精品解析：2026年山东省荣成市拔尖创新人才选拔考试数学模拟试题（二）

数学试题 注意事项： 1．本试卷共7页，共120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 3．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用四种边长相等的正多边形地砖铺地，每个顶点处每种正多边形各一块拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为，，，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据边数求出各个多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件列出方程，进而即可求出答案． 【详解】解：由题意知，这四种正多边形的四个内角之和为360度， 已知正多边形的边数为，，，， 那么这四个正多边形的内角和可表示为：， 两边都除以180得：，即： 两边都除以2得，． 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形及其内角，解决本题的关键是知道这四种正多边形的四个内角之和为360度，据此进行整理分析得解． 2. 根据气象学上的标准，连续5天，每天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：（标准差是方差的算术平方根） ①平均数； ②平均数且极差小于或等于3； ③平均数且标准差； ④众数等于5且极差小于或等于4 则4组样本中一定符合入冬指标的共有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】B 【解析】 【分析】通过举反例排除①③，用反证法和直接推导证明②④符合，统计符合的组数即可解答． 【详解】解：①举反例：取数据0、0、0、4、11， ∵，但， ∴不符合入冬指标，故①不一定符合． ②假设存在数据， ∵极差， ∴最小值，此时5个数的平均数，与矛盾， ∴假设不成立，所有数据均，符合入冬指标，故②一定符合． ③举反例：取数据1、1、1、1、11， ∵，方差，标准差，但， ∴不符合入冬指标，故③不一定符合． ④∵众数为5，极差， ∴数据中的最小值， 又∵极差， ∴最大值，所有数据均，符合入冬指标，故④一定符合． 综上，一定符合的是②④，共2组，即选项B符合题意． 3. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题需枚举甲最终获胜的所有互斥路径，根据每场比赛胜率均为，利用独立事件概率乘法公式计算各路径概率，再求和得到甲最终获胜的概率． 【详解】解：设甲失败的事件为A，乙失败的事件为B，丙失败的事件为C，甲最终获胜的事件为N， 甲最终获胜的所有互斥路径及对应概率如下： ①路径：第一场甲胜乙，第二场甲胜丙，第三场甲胜乙（乙淘汰），第四场甲胜丙（丙淘汰），概率； ②其余7条路径（分别为、、、、、、）均为5场比赛结束，每条路径概率为 所以甲最终获胜的概率． 4. 2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式，此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求．在演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回往返速度均为”则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据全队前进的时间等于传令兵往返的总时间，利用追及、相遇问题的时间公式建立方程，求出传令兵速度与队伍速度的关系，再计算传令兵所走路程即可解答． 【详解】解：∵全队前进所用时间为，传令兵从排尾到排头的追及时间，从排头到排尾的相遇时间，且， ∴， 两边同除以得： 通分右边得： ∴，即， 整理为关于的一元二次方程：， 由一元二次方程求根公式得： ∵速度为正数， ∴ ∴传令兵所走路程． 5. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得，解得，根据得到，由此得到答案. 【详解】解：设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得，解得. 由头顶至脖子下端的长度为26cm， 可得， 解得. 由已知可得， 解得. 综上，此人身高m满足. 所以其身高可能为175cm. 故选：B 【点睛】此题考查比例的性质，根据题意设定未知数后得到对应成比例的线段，由此解答问题是解答此题的关键. 6. 我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】根据推出、的关系，再结合集合性质求解、的值，最后求的值即可． 【详解】解：∵集合，由集合互异性得，， ∴，， 又∵，集合，且， ∴ ∴，即 ∵，此时，， 由集合互异性得，故，， 又∵与元素对应相等，得， ∴， ∵，两边同除以得， ∴， ∴，即D选项符合题意． 【点睛】理解集合中元素的互异性、无序性是解题的关键． 7. 已知正整数m，n，p，q满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（ ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解； ③若，则该四元方程有15组解； ④若，则该四元方程有504组解． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】将数值代入方程，判断①，设四个连续的奇数分别为，代入方程判断②，利用配方法将方程转换为：，得到当时，方程成立，判断③和④． 【详解】解：把，，，，代入方程，得：， 方程的左边等于右边；故①正确； 设四个连续的奇数为，代入方程得： 方程左边等于， 方程右边 左边不等于右边；故②错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，方程成立， 且m，n，p，q为正整数时： 当时，，为别为：或或或或共5组方程的解； 当时，，为别为：或或或共4组方程的解； 当时，，为别为：或或共3组方程的解； 当时，，为别为：或共2组方程的解； 当时，，为别为：共1组方程的解； 综上：当时，共有组方程的解；故③正确； 由③可知：当时，方程成立， ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的两个不相等的正整数的组数共有组， 又∵， ∴这一组数不是方程的解， ∴共有503组解；故④错误； 综上：正确的是①③，共2个； 故选B． 【点睛】本题考查方程的解和因式分解的应用，解题的关键是利用配方法将方程转换为．本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 8. 如图，在中，，将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连接，使得面积为，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作，根据面积为24，可取定长为即可构造，从而得出，这样即确定了点轨迹圆心的位置，再根据勾股定理求出长度，结合点的轨迹，在三点共线时有最大值即可得的最大值． 【详解】解：如图，过点D作，连接使得，取中点为点F，连接、，以点为圆心，半径为作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由题意得， ， 即点轨迹为以线段为直径的圆， ， 当且仅当点、、三点共线时取等， 在中，，，， 解得， ， ， 最大值为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，三角形的高相关的计算，利用旋转的性质求解，直径所对圆周角为直角，根据面积为定值得出乘积式为定值，再结合条件将乘积式转换为比例式构造出相似，利用相似结论导角得出轨迹是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 设，则的整数部分为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，无理数的估算，根据二次根式的运算法则，先求出，进而求出a的值，再把a的值代入所求代数式，根据算式平方根的估算求解即可． 【详解】解： ， ∵， ， ， ， ， ， ， 的整数部分为2， 故答案为：． 10. 方程有三个实数根，则 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】先将方程化为，方程有三个实数根可以看作是函数y＝|1﹣|x+1||和函数y＝kx﹣k的图象有三个交点，画图分析即可求解． 本题将方程的解转化为函数图象的交点来做，涉及到绝对值的化简，画出分段函数的图象，最后利用函数图象的交点分析即可解决． 【详解】解：将方程化为， ∴方程有三个实数根可以看作是函数和函数的图象有三个交点， ∵化简绝对值可得函数，且函数的图象过定点， ∴函数图象如下： 由图可知，只有当过点时，才有三个交点， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 某次数学考试中有一道4分的选择题，只有得满分与不得分两种情况，若某班同学作答该题的平均分为2.5，则方差为____． 【答案】3.75## 【解析】 【分析】本题考查了方差，设该班共有名同学，得4分的同学有人，得0分的同学有人．先根据平均数的定义表示出得满分与不得分的人数，再利用方差的计算公式代入数据计算即可． 【详解】解：设该班共有名同学，得4分的同学有人，得0分的同学有人． 由平均数公式可得：， 解得，则得0分的同学人数为， 根据方差的计算公式计算： ； 故答案为． 12. 正五边形的边和对角线共有10条，将每条以的概率随机染成红、蓝两色之一，则所有以正五边形的顶点为顶点的三角形均不三边同色的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】先计算所有可能的染色总数，再分析满足“无三边同色三角形”的染色需满足每个顶点红、蓝边数均为（否则必存在单色三角形），即红、蓝边各构成阶环，最后计算满足条件的染色数并求概率． 【详解】解：每条边有红、蓝种染色选择，共条边，总染色方法数为． 正五边形有个顶点，条边（包括边和对角线）．每条边独立随机染成红色或蓝色，概率各为．要求所有以顶点为顶点的三角形（共个）都不是单色三角形（即三条边颜色不全相同）． 首先，考虑任一顶点，它连接条线段．若该顶点有条同色，例如条红色，则这条边的另一端顶点之间若再有边，可能形成三角形．具体地，设顶点有条红边连接到，则三角形已有两条红边，故必须为蓝以避免红边的三角形；同理、也须为蓝．于是之间线段全为蓝，形成蓝色边的三角形，矛盾． 因此每个顶点不可能有条同色边，同理也不能有条蓝边． 由于每个顶点恰有条边，故每个顶点恰好有条红边和条蓝边． 由此，红色边的总数为，蓝色边也为． 分五步给五边形的边染色，， ∴在个顶点上，不同染色的五边形个数为（5个顶点，2个方向，每个五边形被计算了次）． 故所求概率为：． 13. 如图，已知三个等圆，，，为圆心，每个圆的圆心都在另外两个圆的圆周上，若的面积为300，则阴影部分的面积为____． 【答案】320 【解析】 【分析】如图，连接，由题意可得，可证点H是的中点，点D是的中点，，由重心的性质可求，由线段的数量关系可求，进而完成解答． 【详解】解：如图，连接， ∵每个圆的圆心都在另外两个圆的圆周上， ∴， ∴与互相垂直平分，与互相垂直平分，和是等边三角形， ∴点H是的中点，点D是的中点，， ∴与是的中线，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵点H是的中点，点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 同理可得∶， ∴． 【点睛】通过作辅助线，将阴影部分转化成三角形的和差，弄清三角形间的面积关系是解题的关键． 14. 如图，正方形的边长为4，是的中点，是的中点，点是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】记圆与交于点，中点为，连接，证明，，利用相似三角形性质得到，，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：记圆与交于点，中点为，连接， 正方形的边长为4，是的中点，点是以为圆心，为半径的圆上任意一点， ， 中点为， ， ， ， ， ，即， 同理可证，且相似比为， ， ， ， 的最小值为． 15. 黑板上写有共2020个数字．每次操作，先从黑板上的数选取2个数a，b，然后删去a，b，并写上数，则最终黑板上剩下的数是____． 【答案】2020 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，按题意列出等式是解题关键．由，得到后来的数加1是被擦去的2个数加1的乘积．设最终黑板上剩下的数为x，得，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴后来的数加1是被擦去的2个数加1的乘积， 设最终黑板上剩下的数为x， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2020． 16. 直线的解析式为，直线与轴分别交于不重合的两点，且点与点的横坐标之积为4，则原点到距离的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线的解析式设出点的坐标，结合、横坐标的关系得到点的坐标，再推导直线的解析式，再利用等面积法表示出原点到的距离，最后通过二次函数的最值性质求出距离的最大值． 【详解】解：设点的横坐标为，∵点在直线上， ∴点的坐标为 ∵点与点的横坐标之积为， ∴点的横坐标为， ∵点在轴上， ∴点的坐标为，且（否则、两点重合，不符合题意）， 将、两点的直线为，可得方程组： 两式相减消去，得，解得（，否则两点重合）， 将代入，得， 因此直线的解析式为， 作图如下：直线与y轴交于点，过点作于点， ∴点坐标为：， ∴， 在中，利用等面积法可得： ， ∴， 通过化简可得到， 对二次函数进行配方： 因为二次项系数，所以当时，取得最小值， 此时分母的最小值为，则的最大值为：． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 某社区新建透水砖便民步道总长米，市政小型工程队为尽快完成便民项目，实际每天比原计划多铺设米，结果实际铺设天数恰好是原计划的． （1）求原计划每天铺设多少米？ （2）完成便民步道后，社区新增彩色沥青休闲支路工程，甲、乙两支小型工程队分别从支路两端同时施工，计划甲队每天铺设米，每米物料成本为千元；乙队每天铺设米，每米物料成本为千元．实际施工时，甲队每米物料成本增加千元，每天可多铺设米；乙队每米物料成本保持不变，每天比计划少铺设米，若实际每天的总施工成本比计划多千元，且乙队每天的铺设量不低于原计划的，求的值． 【答案】（1）原计划每天铺设米； （2）． 【解析】 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程，能够理解题意列出方程是解题的关键． （1）先设原计划每天铺设米，实际每天铺设米，再根据实际铺设天数恰好是原计划的，列出方程即可解题； （2）根据题意得原计划每天物料成本为千元，实际每天物料成本为千元，再根据实际每天的总施工成本比计划多千元，列出方程即可解题． 【小问1详解】 解：设原计划每天铺设米，实际每天铺设米， 据题意得：， 解得：， 答：原计划每天铺设米； 【小问2详解】 据题意得： ， ， ， 解得：，， ∵乙队每天的铺设量不低于原计划的， ∴， 解得：． 综上，． 18. 尺规作图． （1）已知，，求作两圆的内公切线； （2）已知，，求作两圆的外公切线． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆，以为圆心，和的半径和为半径画圆，交于点P，连接交于点A，连接，作交于点B，作直线即为所求； （2）连接，作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆，以为圆心，和的半径差为半径画圆，交于点P，连接并延长交于点A，连接，作交于点B，作直线即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，直线即为所求； 证明：由作图得，， ∴四边形是平行四边形 ∵是的直径 ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵点A是上的点，点B是上的点， ∴直线是和的内公切线； 【小问2详解】 解：如图所示，直线即为所求； 同（1）证明即可． 19. 数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．如图1，已知在中，点为边上的一个动点，连接，设． （1）当时，_______，______； （2）填表（补全表格时数值保留一位小数参考数据：；）： 0 1 2 3 4 2 ______ 2 3 ______ （3）试求与之间的函数关系式； （4）在图二中描出该函数的图象并写出该函数的两条性质． 【答案】（1），； （2），； （3）； （4）图象见解析；性质：当时，y随x增大而减小；y的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形内角和定理，所对的直角边等于斜边的一半，描点法画函数图象，会结合函数图像分析其性质． （1）利用三角形内角和定理求出，再利用所对的直角边等于斜边的一半可以得到x，利用勾股定理可得y； （2）作，利用所对的直角边等于斜边的一半可以得到，进一步求出，再利用勾股定理即可求出y的值； （3）作，求出，，则，利用勾股定理可得：，进一步可得； （4）利用描点法画出函数图象；结合函数图象和表格即可分析函数单调性、最值问题． 【小问1详解】 解：当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 【小问2详解】 解： 作， ∵， ∴，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 【小问3详解】 解：作， ∵，， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵P在AB上， ∴， 即： ， 【小问4详解】 利用描点法画图，如图3所示： 性质：当时，y随x增大而减小；y的最小值为． 20. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处点的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． （3）在该运动员入水点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面4米，若该运动员出水点在之间（包括两点），请直接写出的取值范围． 【答案】（1）抛物线的解析式为；点的坐标为 （2）该运动员此次跳水会失误 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，得，进而可得空中运动时对应抛物线的解析式为，令，则，求出满足要求的，即可得点坐标． （2）由题意知，当距点水平距离为5米时，对应的横坐标为，将代入中，得，根据，判断作答即可． （3）由题意知，，，由该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面4米，经过，求解当抛物线经过点，当抛物线经过点时的解析式，从而可得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ∴空中运动时对应抛物线的解析式为， ∵， 令，则， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：当距点水平距离为5米时，对应的横坐标为， 当时，， ∵， ∴该运动员此次跳水会失误． 【小问3详解】 解：∵，，， ∴，， 该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面4米，且经过， 当抛物线经过点时，抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴抛物线解析式为， 把代入得，， 解得； 当抛物线经过点时，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线解析式为， 把代入得，， 解得； ∵出水点在之间（包括两点）， ∴． 【点睛】重点掌握二次函数解析式的顶点式，由纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，利用求得对称轴是关键． 21. 发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 【答案】分析问题：方案1：；；；方案2：；方案3：； 解决问题：方案3路径最短， 由上得：， ∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长； ， ∵， 当时， ， ， ∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法是选择最短的路径，减少对菠萝的损耗． 【解析】 【分析】分析问题：方案1：根据题意列出代数式即可求解；方案2：根据题意列出代数式即可求解；方案3：根据图得出斜着铲每两个点之间的距离为，根据题意得一共有列，行，斜着铲相当于有n条线段长，同时有个，即可得出总路径长； 解决问题：利用作差法比较三种方案即可． 题目主要考查列代数式，整式的加减运算，二次根式的应用，理解题意是解题关键． 【详解】解：方案1：根据题意每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d， ∴每行铲的路径长为， ∵每列有k个籽，呈交错规律排列， ∴相当于有行， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：；；； 方案2：根据题意每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d， ∴每列铲的路径长为， ∵每行有n个籽，呈交错规律排列，， ∴相当于有列， ∴铲除全部籽的路径总长为， 故答案为：； 方案3：由图得斜着铲每两个点之间的距离为， 根据题意得一共有列，行， 斜着铲相当于有n条线段长，同时有个， ∴铲除全部籽的路径总长为：； 解决问题 略 22. 【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到．当点的对应点与点重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中()，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点在上，．过点作，垂足为，，．在四边形内是否存在点，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：∵绕点按逆时针方向旋转，得到，且点的对应点与点重合， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵绕点按逆时针方向旋转，得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵是的中位线，是的中线， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在，理由如下： 取的中点，的中点，分别以、为圆心，、为半径作和，点为两圆的交点， ∵是的直径，是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，由勾股定理得， ∵， ∴的半径， ∵， ∴的半径， ∴， ∵，是的半径， ∴是的切线， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∵，即圆心到的距离大于的半径， ∴在外， 过点作于点，， 在中，， 设，，由勾股定理得，解得， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 而， ， ∴， ∴与有交点，结合、均在外，可知两圆的交点在四边形内部， 故四边形内存在点，使得． 【解析】 【分析】（1）用旋转的性质得到，推出，再结合三角形中位线的平行性质，得到，通过等角对等边证明； （2）先由旋转的性质得到对应边相等、对应旋转角相等，证明，得到对应边的比例关系，再结合三角形中位线定理，证明是的中位线，得到，代入比例式变形即可得证； （3）要满足，可构造以为直径的和以为直径的，利用直径所对的圆周角为直角，得到、，满足角度和为，再通过勾股定理、相似三角形的性质计算两圆圆心距，判定两圆有交点，同时验证交点在四边形内部，即可证明存在符合条件的点． 【详解】略 23. 如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当时，求证：； ②当时，求证：； （3）如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值． 【答案】（1） （2） 证明：设直线的解析式为，代入得， ∴ ∴直线为， ∵，，过点作轴交线段于点．直线、都平行于轴，在上， ∴，，， ①当时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②当时，， ∴， ∵，即， ∴，即， （3）时，的最大值为 【解析】 【分析】（1）将代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，，，①当时，，因式分解得出，根据得出；②当时，，因式分解得出，根据，得出； （3）延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，，得出，进而证明，得出，结合已知可得，勾股定理求得，进而证明，可得，则，则，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得： ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长交轴于点，过点分别作轴的垂线，垂足分别为 ∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 当时，即 又∵ ∴ ∵的解析式为 ∴， 又∵ ∴ ∴，即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 当时，有最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1．本试卷共7页，共120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 3．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 用四种边长相等的正多边形地砖铺地，每个顶点处每种正多边形各一块拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正多边形的边数为，，，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 根据气象学上的标准，连续5天，每天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：（标准差是方差的算术平方根） ①平均数； ②平均数且极差小于或等于3； ③平均数且标准差； ④众数等于5且极差小于或等于4 则4组样本中一定符合入冬指标的共有（ ） A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 3. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首次比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空，设每场比赛双方获胜的概率都是，则甲最终获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 2025年9月3日，北京天安门广场举行盛大阅兵仪式，此次阅兵以庄严姿态，向世界传递了中国人民对抗战历史的铭记，对和平的珍视以及对人类美好未来的追求．在演习过程中，某队伍长，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回往返速度均为”则当传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则传令兵回到排尾时所走的路程为（ ） A. B. C. D. 5. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ） A. B. C. D. 6. 我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. -2 7. 已知正整数m，n，p，q满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（ ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②任意连续的四个奇数一定是该四元方程的一组解； ③若，则该四元方程有15组解； ④若，则该四元方程有504组解． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在中，，将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连接，使得面积为，连接，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 设，则的整数部分为____． 10. 方程有三个实数根，则 _____． 11. 某次数学考试中有一道4分的选择题，只有得满分与不得分两种情况，若某班同学作答该题的平均分为2.5，则方差为____． 12. 正五边形的边和对角线共有10条，将每条以的概率随机染成红、蓝两色之一，则所有以正五边形的顶点为顶点的三角形均不三边同色的概率是____． 13. 如图，已知三个等圆，，，为圆心，每个圆的圆心都在另外两个圆的圆周上，若的面积为300，则阴影部分的面积为____． 14. 如图，正方形的边长为4，是的中点，是的中点，点是以为圆心，为半径的圆上任意一点，则的最小值为____． 15. 黑板上写有共2020个数字．每次操作，先从黑板上的数选取2个数a，b，然后删去a，b，并写上数，则最终黑板上剩下的数是____． 16. 直线的解析式为，直线与轴分别交于不重合的两点，且点与点的横坐标之积为4，则原点到距离的最大值为______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 某社区新建透水砖便民步道总长米，市政小型工程队为尽快完成便民项目，实际每天比原计划多铺设米，结果实际铺设天数恰好是原计划的． （1）求原计划每天铺设多少米？ （2）完成便民步道后，社区新增彩色沥青休闲支路工程，甲、乙两支小型工程队分别从支路两端同时施工，计划甲队每天铺设米，每米物料成本为千元；乙队每天铺设米，每米物料成本为千元．实际施工时，甲队每米物料成本增加千元，每天可多铺设米；乙队每米物料成本保持不变，每天比计划少铺设米，若实际每天的总施工成本比计划多千元，且乙队每天的铺设量不低于原计划的，求的值． 18. 尺规作图． （1）已知，，求作两圆的内公切线； （2）已知，，求作两圆的外公切线． 19. 数学活动课上，小明同学根据学习函数的经验，对函数的图象、性质进行了探究．如图1，已知在中，点为边上的一个动点，连接，设． （1）当时，_______，______； （2）填表（补全表格时数值保留一位小数参考数据：；）： 0 1 2 3 4 2 ______ 2 3 ______ （3）试求与之间的函数关系式； （4）在图二中描出该函数的图象并写出该函数的两条性质． 20. 如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． （1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处点的坐标． （2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． （3）在该运动员入水点的正前方有，两点，且，，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，且顶点距水面4米，若该运动员出水点在之间（包括两点），请直接写出的取值范围． 21. 发现问题 小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽． 提出问题 销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？ 分析问题 某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，，），如图1所示． 小明设计了如下三种铲籽方案． 方案1：图1是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案2：图2是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________； 方案3：图3是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长． 解决问题 在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价． 22. 【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到．当点的对应点与点重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中()，是的中位线．连接，将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点在上，．过点作，垂足为，，．在四边形内是否存在点，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 23. 如图，已知二次函数的图象过点，连接点，，，是此二次函数图象上的三个动点，且，过点作轴交线段于点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点、在线段上，且直线、都平行于轴，请你从下列两个命题中选择一个进行解答： ①当时，求证：； ②当时，求证：； （3）如图，若，，延长交轴于点，射线、分别与轴交于点，，连接，分别在射线、轴上取点、（点在点的右侧），且，．记，试探究：当为何值时，有最大值？并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $