湖南益阳市桃江县第一中学2025-2026学年高一入学摸底考试数学试题

**基本信息** 桃江一中2025级高一入学摸底数学卷，通过12道选择、6道填空、7道解答题（150分），衔接初高中知识，诊断基础并渗透数学抽象、推理与模型观念，适配开学学情分析需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|含实数比较（1题）、三视图（3题）、统计方差（9题）等|基础题占比60%，如1题结合直辖市气温数据，考查数感与数学眼光| |填空题|6/24|涉及因式分解（13题）、圆锥侧面积（15题）、菱形动态问题（17题）|梯度设计明显，17题平移变换渗透空间观念与几何直观| |解答题|7/78|包含统计应用（21题）、几何证明（22题）、二次函数探究（25题）、动点最值（24题）|24题通过类比迁移考查推理能力，25题结合函数性质培养模型意识，体现高中衔接|

桃江一中2025级高一入学摸底考试 数 学 时间:100分钟 满分:150分 一、选择题:本题共12道小题，每小题4分，共48分。在给出的选项当中，只有一个答案符合题目要求。 1．下表记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是 北京 上海 天津 重庆 A．北京 B．上海 C．天津 D．重庆 2．下列计算正确的是 A． B． C． D． 3．如图是某几何体的三视图，该几何体是 A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．圆柱 4．二次函数的最小值是 A． B．1 C． D．7 5．如图，AB∥CD，∠B=68°，∠E=20°，则∠D的度数是 (第5题图) (第7题图) A．28° B．38° C．48° D．88° 6．若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 A． B． C． D． 7．如图，矩形内有一点，且满足，若，，则的度数是 A． B． C． D． 8．如图，的中线交于点，连结，设的面积为的面积为的面积为，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 9．现有四批黄桃，从中各随机抽取40个，测量并计算得它们直径的平均数与方差如下：则这四批黄桃中果型较大且整齐的一批是 批次 甲 乙 丙 丁 平均数（单位：） 方差（单位：） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 10．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为 A． B． C． D． 11．已知二次函数的图象经过点，，若，则下列可能成立的是 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 12．如图，E是正方形的边上一动点（不与C，D重合），连结，以为边作正方形，点M是的中点，连结．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是 A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 二、填空题:本题共6道小题，每小题4分，共24分。 13．因式分解：_____ 14．方程的解为___________． 15．如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为_________． (15题图) (16题图) (17题图) 16．长和宽分别是 19 和 15 矩形内，如图所示放置 5 个大小相同的正方形，且 、 、 、 四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是_____． 17．如图，在菱形中，点E在对角线上，，将边平移至，点A的对应点为点E，连接，若，则的长为_____________． 18．如图，在半径为的扇形中，，点为中点，作交于点，则围成的图形（阴影部分）的周长为______． 三、解答题:本题共7道小题，共78分。 19．(8分)计算：． 20．(9分)如图在中，，E为中点，连结，，，． (1)求的长． (2)求的值． 21．(10分)某校为了解学生寒假在家期间进行体育锻炼的时间t（小时），随机抽取了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中选且只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题∶ (1)求所抽取的学生总人数； (2)若该校共有学生1800人，请估算该校学生进行体育锻炼的时间满足的人数． 22．(10分)如图，在四边形中，，在上取两点，，使，连接，，且． (1)试说明； (2)连接，，试判断与有怎样的数量关系，并说明理由． 23．(13分)按要求作图：（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (1)如图1，的顶点在上，点在内，，仅利用无刻度直尺在图中画的内接三角形，使； (2)如图2，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． ①请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点； ②若，则的长度为多少． 24．(14分)在数学探究课上，王宇同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，其过程如下： (1)【观察发现】如图1，在等边中，，，，分别是和上的动点，且总有，阅读下面作辅助图形的方法及推理过程并填空，理解确定最小值的方法． 在等边中，，， 点为边上的中点，． ． 过点作，使，连接． ． ． 又， ． ． 连接，，当，，三点共线时，的最小值等于线段的长． 连接，可证四边形是矩形， ． 的最小值为 ． (2)【类比应用】如图2，已知正方形的边长为6，为对角线的交点，，分别是，上的动点，且总有，连接，，求的最小值． (3)【拓展延伸】如图3，矩形中，，，是的中点，，分别是和上的动点，且总有，求的最小值． 25．(14分)甲、乙、丙三个同学研究了二次函数 的图象和性质， 并交流了自己的学习成果． (1)甲同学的说法：当和时，函数值相等．你认为甲同学的说法正确吗？请说明理由． (2)乙同学的发现：取某个值时，该函数图象上到轴的距离为 1 的点有 3 个，且以这三个点为顶点的三角形的面积为3 ．根据乙同学的发现，求出此时的值． (3)丙同学的探索：若 ，当时，的取值范围中恰有4个不同的整数值．根据丙同学的结论，求出的取值范围． 数学 第1页 共6页 数学 第1页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 桃江一中2025级高一入学摸底考试 数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A A A C C B A D D B A 填空题 13． 14． 15．15π． 16． 17． 18． 解答题 19． 解：． 20．（1）解：，，，， 在中，，； （2）解：为的中点，． 在中，，． 21．（1）解：所抽取的学生总人数为人； （2）解：估算学生进行体育锻炼的时间满足的人数约为人 22．(1) 证明：∵，， ∵，， ∵，，， 在和中，，； (2)，理由如下： 如图： ∵， ， 在和中， ， ， ． 23．（1）解：延长与交于点，连接，连接并延长交于交于点， ∵，∴，                        ∵为的直径，∴，  ∴，则即为所求； （2）解：①过点作，交与点， ∵为直径，，∴为的切线；                ②∵为的切线，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵为的直径，∴，∴， 在和中， ，∴，∴． 24．（1）解：由作图可知，四边形是矩形， ∴， 的最小值为 ， 故答案为：． （2）解：如图，类比（1），过点D作，使，连接， ∴ 在和中， ∵，∴．∴． ∴． 连接，当G，N，C三点共线时，线段的长为的最小值． 过点G作，交的延长线于点H． 在正方形中，为对角线，∴ ∵∴． ∴为等腰直角三角形． ∵正方形的边长为6，∴， ∴． ∴在 中，，∴的最小值为 ． （3）解：如图，延长到H，使，连接． ∵，，∴，∴，∴， ∴， 连接，当E、F、H三点共线时，线段的长为的最小值． ∵，，∴． 25．(1)解:甲同学说法正确，理由如下： ∵二次函数解析式为，∴对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等； （2）解：在中，当时，， ∴顶点坐标为； ∵该函数图象上到轴的距离为 1 的点有 3 个，∴函数值的绝对值为1的点有3个， ∴二次函数开口一定向上，且纵坐标为1的有两个点， ∵当轴的距离为 1 的三个点组成的三角形的面积为3， ∴纵坐标为1的两个点的距离为， ∴纵坐标为1的两个点到对称轴的距离都为， ∴，即在二次函数图象上， ∴，∴； （3）解：∵，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，， ∴当时，， ∵当时，的取值范围中恰有4个不同的整数值， ∴， ∴． 数学答案 第1页(共4页) 数学答案 第1页(共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $