专题2.1 认识一元二次方程（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦“认识一元二次方程”核心知识点，从实际问题抽象方程入手，对比一元一次方程归纳概念，系统梳理整式方程、单未知数、最高次2的特征，构建一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解的意义、估算（二分法）、特征根结论的学习支架。 资料以逻辑图呈现知识脉络，通过9类题型及变式练习，培养抽象能力（概念辨析）、模型观念（实际问题列方程）、推理意识（估算解的夹逼思想）。课中辅助教师分层教学，课后即学即练与综合题助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题2.1 认识一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程的概念，掌握三个特征：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为 2，能够判断一个方程是不是一元二次方程。 2.掌握一元二次方程一般形式，能把方程整理化为一般形式，准确识别二次项、一次项、常数项以及对应系数。 3.了解一元二次方程解的意义，会估算简单一元二次方程的解；能根据实际问题中的等量关系列出一元二次方程。 4.经历从实际问题抽象、列出方程，对比一元一次方程，归纳概括一元二次方程概念的过程，体会从具体到抽象的研究方法。 5.体会方程是刻画现实数量关系的数学模型，发展符号意识、模型观念；通过估算方程的解，感受夹逼取值的思想，提升估算推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的概念以及识别。 （2）一元二次方程的一般形式，分清二次项、一次项、常数项和各项系数，理解(a≠0) 的隐含条件。 （3）根据实际问题列一元二次方程；理解一元二次方程解的含义。 2.难点 （1）从实际问题情境中找出等量关系，抽象列出一元二次方程。 （2）整理化简方程为一般形式，容易忽略二次项系数(a≠0)；含参数方程的辨析。 （3）理解估算一元二次方程解的思路，体会夹逼的思想方法。 知识点01 认识一元二次方程 1）一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。 2）一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数。 3.一元二次方程的解 1）能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 注意：一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 常考点:利用根的概念求代数式的值； 2）一元二次方程近似解：两端逼近法（二分法）。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 3.一元二次方程根的重要结论（特征根问题） 1）若a+b+c=0，则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立。 2）若a-b+c=0，则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立。 3）若c=0，则一元二次方程有一个根x=0；反之也成立。 其他常见特征根（如：±2，±3，±），同学们可以自行推导。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：方程中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故A错误； 对于选项B：方程中未说明，当时，方程不是二次方程，故B错误； 对于选项C：整理，得，符合一元二次方程的定义，故C正确； 对于选项D：整理，得，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，故D错误． 2．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【答案】C 【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程， ∴，解得或，∵∴，∴． 3．（25-26九年级上·河南开封·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】将原方程化为一元二次方程的一般形式为，所以二次项系数为，一次项系数为，常数项为．故选：D 4．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 5．（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】A 【详解】解：∵ a是方程的根，∴，即， ∴， ∴．故选：A． 6．（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 7.（25-26成都·九年级校级期中）如图，将边长为12的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为x的长方形，剩余的部分面积为64，则根据题意可列出方程为　 　．（方程化为一般式） 【解答】解：设剪去的边长为x，那么根据题容易列出方程为122﹣（12x×2﹣x2）＝64， 化为一般形式为：x2﹣24x+80＝0，故答案为：x2﹣24x+80＝0． , 题型01 一元二次方程的定义（概念辨析） 【典例1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为2．对各选项分析如下： A选项：，满足三个条件，是一元二次方程． B选项：，满足三个条件，是一元二次方程． C选项：中，是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，不满足一元二次方程的条件，因此不是一元二次方程． D选项：整理得，满足三个条件，是一元二次方程． 【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）下列关于的方程，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当时，方程为一元一次方程，无法保证一定是一元二次方程，因此A不符合题意； B、是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为，符合一元二次方程的定义，因此B符合题意； C、整理后为，未知数的最高次数为，是一元三次方程，因此C不符合题意； D、分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，因此D不符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·浙江舟山·期中）下列方程中是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：方程含有和两个未知数，不是一元二次方程； 选项B：方程中未知数的最高次数为1，不是一元二次方程； 选项C：方程满足所有三个条件，是一元二次方程； 选项D：方程是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程． 【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，满足所有条件，是关于的一元二次方程； 选项B：是分式方程，不是整式方程，不符合定义，排除； 选项C：中，未说明，当时不是二次方程，排除； 选项D： 化简，得， 整理得，是一元一次方程，不符合定义，排除． 题型02 根据一元二次方程的定义求参数 【典例1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且，解得且，∴． 【变式1】（25-26八年级下·浙江绍兴·专题练习）若是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程，∴，解得． 【变式2】（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数，∴，故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，∴，∴，故选：C． 题型03 一元二次方程的一般式 【典例1】（25-26九年级上·河北保定·期末）将方程化为一元二次方程的一般形式后，其一次项和常数项分别是（    ） A．， B．，10 C．8x， D．8x，10 【答案】A 【详解】∵原方程为，∴展开左右两边得， 移项得，合并同类项化为一般形式， ∴一次项是，常数项是，故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·广东珠海·期末）一元二次方程的一次项系数是（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】B 【详解】解：一元二次方程的一般形式为， 对于方程，其一次项为，因此一次项系数是．故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）若一元二次方程的二次项系数为4，则常数项为（    ） A． B．2 C．5 D． 【答案】D 【详解】解：∵方程为，二次项系数为4，∴该方程的常数项为，故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，原方程化为 ，移项得 ， 二次项系数为3，一次项系数为2，常数项为．故选：C． 题型04 判断一元二次方程的解 【典例1】（25-26九年级下·江西鹰潭·月考）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合题意； B、未知数最高次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，将代入方程左边得：左边右边，是的根，符合题意； D、即，不是一元二次方程，不符合题意． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．当时，，不是方程的根； B．当时，，不是方程的根； C．当时，，是方程的根； D．当时，，不是方程的根． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； B、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； C、把代入，可得，所以不是方程的根，不符合题意； D、把代入，可得，所以是方程的根，符合题意；故选：D． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】解：当时，代数式的值为；当时，代数式的值也为， 方程的根为或．故选：C． 题型05 由一元二次方程的解求参数 【典例1】（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴，整理得，解得． 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【详解】解：由题意，且，解得. 【变式2】（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】 【详解】解：关于x的一元二次方程有一个根为， ∴，，∴且，∴ ． 【变式3】（2026·湖南·模拟预测）已知方程的一个根是，则_____． 【答案】/ 【详解】解：是方程的根， 将代入原方程得：，化简得：，移项得：． 题型06 由一元二次方程的解求代数式的值 【典例1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是方程的根，∴，即， ∴，则，∴ ，∴．故选：． 【变式1】（25-26九年级上·山西晋城·期末）已知为一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ，即，， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级下·福建福州·月考）已知是一元二次方程的根，则的值为______． 【答案】 【详解】是一元二次方程的根，将代入原方程得：， 整理得，． 【变式3】（2025·重庆·模拟预测）已知是方程的一个根，则______． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根，∴．∴，， ，． 题型07 一元二次方程的特征根 【典例1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，，∴方程的根是，．故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是．故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为，故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是，故选：C． 题型08 一元二次方程的解的估算 【典例1】（25-26九年级上·山东青岛·月考）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知， 当时，，即， 当时，，即， ∴时，． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴使成立的的范围为，故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·河南·期末）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由表格可知当时，； 当时，；∴ 在区间内，函数值由正变负，存在一个解． 当时，； 当时，；∴ 在区间内，函数值由负变正，存在一个解． 因此方程的解的取值范围是或．故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·广东佛山·期末）观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， 则当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是，故选：． 题型09 根据题意列一元二次方程 【典例1】（2026·福建漳州·模拟预测）某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为 ，∴第二次升级后的能量密度为 ， 又∵最终能量密度达到 ，∴可列方程为 ． 【变式1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）我国古代井田形制多为正方形，现对一块正方形井田修整，在田地四周向外修筑等宽田埂，四周每一侧均向外拓宽2丈，拓宽后整块田地仍为正方形，且新增开垦的田地面积恰好是原有井田面积的．设原正方形井田的边长为丈，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵原正方形井田边长为丈，四周每一侧向外拓宽丈，正方形左右两侧一共拓宽丈，上下两侧一共拓宽丈，∴拓宽后正方形的边长为丈． ∵新增开垦面积拓宽后总面积原井田面积，且新增面积是原井田面积的，原面积为，拓宽后面积为，∴列方程得． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，某试验小组要在长25米，宽22米的矩形试验田中开辟一横一纵两条等宽的小道，使得剩余部分（即阴影部分）的面积是460平方米，若设每条小道的宽为x米，则根据题意可列方程为____． 【答案】 【详解】解：设每条小道的宽为x米，根据题意得：， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）方程中，，，是一元二次方程有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：1．对于方程 ∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程∴是一元二次方程． 2．对于方程 ∵整理为一般式为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程∴是一元二次方程． 3．对于方程 ∵展开整理得，化简为，满足只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程∴是一元二次方程． 4．对于方程 ∵展开整理得，移项合并同类项得，未知数最高次数为1 ∴不是一元二次方程．综上，是一元二次方程的有3个．故选：C． 2．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）关于的一元二次方程常数项是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，移项，得， ∵常数项是不包含字母的项，∴该方程的常数项为．故选：A． 3．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：方程 移项，得 ， ∴ 一次项系数为，故选：B． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）是关于x的一元二次方程，则（   ） A．为任意实数 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 方程是关于x的一元二次方程，∴ 二次项系数，故选择C． 5．（25-26·江苏苏州市·九年级期中）定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值是（ ） A．0 B． C．2 D．2m 【答案】A 【详解】解：由题意得：， ∵a，b是方程的两根，∴把a，b代入方程得：， ∴，即， ∴；故选A． 6．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______． 【答案】 【详解】解：将原方程左边展开，得， 移项，合并同类项，得， 因此原一元二次方程的一般形式为，其一次项为． 7．（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 【答案】B 【详解】解：原方程化为：，移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数，解得 ，故答案为：． 8．（25-26九年级上·四川泸州·月考）请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：因为方程的一个解是1，所以可设方程为，展开得到． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（25-26九年级上·浙江台州·期中）小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为______． 的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 2 5 9 … 等号右边的值 … 1 3 5 7 … 【答案】 【详解】解：由表可知，当时，等号左边的值等号右边的值， 是一元二次方程的解，故答案为：． 10．（25-26九年级上·江西南昌·月考）在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是____________． 【答案】2024 【详解】解：是方程的一个根，，， ，故答案为：2024． 11．（25-26八年级下·江苏南通·期末）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【详解】解：设矩形的阔为步，则矩形的长为步，由题意得，． 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） x A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格可知：当时，， 当时，，∴当时，存在一个的值，使， 即：方程的一个解的范围是；故选：C． 2．（25-26九年级上·广西贵港·期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中所记载的“开方作法本源图”（即杨辉三角）蕴含一元二次方程的系数规律．若一元二次方程的两根为，，的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴代入得：，即①， 代入得：，即②， 由得：，化简得：，∴，∴．故选：B． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】C 【详解】解：∵方程是凤凰方程，∴． ∵是方程的解，∴，即． 将两式相加：，得 ，∴，即． 将两式相减：，得 ，∴． 故且，故选C． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 关于的方程有一个实数根为， ∴ 将代入方程得：，整理得：， 将上式两边同时除以，得：， 变形为：， 对比方程，可知当时，方程成立， ∴ 方程必有实数根为．故答案选：B． 5．（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 【答案】D 【详解】解：∵a是方程的一个根，∴，∴，， ∴ ．故选：D． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）对于一元二次方程，有下列说法： ①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b； ②若，则是方程的根； ③若是方程的一个根，且，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是，故①错误； ②把代入方程的左边，则， ∵，∴方程左边等于0，即方程成立，∴是方程的根，故②正确； ③将代入，则，则，由于，故，故③正确； ④若是一元二次方程的根，则，则 ∴，， ∴，故④正确，∴正确的有3个． 7．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 【答案】 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，且，解得：或，，． 8．（25-26九年级上·山东青岛·月考）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 9．（25-26八年级上·上海松江·期末）写出满足条件的一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1，常数项是6，其中一个根是，满足条件的方程是______． 【答案】 【详解】解：设一元二次方程为， 将根代入方程，得，即， 整理得，解得 ，故方程为．故答案为：． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 【答案】(1)2 (2)2025 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴，∴，∴； （2）解：∵，∴， ∴ . 11.（25-26•南岗区九年级校级月考）阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 【解答】解：（1）由题意得：方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是﹣x2﹣4x﹣3＝0， 故答案为：﹣x2﹣4x﹣3＝0； （2）由﹣5x2﹣x＝1，移项可得：﹣5x2﹣x﹣1＝0， ∵方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x﹣1＝0为对称方程， ∴m﹣1＝﹣1，﹣n+（﹣1）＝0，解得：m＝0，n＝﹣1， ∴（m+n）2＝（0﹣1）2＝1，答：（m+n）2的值是1． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 认识一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程的概念，掌握三个特征：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为 2，能够判断一个方程是不是一元二次方程。 2.掌握一元二次方程一般形式，能把方程整理化为一般形式，准确识别二次项、一次项、常数项以及对应系数。 3.了解一元二次方程解的意义，会估算简单一元二次方程的解；能根据实际问题中的等量关系列出一元二次方程。 4.经历从实际问题抽象、列出方程，对比一元一次方程，归纳概括一元二次方程概念的过程，体会从具体到抽象的研究方法。 5.体会方程是刻画现实数量关系的数学模型，发展符号意识、模型观念；通过估算方程的解，感受夹逼取值的思想，提升估算推理能力。 教学重难点 1.重点 （1）一元二次方程的概念以及识别。 （2）一元二次方程的一般形式，分清二次项、一次项、常数项和各项系数，理解(a≠0) 的隐含条件。 （3）根据实际问题列一元二次方程；理解一元二次方程解的含义。 2.难点 （1）从实际问题情境中找出等量关系，抽象列出一元二次方程。 （2）整理化简方程为一般形式，容易忽略二次项系数(a≠0)；含参数方程的辨析。 （3）理解估算一元二次方程解的思路，体会夹逼的思想方法。 知识点01 认识一元二次方程1）一元二次方程的概念 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为 (a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）。 2）一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般式是 (a、b、c为常数）。 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 注：①化为一般式时，右边为0；②习惯上将二次项系数a化为正数。 3.一元二次方程的解 1）能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解，我们也称为一元二次方程的根。 注意：一元二次方程的实数根有0个、1个或2个。 常考点:利用根的概念求代数式的值； 2）一元二次方程近似解：两端逼近法（二分法）。 步骤：借助表格，找到两个相近的数，一个使，一个使，则一元二次方程的解就介于这两个数之间，再进一步逼近，缩小范围获得其近似解。 3.一元二次方程根的重要结论（特征根问题） 1）若a+b+c=0，则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立。 2）若a-b+c=0，则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立。 3）若c=0，则一元二次方程有一个根x=0；反之也成立。 其他常见特征根（如：±2，±3，±），同学们可以自行推导。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 3．（25-26九年级上·河南开封·期末）方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26八年级下·安徽淮南·月考）若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 6．（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 7.（25-26成都·九年级校级期中）如图，将边长为12的正方形纸片，沿两边各剪去一个一边长为x的长方形，剩余的部分面积为64，则根据题意可列出方程为　 　．（方程化为一般式） , 题型01 一元二次方程的定义（概念辨析） 【典例1】（25-26九年级上·辽宁丹东·期中）下列方程中，不是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·上海·月考）下列关于的方程，一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江舟山·期中）下列方程中是一元二次方程的是（） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型02 根据一元二次方程的定义求参数 【典例1】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·浙江绍兴·专题练习）若是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 题型03 一元二次方程的一般式 【典例1】（25-26九年级上·河北保定·期末）将方程化为一元二次方程的一般形式后，其一次项和常数项分别是（    ） A．， B．，10 C．8x， D．8x，10 【变式1】（25-26九年级上·广东珠海·期末）一元二次方程的一次项系数是（    ） A．3 B． C． D．0 【变式2】（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）若一元二次方程的二次项系数为4，则常数项为（    ） A． B．2 C．5 D． 【变式3】（25-26九年级上·湖北武汉·月考）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A． B． C． D． 题型04 判断一元二次方程的解 【典例1】（25-26九年级下·江西鹰潭·月考）下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）在下列方程中，是方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·福建福州·期末）已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 题型05 由一元二次方程的解求参数 【典例1】（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1】（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【变式2】（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【变式3】（2026·湖南·模拟预测）已知方程的一个根是，则_____． 题型06 由一元二次方程的解求代数式的值 【典例1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）若为一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·山西晋城·期末）已知为一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【变式2】（25-26九年级下·福建福州·月考）已知是一元二次方程的根，则的值为______． 【变式3】（2025·重庆·模拟预测）已知是方程的一个根，则______． 题型07 一元二次方程的特征根 【典例1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 题型08 一元二次方程的解的估算 【典例1】（25-26九年级上·山东青岛·月考）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南·期末）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式3】（25-26九年级上·广东佛山·期末）观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 题型09 根据题意列一元二次方程 【典例1】（2026·福建漳州·模拟预测）某电池企业为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．若原电极材料的能量密度为a，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级下·浙江绍兴·期末）我国古代井田形制多为正方形，现对一块正方形井田修整，在田地四周向外修筑等宽田埂，四周每一侧均向外拓宽2丈，拓宽后整块田地仍为正方形，且新增开垦的田地面积恰好是原有井田面积的．设原正方形井田的边长为丈，则下列所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，某试验小组要在长25米，宽22米的矩形试验田中开辟一横一纵两条等宽的小道，使得剩余部分（即阴影部分）的面积是460平方米，若设每条小道的宽为x米，则根据题意可列方程为____． 1．（25-26九年级上·湖南永州·期末）方程中，，，是一元二次方程有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）关于的一元二次方程常数项是（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C．2 D． 4．（25-26九年级上·福建漳州·期末）是关于x的一元二次方程，则（   ） A．为任意实数 B． C． D． 5．（25-26·江苏苏州市·九年级期中）定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值是（ ） A．0 B． C．2 D．2m 6．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）将一元二次方程化为一般形式为______，其一次项为______． 7．（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 8．（25-26九年级上·四川泸州·月考）请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 9．（25-26九年级上·浙江台州·期中）小明用“试根法”探索关于的一元二次方程的解．当的值分别取时，该方程等号左、右两边的整式的值分别如下表所示，则该方程的解为______． 的值 … 0 1 2 3 … 等号左边的值 … 0 2 5 9 … 等号右边的值 … 1 3 5 7 … 10．（25-26九年级上·江西南昌·月考）在一个物理实验中，有一个电路的电阻变化规律可以用方程来描述，其中表示电阻值（单位：欧姆）．若是该方程的一个根，现在要计算一个与该电阻相关的电学量的值（该电学量的单位是焦耳），求这个值是____________． 11．（25-26八年级下·江苏南通·期末）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）根据下列表格对应值，判断关于x的方程的一个解x的范围是（    ） x A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广西贵港·期中）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中所记载的“开方作法本源图”（即杨辉三角）蕴含一元二次方程的系数规律．若一元二次方程的两根为，，的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如果一元二次方程满足，那么，我们称这个方程为“凤凰方程”，已知是“凤凰”方程且有一个解为，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D． 4．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若关于的方程（）有一个实数根为，则方程（）必有实数根为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·河南南阳·月考）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 6．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）对于一元二次方程，有下列说法： ①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b； ②若，则是方程的根； ③若是方程的一个根，且，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 8．（25-26九年级上·山东青岛·月考）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 9．（25-26八年级上·上海松江·期末）写出满足条件的一元二次方程，使这个方程的二次项系数是1，常数项是6，其中一个根是，满足条件的方程是______． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 11.（25-26•南岗区九年级校级月考）阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题：（1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $