精品解析：2026年山东省实验中学强基自主招生数学试卷

2026年山东省实验中学综合评价强基项目招生数学试卷 1. 函数的最小值为__________． 2. 如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 3. 设，则__________． 4. 已知多项式，其中，，，，，均为整数，则__________． 5. 如图，五边形是一个正五边形，则__________． 6. 如图，小明从点出发到点，所有沿网格线的最短路径概率均等，则不经过点的概率为__________． 7. 如图，的半径为，的半径为，、分别切于点、，交于点、，、分别切于点、．已知圆心距，则__________． 8. 关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 9. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，若，则的值为__________． 10. 由平方非负，，可知时，，当且仅当时取等号，这就是基本不等式． （1）请仿照题干中的方法，试证：对，有当且仅当时取等号． （2）如图，已知一次函数的图象过点，且交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，． ①试用表示的长度； ②求长度的最小值．（可利用第一问结论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省实验中学综合评价强基项目招生数学试卷 1. 函数的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】令，解得，令，解得：，分三种情况：当时，当时，当时，分别求出的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：结合题意，令，解得， 令，解得：， 这两个零点将实数轴分为三个区间． 当时，， 则； 当时，，， 则； 当时，， 则； 当时，， ∵一次项系数， ∴； 当时，， ∵一次项系数， ∴； 当时，， ∵一次项系数， ∴； 综合以上三种情况，， ∴函数的最小值为． 2. 如图，在中，是的中点，是上靠近的三等分点，与交于点，若，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】过点E作，交于点，证明，，利用三角形相似的性质，代换证明即可； 【详解】解：过点E作，交于点， 在中，∵是的中点， ∴， ∵是上靠近的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3. 设，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】化简已知，得，用表示，化简求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴原式 ． 4. 已知多项式，其中，，，，，均为整数，则__________． 【答案】5或 【解析】 【分析】将展开，对应相等得出，，，，，，再结合，，，，，均为整数，分情况讨论即可得出结果． 【详解】解： ， ∵多项式， ∴，，，，，， ∵，，，，，均为整数， ∴或， 当时，则，结合可得，或，， 当时，则，结合可得，，或，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，； 当时，则，结合可得，，或，， 当时，则，结合可得，，或，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，， 当，，，时，； 综上所述，或． 5. 如图，五边形是一个正五边形，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先连接，过点作于点，作的平分线交于点，再求出正五边形内角为，再利用等边三角形的性质分别求出，，结合平分进而证明，求得，最后设求出利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，作的平分线交于点， ∵五边形是正五边形， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 设，则，， ∴，即， 解得或（舍去）， 在中，，， ∴． 6. 如图，小明从点出发到点，所有沿网格线的最短路径概率均等，则不经过点的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出最短路径一共有35种，再找出不经过点的路径有多少种，最后再由概率公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 从到的最短路径有：（条）， 故其中经过点的路径，即，一共有种， ∴不经过点的路径有种， ∴不经过点的概率为． 7. 如图，的半径为，的半径为，、分别切于点、，交于点、，、分别切于点、．已知圆心距，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】连接、，交于点，根据切线的性质得出平分，根据直角三角形的性质得出，证明，得出，代入数据求值即可． 【详解】解：连接、，交于点，如图所示： ∵、分别切于点、， ∴平分， ∴， ∴， ∵、分别切于点、， ∴，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 8. 关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【答案】59 【解析】 【分析】根据根的判别式并结合，可求出，设方程的两个整数根为，根据根与系数的关系得，则，不妨设，利用、为正整数，可得出或，或，，从而得到对应的的值，即可求解． 【详解】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 9. 已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，若，则的值为__________． 【答案】4050 【解析】 【分析】综合函数奇偶性、对称性推导函数周期，求出一个周期内函数值，利用周期做数列求和即可． 【详解】解：∵是偶函数， ∴， ∴． ∵是奇函数， ∴， ∴， 令，则， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴函数周期为4， ∵， ∴将代入，得， ∴一个周期的和为，而， ∴再加上506个完整周期， ∴． 10. 由平方非负，，可知时，，当且仅当时取等号，这就是基本不等式． （1）请仿照题干中的方法，试证：对，有当且仅当时取等号． （2）如图，已知一次函数的图象过点，且交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，． ①试用表示的长度； ②求长度的最小值．（可利用第一问结论） 【答案】（1）证明： ， 当时，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即，当且仅当时取等号； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出，再证明当时，，即可； （2）①设点的横坐标为，点的纵坐标为，根据待定系数法可求出，则，把代入得，而，则，，再代入计算即可； ②由，可得，当时，，当时，，两式相加变形可得，则，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①设点的横坐标为，点的纵坐标为， 把代入得：， 解得， ∴， ∴， 把代入得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴； ②∵， ∴， 当时，， 当时，， 两式相加得：， ∴， ∴， ∴ ，等号成立的条件为， ∴长度的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $