专题11二元一次方程组综合应用与拓展 (知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦二元一次方程组综合应用与拓展，系统梳理建模应用（行程、利润等实际问题找等量关系）、数形关联（方程与一次函数图像交点对应）、三元一次方程组定义及消元解法等核心知识点，构建从实际问题到代数几何结合再到多元拓展的学习支架。 该资料以问题解决为主线，通过八大高频题型（如行程、工程问题）培养数学建模意识，数形结合环节关联函数图像提升几何直观，消元方法择优训练推理能力。典例与跟踪专练结合，课中辅助分层教学，课后助力学生针对性查漏补缺，强化知识应用。

专题11二元一次方程组综合应用与拓展 1. 建模应用：能在行程、利润、配套、增收节支等实际问题中找出两组等量关系，设未知数列二元一次方程组，完整完成解题并检验解是否符合实际意义。 2. 数形关联：理解二元一次方程与一次函数一一对应，方程组的解就是两个一次函数图像交点坐标，可借助函数图像近似求解方程组。 3. 解析式互求：利用函数交点坐标，结合二元一次方程组，求解一次函数的解析式。 4. 概念认知：掌握三元一次方程组定义，明确未知数、次数的限定条件，能辨别三元一次方程组。 5. 消元解法：延续消元核心思路，将三元方程组逐步转化为二元、一元一次方程，灵活选用代入、加减消元法规范计算。 6. 三元建模：面对含三个未知量的简单问题，可建立三元一次方程组进行求解。 7. 方法择优：观察方程组系数特征，选择简便消元方式，降低计算失误率。 8. 规避易错点：应用题等量关系找寻不全、忽略实际取值要求；混淆方程的解与方程组的解；消元过程符号出错、消元对象混乱。 9. 数学素养：吃透消元降维、数形结合、数学建模三大思想，串联方程与函数知识，提升代数综合解题能力。 预习必备 知识梳理 1.标准解题步骤 2.八大高频实际应用题型 3等量关系寻宝指南 4.一次函数与二元一次方程组 5.三元一次方程组 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.方案选择问题(难点) 2.行程问题(重点+难点) 3.工程问题(重点+难点) 4.数字问题(难点) 5.年龄问题(难点) 6.分配问题(常考+重点) 7.销售利润问题(重点) 8.和差倍分问题(常考+重点) 9.几何问题(重点) 10.图表信息问题(常考点) 11.古代问题(难点) 12.求一次函数解析式 13.两直线交点与方程组的解 14.图象法解二元一次方程组 15.求直线围成的图形面积 16.三元一次方程组定义及解 17.三元一次方程组的应用 强化题型 解答题12题 知识点01:标准解题六大步骤 步骤 核心要求 注意事项 1.设 设两个未知数（直接 / 间接设元） 规范表述，如 “设单价为 x 元，数量为 y 个”，避免模糊 2.找 提取两组独立等量关系 关键词：一共、比… 多 / 少、倍、配套、相遇等 3.列 依据等量关系列二元一次方程组 两个方程必须独立，不能重复 4.解 选用代入 / 加减消元法求解 计算仔细，避免符号、漏乘错误 5.验 ① 检验是否满足方程组② 检验是否符合实际意义 人数、物品数量必须为正整数，价格不能为负 6.答 完整写出答句，对应设元 不漏写单位，语句通顺 知识点 02 八大高频实际题型 + 等量关系模板 题型类别 核心等量关系 典型题干场景 和差倍分问题 ① x+y=总量；② x-y=差值 \x=ky倍数关系 年龄、人数、书本、物品数量 行程问题（相遇） 甲路程 + 乙路程 = 总路程；路程 = 速度 × 时间 两车相向、两人走路碰面 行程问题（追及） 快者路程-慢者路程 = 路程差 同向行驶、快慢追赶 行程（航行） 顺水速度 = 静水速 + 水速； 逆水速度 = 静水速-水速 轮船、小船顺水逆水行驶 工程问题 甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量； 工作量 = 效率 × 时间 修路、加工零件、水池注水放水 配套问题 两种零件配套比例相等（如 1 螺栓配 2 螺母：螺母数 = 2× 螺栓数） 工厂加工桌椅、螺栓螺母配套 利润销售问题 总价 = 单价 × 数量； 总利润 = 单件利润 × 销量 商品打折、批发零售、成本售价 几何图形问题 周长、面积公式；边长和差倍数关系 长方形长宽、三角形边长、图形拼接 知识点03:等量关系 “寻宝指南”（应用题的核心密码） 所有题型的本质都是找等量关系，这些 “高频线索” 直接圈，一找一个准！ ● 配套问题:根据配套比例（如 1 张桌子配 4 把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 ● 几何图形问题:根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。 ● 方案问题:根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。 ● 行程问题:基本关系：路程 = 速度 × 时间。相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；注意同时出发、早出发等情况。 ● 工程问题:基本关系：工作量 = 工作效率 × 时间；常将总工作量看作 1，或给出具体数值。 ● 数字问题:两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。 ● 年龄问题:年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。 ● 分配问题:如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 ● 销售利润问题:售价 = 进价 + 利润；利润率 = 利润 ÷ 进价；打折、提价、降价后的等量关系。 ● 和差倍分问题:直接根据 “和”“差”“倍”“分” 列方程。 ● 图表信息题:从表格、图形中提取数据，转化为方程组。 知识点04:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3. 两直线位置与方程组解的关系（必考表格） 设直线l1:y=k1x+b1，直线l2:y=k2x+b2 系数关系 直线位置 方程组解的情况 代数判定（原方程） k1≠k2 两直线相交，1 个交点 唯一一组解 k1=k2，b1≠b2 两直线平行，无交点 无解 k1=k2，b1=b2 两直线完全重合，无数交点 无数组解 知识点05:三元一次方程组的解法 1. 核心概念 定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组。 解：使三个方程都成立的三个未知数的值，是一组有序数对 (x,y,z)。 2. 核心解法：消元思想 思路：三元 → 二元 → 一元，逐步消去未知数。 常用方法： 代入消元法：用一个未知数表示另外两个，代入消元。 加减消元法：通过方程变形，消去一个未知数，转化为二元一次方程组。 3.标准解题四步 （1）消元：观察三个方程，选择系数最简单的未知数（优先系数为1)，用代入 / 加减消元消去，得到只含两个未知数的二元方程组； （2）解二元：用代入或加减消元解二元一次方程组，求出两个未知数； （3）回代：将求出的两个值代入原任意一个三元方程，求出第三个未知数； （4）检验：三组数同时代入三个原方程，全部成立才是方程组的解。 知识点 06 两种消元思路对比 消元方法 适用条件 操作要点 代入消元法 某方程单独写成x=…/y=…/z=… 直接代入另外两个方程，消元得二元组 加减消元法 同一个未知数在两个方程中系数相等 / 相反 两式相加 / 相减，消去该未知数 知识点07：高频易错汇总 1.二元方程组与函数：分不清 “方程的解” 和 “方程组的解”，单点只满足一个方程不是交点； 2.直线平行判定：只看k相等，忽略b不等才无解； 3.三元消元：消元时漏乘常数项，回代时代入错误方程； 4.应用题：等量关系找不全，三元题只列出两个方程； 5.格式错误：方程组解不加大括号，检验只代一个式子； 6.实际解不验证，出现负数量、非整数人数直接写答案。 题型1.方案选择问题(难点) 【典例】“市长杯”校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．十一中足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．则十一中足球队胜了_______场， 【跟踪专练1】为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，红星小学某社团计划购买一批篮球和足球用于开展课后服务训练．已知篮球的单价是元，足球的单价是元．若该社团用元购买这两种球（篮球、足球都购买）且元恰好用完，则该社团的购买方案一共有________种． 【跟踪专练2】项目化学习 校园社团器材采购规划 素材一 学校学生会采购两类活动器材套装：科创套装、美术套装，每套所需管理志愿者人数、单套采购费用如下表： 器材类型 每套需管理志愿者人数 单套采购费用（元） 科创套装 2 800 美术套装 3 1100 素材二 本次采购分配志愿者共 34 名，所有志愿者全部用来管理两类器材，每人只负责一类器材；两类器材采购总花费 12800 元． (1)求科创套装、美术套装分别采购多少套？ (2)学校新增社团后，可用志愿者共 40 名，全部投入器材管理，要求美术套装采购数量多于 9 套．若要让器材采购总花费最低，科创套装、美术套装应各采购多少套？ 题型2.行程问题(重点+难点) 【典例】．某人步行了5小时，先沿着平路走，然后上山，最后又沿原路返回．假如他在平路上每小时走4里，上山每小时走3里，下山的速度是6里小时，则他从出发到返回原地的平均速度是___里小时． 【跟踪专练1】甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（     ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【跟踪专练2】某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果3名熟练分拣员和1名新手分拣员一天能分拣130件包裹；1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在6小时内送完所有包裹；若将速度提高10千米/小时，行驶4小时后，还剩70千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 题型3.工程问题(重点+难点) 【典例】两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产________个零件、第二组生产________个零件． 【跟踪专练1】某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 题型4.数字问题(难点) 【典例】小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________． 【跟踪专练1】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 题型5.年龄问题(难点) 【典例】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是________． 【跟踪专练1】一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【跟踪专练2】若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 题型6.分配问题(常考+重点) 【典例】已知甲，乙两个工程队分别有员工80人，100人．现在从其他地方调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则有________人调到甲队． 【跟踪专练1】劳技课上学生用铁皮制作收纳盒，每张铁皮可制作盒身6个，或制作盒底8个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒．现有材料30张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成收纳盒．则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例．某工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12千克铜和2千克锡，制作一面铜镜需要1千克铜和1千克锡，现用60千克铜和20千克锡制作鼎和铜镜、这些铜和锡恰好全部用完时．可制作多少个鼎和多少面铜镜？ 题型7.销售利润问题(重点) 【典例】在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的利润（利润=收入一支出）为12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出比去年减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元．小明家今年种植菠萝的收入是________元． 【跟踪专练1】2026年是“十五五”的开局之年，某企业年初提出目标：2026年总产值比2025年增加，总支出比2025年减少，实现利润比2025年翻一番．已知该企业2025年的利润（总产值—总支出）为2亿元，则2026年的总产值将达到（     ） A．4亿元 B．亿元 C．6亿元 D．亿元 【跟踪专练2】某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球、足球共10个，设购买篮球m个，篮球、足球的总费用为w元，求w关于m的函数解析式 (3)在（2）的条件下，且购买足球的个数不超过篮球个数的2倍．请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 题型8.和差倍分问题(常考+重点) 【典例】如图所示的两台天平均能保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则每块巧克力和每个果冻的质量分别为________． 【跟踪专练1】某企业计划投入资金用于技术升级与植树造林以实现碳中和目标．已知技术升级每投入1万元可减少碳排放3吨；植树造林每投入1万元可吸收碳排放2吨．若投入10万元，共实现碳排放净减少量28吨，则技术升级和植树造林分别投入（     ） A．8万元，2万元 B．2万元，8万元 C．6万元，4万元 D．5万元，5万元 【跟踪专练2】列方程组解应用题： 2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为，杯身高比6层底座高多，垫台高与杯身高之和是，求这届斯韦思林杯的总高度．    题型9.几何问题(重点) 【典例】如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则小长方形的面积是______． 【跟踪专练1】辰辰用5张大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆出如图的图案，已知点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 题型10.图表信息问题(常考点) 【典例】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则ab2的值为（　　） A． B．6 C． D．36 【跟踪专练1】如图，的格子内填写了一些数和代数式，已知格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等． （1）各行、各列及对角线上的三个数之和为__________； （2）的值为__________． 【跟踪专练2】某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A，B，C，D四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖名 单价（元/件） 数量/件 金额/元 A 90 2 180 B 60 C 40 D 30 14 合计 32 1360 (1)购买D种奖品的金额为_______元； (2)求购买的B，C两种奖品的数量； (3)为进一步培养学生的环保意识，鼓励更多的学生学习环保知识，该校决定扩大受奖人数并以上面的价格再购进B，C，D三种奖品共20件，计划刚好花费700元．请确定所有可能的购买方案． 题型11.古代问题(难点) 【典例】我国古代九章算术里有这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是现有头牛、只羊，共值两金；头牛、只羊，共值两金．问：头牛值多少金？只羊值多少金？据此求牛和羊的价格．假设一头牛需要两金，一只羊需要两金．则可建立方程组为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为________． 【跟踪专练2】《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题，今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱，甲乙两人各带了多少钱？ 题型12.求一次函数解析式 【典例】已知一次函数的图像与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为____________． 【跟踪专练1】一次函数（）的图象经过点和，则该函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若直线与直线平行，则的值为___________； 【跟踪专练3】学校生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里樱桃树苗的生长情况，将樱桃树苗的高度（单位：）与观察时间（单位：天）的关系记录如下表所示，二者之间是一次函数关系．根据表中的数据，预测樱桃树苗在第50天的高度是（     ） 观察时间天 0 … 30 … 樱桃树苗的高度 6 … 12 … A． B． C． D． 题型13.两直线交点与方程组的解 【典例】如图为一次函数与一次函数的图象，则方程组的解为__________． 【跟踪专练1】已知直线与直线的交点坐标为，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知一次函数（）与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是___________． 【跟踪专练3】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．若函数和函数的图象如图所示，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 题型14.图象法解二元一次方程组 【典例】如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【跟踪专练2】小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 题型15.求直线围成的图形面积 【典例】如图，直线是一次函数的图象，与两坐标轴所围成的三角形的面积为___________． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C，点E在线段上，过点E作x轴的垂线与直线交于点F，与x轴交于点D，且，则的面积为____________________ ． 【跟踪专练2】如图，已知直线：与直线：交于点，交轴于点，交轴于点，将线段沿方向平移，当与重合时，线段扫过的面积为（     ） A．24 B．12 C．6 D．3 题型16.三元一次方程组定义及解 【典例】已知，则______． 【跟踪专练1】已知是三元一次方程组的解，那么的值为__________． 【跟踪专练2】方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，1↑1，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，1↑1，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解：类似的，方程的正整数解的个数为（     ） A．24 B．26 C．28 D．30 题型17.三元一次方程组的应用 【典例】用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，分别按图①、②的方式放置．测量的数据如图，这张桌子的高度是_______． 【跟踪专练1】小明所带的钱只能购买如图三件物品中的两件．已知毛笔与砚台的价格之和为118元，毛笔与笔洗的价格之和为108元，砚台与笔洗的价格之和为96元．那么毛笔的单价为( )元／支，砚台的单价为( )元／块，笔洗的单价为( )元／只． 【跟踪专练2】春节期间，相关部门为增添节日气氛，对政府广场进行装饰．其中用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由5朵红花、4朵黄花和3朵紫花搭配而成，乙种花束由3朵红花、3朵黄花和2朵紫花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了1060朵红花，680朵黄花，则紫花一共用了（     ）朵． A．480 B．560 C．580 D．610 解答题 1．解方程组：． 2．利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点． (1)求一次函数的解析式； (2)该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 4．【阅读理解】在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为2． 【类比迁移】 (1)已知，求的值； 【实际应用】 (2)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、2块橡皮、1本笔记本共需15元，买7支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需38元，则购买15支铅笔、15块橡皮、15本笔记本共需多少元？ 5．小静在使用一款国际天气查询的时，发现该支持摄氏温度与华氏温度的自由切换．为了了解换算规律，她记录了中几个特定温度值的对应关系，如表所示： 摄氏温度 … … 华氏温度 … 77 … (1)小静通过描点画图发现华氏温度是摄氏温度的一次函数，求关于的函数表达式； (2)如果小静查询到当地某日的气温为，求当日的摄氏温度； (3)小静认为存在华氏温度与摄氏温度相等的温度值，你同意吗？如果同意，请求出这个温度值；如果不同意，请说明理由． 6．有甲、乙两种货车，1辆甲种货车和2辆乙种货车共载重13t；3辆甲种货车和1辆乙种货车共载重19t． (1)每辆甲种货车和乙种货车的载重量分别是多少？ (2)现安排这两种货车，把75t救灾物资一次性运往灾区，每辆货车恰好全部装满，有哪几种安排方案？ (3)在第（2）问的情况下，租用一辆甲种货车的费用为400元/天，租用一辆乙种货车的费用为300元/天，运送救灾物资往返需要3天，如何安排最为省钱？此时总运费是多少？ 7．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮胎纹的磨损程度比后轮严重．资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到万公里时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到万公里时报废．假设在轮胎的使用寿命内，同一位置（前轮或后轮）轮胎胎纹每公里的磨损率是一样的． 如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前、后轮的轮胎换位的建议（即定期将前、后轮胎互换）．若小汽车交换前、后轮胎后，能行驶到前、后轮胎同时报废，此时小汽车行驶总里程最大，轮胎的使用效率也最高． (1)设轮胎出厂胎纹厚度为，则前轮万公里胎纹磨耗厚度为，后轮万公里胎纹磨耗厚度为 ； (2)如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程； (3)假设该小汽车在开始使用时，车上安装的个轮胎以及后备箱中的个备用轮胎均为同规格的全新轮胎．为了提高轮胎利用率，允许将这个轮胎通过不定期换位轮流使用（任何时候车上仍有个轮胎在运行）．应如何安排换位方案，才能使小汽车利用这个轮胎行驶的总里程最大？最大里程是多少万公里？ 8．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶文化是中国传统文化的重要部分．现有甲、乙两个茶叶加工厂，计划合作一周完成茶叶的加工任务，由于加工人员调整，甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了，最终甲、乙两厂按原计划完成了加工任务． (1)设甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶，直接用含x，y的代数式填表： 工厂 原加工效率 现加工效率 甲 周 __________周 乙 周 __________周 一周总工作量 (2)求甲、乙两个工厂原计划一周分别加工茶叶多少千克． 9．某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？ 10．一家小型超市的账目记录显示，第一天卖出4支牙刷和5盒牙膏，收入72元；第二天，以同样的价格卖出同样的牙刷3支和牙膏4盒，收入54元，店长在查账时发现这个记录有误． (1)请说明这个记录有误的理由； (2)通过进一步核查发现，两次的收入没有错误，在四项卖出数量的数据中也只有一项数据的记录有误，其他数据的记录都是正确的，若牙刷和牙膏的售价都是整数，请直接指出哪一项数据的记录可能有误，并写出正确的数据． 11．截至5月31日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过33.8亿剂次，新冠疫苗接种加上有效个人防护，是当前新冠肺炎疫情防控的重要手段．为了满足市场需求，某公司计划投入大、小两种车间若干个共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共70万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共80万剂． (1)该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？ (2)现需要在一周内生产150万剂疫苗，请问如何安排车间生产恰好满足需求？ 12．如图，已知长方形，动点，同时从点出发，点按照方向运动，点按照方向运动．点运动的速度是点运动速度的倍，两点到各自终点后分别停止运动，并且，两点在点处首次相遇． (1)若长方形周长为，求和的长度； (2)当运动秒时，连接，线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，请直接写出，两点从出发到首次相遇所用的时间． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11二元一次方程组综合应用与拓展 1. 建模应用：能在行程、利润、配套、增收节支等实际问题中找出两组等量关系，设未知数列二元一次方程组，完整完成解题并检验解是否符合实际意义。 2. 数形关联：理解二元一次方程与一次函数一一对应，方程组的解就是两个一次函数图像交点坐标，可借助函数图像近似求解方程组。 3. 解析式互求：利用函数交点坐标，结合二元一次方程组，求解一次函数的解析式。 4. 概念认知：掌握三元一次方程组定义，明确未知数、次数的限定条件，能辨别三元一次方程组。 5. 消元解法：延续消元核心思路，将三元方程组逐步转化为二元、一元一次方程，灵活选用代入、加减消元法规范计算。 6. 三元建模：面对含三个未知量的简单问题，可建立三元一次方程组进行求解。 7. 方法择优：观察方程组系数特征，选择简便消元方式，降低计算失误率。 8. 规避易错点：应用题等量关系找寻不全、忽略实际取值要求；混淆方程的解与方程组的解；消元过程符号出错、消元对象混乱。 9. 数学素养：吃透消元降维、数形结合、数学建模三大思想，串联方程与函数知识，提升代数综合解题能力。 预习必备 知识梳理 1.标准解题步骤 2.八大高频实际应用题型 3等量关系寻宝指南 4.一次函数与二元一次方程组 5.三元一次方程组 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.方案选择问题(难点) 2.行程问题(重点+难点) 3.工程问题(重点+难点) 4.数字问题(难点) 5.年龄问题(难点) 6.分配问题(常考+重点) 7.销售利润问题(重点) 8.和差倍分问题(常考+重点) 9.几何问题(重点) 10.图表信息问题(常考点) 11.古代问题(难点) 12.求一次函数解析式 13.两直线交点与方程组的解 14.图象法解二元一次方程组 15.求直线围成的图形面积 16.三元一次方程组定义及解 17.三元一次方程组的应用 强化题型 解答题12题 知识点01:标准解题六大步骤 步骤 核心要求 注意事项 1.设 设两个未知数（直接 / 间接设元） 规范表述，如 “设单价为 x 元，数量为 y 个”，避免模糊 2.找 提取两组独立等量关系 关键词：一共、比… 多 / 少、倍、配套、相遇等 3.列 依据等量关系列二元一次方程组 两个方程必须独立，不能重复 4.解 选用代入 / 加减消元法求解 计算仔细，避免符号、漏乘错误 5.验 ① 检验是否满足方程组② 检验是否符合实际意义 人数、物品数量必须为正整数，价格不能为负 6.答 完整写出答句，对应设元 不漏写单位，语句通顺 知识点 02 八大高频实际题型 + 等量关系模板 题型类别 核心等量关系 典型题干场景 和差倍分问题 ① x+y=总量；② x-y=差值 \x=ky倍数关系 年龄、人数、书本、物品数量 行程问题（相遇） 甲路程 + 乙路程 = 总路程；路程 = 速度 × 时间 两车相向、两人走路碰面 行程问题（追及） 快者路程-慢者路程 = 路程差 同向行驶、快慢追赶 行程（航行） 顺水速度 = 静水速 + 水速； 逆水速度 = 静水速-水速 轮船、小船顺水逆水行驶 工程问题 甲工作量 + 乙工作量 = 总工作量； 工作量 = 效率 × 时间 修路、加工零件、水池注水放水 配套问题 两种零件配套比例相等（如 1 螺栓配 2 螺母：螺母数 = 2× 螺栓数） 工厂加工桌椅、螺栓螺母配套 利润销售问题 总价 = 单价 × 数量； 总利润 = 单件利润 × 销量 商品打折、批发零售、成本售价 几何图形问题 周长、面积公式；边长和差倍数关系 长方形长宽、三角形边长、图形拼接 知识点03:等量关系 “寻宝指南”（应用题的核心密码） 所有题型的本质都是找等量关系，这些 “高频线索” 直接圈，一找一个准！ ● 配套问题:根据配套比例（如 1 张桌子配 4 把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 ● 几何图形问题:根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。 ● 方案问题:根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。 ● 行程问题:基本关系：路程 = 速度 × 时间。相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；注意同时出发、早出发等情况。 ● 工程问题:基本关系：工作量 = 工作效率 × 时间；常将总工作量看作 1，或给出具体数值。 ● 数字问题:两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。 ● 年龄问题:年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。 ● 分配问题:如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 ● 销售利润问题:售价 = 进价 + 利润；利润率 = 利润 ÷ 进价；打折、提价、降价后的等量关系。 ● 和差倍分问题:直接根据 “和”“差”“倍”“分” 列方程。 ● 图表信息题:从表格、图形中提取数据，转化为方程组。 知识点04:一次函数与二元一次方程组 1.对应 二元一次方程组 ⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2​。 2.解的几何意义 方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。 3. 两直线位置与方程组解的关系（必考表格） 设直线l1:y=k1x+b1，直线l2:y=k2x+b2 系数关系 直线位置 方程组解的情况 代数判定（原方程） k1≠k2 两直线相交，1 个交点 唯一一组解 k1=k2，b1≠b2 两直线平行，无交点 无解 k1=k2，b1=b2 两直线完全重合，无数交点 无数组解 知识点05:三元一次方程组的解法 1. 核心概念 定义：含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程组。 解：使三个方程都成立的三个未知数的值，是一组有序数对 (x,y,z)。 2. 核心解法：消元思想 思路：三元 → 二元 → 一元，逐步消去未知数。 常用方法： 代入消元法：用一个未知数表示另外两个，代入消元。 加减消元法：通过方程变形，消去一个未知数，转化为二元一次方程组。 3.标准解题四步 （1）消元：观察三个方程，选择系数最简单的未知数（优先系数为1)，用代入 / 加减消元消去，得到只含两个未知数的二元方程组； （2）解二元：用代入或加减消元解二元一次方程组，求出两个未知数； （3）回代：将求出的两个值代入原任意一个三元方程，求出第三个未知数； （4）检验：三组数同时代入三个原方程，全部成立才是方程组的解。 知识点 06 两种消元思路对比 消元方法 适用条件 操作要点 代入消元法 某方程单独写成x=…/y=…/z=… 直接代入另外两个方程，消元得二元组 加减消元法 同一个未知数在两个方程中系数相等 / 相反 两式相加 / 相减，消去该未知数 知识点07：高频易错汇总 1.二元方程组与函数：分不清 “方程的解” 和 “方程组的解”，单点只满足一个方程不是交点； 2.直线平行判定：只看k相等，忽略b不等才无解； 3.三元消元：消元时漏乘常数项，回代时代入错误方程； 4.应用题：等量关系找不全，三元题只列出两个方程； 5.格式错误：方程组解不加大括号，检验只代一个式子； 6.实际解不验证，出现负数量、非整数人数直接写答案。 题型1.方案选择问题(难点) 【典例】“市长杯”校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．十一中足球队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分．则十一中足球队胜了_______场， 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用．设胜了x场，平了y场，根据比赛总场次和总得分列二元一次方程组求解． 【详解】解： ∵负2场， ∴胜场和平场之和为场． 设胜了x场，平了y场，根据题意得∶ ， 解得：， 答：故胜了5场． 故答案为5 【跟踪专练1】为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，红星小学某社团计划购买一批篮球和足球用于开展课后服务训练．已知篮球的单价是元，足球的单价是元．若该社团用元购买这两种球（篮球、足球都购买）且元恰好用完，则该社团的购买方案一共有________种． 【答案】 【分析】设购买篮球个，足球个，根据总费用列出方程，再结合球数为正整数的条件，找出所有符合要求的二元一次方程的解，统计方案数即可． 【详解】设购买篮球个，足球个，、均为正整数， 根据题意列方程，得， 化简，得， 整理，得 ， ，均为正整数， 为整数， 又与互质， 是的倍数， 由得 ， 解得， 又， ， 的可取的值为，，，对应为，，，均符合要求， 该社团共有种购买方案． 【跟踪专练2】项目化学习 校园社团器材采购规划 素材一 学校学生会采购两类活动器材套装：科创套装、美术套装，每套所需管理志愿者人数、单套采购费用如下表： 器材类型 每套需管理志愿者人数 单套采购费用（元） 科创套装 2 800 美术套装 3 1100 素材二 本次采购分配志愿者共 34 名，所有志愿者全部用来管理两类器材，每人只负责一类器材；两类器材采购总花费 12800 元． (1)求科创套装、美术套装分别采购多少套？ (2)学校新增社团后，可用志愿者共 40 名，全部投入器材管理，要求美术套装采购数量多于 9 套．若要让器材采购总花费最低，科创套装、美术套装应各采购多少套？ 【答案】(1)采购科创套装套，采购美术套装套 (2)当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低 【分析】（1）设采购科创套装套，采购美术套装套，列二元一次方程组求解； （2）设采购套科创套装，采购美术套装套，可列二元一次方程，根据，均为非负整数，且，求出方程的解即为采购方案． 【详解】（1）解：设采购科创套装套，采购美术套装套， 根据题意得：， 解得：， 答：采购科创套装套，采购美术套装套； （2）解：设采购套科创套装，采购美术套装套， 根据题意得：， 整理可得：， 又，均为非负整数，且， 或， 共有种采购方案， 方案1：采购总成本为（元） 方案2：采购总成本为（元）； ， 当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低． 题型2.行程问题(重点+难点) 【典例】．某人步行了5小时，先沿着平路走，然后上山，最后又沿原路返回．假如他在平路上每小时走4里，上山每小时走3里，下山的速度是6里小时，则他从出发到返回原地的平均速度是___里小时． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程在行程问题中的应用．基本关系式为：路程速度时间．本题把5小时路程划分为平路和山路是解决本题的突破点，关键在于理解去时的上山路程即为回时的下山路程．由于平均速度总路程总时间，而总时间为5小时，所以求出此人行驶的总路程即可．为此，设平路有里，山路有里，根据平路用时上坡用时下坡用时平路用时小时，即可求出的值，再乘以2即为总路程． 【详解】解：设平路有里，山路有里． 根据题意得：， 即， （里． 此人共走的路程（里， 平均速度（里小时）． 故答案为：4． 【跟踪专练1】甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（     ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】设A、B两地距离为，甲的速度为，乙的速度为，同向而行需分甲速度大于乙速度、乙速度大于甲速度两种情况讨论，结合路程关系列方程求解. 【详解】解：设A、B两地距离为，甲的速度为，乙的速度为. ∵相向而行后相遇， ∴， 整理得. 同向而行分两种情况： ① 甲速度大于乙速度，甲追乙，后相遇， ∴， 整理得. 联立， 两式相加得， 解得， ∴甲走完全程的时间为， ② 乙速度大于甲速度，乙追甲，后相遇， ∴， 整理得. 联立， 两式相加得， 解得， 代入得， ∴甲走完全程的时间为； 【跟踪专练2】某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果3名熟练分拣员和1名新手分拣员一天能分拣130件包裹；1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在6小时内送完所有包裹；若将速度提高10千米/小时，行驶4小时后，还剩70千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件 (2)快递车的总配送路程是330千米 【分析】（1）设每名熟练分拣员每天可以分拣x件包裹，新手分拣员每天可以分拣y件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 v千米/小时，总路程为S千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天分拣x件，新手分拣员每天分拣y件，根据题意得： ， 解得：， 每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件； （2）设原速度为v千米/小时，总路程为S千米，根据题意得： 解得：， 快递车的总配送路程是330千米． 题型3.工程问题(重点+难点) 【典例】两组工人按计划本月应共生产680个零件，实际第一组超额、第二组超额完成了本月任务，因此比原计划多生产118个零件，则本月原计划第一组生产________个零件、第二组生产________个零件． 【答案】 320 360 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 则， 解得：， 即原计划第一组生产个零件、第二组生产个零件， 故答案为：320；360． 【跟踪专练1】某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、，根据题意列出方程组，求解即可得解，理解题意，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、， 由题意可得：， 解得：， 故水管①、②、③为进水管，水管④、⑤为出水管， ∵， ∴最快注满水池的水管编号为③， 故选：C． 【跟踪专练2】为打造“塞上湖城”生态名片，银川市对典农河的一段河道进行清淤美化．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．求整治任务完成后，甲、乙两个工程队分别整治河道的长度． (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米． 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，m表示___________，n表示___________． 根据题意，得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路； (2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从（1）中任选一个方程组求解．（写出完整的解答过程） 【答案】(1)，，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用的天数，，． (2)整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 【分析】（1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：小明，小华两位同学提出的解题思路如下： 小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 小华同学：设整治任务完成后，表示甲工程队整治河道用的天数，表示乙工程队整治河道用的天数， 根据题意，得 （2）解：选小明同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米， 根据题意，得 ②，得．③ ①，得．④ ③－④，得．把代入①，得． 答：整治任务完成后，甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 选小华同学所列方程组解答如下： 设整治任务完成后，甲工程队整治河道用天，乙工程队整治河道用天，根据题意，得 ． ①，得．③ ②－③，得， ．把代入①，得， ，． 答：整治任务完成后甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米． 题型4.数字问题(难点) 【典例】小明和小亮做两个数的加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来两个加数中较小的加数是________． 【答案】21 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，掌握在加数后多写一个等价于该数乘以的数量关系，从而建立方程组是解题的关键． 设两个加数分别为和，根据题意列出方程组并求解，比较大小得出较小加数． 【详解】解：设原来两个加数分别为和． 根据题意，得方程组 解方程组，将第一式乘以，得， 减去第二式，得，解得． 代入第一式，得， 即，解得． ∴方程组的解为 故原来两个加数分别为和，较小的加数是． 故答案为：． 【跟踪专练1】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幻方的性质，即每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等进行分析即可． 【详解】解；如图： 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 所以． 【跟踪专练2】一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)35 (2)大18 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，然后进一步即可得出答案． （2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案． （3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出，由a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，此时（不是个位数），不符合题意， 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意，得 解得， ∴这个两位数是． （2）解：对调后的新两位数为53， 答：新两位数比原两位数大18． （3）解：不存在 理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b， 根据题意得 整理方程②： ，即 ． ∵ a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8， 此时（不是个位数），不符合题意， 故不存在这样的两位数． 题型5.年龄问题(难点) 【典例】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是________． 【答案】10岁和6岁 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得， 解得； 所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 故答案为：10岁和6岁． 【跟踪专练1】一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 【跟踪专练2】若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a、b，记这个两位数为，则，例如． (1)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置，求证：所得数与原数的和一定能被11整除； (2)若两个年龄各位数字排列顺序颠倒，且经过几年后会重复颠倒这个过程，则称这两个年龄为“颠倒的年龄”．聪明的小明发现他的年龄和他父亲的年龄是“颠倒的年龄”，当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒．求出满足上述条件的正数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)11、22、33、44、55 【分析】本题考查了整式加减混合运算的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题关键． （1）由题意可知，，，进而得出，即可得证； （2）设小明的年龄为，则他父亲的年龄为，根据“颠倒的年龄”得出，即可得解． 【详解】（1）证明：由题意可知，，， 则， 所以所得数与原数的和一定能被11整除； （2）解：设小明的年龄为，则他父亲的年龄为， 当小明14岁时，他父亲41岁，并且在经过m年后（父亲年龄仍是两位数）会再次出现颠倒， 再次出现颠倒时，， ， ， 解得：， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上可知，正整数m的值为11、22、33、44、55． 题型6.分配问题(常考+重点) 【典例】已知甲，乙两个工程队分别有员工80人，100人．现在从其他地方调90人充实两队，调配后甲队人数是乙队人数的，则有________人调到甲队． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设调入甲队人，调入乙队人，由题意列方程组求解即可得到答案，读懂题意，准确列出二元一次方程组是解决问题的关键． 【详解】解：设调入甲队人，调入乙队人， 则， 解得， 有人调到甲队， 故答案为：． 【跟踪专练1】劳技课上学生用铁皮制作收纳盒，每张铁皮可制作盒身6个，或制作盒底8个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒．现有材料30张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成收纳盒．则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据铁皮总张数和配套的数量关系即可列出相应方程组，关键是明确盒底数量应为盒身数量的2倍． 【详解】解：∵共有30张铁皮，张制作盒身，张制作盒底， ∴， ∵一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒，即盒底总数量是盒身总数量的2倍，盒身总数量为，盒底总数量为， ∴， ∴可得方程组． 【跟踪专练2】《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例．某工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12千克铜和2千克锡，制作一面铜镜需要1千克铜和1千克锡，现用60千克铜和20千克锡制作鼎和铜镜、这些铜和锡恰好全部用完时．可制作多少个鼎和多少面铜镜？ 【答案】可制作4个鼎和12面铜镜 【分析】设制作x个鼎、y面铜镜，根据铜总质量、锡总质量列出二元一次方程组，即可解答． 【详解】解：设这些铜和锡恰好全部用完时，可制作个鼎和面铜镜．根据题意，得      解得     答：这些铜和锡恰好全部用完时，可制作4个鼎和12面铜镜． 题型7.销售利润问题(重点) 【典例】在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的菠萝喜获丰收．去年菠萝的利润（利润=收入一支出）为12000元，今年菠萝的收入比去年增加了20%，支出比去年减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元．小明家今年种植菠萝的收入是________元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小明家去年种植菠萝的收入为元，支出是元，利用利润=收入-支出，结合小明家去年及今年种植菠萝的利润，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中即可求出小明家今年种植菠萝的收入． 【详解】解：设小明家去年种植菠萝的收入为元，支出是元， 依题意得：， 解得：， ∴ 故答案为：. 【跟踪专练1】2026年是“十五五”的开局之年，某企业年初提出目标：2026年总产值比2025年增加，总支出比2025年减少，实现利润比2025年翻一番．已知该企业2025年的利润（总产值—总支出）为2亿元，则2026年的总产值将达到（     ） A．4亿元 B．亿元 C．6亿元 D．亿元 【答案】D 【详解】解：设2025年该企业的总产值、总支出分别是、亿元 由题意得 解得    故2026年的总产值将达到亿元 【跟踪专练2】某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球、足球共10个，设购买篮球m个，篮球、足球的总费用为w元，求w关于m的函数解析式 (3)在（2）的条件下，且购买足球的个数不超过篮球个数的2倍．请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)w关于m的函数解析式为 (3)购买4个篮球时花费最少，最少费用540元 【分析】（1）设每个篮球元，每个足球元，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）根据题意列出函数解析式即可； （3）根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）解：购买篮球个，则足球个，依题意，得 ∴w关于m的函数解析式为； （3）解：由题意，得 解得， ∵为正整数， ∴，且为正整数， ∵函数中，，随增大而增大， ∴当取最小值4时，总费用最少，为 答：购买4个篮球时花费最少，最少费用540元． 题型8.和差倍分问题(常考+重点) 【典例】如图所示的两台天平均能保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则每块巧克力和每个果冻的质量分别为________． 【答案】20 g，30g 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设设每块巧克力的质量为x g，每个果冻的质量为y g，根据题图，可得3块巧克力的质量2个果冻的质量；1块巧克力的质量＋1个果冻的质量50 g，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每块巧克力的质量为x g，每个果冻的质量为y g，则， 解得； ∴每块巧克力的质量为20 g，每个果冻的质量为30g； 故答案为：20 g，30g． 【跟踪专练1】某企业计划投入资金用于技术升级与植树造林以实现碳中和目标．已知技术升级每投入1万元可减少碳排放3吨；植树造林每投入1万元可吸收碳排放2吨．若投入10万元，共实现碳排放净减少量28吨，则技术升级和植树造林分别投入（     ） A．8万元，2万元 B．2万元，8万元 C．6万元，4万元 D．5万元，5万元 【答案】A 【分析】设技术升级投入万元，植树造林投入万元，根据总投入资金和总碳排放净减少量列方程组，求解即可得到结果． 【详解】解：设技术升级投入万元，植树造林投入万元， ∵总投入为万元，总碳排放净减少量为吨， ∴可得方程组， 解得， ∴技术升级投入万元，植树造林投入万元． 【跟踪专练2】列方程组解应用题： 2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为，杯身高比6层底座高多，垫台高与杯身高之和是，求这届斯韦思林杯的总高度．    【答案】 【分析】设垫台高为，则一层底座高为，则6层底座高为，杯身高为，根据题意列出方程组并解方程组得到的值，即可求出斯韦思林杯的总高度． 【详解】解：设垫台高为，则每层底座高为，则6层底座高为，杯身高为， 根据题意可得， 解得， 则这届斯韦思林杯的总高度为． 题型9.几何问题(重点) 【典例】如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则小长方形的面积是______． 【答案】30 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图中的数据，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组，根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，， 解得， 则小长方形的面积是． 【跟踪专练1】辰辰用5张大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆出如图的图案，已知点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设长方形的长为，宽为，根据点的坐标列出关于，的二元一次方程组，解方程组得出，再结合图形计算即可得出结果． 【详解】解：设长方形的长为，宽为， ∵点的坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为． 【跟踪专练2】某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 【答案】(1)， (2)做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个 【分析】（1）根据图1的两种裁法，可得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材个，B型板材个，竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：； （2）解：设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个， 将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材（个），B型板材（个）， ∵竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材； ∴， 解得， ∴做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个． 题型10.图表信息问题(常考点) 【典例】幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则ab2的值为（　　） A． B．6 C． D．36 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 根据三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得出关于、的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，且都等于三阶幻方中心数的三倍， 则 解得， ，即， 解得， 因此， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，的格子内填写了一些数和代数式，已知格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等． （1）各行、各列及对角线上的三个数之和为__________； （2）的值为__________． 【答案】 3 0 【分析】利用对角线与第三行三个数之和均相等，求出，进而得到三个数之和，求解即可． 【详解】解：（1）格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等， ， ， 各行、各列及对角线上的三个数之和为； （2）三个数之和为， ，即 ． 【跟踪专练2】某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A，B，C，D四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖名 单价（元/件） 数量/件 金额/元 A 90 2 180 B 60 C 40 D 30 14 合计 32 1360 (1)购买D种奖品的金额为_______元； (2)求购买的B，C两种奖品的数量； (3)为进一步培养学生的环保意识，鼓励更多的学生学习环保知识，该校决定扩大受奖人数并以上面的价格再购进B，C，D三种奖品共20件，计划刚好花费700元．请确定所有可能的购买方案． 【答案】(1)420元 (2)B奖品6件，C奖品10件 (3)共3种可能方案，方案一：再购进B奖品1件，购进C奖品7件，购进D奖品12件；方案二：再购进B奖品2件，购进C奖品4件，购进D奖品14件；方案三：再购进B奖品3件，购进C奖品1件，购进D奖品16件 【分析】（1）由数据直接列式计算即可； （2）由表格数据可知，B，C两种奖品的数量和为（件），总金额为（元），列方程组即可解答； （3）设再购进B奖品件，购进C奖品件，则购进D奖品件，根据题意列二元一次方程，求二元一次方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：购买D种奖品的金额为：（元）． （2）解：设B奖品数量为件，C奖品的数量为件， 解得 答：B奖品6件，C奖品10件． （3）解：设再购进B奖品件，购进C奖品件，则购进D奖品件． 由题意得： 因为为正整数， 所以： 当时，； 当时，； 当时，． 共有3种可能购买方案，分别为： 方案一：购进B奖品1件，购进C奖品7件，购进D奖品12件； 方案二：购进B奖品2件，购进C奖品4件，购进D奖品14件； 方案三：购进B奖品3件，购进C奖品1件，购进D奖品16件． 题型11.古代问题(难点) 【典例】我国古代九章算术里有这样一道题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？意思是现有头牛、只羊，共值两金；头牛、只羊，共值两金．问：头牛值多少金？只羊值多少金？据此求牛和羊的价格．假设一头牛需要两金，一只羊需要两金．则可建立方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“头牛、只羊，共值两金；头牛、只羊，共值两金”，即可列出关于、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意，可建立方程组为． 【跟踪专练1】在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为，则图2所表示的方程组的解为________． 【答案】 【分析】根据图1所表示的方程组可得出图2所表示的方程组，解之即可得出图2所表示的方程组的解． 【详解】解：依题意得：图2所表示的方程组为， 解得：． 【跟踪专练2】《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题，今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱，甲乙两人各带了多少钱？ 【答案】甲带了钱，乙带了钱． 【分析】设甲带了x钱，乙带了y钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲带了x钱，乙带了y钱， 根据题意得， 解得 ∴甲带了钱，乙带了钱． 题型12.求一次函数解析式 【典例】已知一次函数的图像与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为____________． 【答案】 【分析】一次函数图象互相平行，则一次项系数相等，设出解析式后代入已知点坐标即可求出常数项，得到函数解析式． 【详解】解：设所求一次函数的解析式为， 该一次函数的图象与直线平行， ∴． 该一次函数过点， ， 解得， 该一次函数的解析式为． 【跟踪专练1】一次函数（）的图象经过点和，则该函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一次函数（）的图象经过点和，代入得： ， 解得， 解析式为． 【跟踪专练2】若直线与直线平行，则的值为___________； 【答案】 【分析】根据一次函数图象平行的性质，两条直线平行时一次项系数相等，常数项不相等，据此列方程和不等式求解，排除重合情况即可得到的值 【详解】解：已知两条直线的斜截式方程分别为 和 ， ∵两条直线平行， ，， 解方程 ， 由不等式得 ， ∴ ． 【跟踪专练3】学校生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里樱桃树苗的生长情况，将樱桃树苗的高度（单位：）与观察时间（单位：天）的关系记录如下表所示，二者之间是一次函数关系．根据表中的数据，预测樱桃树苗在第50天的高度是（     ） 观察时间天 0 … 30 … 樱桃树苗的高度 6 … 12 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题已知与为一次函数关系，利用待定系数法求出一次函数解析式，再代入计算对应值即可得到结果. 【详解】解：设该一次函数解析式为， ∵由表格可知，函数过点和， 将代入解析式得 ， 将和代入解析式得：， 解得 ， ∴该一次函数解析式为 ， 将代入解析式得：， 即第天的高度为. 题型13.两直线交点与方程组的解 【典例】如图为一次函数与一次函数的图象，则方程组的解为__________． 【答案】 【分析】先将交点横坐标代入，即可得交点坐标，再根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解答． 【详解】解：由图可知，交点的横坐标为1， 将代入得，， ∴交点坐标为， ∴方程组的解为． 【跟踪专练1】已知直线与直线的交点坐标为，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵直线与直线的交点坐标为， ∴方程组的解就是交点的横纵坐标，即． 【跟踪专练2】如图，已知一次函数（）与的图象相交于点，则二元一次方程组的解是___________． 【答案】 【分析】先求出点P的坐标，然后根据图象法解方程组即可． 【详解】解：把代入得：， ∴点， ∴二元一次方程组的解是． 【跟踪专练3】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．若函数和函数的图象如图所示，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数和函数的图象相交于点，根据交点的意义，得到方程组的解． 【详解】解：∵函数和函数的图象相交于点， ∴方程组的解为． 题型14.图象法解二元一次方程组 【典例】如图，一次函数和的图象相交于点，则关于、的方程组：的解是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象交点与方程的解的关系，熟练运用数形结合的思想，利用图象法解一元一次方程是解题的关键．一次函数图象交点即为方程组的解，即可求解． 【详解】解：一次函数和的图象相交于点， 的解为， 故答案为：． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两函数图象交点的坐标，观察图象找出交点坐标即可． 【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为， ∴关于x，y的二元一次方程组的解为． 【跟踪专练2】小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 题型15.求直线围成的图形面积 【典例】如图，直线是一次函数的图象，与两坐标轴所围成的三角形的面积为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数图象上点坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据待定系数法求出直线解析式，进而求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意，；，， ∴ 解得： ∴， 把代入得：，解得： ∴直线与坐标轴的交点分别为，， ∴函数与两坐标轴围成三角形的面积为：． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C，点E在线段上，过点E作x轴的垂线与直线交于点F，与x轴交于点D，且，则的面积为____________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标．根据两条直线的关系式求出交点坐标，设，则 ，根据列方程求出a值，进而求出结论即可． 【详解】解：联立， 解得：， ∴点C的坐标为； 设，则，， ，， ， ， 解得：， ， 的面积为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知直线：与直线：交于点，交轴于点，交轴于点，将线段沿方向平移，当与重合时，线段扫过的面积为（     ） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】先分别求出点和点的坐标，得到的长度，根据题意线段扫过的图形是平行四边形，利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】已知直线为，且交轴于点， 令，解得，所以点的坐标为， 已知直线为，且交轴于点， 令，解得，所以点的坐标为， 所以． 联立直线和直线的方程组。 ， 由，得，解得， 将代入中，可得， ∴交点的坐标为， 将线段沿方向平移，当与重合时，点动到点处，如图所示： ∵线段在轴上，且平移方向为， ∴线段扫过的图形是平行四边形， ∵点的坐标为，所以点到轴的距离为， ∴线段扫过的面积为． 题型16.三元一次方程组定义及解 【典例】已知，则______． 【答案】3 【详解】解： 得， ∴． 【跟踪专练1】已知是三元一次方程组的解，那么的值为__________． 【答案】 【分析】由已知条件把，，的值代入关于，，的三元一次方程组，利用这个方程组可得到的值． 【详解】解：是三元一次方程组的解， ， 得， ． 【跟踪专练2】方程的正整数解的个数等价于在排列1，1，1，1，1，1，1形成的6个空隙中，任选一个空用隔板隔离，比如排列1，1↑1，1，1，1，1等价于，排列1，1，1，1，1↑1，1等价于，因为原排列有6个空隙，所以方程共有6个正整数解：类似的，方程的正整数解的个数为（     ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】C 【分析】仿照题干给出的隔板法思路求解，将9个1排成一排，要分成3个正整数部分，需要在中间空隙中选2个插入隔板，计算选法数量即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵方程的解为正整数， ∴均为大于等于1的正整数， 将9个1排成一排，1，1，1，1，1，1，1，1，1， ∴9个1之间共有个空隙， 要将9个1分成3组，分别对应，需要从8个空隙中任选2个插入隔板， 计算选法总数：从8个空隙中选第一个有8种选法，选第二个有7种选法， ∵两个隔板顺序不影响分组结果， ∴总选法为， ∴方程的正整数解的个数为28． 题型17.三元一次方程组的应用 【典例】用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，分别按图①、②的方式放置．测量的数据如图，这张桌子的高度是_______． 【答案】75 【分析】本题考查了方程组的应用，根据图形正确列出方程组是解题的关键． 设桌子高，长方体长，宽，列方程组得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：设桌子高，长方体长，宽， 根据题意得， 得， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】小明所带的钱只能购买如图三件物品中的两件．已知毛笔与砚台的价格之和为118元，毛笔与笔洗的价格之和为108元，砚台与笔洗的价格之和为96元．那么毛笔的单价为( )元／支，砚台的单价为( )元／块，笔洗的单价为( )元／只． 【答案】 65 53 43 【分析】根据题意列方程组求解即可． 【详解】 解：设毛笔的单价为x元支，砚台的单价为y元块，笔洗的单价为z元只， 则， 解得， 即毛笔的单价为65元/支，砚台的单价为53元/块，笔洗的单价为43元/只． 【跟踪专练2】春节期间，相关部门为增添节日气氛，对政府广场进行装饰．其中用到甲、乙、丙三种造型的花束，甲种花束由5朵红花、4朵黄花和3朵紫花搭配而成，乙种花束由3朵红花、3朵黄花和2朵紫花搭配而成，丙种花束由2朵红花、1朵黄花和1朵紫花搭配而成．这些花束一共用了1060朵红花，680朵黄花，则紫花一共用了（     ）朵． A．480 B．560 C．580 D．610 【答案】C 【分析】设甲、乙、丙三种花束分别有x束、y束、z束，再通过列方程消元整体推导紫花总数即可． 【详解】解：设甲、乙、丙三种花束分别有x束、y束、z束． ∵红花共用了1060朵，黄花共用了680朵， ∴， 得，， 将③代入②得， ∴， 由题意得，紫花总数为， ∴ 将③和④代入得，， ∴紫花总数为580朵． 解答题 1．解方程组：． 【答案】 【详解】解： 得，即④， 将①代入④得，解得， 将②代入④得，解得， 将③代入④得，解得， ∴方程组的解为． 2．利用一次函数的图象，求二元一次方程组的解． 【答案】 【分析】在直角坐标系中画出两个函数图象即可得到交点坐标，从而得到方程组的解． 【详解】解：该方程组可化为， 在平面直角坐标系中作出函数与的图象， 由图象可得，这两个函数的图象交点为， ∴方程组的解为． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点． (1)求一次函数的解析式； (2)该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两直线平行时一次项系数相等设出函数解析式，再将已知点坐标代入解析式求出截距，确定一次函数解析式； （2）分别令、求出一次函数与轴、轴的交点坐标，得到直角三角形两条直角边的长度，再结合直角三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：设该一次函数的解析式为， 该函数图象与直线平行， ，即解析式为， 又函数图象经过点， 将代入解析式：， 解得， 该一次函数的解析式为； （2）解：令，则， 解得， 点坐标为， ， 令，则， 点坐标为， ， ， 是直角三角形， ． 4．【阅读理解】在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为2． 【类比迁移】 (1)已知，求的值； 【实际应用】 (2)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、2块橡皮、1本笔记本共需15元，买7支铅笔、5块橡皮、3本笔记本共需38元，则购买15支铅笔、15块橡皮、15本笔记本共需多少元？ 【答案】(1)20 (2)购买15支铅笔、15块橡皮、15本笔记本共需120元 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设1支铅笔需要元，1块橡皮需要元，1本笔记本需要元，依题意可得：，然后进行求解即可． 【详解】（1）解： 得：③， ，得：， 所以，的值为20． （2）解：设1支铅笔需要元，1块橡皮需要元，1本笔记本需要元，依题意可得： ， ，得：， ； 答：购买15支铅笔、15块橡皮、15本笔记本共需120元． 5．小静在使用一款国际天气查询的时，发现该支持摄氏温度与华氏温度的自由切换．为了了解换算规律，她记录了中几个特定温度值的对应关系，如表所示： 摄氏温度 … … 华氏温度 … 77 … (1)小静通过描点画图发现华氏温度是摄氏温度的一次函数，求关于的函数表达式； (2)如果小静查询到当地某日的气温为，求当日的摄氏温度； (3)小静认为存在华氏温度与摄氏温度相等的温度值，你同意吗？如果同意，请求出这个温度值；如果不同意，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)同意，这个温度值为，即 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格中已知的对应点坐标，求出一次函数的系数，得到函数表达式； （2）将已知的华氏温度代入所求解析式，解一元一次方程得到对应摄氏温度； （3）令，解方程判断是否存在实数解，若有解则说明存在该温度值． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 将点、代入得：， 解得：， 关于的函数表达式为； （2）解：将代入得：， 解得：， 答：当日的摄氏温度为； （3）解：同意小静的说法，过程如下： 若华氏温度与摄氏温度相等，则满足， 联立， 解得：， 因此，存在该温度值，即． 6．有甲、乙两种货车，1辆甲种货车和2辆乙种货车共载重13t；3辆甲种货车和1辆乙种货车共载重19t． (1)每辆甲种货车和乙种货车的载重量分别是多少？ (2)现安排这两种货车，把75t救灾物资一次性运往灾区，每辆货车恰好全部装满，有哪几种安排方案？ (3)在第（2）问的情况下，租用一辆甲种货车的费用为400元/天，租用一辆乙种货车的费用为300元/天，运送救灾物资往返需要3天，如何安排最为省钱？此时总运费是多少？ 【答案】(1) 每辆甲种货车载重量为，每辆乙种货车载重量为 (2) 共有4种安排方案：① 3辆甲种货车，15辆乙种货车；② 7辆甲种货车，10辆乙种货车；③ 11辆甲种货车，5辆乙种货车；④ 15辆甲种货车，0辆乙种货车，若要求两种货车都必须安排，则共有3种方案，即前三种 (3) 安排3辆甲种货车和15辆乙种货车最省钱，此时总运费为17100元 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据（1）中的结果列二元一次方程，用其中一个未知数表示另外一个未知数，找到整数解，并列出安排方案即可； （3）分别代入（2）中的安排方案，求出不同方案所需的费用，比较得出最省钱的方案即可． 【详解】（1）解：设每辆甲种货车的载重量为，每辆乙种货车的载重量为， 则由题意，得， 解得， ∴每辆甲种货车的载重量为，每辆乙种货车的载重量为； （2）解：设安排m辆甲种货车，n辆乙种货车， 由题意，得，即， ∵m，n为非负整数， ∴可能的情况有，，，， ∴共有4种安排方案：① 3辆甲种货车，15辆乙种货车；② 7辆甲种货车，10辆乙种货车；③ 11辆甲种货车，5辆乙种货车；④ 15辆甲种货车，0辆乙种货车，若要求两种货车都必须安排，则共有3种方案，即前三种； （3）解：由题意，得方案①每天的费用为（元）； 方案②每天的费用为（元）； 方案③每天的费用为（元）； 方案④每天的费用为（元）， ∵， ∴安排3辆甲种货车和15辆乙种货车最省钱，此时总运费为（元）． 7．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮胎纹的磨损程度比后轮严重．资料显示：汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到万公里时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到万公里时报废．假设在轮胎的使用寿命内，同一位置（前轮或后轮）轮胎胎纹每公里的磨损率是一样的． 如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前、后轮的轮胎换位的建议（即定期将前、后轮胎互换）．若小汽车交换前、后轮胎后，能行驶到前、后轮胎同时报废，此时小汽车行驶总里程最大，轮胎的使用效率也最高． (1)设轮胎出厂胎纹厚度为，则前轮万公里胎纹磨耗厚度为，后轮万公里胎纹磨耗厚度为 ； (2)如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶里程； (3)假设该小汽车在开始使用时，车上安装的个轮胎以及后备箱中的个备用轮胎均为同规格的全新轮胎．为了提高轮胎利用率，允许将这个轮胎通过不定期换位轮流使用（任何时候车上仍有个轮胎在运行）．应如何安排换位方案，才能使小汽车利用这个轮胎行驶的总里程最大？最大里程是多少万公里？ 【答案】(1) (2)应在汽车行驶万公里时交换，轮胎报废时总行驶里程为万公里 (3)定期换位使每个轮胎作为前轮和后轮行驶的里程相等，最终所有轮胎同时报废，最大总里程为万公里 【分析】（1）根据后轮总使用寿命和总胎厚计算每万公里磨损量； （2）设换胎前后行驶里程，根据两个轮胎总磨损均为1列二元一次方程组求解； （3）计算每万公里总磨损量，结合5个轮胎总最大磨损计算最大总里程，得到最优换位方案． 【详解】（1）解：已知总胎纹厚度为1，后轮8万公里报废，可得后轮1万公里磨耗厚度为； （2）解：设行驶万公里时交换轮胎，交换后再行驶万公里两对轮胎同时报废， 由题意，原前轮交换后做后轮，总磨损量为1，得：， 原后轮交换后做前轮，总磨损量为1，得：， 整理得方程组：， 解得， 答：应在行驶万公里时交换，总行驶里程为万公里； （3）解：设总行驶里程为S万公里． 每行驶1万公里，两个前轮总磨损为，两个后轮总磨损为， 则每万公里总磨损为． 当所有轮胎同时报废时总里程最大，5个轮胎总最大磨损为， 可得：， 解得， 答：安排换位使每个轮胎作为前轮和后轮行驶的里程相等，最终同时报废，最大总里程为万公里． 8．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶文化是中国传统文化的重要部分．现有甲、乙两个茶叶加工厂，计划合作一周完成茶叶的加工任务，由于加工人员调整，甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了，最终甲、乙两厂按原计划完成了加工任务． (1)设甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶，直接用含x，y的代数式填表： 工厂 原加工效率 现加工效率 甲 周 __________周 乙 周 __________周 一周总工作量 (2)求甲、乙两个工厂原计划一周分别加工茶叶多少千克． 【答案】(1)， (2)甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶 【分析】（1）根据“甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了”，用含x，y的代数式表示现加工效率； （2）根据原计划总工作量和现计划总工作量均为，列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：甲现加工效率：； 乙现加工效率：． 故答案为：． （2）解：由题意得 由第一个方程得 ，代入第二个方程： 则 ． 答：甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶． 9．某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？ 【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只 (2)n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只 【分析】（1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可； （2）设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数），根据竖式箱子做20只，横式箱子做只，根据总板材需求列出方程，化简得出，再对k，n进行讨论，即可求得． 【详解】（1）解：由题意由题意由题意由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B， 设竖式做个，横式做个， 则，解得：， 答：制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只； （2）解：∵1张的C型板材，全切割为A型可得9张A型，全切割为B型可得3张B型；其中1张已经切割为3张A型、2张B型， 设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数）， 已知竖式箱子做20只，总板材需求满足： A型总数：，整理得：，即； B型总数：，整理得：， 将代入，得：， 因为且为整数，所以为正偶数，得为最小奇数（时为负，舍去）； 代入得：，，是最小的正整数， 即的最小值为，此时能制作横式箱子只． 10．一家小型超市的账目记录显示，第一天卖出4支牙刷和5盒牙膏，收入72元；第二天，以同样的价格卖出同样的牙刷3支和牙膏4盒，收入54元，店长在查账时发现这个记录有误． (1)请说明这个记录有误的理由； (2)通过进一步核查发现，两次的收入没有错误，在四项卖出数量的数据中也只有一项数据的记录有误，其他数据的记录都是正确的，若牙刷和牙膏的售价都是整数，请直接指出哪一项数据的记录可能有误，并写出正确的数据． 【答案】(1)原记录计算得到牙膏单价为0元，不符合实际意义，因此该记录有误，理由如下： 设每盒牙膏的价格为元，每支牙刷的价格为元，由题意得： ，解得：，故不符合实际意义； ∴这个记录有误； (2)两种可能情况：①第一天卖出牙刷的数量记录有误，正确数据为6；②第二天卖出牙刷的数量记录有误，正确数据为2 【分析】（1）设每盒牙膏的价格为元，每支牙刷的价格为元，由题意得：，进而求解即可； （2）根据题意可分两种情况：①假设第一天卖出的记录无误，说明第二天卖出的记录有误，②假设第一天卖出的记录有误，说明第二天卖出的记录无误，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：假设第一天卖出的记录无误，说明第二天卖出的记录有误，设每盒牙膏的价格为元，每支牙刷的价格为元，由题意得：， ∴， ∵都为整数，且牙刷和牙膏的售价都是整数， ∴或或，相对应的值为或或， 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第二天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（符合题意）； 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 假设第一天卖出的记录有误，说明第二天卖出的记录无误，设每盒牙膏的价格为元，每支牙刷的价格为元，由题意得：， ∴， ∵都为整数，且牙刷和牙膏的售价都是整数， ∴或或或，相对应的值为或或或， 当，时，假设第一天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（符合题意）； 当，时，假设第一天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：两种可能情况：①第一天卖出牙刷的数量记录有误，正确数据为6；②第二天卖出牙刷的数量记录有误，正确数据为2． 11．截至5月31日，全国累计报告接种新型冠状病毒疫苗超过33.8亿剂次，新冠疫苗接种加上有效个人防护，是当前新冠肺炎疫情防控的重要手段．为了满足市场需求，某公司计划投入大、小两种车间若干个共同生产同一种新型冠状病毒疫苗，已知1个大车间和2个小车间每周能生产疫苗共70万剂，2个大车间和1个小车间每周能生产疫苗共80万剂． (1)该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗多少万剂？ (2)现需要在一周内生产150万剂疫苗，请问如何安排车间生产恰好满足需求？ 【答案】(1)该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗30万剂、20万剂； (2)方案一：安排大车间1个，小车间6个；方案二：安排大车间3个，小车间3个；方案三：安排大车间5个，小车间0个 【分析】（1）设该公司每个大车间每周能生产万剂疫苗，每个小车间每周能生产万剂疫苗，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设安排个大车间，个小车间生产恰好满足需求，列出二元一次方程，求出非负整数解即可. 【详解】（1）解：设该公司每个大车间每周能生产万剂疫苗，每个小车间每周能生产万剂疫苗，由题意， ，解得， 答：该公司每个大车间、小车间每周分别能生产疫苗30万剂、20万剂； （2）解：设安排个大车间，个小车间生产恰好满足需求，则： ， ∵为非负整数， 解得，，， 故有3种方案：方案一：安排大车间1个，小车间6个；方案二：安排大车间3个，小车间3个；方案三：安排大车间5个，小车间0个． 12．如图，已知长方形，动点，同时从点出发，点按照方向运动，点按照方向运动．点运动的速度是点运动速度的倍，两点到各自终点后分别停止运动，并且，两点在点处首次相遇． (1)若长方形周长为，求和的长度； (2)当运动秒时，连接，线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，请直接写出，两点从出发到首次相遇所用的时间． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】（1）根据长方形周长以及，两点在点处首次相遇，可得，，再进一步求解即可； （2）由（1）得：，设，则，可得长方形周长为，设的速度为，则的速度为，再分两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵长方形周长为， ∴，，，即， ∵点运动的速度是点运动速度的倍， ∴运动时间相同时点的运动路程是点P运动路程的倍， ∵，两点在点处首次相遇， ∴，即， ∴， 解得：，． （2）解：由（1）得：， 设，则， ∴长方形周长为， 设的速度为，则的速度为， 当运动秒时，的运动路程为，的运动路程为， 如图， ∵线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，长方形是中心对称图形， ∴， ∴， 解得：， ∴，两点从出发到首次相遇所用的时间为， 如图， ∵，， 当运动到的时间为：， 此时的运动路程为， ∴已经停止运动， ∴当运动秒时，停止，与重合，此时线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分， ∵长方形是中心对称图形， 此时， ∴， ∴，两点从出发到首次相遇所用的时间为， 综上：，两点从出发到首次相遇所用的时间为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $