2.1 认识实数（知识解读）-2026-2027学年八年级数学上册《知识解读·题型专练》（北师大版）

本初中数学讲义聚焦“认识实数”核心知识点，以无理数的定义、特征及常见形式为起点，衔接实数的分类与数轴对应关系，构建从概念识别到大小估算、整数部分计算再到性质应用及勾股定理结合的学习支架。 资料通过题型系统归纳（6类题型含典例与变式）及随堂检测，培养学生抽象能力（如无理数识别）、运算能力（如大小比较）与应用意识（如勾股定理与数轴结合）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生强化练习、查漏补缺。

2.1 认识实数（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 【题型 2·无理数的大小估算】 3 【题型 3·无理数整数部分的有关计算 4 【题型·4·实数的性质】 6 【题型 5·实数的大小比较】 6 【题型 6·勾股定理与无理数】 8 【随堂检测】 9 知识点1 无理数 定义：无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【 题型·1.无理数的定义】 【典例1】（25-26七年级下·广东珠海·期末）下列四个数中，是无理数的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称， ∴，都是整数，是分数，都属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数． 【变式1-1】在下列实数中，无理数是（     ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】解：是分数，、是整数，均为有理数；是无理数． 【变式1-2】数，，，－，，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，无理数的个数为______． 【答案】3 【分析】根据无理数的定义，逐个判断各数即可得到无理数的个数． 【详解】解：，是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 故无理数有：，，（3和1之间依次多一个0），共个． 【变式1-3】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）下列实数：，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先明确无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，再逐个判断给出的实数，统计无理数的个数即可得到答案． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 中是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 中是无限不循环小数，因此也是无理数； 综上，无理数共有个． 【题型 2·无理数的大小估算】 【典例2】（25-26七年级下·广西崇左·期末）已知为整数，且，则______________． 【答案】5 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式求出整数的值． 【详解】解：， ， 即， 为整数，且， ． 【变式2-1】（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在数轴上表示的点可能是点（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴在数轴上表示的点可能是点． 【变式2-2】（25-26七年级下·广东广州·期末）介于两个相邻的整数之间，下列判断正确的是（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【详解】解： ，，且， ，即， 因此介于和之间， 故选：B． 【变式2-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如果，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找出与26相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再推导的取值范围即可. 【详解】解：∵ ， ∴ ，即 ， 不等式各边同时减1，得 ，即 . 题型 3·无理数整数部分的有关计算 【典例3】（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）阅读下面的文字，解答后面的问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【答案】(1)4； (2)1 【分析】（1）先估算的大小，继而即可求得其整数部分与小数部分； （2）分别估算的大小，进而求得a，b的值，代入代数式进行计算即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴的整数部分是4，小数部分是． 故答案为：4，； （2）∵， ∴， ∴的整数部分是2，小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分． ∴． 【点睛】本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握实数的运算法则是关键． 【变式3-1】（23-24七年级下·重庆·期末）估算的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算． 通过比较平方数估算的范围，从而确定的整数部分． 【详解】解：，，且， ， ， 的整数部分是3． 故选：B． 【变式3-2】（25-26八年级上·四川成都·期末）若的整数部分为，小数部分为，则_____． 【答案】 【分析】本题考查估算无理数的大小． 先估算的值，确定其整数部分和小数部分，再计算乘积即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】（23-24七年级下·新疆吐鲁番·期中）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，则___________． 【答案】2 【分析】本题考查无理数的估算； 先求出的范围，再求出的范围，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 故答案为：2 知识点2 实数 定义：有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【题型·4·实数的性质】 【典例4】（25-26七年级下·安徽淮南·期末）实数的相反数是________． 【答案】 【详解】解：的相反数为：． 【变式4-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数的相反数是__________． 【答案】 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此即可获得答案． 【详解】解：实数的相反数是． 【变式4-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）实数的相反数是______． 【答案】/ 【详解】解：的相反数为． 【变式4-3】（22-23七年级下·广西柳州·阶段检测）______． 【答案】 【分析】此题考查了实数的绝对值，根据和正数的绝对值是它本身进行解答即可． 【详解】解： 故答案为： 题型 5·实数的大小比较】 【典例5】（25-26七年级下·吉林四平·期末）比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】比较两个非负数的大小，可对两个数分别平方，通过比较平方结果的大小判断原数大小，平方结果更大的原数更大． 【详解】解：对两个数分别平方，可得，， ∵， ∴ 【变式5-1】（25-26七年级下·海南·期末）在实数，，，，中，最小的是________． 【答案】 【分析】先根据正负性判断，负数小于0和正数，再比较两个负数的大小，利用“绝对值大的负数反而小”得到结果. 【详解】解：对给出的数按正负分类：负数为，；非负数为，，； ∵负数小于所有非负数， ∴最小的数一定在和中； ∵，，， ∴根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得， 因此最小的数是. 【变式5-2】（25-26七年级下·广东广州·期中）比较大小： （1）______6； （2）______． 【答案】 【详解】（1）解： ∵，，且， ； （2）解： ∵，，且，，， ， ∴． 【变式5-3】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）比较大小：______（填“＞”或“＜”） 【答案】 ＞ 【分析】两个正分数比较大小，当分母相同时，只需比较分子的大小，先确定的范围，即可得到结果. 【详解】， ， 又与的分母相同，分母相同的正分数，分子越大分数值越大， . 【题型 6·勾股定理与无理数】 【典例6】（21-22八年级下·广西河池·阶段检测）如图，数轴上点A表示的实数是______． 【答案】/ 【分析】由图可知直角三角形的斜边长为，则点A表示的数可确定． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， ∴点A表示的数为． 【变式6-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】由勾股定理求出的长度，进而得的长度，则可求得点表示的数． 【详解】解：由勾股定理得， 由作图知， 则点表示的数为． 【变式6-2】（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）如图，在数轴上点表示的实数是_____． 【答案】 【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，结合数轴即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，数轴上点A、点D所表示的数分别为和，以为边长作正方形，以点D为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点E，那么点E表示的实数是________． 【答案】/ 【分析】本题根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数． 【详解】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是． 随堂检测 【随堂检测】 1．（22-23九年级下·河南郑州·开学考试）下列各数中，比小的数是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较，根据负数正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可得到答案． 【详解】∵负数正数，绝对值大的负数反而小， ∴． 2．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）在下列四个数中，其中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故A不符合题意； B、是整数，属于有理数，故B不符合题意； C、是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意； D、，是整数，属于有理数，故D不符合题意． 3．（25-26七年级下·河南许昌·期末）估计在哪两个整数之间（     ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】用夹逼法估计无理数的大小，找到紧邻23的两个完全平方数，利用算术平方根的性质即可确定的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴，即 ， 因此在4到5之间． 4．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）的相反数是（     ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相反数的定义，改变原数的符号即可求解． 【详解】解：的相反数为． 5．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】根据，结合数轴求解即可； 【详解】解：， ， 根据数轴的意义，得落在段②； 6．（2026·四川攀枝花·中考真题）实数a、b满足，则以下结论一定成立的是（     ） A． B．a、b同时为0 C．a、b互为倒数 D．a、b互为相反数 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，根据已知条件，结合各选项内容逐一判断，即可得到一定成立的结论． 【详解】解：∵ 实数，满足，即． 对各选项分析如下： A选项：，只是满足的一种特殊情况，故A错误． B选项：例如，满足，但，不都为，故B错误． C选项：互为倒数的两个数乘积为，例如，满足，乘积为，不互为倒数，故C错误． D选项：根据相反数的定义，和为的两个数互为相反数，由可知，互为相反数，结论一定成立，故D正确． 7．（2022·浙江台州·模拟预测）大于且小于的整数的个数有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过平方法比较平方数的大小，确定两个无理数的取值范围，再统计范围内的整数个数． 【详解】解：， 又， ， ， ，， 满足条件的整数有、、、0、1、2、3、4，共8个． 8．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）实数的相反数是_________． 【答案】 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，因此的相反数为. 9．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）满足的整数的值是________． 【答案】 【分析】先估算出和的取值范围，再根据是整数确定的值． 【详解】解：，，且， ， 又，，且， ， ，且为整数， ． 10．（25-26七年级下·重庆开州·期中）比较大小：_______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】先比较两个数绝对值的大小，再根据负数比较大小的规则得出结论． 【详解】解：，且 ， ∴，即， ∴． 11．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的相反数是__________． 【答案】 【详解】解：∵点从原点滚动到点， ∴， ∴点对应的数为， ∴点对应的数的相反数是． 12．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 【答案】3 【分析】先把三角形的三边长分别为2，4，4代入求得，再估算S的取值范围即可解答． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，4，4， ∴设， ∴； ∵，， ∴n为的整数部分，即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 认识实数（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 2.1 【题型 2·无理数的大小估算】 3 【题型 3·无理数整数部分的有关计算 4 【题型·4·实数的性质】 6 【题型 5·实数的大小比较】 6 【题型 6·勾股定理与无理数】 8 【随堂检测】 9 知识点1 无理数 定义：无限不循环小数又叫无理数. 注意： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 【 题型·1.无理数的定义】 【典例1】（25-26七年级下·广东珠海·期末）下列四个数中，是无理数的是（） A． B． C． D． 【变式1-1】在下列实数中，无理数是（     ） A． B． C．0 D． 【变式1-2】数，，，－，，，0.301300130001…（3和1之间依次多一个0）中，无理数的个数为______． 【变式1-3】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）下列实数：，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型 2·无理数的大小估算】 【典例2】（25-26七年级下·广西崇左·期末）已知为整数，且，则______________． 【变式2-1】（25-26七年级下·河北保定·期末）如图，在数轴上表示的点可能是点（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·广东广州·期末）介于两个相邻的整数之间，下列判断正确的是（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式2-3】（25-26七年级下·福建福州·期末）如果，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型 3·无理数整数部分的有关计算 【典例3】（23-24八年级上·广东佛山·阶段检测）阅读下面的文字，解答后面的问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值． 【变式3-1】（23-24七年级下·重庆·期末）估算的整数部分是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】（25-26八年级上·四川成都·期末）若的整数部分为，小数部分为，则_____． 【变式3-3】（23-24七年级下·新疆吐鲁番·期中）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，则___________． 知识点2 实数 定义：有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 【题型·4·实数的性质】 【典例4】（25-26七年级下·安徽淮南·期末）实数的相反数是________． 【变式4-1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）实数的相反数是__________． 【变式4-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）实数的相反数是______． 【变式4-3】（22-23七年级下·广西柳州·阶段检测）______． 题型 5·实数的大小比较】 【典例5】（25-26七年级下·吉林四平·期末）比较大小：________．（填“”“”或“”） 【变式5-1】（25-26七年级下·海南·期末）在实数，，，，中，最小的是________． 【变式5-2】（25-26七年级下·广东广州·期中）比较大小： （1）______6； （2）______． 【变式5-3】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）比较大小：______（填“＞”或“＜”） 【题型 6·勾股定理与无理数】 【典例6】（21-22八年级下·广西河池·阶段检测）如图，数轴上点A表示的实数是______． 【变式6-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点，则点表示的数是________． 【变式6-2】（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）如图，在数轴上点表示的实数是_____． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，数轴上点A、点D所表示的数分别为和，以为边长作正方形，以点D为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点E，那么点E表示的实数是________． 随堂检测 【随堂检测】 1．（22-23九年级下·河南郑州·开学考试）下列各数中，比小的数是（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆綦江·期末）在下列四个数中，其中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南许昌·期末）估计在哪两个整数之间（     ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 4．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）的相反数是（     ） A．7 B． C． D． 5．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 6．（2026·四川攀枝花·中考真题）实数a、b满足，则以下结论一定成立的是（     ） A． B．a、b同时为0 C．a、b互为倒数 D．a、b互为相反数 7．（2022·浙江台州·模拟预测）大于且小于的整数的个数有（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·山西吕梁·期末）实数的相反数是_________． 9．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）满足的整数的值是________． 10．（25-26七年级下·重庆开州·期中）比较大小：_______．（填“>”“<”或“=”） 11．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直径为1个单位长度的圆从原点出发，沿数轴向右滚动一周，若点从原点滚动到点，则点对应的数的相反数是__________． 12．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中给出已知任意三角形的三边求其面积的公式，即已知三角形的三边长a，b，c，则该三角形的面积．现已知三角形的三边长分别为2，4，4，其面积S介于整数n和之间，则n的值是______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $