湖南株洲市第一中学2025-2026学年新高一上学期入学质量检测数学试卷

株洲市一中2025级新高一入学质量检测 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．本试题卷共8页，共30道题，时间为120分钟，满分150分． 一、选择题：本题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．-3的相反数是 A． B． C．-3 D．3 2．下列各式中，计算结果等于的是 A． B． C． D． 3．下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是 A． B． C． D． 4．任意掷一枚均匀的小正方体色子，朝上点数是偶数的概率为 A． B． C． D． 5．关于反比例函数，下列结论正确的是 A．图像位于第二、四象限 B．图像与坐标轴有公共点 C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小 D．图像经过点，则 6．如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是 A．平分 B． C． D． 7．将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数 A． B． C． D． 8．皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中，分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，，则内部的格点个数是 A．266 B．270 C．271 D．285 9．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度与注水时间的函数关系的是 A． B． C． D． 10．如图，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点坐标是 A． B． C． D． 11．抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点位于轴上方．以下结论正确的是 A． B． C． D． 12．如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿，两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中，分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是 A． B． C． D． 13．如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是 A． B．2 C． D． 14．如图，四边形内接于，，，，则的半径是 A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 15．计算；___________． 16．如图，将的按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数约为___________（结果精确到，参考数据：，，） 17．《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是_________尺． 18．若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为_______． 19．如图，点和在反比例函数（）的图象上，其中．过点作轴于点，则的面积为___________；若的面积为，则___________． 20．铁的密度为，铁块的质量（单位：）与它的体积（单位：）之间的函数关系式为．当时，___________g． 21．黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是___________m．（参考数据：） 22．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若（），则用含的式子表示的值是___________． 23．抛物线（，，是常数，）经过，，三点，且．下列四个结论： ①； ②； ③当时，若点在该抛物线上，则； ④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则． 其中正确的是___________（填写序号）． 24．如图，在中，，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是___________． 三、解答题：本题共6小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 25．（8分） 先化简，再求值：，其中． 26．（8分） 如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，平分，直接写出的形状． 27．（10分） 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的___________，___________，文学类书籍对应扇形圆心角等于_______度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 28．（12分） 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数（k为常数，）的图象在第一象限的部分交于点． （1）求，，的值； （2）若是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点的横坐标的取值范围． 29．（20分） 如图，四边形是正方形，点在边上，点在边的延长线上，，射线交对角线于点，交线段于点． （1）求证：．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明） （2）求证：． （3）若，直接写出的值（用含的式子表示）． 30．（20分） 抛物线交轴于，两点（A在的右边），交轴于点． （1）直接写出点，，的坐标； （2）如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交轴于点．若平分线段，求点的坐标； （3）如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式． 学科网（北京）股份有限公司 $株洲市一中2025级新高一入学质量测试·数学答案 一、选择题 题目 1 3 4 5 6 > 8 9 10 11 12 13 14 答案 D B D C C C C C D B C B B 二、填空题 15.2 16.2.7 17.8,6,10 18.a≤-1 5 19.2,2 20.79 21.51 k2+1 22.(k-1月 23.②③④ 24.7或9 三、解答题 G-4+4a-2+3=a2,×aat2+3=a+3 25.【详解】解： a2-4 a2+2a (a+2)(a-2）a-2 当a=5-3时，原式=V5-3+3=5 26.【详解】 (1)证明：ADIIBC,∠EAD=∠B, :∠B=∠D,∴.∠EAD=∠D,∴.BEI/CD,∴.∠E=∠ECD」 (2)·∠E=60°，∠E=∠ECD,∴∠ECD=∠E=60°， CE平分∠BCD,.∠BCE=∠ECD=60°，.∠BCE=∠E=60°， ∠B=180°-∠BCE-∠E=60°，.∠BCE=∠E=∠B,∴.△BCE是等边三角形 27.【详解】 (1)解：参与调查的总人数为：4÷8%=50（人），m=50×36%=18,n=50-18-10-12-4=6, 10 ×360°=72° 文学类书籍对应扇形圆心角50 ,故答案为：18,6,72： 12 2000× =480 (2)解： 50 (人)，因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人： (3)解：画树状图如下： 开始 甲 D B D B D 由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，因此甲乙两位同 2 学选择相同类别书籍的概率为：9」 28.【详解】 (1)解：把点4(-3,0)坐标代入y=x+m得：0=-3+m,解得m=3, :直线解析式为y=x+3,把点B(m,4)坐标代入直线解析式得4=n+3,解得n=1,把点B(14)坐标 k 4= 代入反比例函数解析式得： 1,解得k=4, (2)k=4 4 y= .反比例函数解析式为x, :△4OC的面积小于△AOB的面积，e<yg,即e<4, 4 .<4 点C在反比例函数图象上，且在第一象限，4，∴.a>1. 29.【详解】 (1)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.AD=DC,∠ADC=∠BCD=90°，∠ADB=∠CDB=45°，∴.∠ADC=∠DCF=90°， :DE=CF,AADE≌△DCF(SAS),∠DAE=∠CDF, ∴.∠EAD+∠ADB=∠CDF+∠CDB. 即∠HDG=∠HGD,∴.DH=GH: (2)证明：四边形ABCD是正方形， ∴.AB∥DC,AB=AD,.∠BAG=∠DEG,∠ABG=∠EDG,∴△ABG∽△EDG. AG AB AD EG DEDE, DH AD AG DH ∠HDE=∠HAD,∠DHE=∠AHD,△HDE∽△HAD,EHDE,EGEH, AG GH .DH=GH,EG EH,:AG.EH EG.GH, AG GH GE GE AG =n∴ =n= (3)解：EGEH,EH,EH GH, 设EH=a,∴.EG=an, .GH-DHa)AG-gg-GHa)al) GH :.AE=AG+GE=a(n2+2n). .DH。a(n+l)_n+1 由(1)得△ADE≌△CDF,AE=DF=a(m2+2m）.“DFar+2n2+2n 30.【详解】 1)解：白少2+2r-3 y= ,当=0时，-2 c-sy=0,3 +2x 20 解得：=-5，X2=1 :A在B的右边，A(,0）,B(-5,0)」 、2)解：设直线4C的解析式为y=ax+bk0将A,0)C0,-2代入得 5 k= k+b=0 2 b=一2解得： b=- 55 y= 、X 2,“直线AC的解析式为22 5 y=。x+b :POAC设直线P巴的解析式为2 p,+2- :P在第三象限的抛物线上设（”2 2,(-5<t<0) 5 5 .t+b=1t2+2t-2 2 2 =12-t_5 6-222 aduir-- 22 3 t2+t-5 t M 2 22 设PO的中点为M,则 5 由B(5,O)C0,-2设直线BC的解析 为)=一2，将B(-5,0)代入得， =月 0=-5k1一2，解很、 5直线BC的解折式为=一2一2， 1x5+31-5 3 :BC平分线段P吧，M在直线BC上.六2X22 2 2 解得：4=-2,4=0（舍去），当1=-2时，2 .2别 (3)解：如图所示，过点G作TSx轴，过点E,F分别作TS的垂线，垂足分别为T,S, ∴.∠T=∠S=∠EGF=90° ∴.∠EGT=90°-∠FGS=∠GFS ∴.△ETG∽△GSF ET TG GS FS 即ET·FS=GS.TG 点D5限点0失手点C0-3对移，D0,-5) 设直线EF的解析式为H=kx,直线ED的解析式为=k,x-5 y=kx y=x2+2x- 联立直线EF与抛物线解析式(2 可得， x=)x+2x- 2 2 1 2+(2-k)x- 即2 5-0 2=k2x-5 1 联立直线ED与抛物线解析式2+2x- y= kx-5=x2+2x- 2可得， 2 2 +-0+3=0 即2 =e,xr=f,xc=g,:.ef=-5,eg=5,e+g=2k2-4...f=-g er-+2e3传82+28-}-e+g+4e-8) 5+2r日+2g*g+49W-8) .ET.FS=GS·TG .(g-e)(J-g)=j(e+g+4)(e-g)xj(f+g+4)(f-8) 将f=-8代入得：e+g=-5 1 1 ·2k2-4=-5k3= 2,小直线DE解折式为'=25 y=- B E T (2)