暑期预习讲义（第8讲）——二元一次方程组（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

暑期预习讲义（第8讲）——二元一次方程组 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】认识二元一次方程 2 【题型 1】二元一次方程的定义与方程的解 2 【知识点二】认识二元一次方程组 2 【题型 2】二元一次方程组辨析、判断方程组的解 2 【知识点三】解方程组核心思想：消元（必考核心） 3 【题型 3】直接用加减法解二元一次方程组 3 【题型 4】变形后用加减法解二元一次方程组 4 【题型 5】直接用代入法解二元一次方程组 4 【题型 6】变形后用代入法解二元一次方程组 5 【知识点四】两种消元法择优技巧（自学提速核心） 6 【题型 7】灵活选用方法解方程组（混合训练） 6 【知识点五】二元一次方程组参数难题（纯计算拔高） 7 【题型 8】解含参二元一次方程组（混合训练） 7 二.同步自测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 10 一.教材知识梳理 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读、记口诀、学例题、练变式，就能完全掌握二元一次方程组所有计算核心重难点。所有规律全部从实例观察得出，没有突然出现的公式和结论，循序渐进、零基础可学。 学习方法：先读概念→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 【知识点一】认识二元一次方程 1. 定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 【要点提示】二元一次方程三大核心判定条件（缺一不可）：① 必须是整式方程（分母不含未知数、无根号含未知数）；② 含有两个不同未知数（x、y）；③ 含未知数的项最高次数为1（无x²、y²、xy乘积项）。 2. 方程的解：适合方程的一组x、y的值，叫做二元一次方程的一个解。 【要点提示】单个二元一次方程有无数组解，解必须写成 标准格式。 简而言之：两未知数、次数为1、整式方程，就是二元一次方程。 【题型 1】二元一次方程的定义与方程的解 【例题1】（25-26七年级下·山东泰安·期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程． （1）求m，n的值； （2）当时，求y的值． 【变式1】（24-25六年级下·上海·阶段检测）下列方程中，二元一次方程是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）写一个以字母、为未知数的二元一次方程，使得是它的一个解：______． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）根据题意分别设合适的未知数，列出二元一次方程： （1）甲数的2倍比乙数的多2； （2）将一摞笔记本分给若干个同学，若每个同学分8本，则差1本． 【知识点二】认识二元一次方程组 1. 定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组 2. 方程组的解：同时满足两个方程的公共解，是方程组唯一的有效解。 【核心区别】（1）单个二元一次方程有无数组解；（2）二元一次方程组一般只有唯一一组公共解。 【题型 2】二元一次方程组辨析、判断方程组的解 【例题2】（25-26七年级下·广东汕头·期中）已知关于，的二元一次方程组的解是，求的值 【变式1】（25-26六年级下·上海·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·北京·期中）写出一个解为的二元一次方程组________． 【变式3】（24-25七年级下·浙江·专题练习）请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： （1） （2） 【知识点三】解方程组核心思想：消元（必考核心） 把两个未知数转化为一个未知数，变成七年级学过的一元一次方程，实现消元解题。即：代入消元法、加减消元法 1、加减消元法：主要步骤是通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法。 2. 加减消元法步骤 （1）统系——给方程扩倍，让同一未知数系数绝对值相等； （2）消元——系数相反相加、系数相同相减，消去一个未知数； （3）求解——解一元一次方程； （4）回代——代入原方程求另一未知数； （5）验解——简单验算，避免计算错误； （6）写解——规范书写最终解。 【题型 3】直接用加减法解二元一次方程组 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列方程组： （1） （2） （3） 【变式1】（25-26八年级上·福建宁德·期末）二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组则的值是_____________． 【变式3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）在等式中，当时，；当时，． （1）求a，b的值； （2）当时，求y的值． 【题型 4】变形后用加减法解二元一次方程组 【例题4】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）解方程组： （1） （2） 【变式1】（2026·西藏日喀则·三模）能同时满足方程和方程的，值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2026·河南安阳·二模）二元一次方程组的解是________． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： （1） （2） （3） （4） 3. 代入消元法步骤 （1）变形——选简单方程，用一个未知数表示另一个未知数； （2）代入——将变形式代入另一个方程，消去一个未知数； （3）求解——解一元一次方程，求出第一个未知数； （4）回代——把结果代入变形式，求出第二个未知数； （5）写解——规范写出方程组的解。 【题型 5】直接用代入法解二元一次方程组 【例题5】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）解方程组：． 【变式1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组时，将方程①代入②，去括号后得方程________． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）用代入法解方程组： （1）； （2）； 【题型 6】变形后用代入法解二元一次方程组 【例题6】（2026·广东河源·二模）以下是某同学解方程组 的部分运算过程． 解：由①，得③…第一步 把③代入②，得…第二步 去括号，得…第三步 解得．…第四步 （1）这种解二元一次方程组的方法叫作（     ） A．代入消元法      B．加减消元法 （2）上面的运算过程从第 步开始出现了错误． （3）请写出解该方程组的正确过程． 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）解方程组，用代入消元法，由②变形，下列结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南鹤壁·开学考试）设，当时，；当时，．当时，求的值是______________. 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： （1） （2） （3） 【知识点四】两种消元法择优技巧（自学提速核心） 1. 优先用代入法：未知数系数是 ±1，不用扩倍、计算简单 2. 优先用加减法：未知数系数为2、3、4等，方便凑相同或相反系数 3. 终极选择口诀：系数为1用代入，系数成倍用加减 【题型 7】灵活选用方法解方程组（混合训练） 【例题7】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由，得． 解法二：由①，得 ，③ 把③代入②，得． （1）反思：上述两个解题过程中，解法 有误； （2）解法二求方程组解的方法是______消元法； （3）请选择一种你喜欢的方法，完成解答． 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期末）在解方程组时，某同学采用消元法将方程组变为．则这种消元方式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·暑假作业）方程组中，x的系数的特点是________． 方程组中，y的系数的特点是________． 这两个方程组用________消元法解较简单． 【变式3】（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）解方程组（1）用代入法消元法（2）用加减消元法 （1）； （2）． 【知识点五】二元一次方程组参数难题（纯计算拔高） 1. 已知方程组的解，求字母参数的值； 2. 方程组同解问题（两个方程组有公共解，求参数）； 3. 方程组无解、唯一解、无数解的参数判定； 4. 方程组的解满足代数式求值问题。 【题型 8】解含参二元一次方程组（混合训练） 【例题8】（23-24七年级下·全国·期中）已知是一个非零常数，且关于，的方程组有解，求的值． 【变式1】（25-26七年级下·山东烟台·期中）若方程组的解与方程的一组解相同，则为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，小玲因为看错了t而得到的解为，则的值为______． 【变式3】（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以使用“整体代入”的思想来简化计算． 解：将方程①变形为，即．将其代入方程②，得，解得．将代入①，得．所以原方程组的解为． 问题： （1）请用“整体代入”法解方程组． （2）若关于x、y的方程组，请问这个方程组有解吗？若有，请直接写出它的解；若无，请说明理由． （3）已知x、y满足，求的值． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（重庆市两江新区2025--2026学年七年级下学期数学期末考试题）已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知二元一次方程组，如果，那么所得的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段检测）二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·山西临汾·期末）我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去 得 ，从而求解，这种解法体现的数学思想是（     ） A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．转化思想 5．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）用代入消元法解方程组时，消去y后得到的方程是（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·甘肃武威·阶段检测）若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 7．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）在等式中，当时，；当时，．则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·青海西宁·二模）若，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 10．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知a，b是等腰三角形的两边长，且，则此等腰三角形的周长是（     ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26六年级下·上海·期末）把方程改写成用含的代数式表示，则______． 12．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）已知方程组则的值是________． 13．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如果关于、的方程组的解为，则的值为______． 14．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，满足方程组，则 ________． 15．（24-25七年级下·浙江宁波·开学考试）已知方程组，则的值是___________． 16．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段检测）请写出一个解是的二元一次方程组（不含）______． 17．（2026·陕西西安·三模）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，如从左到右列出的算筹数依次表示方程中未知数x，y的系数和相应的常数项，即表示方程，则表示的方程是____________． 18．（24-25七年级下·山东淄博·阶段检测）已知关于x、y的方程组的解满足，则______． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·吉林白山·期中）解方程组． （1） （2） 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·江苏南通·期中）解方程组： （1）； （2） 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·浙江台州·期中）已知方程组，王芳看错了方程①中的a得到方程组的解为，李明看错了方程②中的b得到方程组的解为，求原方程组的解． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解． （2）求的值． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·全国·课后作业）在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法化繁为简． 解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得，所以方程组的解为 请用此方法解方程组 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． （1）的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． （2）若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第8讲）——二元一次方程组 （知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 【知识点一】认识二元一次方程 2 【题型 1】二元一次方程的定义与方程的解 2 【知识点二】认识二元一次方程组 4 【题型 2】二元一次方程组辨析、判断方程组的解 4 【知识点三】解方程组核心思想：消元（必考核心） 5 【题型 3】直接用加减法解二元一次方程组 6 【题型 4】变形后用加减法解二元一次方程组 8 【题型 5】直接用代入法解二元一次方程组 11 【题型 6】变形后用代入法解二元一次方程组 13 【知识点四】两种消元法择优技巧（自学提速核心） 16 【题型 7】灵活选用方法解方程组（混合训练） 16 【知识点五】二元一次方程组参数难题（纯计算拔高） 19 【题型 8】解含参二元一次方程组（混合训练） 19 二.同步自测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 26 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 29 一.教材知识梳理 这份讲义专为零基础自学设计，不用老师讲，跟着顺序读、记口诀、学例题、练变式，就能完全掌握二元一次方程组所有计算核心重难点。所有规律全部从实例观察得出，没有突然出现的公式和结论，循序渐进、零基础可学。 学习方法：先读概念→观察实例→记口诀→学例题→练变式→同步自测 【知识点一】认识二元一次方程 1. 定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 【要点提示】二元一次方程三大核心判定条件（缺一不可）：① 必须是整式方程（分母不含未知数、无根号含未知数）；② 含有两个不同未知数（x、y）；③ 含未知数的项最高次数为1（无x²、y²、xy乘积项）。 2. 方程的解：适合方程的一组x、y的值，叫做二元一次方程的一个解。 【要点提示】单个二元一次方程有无数组解，解必须写成 标准格式。 简而言之：两未知数、次数为1、整式方程，就是二元一次方程。 【题型 1】二元一次方程的定义与方程的解 【例题1】（25-26七年级下·山东泰安·期中）已知方程是关于x，y的二元一次方程． （1）求m，n的值； （2）当时，求y的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）由二元一次方程的定义可得，，且，，计算即可得出结果； （2）由（1）可得原方程为，把代入得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 解：（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，，且，， 解得，； （2）解：由（1）可得原方程为， 把代入得， 解得：． 【变式1】（24-25六年级下·上海·阶段检测）下列方程中，二元一次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义判断选项即可，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，含未知数的项的次数为1． 解：选项A：是整式方程，含有两个未知数，且含未知数的项次数都是1，符合二元一次方程的定义，符合题意； 选项B：只含有1个未知数，属于一元一次方程，不符合题意； 选项C：中项的次数为2，不符合题意； 选项D：中是分式，方程不是整式方程，不符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）写一个以字母、为未知数的二元一次方程，使得是它的一个解：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二元一次方程的定义构造方程，把代入后满足方程左右两边相等即可． 解：∵以字母、为未知数的二元一次方程的解为， ∴构造的方程可以为， 将代入方程左边得，右边， ∴满足二元一次方程的解的定义，符合题意． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）根据题意分别设合适的未知数，列出二元一次方程： （1）甲数的2倍比乙数的多2； （2）将一摞笔记本分给若干个同学，若每个同学分8本，则差1本． 【答案】（1）设甲数为，乙数为，；（2）设有x个同学、y本笔记本， 【分析】本题主要考查了列二元一次方程．根据题意列出二元一次方程即可． （1）设甲数为，乙数为，根据题意列方程即可； （2）设有x个同学、y本笔记本，根据题意列方程即可． 解：（1）设甲数为，乙数为， 根据题意得，； （2）设有x个同学、y本笔记本， 根据题意得，． 【知识点二】认识二元一次方程组 1. 定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组 2. 方程组的解：同时满足两个方程的公共解，是方程组唯一的有效解。 【核心区别】（1）单个二元一次方程有无数组解；（2）二元一次方程组一般只有唯一一组公共解。 【题型 2】二元一次方程组辨析、判断方程组的解 【例题2】（25-26七年级下·广东汕头·期中）已知关于，的二元一次方程组的解是，求的值 【答案】 解：把代入，得， 解得， ∴. 【变式1】（25-26六年级下·上海·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：方程组共含两个未知数，所有方程都是整式方程，且未知数的最高次数为1，据此逐一判断选项即可． 解： A：方程组中共有三个未知数，不满足二元要求，A错误； B：方程组中第一个方程不是整式方程，不满足要求，B错误； C：方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数次数均为1，符合二元一次方程组的定义，C正确； D：方程组中第二个方程的未知数次数为2，不满足一次要求，D错误； 【变式2】（25-26七年级下·北京·期中）写出一个解为的二元一次方程组________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定的解，构造两个满足该解的二元一次方程，联立后即可得到符合要求的二元一次方程组． 解：，得到方程； ，得到方程． 因此，所求二元一次方程组为． 【变式3】（24-25七年级下·浙江·专题练习）请判断下列各组数是不是二元一次方程组的解： （1） （2） 【答案】（1）不是；（2）是 【分析】（1）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． （2）方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．将本组数值分别代入方程组，观察是否满足方程组中的每一方程，满足即为所求． 解：（1）把代入方程组， 发现不满足， 所以不是原方程组的解； （2）把代入方程组， 发现适合每一方程， 所以是原方程组的解． 【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解方程组的解的定义是解题的关键． 【知识点三】解方程组核心思想：消元（必考核心） 把两个未知数转化为一个未知数，变成七年级学过的一元一次方程，实现消元解题。即：代入消元法、加减消元法 1、加减消元法：主要步骤是通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法。 2. 加减消元法步骤 （1）统系——给方程扩倍，让同一未知数系数绝对值相等； （2）消元——系数相反相加、系数相同相减，消去一个未知数； （3）求解——解一元一次方程； （4）回代——代入原方程求另一未知数； （5）验解——简单验算，避免计算错误； （6）写解——规范书写最终解。 【题型 3】直接用加减法解二元一次方程组 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用加减法解下列方程组： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）用求解即可； （2）求解即可； （3）求解即可； 解：（1）解：，得， 解得． 把代入①，得 解得． 所以这个方程组的解为； （2）解：，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 所以这个方程组的解为； （3）解：，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 所以原方程组的解为； 【变式1】（25-26八年级上·福建宁德·期末）二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据加减消元法先消去未知数y求出x的值，再代入方程求出y的值，进而可得到方程组的解． 解：， 得，， 解得：， 把代入①得，， 解得：， ∴． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）已知方程组则的值是_____________． 【答案】6 【分析】可利用整体思想，将方程组的两个方程相加，直接求出所求代数式的值. 解：， 将①和②相加，得， 整理得. 【变式3】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）在等式中，当时，；当时，． （1）求a，b的值； （2）当时，求y的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）把，和，分别代入等式，得出方程组，利用加减消元法解方程组，即可得出a，b的值； （2）把a，b的值，代入等式计算即可． 解：（1）∵在等式中，当时，；当时，， ∴， 解得：； （2）把代入等式， 得． 【题型 4】变形后用加减法解二元一次方程组 【例题4】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）解方程组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： 得： 解得：， 将代入①得， 解得：， 方程组的解为； （2） 得 解得：， 将代入①得， 解得：， 方程组的解为． 【变式1】（2026·西藏日喀则·三模）能同时满足方程和方程的，值分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】使用消元法计算即可得到结果． 解：根据题意列出方程组， 将得， 得 解得， 把代入①得 解得， 因此方程组的解为． 【变式2】（2026·河南安阳·二模）二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】利用加减消元法求解方程组即可． 解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）解： 得到，， 解得， 把代入①得到，， 解得 ∴ （2）解： 得到，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴ （3）解： 得到，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴ （4）解： 原方程组可变为 得到，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴ 3. 代入消元法步骤 （1）变形——选简单方程，用一个未知数表示另一个未知数； （2）代入——将变形式代入另一个方程，消去一个未知数； （3）求解——解一元一次方程，求出第一个未知数； （4）回代——把结果代入变形式，求出第二个未知数； （5）写解——规范写出方程组的解。 【题型 5】直接用代入法解二元一次方程组 【例题5】（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答的关键． 利用代入消元法解方程组即可． 解： 将①代入②，得， 则，即， 解得． 将代入①，得． 所以原方程组的解是． 【变式1】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）将方程变形，用含的代数式表示，下列表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程，解题的关键是将x看成已知求出y．用含的式子表示，可先移项，再将系数化为1即得答案． 解：对， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解方程组时，将方程①代入②，去括号后得方程________． 【答案】 【分析】本题考查代入消元法，利用代入法，将方程①代入方程②，消去变量y，得到关于x的一元一次方程，即可． 解：将方程①代入②，得， 去括号，得； 故答案为：． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）用代入法解方程组： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了用代入消元法解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键． （1）本题用代入消元法解二元一次方程组，然后即可求解； （2）本题用代入消元法解二元一次方程组，然后即可求解； 解：（1）解：， 代入消元：将①代入②得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 解得：， 将代入①式，得 ， ∴方程组的解为； （2）解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； 【题型 6】变形后用代入法解二元一次方程组 【例题6】（2026·广东河源·二模）以下是某同学解方程组 的部分运算过程． 解：由①，得③…第一步 把③代入②，得…第二步 去括号，得…第三步 解得．…第四步 （1）这种解二元一次方程组的方法叫作（     ） A．代入消元法      B．加减消元法 （2）上面的运算过程从第 步开始出现了错误． （3）请写出解该方程组的正确过程． 【答案】（1）A；（2）三；（3）解：． 由①，得，③ 把③代入②，得 ， 去括号，得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为； 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法可进行求解方程． 解：（1）解：由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； （2）由题中所给过程可知：在第三步开始出现错误，这步正确的格式为； （3）略 【变式1】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）解方程组，用代入消元法，由②变形，下列结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代入消元法中的方程变形，利用等式的基本性质对方程②移项整理即可判断选项正误． 解：方法一、由②变形成用含的代数式表示 ， 移项得：， 方程两边同时乘以可得：； 方法二、由②变形成用含的代数式表示， ， 移项得：， 方程两边同时乘以可得：． 【变式2】（24-25八年级上·河南鹤壁·开学考试）设，当时，；当时，．当时，求的值是______________. 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把x与y的两对值代入等式列出方程组，求出方程组的解即可得到k与b的值．再代入求y的值． 解：把时，；当时，代入等式得： ， 解得：，． 即， 当时，． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）用代入法解下列方程组： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 解：（1）解： 把②代入①，得 解这个方程，得． 把代入②得，． 所以这个方程组的解是； （2）解： 由②，得③． 把③代入①，得． 解这个方程，得． 把代入③，得． 所以这个方程组的解为； （3）解： 由①，得③． 把③代入②，得． 解这个方程，得． 将代入③，得． 所以这个方程组的解是． 【知识点四】两种消元法择优技巧（自学提速核心） 1. 优先用代入法：未知数系数是 ±1，不用扩倍、计算简单 2. 优先用加减法：未知数系数为2、3、4等，方便凑相同或相反系数 3. 终极选择口诀：系数为1用代入，系数成倍用加减 【题型 7】灵活选用方法解方程组（混合训练） 【例题7】（24-25八年级上·宁夏银川·期末）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下： 解法一：由，得． 解法二：由①，得 ，③ 把③代入②，得． （1）反思：上述两个解题过程中，解法 有误； （2）解法二求方程组解的方法是______消元法； （3）请选择一种你喜欢的方法，完成解答． 【答案】（1）一；（2）代入；（3） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用加减消元法进行计算即可解答； （2）利用代入消元法进行计算即可解答； （3）分别利用加减消元法和代入消元法进行计算，即可解答． 解：（1）解：反思：上述两个解题过程中，解法一有误， 故答案为：一： （2）解法二求方程组解的方法是代入消元法， 故答案为：代入； （3）若选择解法一：由，得， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为： 若选择解法二：由①，得，③ 把③代入②，得， 解得：， 把代入③得：， 原方程组的解为： 【变式1】（24-25七年级下·湖南永州·期末）在解方程组时，某同学采用消元法将方程组变为．则这种消元方式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由未知数y的系数互为相反数，直接利用加法消元即可． 解：， ∴得：； 故选C 【点拨】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组是解本题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·全国·暑假作业）方程组中，x的系数的特点是________． 方程组中，y的系数的特点是________． 这两个方程组用________消元法解较简单． 【答案】 相等 互为相反数 加减 【分析】此题考查的是解方程组．解二元一次方程组最常用的方法是加减消元法和代入消元法．当方程组中两方程的未知数互为相反数或相等时用加减消元法，反之则考虑用代入消元法． 解：方程组中，x的系数的特点是相等，方程组中，y的系数的特点是互为相反数，这两个方程组用加减消元法解较简单， 故答案为：相等，互为相反数，加减． 【变式3】（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）解方程组（1）用代入法消元法（2）用加减消元法 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程即可求得解． （1）采取代入消元法，由①得，然后代入②，解出，然后再代入，则求出y值． （2）采取加减消元法，方程整理后由得：③，由②减去③得y值，然后把y值代入①，求得值． 解：（1）解：， 由①得，然后代入②， 得， 展开得：， 解得：， 把代入， 得：， ∴这个方程组的解是． （2）解：， 方程组整理得：， 由得：③， 由得： ， 解得：， 把代入①得： ， 解得． ∴这个方程组的解是． 【知识点五】二元一次方程组参数难题（纯计算拔高） 1. 已知方程组的解，求字母参数的值； 2. 方程组同解问题（两个方程组有公共解，求参数）； 3. 方程组无解、唯一解、无数解的参数判定； 4. 方程组的解满足代数式求值问题。 【题型 8】解含参二元一次方程组（混合训练） 【例题8】（23-24七年级下·全国·期中）已知是一个非零常数，且关于，的方程组有解，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用代入消元法消去即可求解，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 解：， 由得：， 把代入得：， 则， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·山东烟台·期中）若方程组的解与方程的一组解相同，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知原方程组的解满足，因此先联立和求出公共解，再将解代入含的方程即可求出的值． 解：∵原方程组的解与的解相同， ∴联立， 解得：， 将，代入得： ， 展开得：， 解得：． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，小玲因为看错了t而得到的解为，则的值为______． 【答案】 【分析】将和分别代入方程，得到关于m和n的二元一次方程组并求解，将代入，得到关于t的一元一次方程并求解；将m、n、t的值分别代入计算即可． 解：将和分别代入方程，得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）阅读下列材料，解答问题： 材料：解方程组，我们可以使用“整体代入”的思想来简化计算． 解：将方程①变形为，即．将其代入方程②，得，解得．将代入①，得．所以原方程组的解为． 问题： （1）请用“整体代入”法解方程组． （2）若关于x、y的方程组，请问这个方程组有解吗？若有，请直接写出它的解；若无，请说明理由． （3）已知x、y满足，求的值． 【答案】（1）；（2）该方程组有无数个解，其解为（t为任意实数）；（3）无法确定的值 【分析】（1）使用“整体代入”的思想解方程组即可． （2）根据第二个方程是第一个方程的2倍，两个方程表示的是同一个二元一次方程，有无数个公共点，故该方程组有无数个解． （3）同（2）可知该方程组有无数个解．故无法确定的值． 解：（1）解： 由①得：， 将整体代入②，得， 去括号、合并同类项：，即， 解得：， 将代入①，得，解得， ∴ 方程组的解为； （2）解：有无数解， 理由：第二个方程是第一个方程的2倍， 两个方程表示的是同一个二元一次方程，有无数个公共点，故该方程组有无数个解， ∵（x为任意实数）， ∴其解为（t为任意实数）． （3）解：无法确定的值， 理由：方程组中，第二个方程是第一个方程的2倍，实际上只有一个独立方程，x、y的值不唯一，因此的值无法确定． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（重庆市两江新区2025--2026学年七年级下学期数学期末考试题）已知是关于，的二元一次方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解得到的值． 解：∵是关于，的二元一次方程的解， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知二元一次方程组，如果，那么所得的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照题目要求的运算步骤计算，合并同类项即可得到结果． 解：首先对，得： ，即， 用该式减去：， 计算左边：， 计算右边：， 因此所得方程为． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段检测）二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 解：， ①②得：，解得， 将代入①得：，解得， ∴方程组的解为． 4．（23-24七年级下·山西临汾·期末）我们在解二元一次方程组时，可将第一个方程代入第二个方程消去 得 ，从而求解，这种解法体现的数学思想是（     ） A．公理化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．转化思想 【答案】D 解：∵题干中的解法是代入消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，把未知问题转化为已知可解的问题， ∴这种解法体现的是转化思想． 5．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）用代入消元法解方程组时，消去y后得到的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将第一个方程变形，用含的代数式表示，再代入第二个方程即可得到结果. 解： 由①，得， 将代入方程②，得 . 6．（25-26七年级下·甘肃武威·阶段检测）若方程组与方程组的解相同，则的值为    （    ） A．2 B．7 C．1 D．0 【答案】A 【分析】若两个方程组解相同，则公共解满足所有方程，将已知的x、y代入含a、b的方程，即可求出的值． 解：∵方程组与方程组的解相同， ∴公共解为， 将代入，得， 将两个方程左右分别相加，得， 两边同除以7，得． 7．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）在等式中，当时，；当时，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“当时，；当时，”列方程组求解即可． 解：∵当时，；当时，， ∴， 解得：． 8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）甲、乙两人同求方程的整数解，甲正确的求出一个解为，乙把看成，求得一个解为，则、的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解及其解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后进行求解即可． 解：把甲的解代入方程可得：， 把乙的解代入方程可得：， 联立可得：， 解得：； 故选C． 9．（2026·青海西宁·二模）若，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用平方数和绝对值的非负性构造二元一次方程组，通过整体计算求出的值，再计算其平方根即可得到结果． 解：∵任何数的平方是非负数，任何数的绝对值也是非负数，且 ∴几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，可得 ， 将得 ， 等式两边同除以3得 ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 10．（2022·四川绵阳·模拟预测）已知a，b是等腰三角形的两边长，且，则此等腰三角形的周长是（     ） A．8 B．6或8 C．7 D．7或8 【答案】D 【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性求出，的值，再根据等腰三角形的腰的不同分类讨论，结合三角形的三边关系计算周长即可． 解：∵，且，， ∴， 解得， ①当是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时它的周长为； ②当是这个等腰三角形的腰长时，则它的三边长分别为，满足三角形的三边关系，此时它的周长为； 综上，此等腰三角形的周长是7或8． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26六年级下·上海·期末）把方程改写成用含的代数式表示，则______． 【答案】 【分析】将看作已知数，通过移项、系数化为1即可求出的表达式． 解：， 移项得， 两边同时除以，得． 12．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）已知方程组则的值是________． 【答案】6 【分析】利用整体思想，将方程组的两个方程相加，直接求出所求代数式的值． 解：， 将①和②相加，得，整理得． 13．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）如果关于、的方程组的解为，则的值为______． 【答案】 【分析】将方程组的解代入方程组，得到关于与的二元一次方程组，解方程组求出的值，再代入代数式计算即可求解． 解：∵关于、的方程组的解为， ∴， 解得， ∴． 14．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，满足方程组，则 ________． 【答案】 【分析】消去参数，整理方程即可得到 的值． 解：方程组， 将第一个方程变形得 ，代入第二个方程得 ， 去括号得， 移项整理得． 15．（24-252七年级下·浙江宁波·开学考试）已知方程组，则的值是___________． 【答案】 【分析】直接利用第一个方程减去第二个方程即可求解； 解：， 由得：． 16．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段检测）请写出一个解是的二元一次方程组（不含）______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解，该题是开放题，注意方程组的解的定义．根据方程组的解的定义，应该满足所写方程组的每一个方程．因此，可以围绕列一组算式，然后用，代换即可． 解：的解是， 故答案为：（答案不唯一）． 17．（2026·陕西西安·三模）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，如从左到右列出的算筹数依次表示方程中未知数x，y的系数和相应的常数项，即表示方程，则表示的方程是____________． 【答案】 【分析】根据算筹的表示方法，依次表示x，y的系数与等式后面的数字，即可求解． 解：从左到右，第一列1根竖筹表示x的系数为1， 第二列4根竖筹表示y的系数为4，第三列2根横筹和3根竖筹表示常数项为23，所以表示的方程是． 18．（24-25七年级下·山东淄博·阶段检测）已知关于x、y的方程组的解满足，则______． 【答案】 【分析】将两个方程相加得到，然后根据得到，然后求解即可． 解： 得， ∴ ∵ ∴ ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·吉林白山·期中）解方程组． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： 将①代入②得： 解得 将代入①得： ∴方程组的解为； （2）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·江苏南通·期中）解方程组： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： 得， 把代入①得， ∴ 所以方程组的解为； （2）解： 得， 由②得 ③④得， ∴ 代入③得， 解得 所以方程组的解为． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·浙江台州·期中）已知方程组，王芳看错了方程①中的a得到方程组的解为，李明看错了方程②中的b得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】原方程组的解为 【分析】本题考查了解二元一次方程组错题复原问题．根据没看错的方程和方程的解代入可求得的值，然后还原方程组，根据加减或代入消元法求解即可． 解：由题意得，解得， ，解得， 代入可得， 解得． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于的方程组和有相同的解． （1）求出它们的相同解． （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据方程组有相同的解得到，再利用加减消元法运算即可； （2）把代入，得，再运算求解即可． 解：（1）解：∵方程组和有相同的解， ∴ ①②得， 解得， 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解：把，代入，得， 解得， ∴． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·全国·课后作业）在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法化繁为简． 解方程组 解：把②代入①，得，解得． 把代入②，得，所以方程组的解为 请用此方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查整体代入法解二元一次方程组，掌握观察方程组的结构，将已知的代数式整体代入另一个方程以简化计算是解题的关键． 观察方程组，发现方程②直接给出了的值，因此可以将整体代入方程①，先求出的值，再代入②求出的值． 解： 把②代入①，得，解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． （1）的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． （2）若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 【答案】（1）C；（2）的平方根是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ． （1）由定义直接可求； （2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可 解：（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C． （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即． 的平方根是， 的平方根是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $