·期中）已知中，为斜边的中点．是直角边上的一点，连接，将沿折叠至交于点，若的面积是面积的一半，则为（    ） A．2 B．3 C． D． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型提炼与证明】 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在中，，点D，E分别在边上，连接，将沿折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在边上．若，，则的长为 ． 【典例2】（2026·河南·校考一模）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ． 【典例3】（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，在中，，，，是的中点，是边上一点，连接，．将沿直线翻折，点恰好落在上的点处． (1)求的长；(2)求的长． 模型常见易错点 1）看错折叠对应边，等量标注错误； 错误：随便找两条线段当作折叠相等线段，对应关系混乱。 正解：找准折叠前后的对应顶点，顶点一一对应，再写相等线段。 2）不会用代数式表示线段，只会硬算； 很多学生只愿意用数字计算，不习惯设 x，无法把零散线段转化为代数式，不能建立方程。 3）找错直角三角形，在斜三角形里套用勾股； 勾股定理只适用于直角三角形，折叠后很多三角形并非直角三角形，盲目列式导致方程错误。 4）线段和差运算出错，总长减未知时符号写错； 在矩形折叠中，边长 = 总长−折线段，代数式书写出错，方程建立错误。 5）解答题只计算数值，不写折叠性质的文字说明； 书写扣分：直接列方程，没有先写 “由折叠可知：XX=XX”，逻辑链条缺失。 解题方法总结 步骤 1：利用折叠，写出等量线段： 由折叠的性质可得：____ = ____ 步骤 2：设未知数，用 x 表示相关线段：设所求线段EC=x，则其余线段用含x的式子表达。 步骤 3：确定直角三角形，写出直角条件：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠C=90° 步骤 4：根据勾股定理列出方程：在 Rt△____中，由勾股定理得：直角边² + 直角边² = 斜边²，列出方程。 步骤 5：解方程，求出未知数，写出答案 万能口诀 折叠先找对应边，设元代换各线段；锁定直角三角形，勾股方程解答案。 1．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿对角线折叠，点D落在了位置，与相交于点E．则的长等于（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南南阳·统考一模）如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标为，将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点．那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）如图，折叠长方形的一边，点D落在边的点F处，已知，，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2025广东广州·统考一模）如图，在中，，，，点在上，并且，点为上的动点（点不与点重合），将沿直线翻折，使点落在点处，的长为，则边的长为（    ） A． B．3 C． D．4 6．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）如图，在长方形中，点在边上，将长方形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．8 7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，三角形纸片中，，，．D是边上一点，连接，把沿翻折，点B恰好落在延长线上的点处，则的长为 ． 8．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知在矩形中，，，将这个矩形沿直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交边于点E，那么等于 度． 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，，，是边上一点，将沿所在直线翻折得到交于当时，则的长为 4．（2026·湖北·模拟预测）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，（1）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ． （2）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ．    5．（24-25·成都市·八年级专题练习）如图，在矩形中，是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点点，若，，则的长为______． 6．（24-25·广西·八年级专题练习）已知，如图，在中，是上的中线，如果将沿翻折后，点的对应点，那么的长为__________． 7．（24-25八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，三角形纸片为边上一点，连接，把沿着翻折，得到与交于点，连接交于点，若的面积为2，则点到的距离为 ．    8．（25-26·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为. （1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？ 1．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）已知正方形的面积为81，点H是边上的一个动点，沿过点H的直线将正方形折叠，使顶点D恰好落在边上的三等分点E处，则线段的长是（   ） A．5.5 B．6.5 C．5或5.5 D．5或6.5 2．（24-25八年级下·四川内江·阶段练习）如图，在矩形中，，点、分别在边、上，将沿折叠，使点落在边上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东东莞·一模）矩形中，沿翻折到，，的长为 ． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在长方形纸片中，，，点在上，沿直线折叠长方形纸片，点B落在点F处，连接，当取最小值时，的长为 ． 5．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在直角三角形中，，，，点是边上的一点（不与、重合），连接，将沿折叠，使点落在点处． ①的长为 ；②当是直角三角形时，的长为 ． 6．（2025·吉林·校考一模）如图，在中，，点、为边上的点，连接、，将沿翻折，使点的对称点落在边上的点处；再将沿翻折，使点的对称点落在的延长线上的点处．若，，则的长为 ． 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点E，F分别在，上，将沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处．设线段的长度为m，则m的取值范围是 ． 8．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段练习）已知在矩形纸片中，，点P在边上，连接．将该纸片沿折叠，使点B落在点E的位置，设与与直线的交点为Q． (1)如图①，当点P与点A重合时，连接．①求的长；②求的长； (2)如图②，当点P与点A不重合时，连接．若为等腰三角形，求的长． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $