精品解析：2026年山东省荣成市拔尖创新人才选拔考试数学模拟试题（一）

数学试题 注意事项： 1.本试卷共7页，共120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 2.答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 3.不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在边长为1的正方形中，E、F分别为线段、上的动点，若以为折痕翻折，A点落在点的位置，那么可能位置形成的区域面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点：图形折叠的性质(折叠前后对应线段相等)、动点轨迹的判断(到定点距离为定长的点的轨迹是圆)、扇形面积公式和正方形面积公式的应用，以及利用割补法计算不规则图形面积的几何思想．先根据折叠性质确定点的轨迹是以为圆心，半径为的两段圆弧之间的区域(不包括边界)，再通过“两个圆心角、半径的扇形面积之和减去正方形面积”的方法，计算出该区域的面积． 【详解】解：如图，以为折痕翻折，点落在正方形中的点的位置， 当在上移动时，的轨迹是以为圆心，半径为的两段圆弧之间的区域(不包括边界)， 即：所有可能位置形成的图形是图中阴影部分， ∴ ． 故选：D． 2. 学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有（ ） A. 20位 B. 25位 C. 30位 D. 35位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查容斥原理的应用，通过分析各球类会的人数与总人数的重复计算部分，求解仅会两种球类的老师人数，理解题意是解题关键 【详解】解：设会且仅会两种球类的老师有x位 ∵会乒乓球、羽毛球、篮球的老师人数总和为位，至少会一种球类的老师有80位，三种球都会的老师在统计中被重复计算2次，仅会两种球类的老师被重复计算1次 ∴即 解得：， 故选：A 3. 某学校要召学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数（表示不大于x的最大整数）可以表示为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题建立函数关系．本题的关键在于理解余数大于6时要增选一名代表这个条件，通过对取整函数的性质和实际情况的分析，找到合适的函数表达式． 【详解】根据题意，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，也就是当除以10的余数大于等于7时，代表人数会比多1， 可以这样考虑，为了满足这个条件，我们可以先把班级人数加上3，此时当除以10的余数大于等于7时，除以10就会进一位，即代表人数为， 所以各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系可以表示为． 故选：B． 4. 正整数构成的数列，满足：①数列递增，即；②，则称为“类斐波拉契数列”，例如：.则满足的“类斐波拉契数列”有（ ）种. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】分析各数据间的关系，设第一个数为n，第二个数为n+d，则第三个数为2n+d，第四个数为3n+2d，第五个数为5n+3d，列式得到5n+3d=59，再确定n与d的值即可得到答案. 【详解】设第一个数为n，第二个数为n+d，则第三个数为2n+d，第四个数为3n+2d，第五个数为5n+3d， ∵， ∴5n+3d=59， ∴， ∵此数列为正整数数列， ∴n、d为正整数， ∴当d=3、13、8、18时，n=10、4、7、1，共有4种， 故选：D. 【点睛】此题考查列代数式求值，正确理解题意列出关系式是解题的关键，得到后需选数代入求值. 5. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 6. 如图，在中，，，与交于点，以为圆心，长为半径作圆，过作的两条切线、．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心、切线的性质以及全等三角形的性质与判定，连接，过点作于点，，交于点，先利用已知条件确定点是三角形的重心，进而得到，结合切线性质构造直角三角形，求出，进而计算出目标角度之和． 【详解】解：连接，过点作于点，连接，交于点， ，， 分别是边上的中线， 点是的重心， ， 是的切线， ，，， ， ， ， 设． 在中， ， ， ， ， ． 故选：C． 7. 如图，记抛物线的图象与x正半轴的交点为A，将线段分成n等份，设分点分别为，，…，，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点，，…，，再记直角三角形，，…的面积分别为，，…记，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意，结合二次函数性质与三角形面积公式得出，，…，，进而表示出W，再根据条件n越来越大分析求解，即可解题． 【详解】解：当时，， 解得， ， 将线段分成n等份，设分点分别为，，…，， ，，，， ，，， 过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点，，…，， ，，，， 为， ， ， ， 则 ， 当n越来越大时，与越接近于零， 则W最接近的常数是， 故选：B． 8. 我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成的过程就是“方减分解”．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且（k为整数），则满足条件的正整数A为（ ） A. 4273 B. 6564 C. 6273 D. 4564 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究，不等式的性质，根据“方减数”的定义，结合除以19余1、为完全平方数两个条件，通过代入选项验证求解即可． 【详解】解：设，（，，为整数），则，． A、假设，则，为两位数，则， ∴， ∵，则， 又与十位数字不同，不符合“方减数”定义，故不符合题意； B、假设，则， ∵，故不存在整数满足条件，不符合题意； C、假设，则 ∵，故不存在整数满足条件，不符合题意； D、∵，与十位数字均为6，个位数字，符合“方减数”定义， 又，满足（为整数）， ，∵，余数为1，满足条件；符合题意； 故选D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若，则的值为_____________． 【答案】或﹣1 【解析】 【分析】设，根据比例的性质得出，，，将它们相加得出，再分与两种情况进行讨论即可． 【详解】解：设， 则，，， ①如果，那么， 此时，，， ， ②如果，那么，， 此时，，， ， 故答案为：或﹣1． 【点睛】本题考查了比例的性质，进行分类讨论是解题的关键． 10. 若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、轴对称的性质、最短路径等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．建立平面直角坐标系，设，，点是点关于原点的对称点，连接交轴于点，过点作轴于点，过点作，交延长线于点，再设，，则有，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后求解即可． 【详解】解：如下图，建立平面直角坐标系，设，，点是点关于原点的对称点，连接交轴于点，过点作轴于点，过点作，交延长线于点， ∵，， ∴，， 设，， 则有， ∴，， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时， 即的最小值为． 故答案为：． 11. 在信道内传输信号，信号的传输互不影响．发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为．三次传输是指每个信号重复发送次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为）．现在采用三次传输方案，若发送，则译码为的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率，分收到个和个和收到个两种情况，分别求出译码为的概率，再相加即可求解，掌握相互独立事件的概率乘法公式是解题的关键 【详解】解：三次传输中，译码为的事件包含两个互斥事件： ①收到个和个：该事件包含种具体的接收结果，分别是、、，每种接收结果的概率为， ∴该事件的总概率为； ②收到个：根据相互独立事件的概率乘法公式，该事件的概率为； 将两个互斥事件的概率相加，可得译码为的概率为，即， 故答案为：． 12. 平面上三个圆形纸片两两外切，它们两两之间的圆心距分别为5，6，7，则它们覆盖平面的总面积是______． 【答案】 29π 【解析】 【分析】本题主要考查圆和圆的位置关系，先根据三圆两两外切的性质，通过圆心距与半径的关系列方程组求出三个圆的半径，再结合两两外切无重叠区域的特点，利用圆的面积公式计算覆盖总面积（即三圆面积之和）。 【详解】解：设三个圆形纸片的半径分别为、、。 因为三个圆两两外切，根据两圆外切时圆心距等于两圆半径之和，可得方程组： 解得， 所以，三个圆的面积分别为：，，。 ∵三个圆两两外切，任意两圆仅有一个公共点，无重叠区域， 三个圆覆盖平面的总面积为三圆面积之和，即， 故答案为：． 13. “幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”．记函数，，的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为，则的面积为______． 【答案】3 【解析】 【分析】过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，取点，连接、，构造，根据祖暅原理，得出的面积，根据坐标与图形，计算得出答案即可． 【详解】解：如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，取点，连接、， 当平行于轴的直线在点和点之间时，， 时，， 解得：，即点的横坐标，则此时， 时，则，即点的横坐标， ∴， ∴线段是时，的图象， ∴当时，在点和点之间被平行于轴的直线所截，，也等于线段上点的纵坐标； 当平行于轴的直线在点和点之间时， ， 时，则，即点的横坐标， ∴， ∴线段是时，的图象， ∴当时，在点和点之间被平行于轴的直线所截，，也等于线段上点的纵坐标． ∴和符合祖暅原理， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新知识和新定义理解、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、坐标与图形、矩形的面积和三角形的面积计算，理解题意、熟练掌握二次函数的图象与性质、构造图形是解题的关键． 14. 如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点，且点在反比例函数的图象上．、的延长线分别交轴、轴于点、，连结，则的面积是________． 【答案】16 【解析】 【分析】如图，作PM⊥OA于 M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．利用全等三角形的性质解决问题即可求得P点坐标．设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝4﹣a，BN＝BH＝4﹣b，利用勾股定理求出a，b之间的关系，求出OC，OD即可解决问题． 【详解】解：如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H． ∴∠PMA＝∠PHA＝90°， ∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA， ∴△PAM≌△PAH（AAS）， ∴PM＝PH，∠APM＝∠APH， 同理可证：△BPN≌△BPH， ∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH， ∴PM＝PN， ∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°， ∴四边形PMON是正方形， ∵PM＝PN， ∴可以假设P（m，m）， ∵P（m，m）在y上， ∴m2＝16， ∵m＞0， ∴m＝4， ∴P（4，4）． 设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝4﹣a，BN＝BH＝4﹣b， ∴AB＝AH+BH＝8﹣a﹣b， ∵AB2＝OA2+OB2， ∴a2+b2＝（8﹣a﹣b）2， 可得ab＝8a+8b﹣32， ∴4a+4b﹣16ab， ∵PM∥OC， ∴△PMA∽△COA ∴， ∴， ∴OC， 同法可得OD， ∴S△COD•OC•DO•••16． 故答案为：16． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的应用，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 15. 如图，中，，，，是斜边的中点，过作于，连接交于；过作于，连接交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点，，…，，记的面积为，则的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用含角直角三角形的性质及勾股定理可求得，进而利用三角形的面积公式，依次求得、、、…的面积为、、、…、找出规律即可求得． 【详解】解∶ ∵中，，，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵是斜边的中点， ∴， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 同理， …， ∴； ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了图形规律的探究，直角三角形的性质及勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，根据图形找出三角形的面积之间的规律是解题的关键 ． 16. 抛物线上有三个动点M，N，S，点位于上．若总有，则m与n的数量关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，求得直线的解析式为，联立方程并运用根与系数关系得出，过点S作直线轴，过点M作于K，过点N作于L，证得，再运用根的判别式即可求得答案． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设， 联立得：， 整理得：， ∴，， 过点S作直线轴，过点M作于K，过点N作于L，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∵当m，n在变化的过程中，总有， ∴， ∴， ∵k为任意实数，， ∴当时，． 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 （2）购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【解析】 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． 【小问2详解】 解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 18. 某班兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． 已知自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： （1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分； （2）观察函数图象，当随增大而减小时，则的取值范围是______； （3）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有______个交点，所以对应方程有______个实数根； ②方程有______个实数根； ③若关于的方程有个实数根，则的取值范围是______． 【答案】（1）见解析 （2）或 （3）①， ② ③ 【解析】 【分析】本题考查的是函数图象与性质，函数与方程之间的关系，解决本题的关键是根据表格补全图象，通过观察函数图象，数形结合来求解． (1)根据表格补全函数图像； (2)由图像可知，当或时，随的增大而减小； (3)①由图像可知函数图像与轴有个交点，所以对应方程有个实数根； ②由函数图像可知，二次函数与直线有个交点，方程有个解； ③因为当时，二次函数与直线有个交点，所以当时，关于的方程有个实数根． 【小问1详解】 解：如下图所示： 【小问2详解】 解：由图像可知，当或时，随的增大而减小， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：①由图像可知，函数图像与轴有个交点， 对应方程有个实数根， 故答案为：，； ②解：如下图所示， 由函数图像可知，二次函数与直线有个交点， 方程有个解， 故答案为：； ③解：如下图所示，当时， 二次函数与直线有个交点， 关于的方程有个实数根， 则有． 故答案为：． 19. 我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（ ） ②函数一定不是“对偶函数”；（ ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（ ） （2）若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 【答案】（1）①（√）；②（√）；③（×） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目中给出的“对偶点”， “对偶函数”的定义结合反比例函数，一次函数，二次函数的性质进行分析得出结果； （2）由题意可得，，得出从而求出，，得出两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，画出图形得出结果； （3）由题意可得，且时，有，整理得到，利用关于的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可． 【小问1详解】 解：，且，， ，， ，， ①函数（k是非零常数）的图象上，， 满足，，故①正确； ②由题意可得，， 则点与点且是一对“对偶点”， 函数的图像如下图： 函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确； 函数的图象如下图， 由题意可得，，则 ∴“对偶点”在反比例函数图象上， ∴函数的图象上存在一对“对偶点”， 至少存在两对“对偶点”说法错误，故③错误； 故答案为：①（√）；②（√）；③（×） 【小问2详解】 由题意可得，，点与点且是一对 “对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”． 从而有，两式相减可得，同理可得． 两个一次函数为，，由于，都是常数，且， 两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示 求得其面积之和； 【小问3详解】 由题意可得，且时，有， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数，反比例函数，二次函数的图形与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 20. 某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行勘测，迎面山坡线由同一平面内的两段抛物线组成，其中所在的抛物线以A为顶点、开口向下，所在的抛物线以为顶点、开口向上．以过山脚（点）的水平线为轴、过山顶（点A）的铅垂线为轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知所在抛物线的解析式为，所在抛物线的解析式为，且已知． （1）设是山坡线上任意一点，用含的式子表示，并求点的坐标； （2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）． ①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米） ②这种台阶能否一直铺到山脚，为什么？（参考数据：） （3）在山坡上的米高度（点）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点处，（米）．假设索道可近似地看成一段以为顶点、开口向上的抛物线，其解析式为．试求索道的最大悬空高度． 【答案】（1），B（4，4） （2）①894cm，371cm，284cm②这种台阶不能一直铺到山脚，理由见详解 （3）米 【解析】 【分析】（1）将点代入二次函数解析式，求出x与y的关系即可，然后把点B的坐标代入即可求解； （2）①根据题意分别求出前三级台阶的长度； ②结合①的答案，然后取，计算此时台阶长度，可证明这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚； （3）首先得到悬空高度h与x的函数关系，进而利用二次函数最值法得出结果即可． 【小问1详解】 解：∵点是山坡线上任意一点， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点B坐标为（4，4）； 【小问2详解】 ①在山坡AB上，，A（0，8）， 令，可得， 令，得， ∴第一级台阶的长度为（百米）cm， 同理，令，， 可得，， ∴第二级台阶的长度为（百米）cm， 第三级台阶的长度为（百米）cm， ②取点B（4，4），又取， 则， ∵， ∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚； 【小问3详解】 如下图，设索道悬空高度为h， 点D（2，7）、E（16，0）、B（4，4）、C（8，0）， 由图可知，当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值， 索道在BC上方时，则悬空高度为 ， ∴当时，有（百米）=（米）， 即索道的最大悬空高度为米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用问题，解题关键是读懂题意，理清数量关系，利用数学知识建立相应的数学模型并求解． 21. 聪明好学的晨晨看到一本课外书上有个重要补充： 角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．于是他和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，中，平分交于点D，求证：．” 可是他们依然找不到证明方法，经过老师的提示：过点B作交延长线于点E，于是打开思路． 【问题初探】 （1）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明； 【现学现用】借助角平分线定理解决如下问题： （2）如图②，中，，点D是边上一点，将沿着翻折，使得点B与边上的点E重合，若是直角三角形，求的长度； 【问题解决】 （3）如图③，已知反比例函数，点A是该图象第一象限上的动点，连接并延长交另一支于点B，以为斜边作等腰直角，顶点C在第四象限，与x轴交于点P，连接，点A在运动过程中，是否存在的情况？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）如图所示，过点B作交延长线于点E， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）或；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的思路进行证明即可； （2）由折叠的性质可得，由角平分线定理得到，，设，再分当和时，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可； （3）如图所示，过点A、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接，由等腰直角三角形的性质得到，则，进而求出，得到，则由角平分线定理得到；由反比例函数的对称性可得，则，证明，得到，，证明，得到，可设，则，求出（负值舍去），得到，则． 【详解】解：（1） 略 （2）由折叠的性质可得， ∴，， ∴； 设， 当时，由勾股定理得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当时，同理可得， 解得（负值舍去）， ∴ 综上所述，的长为或；b （3）如图所示，过点A、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，连接， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 由反比例函数的对称性可得， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴可设， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定． 22. 图，AC、BD为⊙O的直径，且AC⊥BD，P、Q分别为半径OB、OA（不与端点重合）上的动点，直线PQ交⊙O于M、N． （1）比较大小：cos∠OPQ____________sin∠OQP； （2）请你判断与OP·cos∠OPQ之间的数量关系，并给出证明； （3）当∠APO=60°时，设MQ＝m·MP，NQ=n·NP． ①求m+n的值； ②以OD为边在OD上方构造矩形ODKS，已知OD＝1，OS＝，在Q点的移动过程中，恒为非负数，请直接写出实数c的最大值． 【答案】（1） （2） （3）①；②实数c的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的性质计算，即可得到答案； （2）过点O，作，交于点G，根据垂径定理的性质，得，结合三角函数的性质计算，即可得到答案； （3）①过点O，作，交于点G，连接BN、MD，AP，根据（2）的结论，得；根据相似三角形和三角函数的性质，推导得、，通过计算即可完成求解； ②过点S作轴，使，连接MK、KD，延长OB至点H，使，连接MH，KH，OM，根据相似三角形的性质，推导得，结合三角函数性质，得；根据两点之间直线段最短、矩形、勾股定理的性质，得，结合不等式的性质计算，即可得到答案． 【小问1详解】 ∵AC⊥BD， ∴， ∴ 故答案为：； 【小问2详解】 过点O作，交于点G ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问3详解】 点O作，交于点G，连接BN、MD，AP ∵MQ＝m·MP，NQ=n·NP ∴ 根据（2）的结论，得 ∴ ∵， ∴ ∴，即 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵∠APO=60° ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； ②如图，过点S作轴，使，连接MK、KD，延长OB至点H，使，连接MH，KH，OM ∵，即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∵ ∴ ∵矩形ODKS， OS＝ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴恒为非负数，即恒成立， ∴ ∴ ∴实数c的最大值为． 【点睛】本题考查了相似三角形、三角函数、矩形、勾股定理、圆、两点之间直线段最短的知识连接头的关键是熟练掌握相似三角形、三角函数、垂径定理，从而完成求解． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于，与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线：经过、两点，并与轴正半轴交于点． （1）求的值及抛物线：的函数表达式． （2）设点，若是抛物线：对称轴上使得的周长取得最小值的点，过任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，两点，试探究是否为定值？请说明理由． （3）将抛物线作适当平移，得到抛物线：，．若当时，恒成立，求的最大值． 【答案】（1）的值为，抛物线的函数表达式为 （2）为定值，理由如下： 要使的周长取得最小，只需最小． 连接交于点，因为点与点关于对称， 根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时最小，如图所示， 令中的，则或5， ∴， ∵， ∴直线解析式为， ∴． 令过的直线解析式为，则， ∴， 则直线的解析式为． 解法一：由，得， ∴，， ∵，， ∴， ∴ ， ， 同理， ∴ ， ∴； 解法二：∵， ∴， 设，则有． ∴； 设，同理可求得：． ∴①． 直线的解析式为，即：． 联立与抛物线，得：， ∴，，代入①式，得：． （3）的最大值为9 【解析】 【分析】（1）将A点坐标代入一次函数解析式，即可求得p值；根据A、C两点坐标，以及对称轴，代入二次函数解析式，即可求得抛物线的函数表达式； （2）先运用轴对称的性质找到点F的坐标，再运用一 元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两 点之间的距离公式求出、、， 证出，最后可求； （3）设与的两交点的横坐标分别为，，因为抛物线可以看成由左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，，的值不断增大，故当，恒成立时，最大值在处取得，，根据题意列出方程求出，即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与轴交于， ∴， ∴． ∴一次函数的解析式为． ∴点的坐标为． ∵经过、两点且对称轴是直线， ∴， 解得， ∴． ∴的值为，抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设与的两交点的横坐标分别为，， ∵抛物线：可以看成由左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，，的值不断增大， ∴当，恒成立时，最大值在处取得， ∴当时，对应的即为的最大值， 将代入得， ∴或－1（舍）， 将代入有， ∴，． ∴的最大值为9． 【点睛】本题主要考查运用待定系数法求函数解析式、一元 二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点距离公式的综合运用，对计算要求较高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 注意事项： 1.本试卷共7页，共120分，考试时间120分钟．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回． 2.答题前，请用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号填写在答题卡和试卷规定的位置上．所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答．写在试卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效． 3.不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，在边长为1的正方形中，E、F分别为线段、上的动点，若以为折痕翻折，A点落在点的位置，那么可能位置形成的区域面积为（ ） A. B. C. D. 2. 学校里有30位老师会打乒乓球，60位老师会打羽毛球，20位老师会打篮球，80位老师至少会一种球类，三种球都会的老师有5位，则会且仅会两种球类的老师有（ ） A. 20位 B. 25位 C. 30位 D. 35位 3. 某学校要召学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数（表示不大于x的最大整数）可以表示为（） A. B. C. D. 4. 正整数构成的数列，满足：①数列递增，即；②，则称为“类斐波拉契数列”，例如：.则满足的“类斐波拉契数列”有（ ）种. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，与交于点，以为圆心，长为半径作圆，过作的两条切线、．则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，记抛物线的图象与x正半轴的交点为A，将线段分成n等份，设分点分别为，，…，，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点，，…，，再记直角三角形，，…的面积分别为，，…记，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（ ） A. B. C. D. 8. 我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成的过程就是“方减分解”．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且（k为整数），则满足条件的正整数A为（ ） A. 4273 B. 6564 C. 6273 D. 4564 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 若，则的值为_____________． 10. 若，，且，则的最小值为________． 11. 在信道内传输信号，信号的传输互不影响．发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为．三次传输是指每个信号重复发送次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为）．现在采用三次传输方案，若发送，则译码为的概率为______． 12. 平面上三个圆形纸片两两外切，它们两两之间的圆心距分别为5，6，7，则它们覆盖平面的总面积是______． 13. “幂势既同，则积不容异”是我国古代数学家祖暅提出的计算原理，称作祖暅原理．利用祖暅原理可以得到一种求面积的方法：“夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条平行线的任意直线所截，如果被截得的两条线段长总相等，那么这两个平面图形的面积相等”．记函数，，的图象在第一象限围成的曲边形（阴影部分）为，则的面积为______． 14. 如图，平面直角坐标系中，为原点，点、分别在轴、轴的正半轴上，的两条外角平分线交于点，且点在反比例函数的图象上．、的延长线分别交轴、轴于点、，连结，则的面积是________． 15. 如图，中，，，，是斜边的中点，过作于，连接交于；过作于，连接交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点，，…，，记的面积为，则的大小为______． 16. 抛物线上有三个动点M，N，S，点位于上．若总有，则m与n的数量关系为______． 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 18. 某班兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． 已知自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： （1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分； （2）观察函数图象，当随增大而减小时，则的取值范围是______； （3）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有______个交点，所以对应方程有______个实数根； ②方程有______个实数根； ③若关于的方程有个实数根，则的取值范围是______． 19. 我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（ ） ②函数一定不是“对偶函数”；（ ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（ ） （2）若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 20. 某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行勘测，迎面山坡线由同一平面内的两段抛物线组成，其中所在的抛物线以A为顶点、开口向下，所在的抛物线以为顶点、开口向上．以过山脚（点）的水平线为轴、过山顶（点A）的铅垂线为轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知所在抛物线的解析式为，所在抛物线的解析式为，且已知． （1）设是山坡线上任意一点，用含的式子表示，并求点的坐标； （2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）． ①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米） ②这种台阶能否一直铺到山脚，为什么？（参考数据：） （3）在山坡上的米高度（点）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点处，（米）．假设索道可近似地看成一段以为顶点、开口向上的抛物线，其解析式为．试求索道的最大悬空高度． 21. 聪明好学的晨晨看到一本课外书上有个重要补充： 角平分线定理：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．于是他和其他同学研究一番，写出了已知、求证如下：“已知：如图①，中，平分交于点D，求证：．” 可是他们依然找不到证明方法，经过老师的提示：过点B作交延长线于点E，于是打开思路． 【问题初探】 （1）请你按老师的提示或你认为其他可行的方法帮晨晨完成证明； 【现学现用】借助角平分线定理解决如下问题： （2）如图②，中，，点D是边上一点，将沿着翻折，使得点B与边上的点E重合，若是直角三角形，求的长度； 【问题解决】 （3）如图③，已知反比例函数，点A是该图象第一象限上的动点，连接并延长交另一支于点B，以为斜边作等腰直角，顶点C在第四象限，与x轴交于点P，连接，点A在运动过程中，是否存在的情况？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 22. 图，AC、BD为⊙O的直径，且AC⊥BD，P、Q分别为半径OB、OA（不与端点重合）上的动点，直线PQ交⊙O于M、N． （1）比较大小：cos∠OPQ____________sin∠OQP； （2）请你判断与OP·cos∠OPQ之间的数量关系，并给出证明； （3）当∠APO=60°时，设MQ＝m·MP，NQ=n·NP． ①求m+n的值； ②以OD为边在OD上方构造矩形ODKS，已知OD＝1，OS＝，在Q点的移动过程中，恒为非负数，请直接写出实数c的最大值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于，与轴交于点．以直线为对称轴的抛物线：经过、两点，并与轴正半轴交于点． （1）求的值及抛物线：的函数表达式． （2）设点，若是抛物线：对称轴上使得的周长取得最小值的点，过任意作一条与轴不平行的直线交抛物线于，两点，试探究是否为定值？请说明理由． （3）将抛物线作适当平移，得到抛物线：，．若当时，恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $